Aula 5 - Determinantes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS – UNIFAL-MG Aula 5 
	
  
	
  
	
  
	
  
ICT 13 
Álgebra 
Linear 
Aula 5 
 
	
   	
   	
  
PROF. DR. MAYK COELHO 	
   UM POUCO DE HISTÓRIA 
Permutações 
Para dar início ao assunto de determinantes de uma matriz quadrada 
qualquer é preciso primeiro saber alguns conceitos sobre permutação. 
Seja o conjunto 𝑆 = 1, 2, 3,… ,𝑛 e 𝑆! o conjunto de todas as permutações 
do conjunto 𝑆. É de conhecimento que 𝑆! contém 𝑛! elementos. 
Exemplo: 𝑆 = {1, 2, 3} então: 𝑆! = 1, 2, 3 , 1, 3, 2 , 3, 1, 2 , 3,2, 1 , 2, 3, 1 , 2, 1, 3 , ou seja, 𝑆! 
contém 3! Elementos, ou seja, 6 elementos. 
Considerando uma permutação 𝑝, chama-se paridade da permutação o 
número mínimo de trocas que são necessárias efetuarem em 𝑝 para voltar a 
ordem inicial. 
Exemplo: Se 𝑆 = {1, 2, 3} e 𝑝 = 321 então a paridade de 𝑝 é 3. Se 𝑝 = 312 a paridade de 𝑝 é 2. 
 Diz-se que uma permutação é par se o número de trocas for par e ímpar se 
o número de trocas for ímpar. 
 
Determinantes 
das 
O início das matrizes e determinantes 
remontam ao século II a.C. embora alguns 
vestígios desse assunto foi encontrado no 
século VI a.C. Somente no final do século 
XVII que as ideias reapareceram e 
desenvolveram até os dias atuais. 
 
Não é de estranhar que o início de matrizes 
e determinantes está intimamente 
relacionado com o estudo dos sistemas 
lineares. Os babilônios estudaram 
problemas que levam a resolução de um 
sistema linear de duas variáveis e duas 
equações, sendo que alguns destes 
problemas foram preservados em tabuletas 
de argilas. 
 
Os chineses, entre 200 a.C e 100 a.C, 
chegaram muito mais perto de matrizes 
que os babilônios. Na verdade, é justo 
dizer que o texto “Nove Capítulos da Arte 
Matemática” escrito durante a dinastia Han 
dá o primeiro exemplo conhecido de 
métodos de matriz. 
 
Girolamo Cardano, em Ars Magna (1545), 
dá uma regra para a solução de um sistema 
de duas equações lineares que ele chama 
de regulamentação de Modo. Esta regra dá 
o que é essencialmente a regra de Cramer 
para resolver sistemas lineares 2×2. 
 
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Define-se o sinal de uma permutação 𝑝, 𝑠𝑔𝑛(𝑝), da seguinte forma: 𝑠𝑔𝑛 𝑝 = +1, 𝑠𝑒  𝑝  é  𝑝𝑎𝑟−1, 𝑠𝑒  𝑝  é  𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 
A permutação identidade tem sinal +1 é qualquer permutação que só troque 
dois números tem sinal -1. Mas como encontrar a paridade de uma 
permutação? Podemos fazer da seguinte forma: 
Diz-se que ocorre uma inversão na permutação sempre que um número 
maior precede um menor. Assim, o número total de inversões que ocorre 
numa permutação 𝑝 = 𝑝!𝑝!…𝑝! calcula-se do seguinte modo: 
1) Contam-se os números menores que 𝑝! que estão à sua frente na 
permutação; 
2) Contam-se os números menores que 𝑝! que estão à sua frente na 
permutação; 
3) Continua-se com a contagem para 𝑝!,… ,𝑝!!!; 
4) O número de inversões é a soma dos números obtidos em cada 
passo anterior. 
 
Como o número total de inversões corresponde a um possível 
número de trocas para transformar a permutação na identidade, a 
paridade desse número é a paridade da permutação. 
Exemplos: A permutação 𝑝 ∈ 𝑆! dada por 𝑝 = 613452 é par, pois ocorrem 
8 inversões (5+ 0+ 1+ 1+ 1 = 8). 
Já a permutação 𝑞 ∈ 𝑆! dada por 𝑞 = 214365 é impar, pois são necessárias 
3 inversões (1+0+1+0+1=3). 
Produtos Elementares 
Seja 𝐴!×! = 𝑎!" !×!  uma matriz quadrada de ordem 𝑛. Chama-se produto 
elementar de 𝐴 um produto de 𝑛 entradas da matriz 𝐴 contedo exatamente 
uma entrada de cada linha e de cada coluna de 𝐴, ou seja, um produto da 
forma 𝑎!!!𝑎!!! …𝑎!!!, onde 𝑝!𝑝!…𝑝! ∈ 𝑆!. 
Como cada produto elementar de uma matriz de ordem 𝑛 esta associada a 
uma permutação em 𝑆! segue que para uma matriz de ordem 𝑛 há 𝑛! 
Produtos elementares. 
Exemplo: Na matriz 
2 3 45 3 17 4 5 , 4×3×7 = 84 é o produto elementar 
associado à permutação 321 . 
Um produto elementar assinalado é um produto elementar multiplicado 
pelo sinal da permutação que lhe está associada. 
Exemplo: No exemplo anterior temos que o produto elementar assinalado 
associado a permutação 321 é −18, pois a permutação e impar. 
A ideia de um determinante apareceu no 
Japão e na Europa quase simultaneamente, 
embora o matemático Seki no Japão 
publicou suas ideias antes. Em 1683, Seki 
escreveu “Método de Resolver os 
Problemas Dissimulados” que contém 
métodos matriciais escrito como tabelas 
exatamente do jeito que os métodos 
chineses acima foram construídos. 
 
Sem ter qualquer palavra que corresponda 
a "determinante" Seki ainda introduziu 
determinantes e deu métodos gerais para o 
seu cálculo com base em exemplos. 
Usando seus "determinantes" Seki foi 
capaz de encontrar os determinantes de 
ordem 2, 3, 4 e 5 e aplicou-os na resolução 
de equações, mas não em sistemas de 
equações lineares. 
 
Extraordinariamente, a primeira aparição 
de um determinante na Europa apareceu 
exatamente em 1683 com uma carta de 
Leibniz enviada ao marquês de L'Hôpital. 
Leibniz estava convencido de que uma boa 
notação matemática era a chave para o 
progresso da mesma. Em seus manuscritos 
inéditos, encontram-se mais de 50 
maneiras diferentes de notação de sistemas 
que ele trabalhou durante muitos anos. 
 
Leibniz usou a palavra "resultante" para 
certas somas combinatórias de um 
determinante. Ele provou vários resultados 
sobre resultantes, incluindo o que é 
essencialmente a regra de Cramer. Ele 
também sabia que um determinante pode 
ser expandindo usando qualquer linha ou 
coluna - o que é agora chamado de método 
de Laplace, ou de co-fatores. 
 
Em1730, Mclaurin escreveu seu Tratado 
de Álgebra, embora não foi publicado até 
1748, dois anos após sua morte. Ele 
contém os primeiros resultados publicados 
sobre os determinantes provando a regra de 
Cramer para determinantes 2×2 e 3×3 e 
indicando como proceder para os 
determinantes 4×4. 
Trabalhos sobre determinantes começaram 
a surgir regularmente. Em 1764, Bézout 
apresentou os determinantes de 
Vandermonde. Em 1772, Laplace afirmou 
que os métodos introduzidos por Cramer e 
Bézout eram impraticáveis e, em um artigo 
onde ele estudou as órbitas dos planetas 
interiores, ele discutiu a solução de um 
sistema de equações lineares, sem 
realmente calculá-lo, usando 
determinantes. 
 
Surpreendentemente Laplace usou a 
palavra "resultante" para o que hoje 
chamamos de determinante, o que é 
curioso, é que essa palavra é a mesma 
usada por Leibniz. Deste modo, Laplace 
deve ter tido conhecimento dos trabalhos 
de Leibniz sobre esse assunto. 
 
Determinante foi o termo introduzido pela 
primeira vez por Gauss em “Disquisitiones 
Arithmeticae” (1801) ao discutir formas 
quadráticas. Ele usou o termo porque o 
determinante determina as propriedades da 
forma quadrática. No entanto, o conceito 
não é o mesmo que a de nosso 
determinante. No mesmo trabalho Gauss 
estabelece os coeficientes de suas formas 
quadráticas em matrizes retangulares. Ele 
descreve a multiplicação de matrizes (o 
que ele pensa em como composição que 
ele ainda não atingiu o conceito de álgebra 
matricial) e da inversa de uma matriz no 
contexto particular das matrizes de 
coeficientes de formas quadráticas. 
 
O método de eliminação, que ele apareceu 
pela primeira vez no texto “Nove Capítulos 
da Arte Matemática” foi usado por Gauss 
em seu trabalho que estudou a órbita do 
asteroide Pallas. Usando observações de 
Pallas tomadas entre 1903 2 1809, Gauss 
obteve um sistema de seis equações 
lineares em seis incógnitas. Gauss deu um 
método sistemático para a resolução de 
equações desse tipo, o que é precisamente 
o método sobre a matriz coeficiente que 
conhecemos hoje. 
	
  
Foi Cauchy que usou "determinante" em 
seu sentido moderno. Oseu trabalho é o 
mais completo dos primeiros trabalhos 
sobre determinantes. Ele reprovou os 
trabalhos anteriores e deu novos resultados 
sobre esse assunto. No artigo de 1812, o 
teorema sobre a multiplicação de 
determinantes é provado pela primeira vez, 
embora, na mesma reunião do Instituto da 
França, Binet também apresentou um 
artigo que continha uma prova do teorema 
da multiplicação, mas foi menos 
satisfatória do que aquela dada por 
Cauchy. 
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Definição geral de determinante de uma matriz 𝑨𝒏×𝒏 
O determinante da matriz 𝐴!×! (det𝐴  𝑜𝑢   𝐴 ) é a soma de todos os produtos elementares assinalados de 𝐴, isto é: det𝐴 = 𝑠𝑛𝑔(𝑝)!∈!! 𝑎!!!𝑎!!! …𝑎!!! 
Assim, o determinante de uma matriz 𝐴!×! = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 é dado por 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐. 
Para uma matriz 𝐴!×! = 𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖 temos que 𝐴 = 𝑎𝑒𝑖 + 𝑔𝑏𝑓 + 𝑑ℎ𝑐 − 𝑔𝑒𝑐 − 𝑎ℎ𝑓 − 𝑑𝑏𝑖 
Note que se 𝐴!×! for triangular, o det𝐴 é o produto dos elementos da diagonal. 
Mas imagine a dificuldade de se obter todos os produtos elementares com sinal de uma matriz de ordem 10. 
Teríamos 10! Produtos para serem calculados. 
Mas há uma maneira de reduzir estes cálculos. Observe que se reescrevermos 𝐴 agrupando os múltiplos da 
primeira linha de 𝐴 temos o seguinte: 𝐴 = 𝑎 𝑒𝑖 − ℎ𝑓! + 𝑏 𝑔𝑓 − 𝑑𝑖! + 𝑐 (𝑑ℎ − 𝑔𝑒)! 
Observe que: 
• 𝑥 é o determinante da matriz resultante da retirada da linha e da coluna do elemento 𝑎, ou seja: 𝑥 = 𝑒 𝑓ℎ 𝑖 
• 𝑦 é o determinante da matriz resultante da retirada da linha e da coluna do elemento 𝑏, com sinal trocado, 
ou seja: 𝑦 = − 𝑑 𝑓𝑔 𝑖 
• 𝑧 é o determinante da matriz resultante da retirada da linha e da coluna do elemento 𝑐, ou seja: 𝑧 = 𝑑 𝑒𝑔 ℎ 
Assim, se definirmos 𝐴!" como sendo o determinante da matriz resultante da retirada da linha 𝑖 e da 
coluna 𝑗 de 𝐴, então temos que: 𝐴 = 𝑎 𝐴!! − 𝑏 𝐴!" + 𝑐 𝐴!" 
 
Logo reduzimos o calculo de um determinante de ordem 3 para o calculo de 3 determinantes de ordem 2. 
Mas poderíamos escolher também como referencia a linha 2 ao invés da linha 1 e teríamos: 𝐴 = 𝑑 ℎ𝑐 − 𝑏𝑖! + 𝑒 𝑎𝑖 − 𝑔𝑐! + 𝑓 (𝑔𝑏 − 𝑎ℎ)! 
E teríamos: 𝐴 = −𝑑 𝐴!" + 𝑒 𝐴!! − 𝑓 𝐴!" 
O mesmo pode ser feito escolhendo qualquer outra linha ou mesmo qualquer outra coluna, de modo geral 
temos então a seguinte definição: 
 
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Seja 𝐴 = 𝑎!! ⋯ 𝑎!!⋮ ⋱ ⋮𝑎!! ⋯ 𝑎!! e 𝐴!" o determinante da matriz resultante da 
retirada da linha 𝑖 e da coluna 𝑗 de 𝐴, então temos que: 
Escolhendo a linha 𝑖 como referencia: 𝐴 = (−1)!!!𝑎!" 𝐴!"!!!! 
ou 
Escolhendo a coluna 𝑗 como referencia: 𝐴 = (−1)!!!𝑎!" 𝐴!"!!!! 
 
O termo 𝐶!" = (−1)!!! 𝐴!" é chamado de co-fator de 𝑎!". 
 
Deste modo, note que para obter o determinante de uma matriz 𝐴!×! teremos que calcular 𝑛 determinantes 
de ordem 𝑛 − 1. Muita coisa não? 
Uma estratégia é escolher a linha, ou a coluna que contenha mais zeros, reduzindo assim a quantidade de 
determinantes de ordem menor para calcular. 
 
Mas se não houver zeros na matriz? Na aula anterior vimos maneiras de zerar elementos de uma matriz, 
basta fazer operações elementares ou nas linhas ou nas colunas. Porém, estas operações em linhas, ou 
colunas podem alterar o valor do determinante como podemos ver no exemplo abaixo: 
 
Exemplo: Para uma matriz 𝐴!×! = 𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖 temos que 𝐴 = 𝑎𝑒𝑖 + 𝑔𝑏𝑓 + 𝑑ℎ𝑐 − 𝑔𝑒𝑐 − 𝑎ℎ𝑓 − 𝑑𝑏𝑖 
O determinante da matriz 𝐵 resultante da multiplicação da primeira linha de 𝐴 é dado por: 
 𝑘𝑎 𝑘𝑏 𝑘𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖 =  𝑘𝑎𝑒𝑖 + 𝑔𝑘𝑏𝑓 + 𝑑ℎ𝑘𝑐 − 𝑔𝑒𝑘𝑐 − 𝑘𝑎ℎ𝑓 − 𝑑𝑘𝑏𝑖 = 𝑘 𝐴 
O determinante da matriz 𝐵 resultante da troca da linha 1 com a linha 2 de 𝐴 é dado por: 𝑑 𝑒 𝑓𝑎 𝑏 𝑐𝑔 ℎ 𝑖 = 𝑑𝑏𝑖 + 𝑔𝑒𝑐 + 𝑎ℎ𝑓 − 𝑎𝑒𝑖 − 𝑔𝑏𝑓 − 𝑑ℎ𝑐 = − 𝐴 
O determinante de uma matriz 𝐵 resultante da combinação da linha 1 com um múltiplo da linha 2 de 𝐴 é 
dado por: 𝑎 + 𝑘𝑑 𝑏 + 𝑘𝑒 𝑐 + 𝑘𝑓𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖 = 𝑎 + 𝑘𝑑 𝑒𝑖 + 𝑔 𝑏 + 𝑘𝑒 𝑓 + 𝑑ℎ 𝑐 + 𝑘𝑓 − 𝑔𝑒 𝑐 + 𝑘𝑓 − 𝑎 + 𝑘𝑑 ℎ𝑓 − 𝑑 𝑏 + 𝑘𝑒 𝑖 =  𝑎𝑒𝑖 + 𝑔𝑏𝑓 + 𝑑ℎ𝑐 − 𝑔𝑒𝑐 − 𝑎ℎ𝑓 − 𝑑𝑏𝑖 + 𝑘𝑑𝑒𝑖 + 𝑘𝑒𝑓𝑔 + 𝑘𝑓𝑑ℎ − 𝑘𝑓𝑔𝑒 − 𝑘𝑑ℎ𝑓 − 𝑘𝑒𝑑𝑖! = 𝐴 
Resumidamente temos de um modo geral as seguintes alterações: 
Seja 𝐴 uma matriz quadrada e 𝐵 a matriz resultante de uma operação elementar em 𝐴. Então temos: 
• Se 𝐿! ← 𝑘𝐿! então det 𝐵 = 𝑘 det 𝐴 ; 
• Se 𝐿!⟷ 𝐿! então det 𝐵 = −det  (𝐴); 
• Se 𝐿! ← 𝐿! + 𝑘𝐿! então det 𝐵 = det  (𝐴); 
• Se 𝐿! ← 𝑠𝐿! + 𝑘𝐿! então det 𝐵 = 𝑠det  (𝐴); 
 
Conhecido	
  como	
  
Método	
  de	
  Laplace	
  ou	
  
simplesmente	
  método	
  
dos	
  co-­‐fatores.	
  
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Estas alterações no determinante causadas pelas operações elementares nas linhas ou colunas da matriz 
trazem algumas propriedades interessantes, como por exemplo: 
• Podemos escalonar uma matriz até chegar em uma triangular e como vimos anteriormente, o determinante 
desta matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal; 
• Caso 𝐴 tenha alguma linha nula o det𝐴 = 0; 
• det𝐴 = det𝐴!; 
• Caso 𝐴 tenha alguma combinação entre as linhas então det𝐴 = 0; 
• Sendo 𝐴!×!, se 𝑃 𝐴 < 𝑛 então det𝐴 = 0. 
 
Exemplo 1: Seja 𝐴 = 2 1 3 10 1 3 31 2 0 13 1 2 0 vamos calcular o determinante de 𝐴: 
Utilizando co-fatores na coluna 1 de 𝐴 temos: det𝐴 = 2 𝐴!! − 0 𝐴!" + 1 𝐴!" − 3 𝐴!" = 2 1 3 32 0 11 2 0! + 1
1 3 11 3 31 2 0! − 3
1 3 11 3 32 0 1! 
Para melhor compreensão, iremos calcular os determinantes 𝑥,𝑦 e 𝑧 como o mesmo método, assim: 
Utilizando co-fatores na linha 2 de 𝑥 temos: 𝑥 = −2 3 32 0 − 1 1 31 2 = −2 −6 − 1 −1 = 13 
Utilizando co-fatores na linha 3 de 𝑦 temos: 𝑦 = 1 3 13 3 − 2 1 11 3 = 1 6 − 2 2 = 2 
Utilizando co-fatores na coluna 2 de 𝑧 temos: 𝑧 = −3 1 32 1 + 3 1 12 1 = −3 −5 + 3 −1 = 12 
Logo, voltando ao det𝐴 temos: det𝐴 = 2 13 + 1 2 − 3(12) = −8 
Repare que buscamos escolher linhas e colunas que contivesse ao menos um valor nulo. Esta atitude no fez 
reduzir o calculo de um determinante em cada passo. Isto foi possível devido haver uma certa quantidade 
de zeros na matriz. 
 
Exemplo 2: Vamos utilizar a mesma matriz do exemplo anterior, porém iremos fazer operações nas linhas 
de 𝐴, escalonando-a até obtermos uma matriz triangular. 2 1 3 10 1 3 31 2 0 13 1 2 0
∗∗𝐿! ← 2𝐿! − 𝐿!𝐿4 ← 2𝐿4 − 3𝐿1 ⇒
2 1 3 10 1 3 30 3 −3 10 −1 −5 −3!!
∗∗𝐿! ← 𝐿! − 3𝐿!𝐿4 ← 𝐿4 + 𝐿2 ⇒
2 1 3 10 1 3 30 0 −12 −80 0 −2 0!!
∗∗∗𝐿4 ← 6𝐿4 − 𝐿3 ⇒
2 1 3 10 1 3 30 0 −12 −80 0 0 8!!
 
 Temos então que det𝐵! = 2×1× −12 ×8 = −192, mas queremos saber o determinante de 𝐴, assim: det𝐵! = 6×det𝐵! = det𝐵! = 2×2× det𝐴 ⇒ det𝐴 = det𝐵!6×4 = −19224 = −8 
 
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Exemplo 3: Ainda no exemplo 1, podemos fazer uma combinação dos dois métodos. Observe no exemplo 2 que a 
matriz 𝐵!  contém três entradas nulas na primeira coluna. Assim utilizando co-fatores na primeira coluna de 𝐵! 
temos: 
det𝐵! = 2 1 3 33 −3 1−1 −5 −3 = 2 −16 = −32 
 e além disso, det𝐵! = 4× det𝐴. Logo temos que: det𝐴 = −324 = −8 
 
Dos exemplos anteriores, podemos perceber que ao utilizar apenas co-fatores no cálculo de um determinante 
podemos escolher as linhas ou colunas que melhor convém, ou seja, que exige menos cálculos, uma alternativa é 
escolher linhas ou colunas que contenham a maior quantidade de entradas nulas, reduzindo assim a quantidade de 
determinantes menores a serem calculados. 
Vimos também que é possível calcular o determinante de uma matriz fazendo apenas operações elementares nesta 
até obtermos uma matriz diagonal, visto que esta apresenta o calculo simples de seu determinante,lembrando 
apenas que é preciso tomar cuidado com as operações utilizadas, pois estas alteram o determinante, tomando este 
cuidado é possível descobrir o determinante da matriz original. 
Outro fator a destacar é que podemos combinar os dois métodos, inserindo zeros na matriz através de operações 
elementares e depois sim utilizando co-fatores, reduzindo bastante o número de operações. 
Mais resultados sobre determinantes 
Quando consideramos a complexidade das definições de multiplicação matricial e de determinantes, parece não 
haver uma relação simples entre estes conceitos, porém é muito interessante o seguinte resultado de que se 𝐴 e 𝐵 
são matrizes quadradas de mesma ordem temos que det𝐴𝐵 = det𝐴 det𝐵 
Observe que esta simplicidade não se aplica quando temos 𝐴 + 𝐵, ou seja, de modo geral: det𝐴 + 𝐵 ≠ det𝐴 + det𝐵 
a igualdade é válida apenas as matrizes 𝐴 e 𝐵 se diferem por uma linha, ou por uma coluna. 
 
 
Bibliografia 
Anton H. E C. Rorres: Álgebra Linear com Aplicações Bookman, 2001 - Ed. 8 Pág 78-94 
A. Steinbruch e P. Winterle: Álgebra Linear Pearson, 2002 – Ed. 2 Pág 420 - 446