Trabalho de Seminário PRISMAS

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PRISMAS
PRISMAS
Conceito: Prisma é um tipo de
poliedro sólido limitado por
superfícies planas poligonais.
Em um prisma podemos destacar
os seguintes elementos:
• Face
• Arestas
• Vértices
As FACES são os polígonos que limitam os poliedros. A
quantidade de faces de um poliedro é finita
As ARESTAS são as junções de cada face do poliedro,
sendo que cada aresta é comum a somente duas faces
Os VÉRTICES são os pontos de interseção de três ou
mais arestas, sendo que os vértices de cada face são
também vértices do poliedro
PRISMAS
• POLIEDROS CONVEXOS E NÃO CONVEXOS
Um poliedro é convexo quando todo segmento de reta que liga
dois pontos quaisquer dele está inteiramente contido nele.
Um poliedro não convexo é quando pelo menos um segmento
de reta não está contido em quaisquer parte desse poliedro.
RELAÇÃO DE EULER
O suíço Leonhard Euler nasceu no ano 
de 1707 vindo a falecer em1783. 
Realizou muitas contribuições a 
Matemática. É provável que nenhum 
outro matemático tenha produzido 
tanto quanto ele, que durante toda 
vida acadêmica publicou cerca de 500 
trabalhos, entre livros e artigos.
Dentre as várias contribuições de Euler podemos
destacar a importância envolvendo o números de faces
(F), número de arestas (A) e número de vértices (V).
Leonhard Euler comprovou em seus estudos e 
pesquisas que o número de vértices de um poliedro 
mais o número de faces deste poliedro é igual ao 
número de arestas mais dois.
V + F = A + 2
RELAÇÃO DE EULER
Um Prisma de Base Pentagonal 
→ 10 V 
→ 7 F 
→ 15 A
Some os números de vértices e faces 
e compare-os com o número de 
arestas. Você verá que a soma será 
duas unidades maior que o número 
de arestas. Se generalizarmos essa 
ideia conforme Euler comprovou, 
teremos:
V + F = A + 2
10 + 7 = 15 + 2
17 = 17
Relação comprovada
PRISMA
Definição: Consideremos dois 
planos α e β , distintos e 
paralelos entre si, um 
polígono convexo P, contido 
no plano α, e uma reta r
concorrente aos planos α e β
nos pontos x e y, respectivamente.
PRISMA
Por todos os pontos de P,
iremos traçar retas paralelas a
reta r. Os pontos de interseção
dessas paralelas no plano α e β
determinará os segmentos
congruentes ao segmento xy. A
reunião de TODOS os
segmentos assim obtidos pelas
paralelas formará um sólido
chamado de PRISMA.
PRISMA
PRISMA
PRISMA
Quanto à inclinação das arestas 
laterais em relação aos planos da 
base, os prismas são 
classificados em:
Oblíquo: Aresta laterais obliquas 
em relação a sua base 
Reto: Aresta laterais são 
perpendiculares a sua base.
PRISMA 
Oblíquo e Reto
PRISMA Oblíquo e Reto
PARALELEPÍPEDO
Todo prisma cuja as bases são
paralelogramos, o chamamos de
PARALELEPIPEDO:
 Paralelepípedo Reto: Prisma cuja a superfície total é a reunião de
quatro retângulos (faces laterais) e com dois quadrados (bases).
 Paralelepípedo retângulo ou retorretângulo: É um prisma cuja a
superfície total é a reunião de seis retângulos.
 Paralelepípedo Cubo: Prisma cuja a superfície total é a reunião
de seis quadrados.
PARALELEPÍPEDO
RETO
RETANGULO
CUBO
AREA DE UM PRISMA
A figura 1 representa um paralelogramo retângulo,
em que a e b são as medidas dos lados do retângulo
da base e c, a medida da altura. A figura 2 representa
a planificação desse paralelepípedo.
A planificação de um paralelogramo mostra 
que sua superfície é a reunião de seis 
retângulos, dois a dois congruentes. Assim, 
a sua área total (At) é igual a soma das áreas 
desses seis retângulos, ou seja:
At = 2ab + 2ac + 2bc
No paralelepípedo da figura abaixo, d é a medida da
diagonal do paralelepípedo e d1 a medida da diagonal
da base.
DIAGONAL DE UM PRISMA
Triangulo BAD Triangulo D´DB
Assim , temos no triângulo BAD: 𝑑21 = 𝑏2+ 𝑎2
no triângulo D´DB: 𝑑2= 𝑐2+ 𝑑21 
Então, 𝑑2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 , logo d = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
VOLUME DE UM PRISMA
O cubo é um paralelepípedo retângulo cuja as seis faces
são congruentes. Assim, as suas 12 arestas são
congruentes entre si. Como já sabemos a fórmula da:
área total do paralelepípedo, da diagonal e do volume.
A=2ab + 2ac + 2bc , d = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 e V=a.b.c
Fazendo a=b=c, em cada uma dessas fórmulas obtêm-se
Area : A = 2aa + 2aa + 2aa A = 6𝒂𝟐
Diagonal : d = 𝒂𝟐 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟐 d = 𝒂 𝟑
Volume: V = a . a . a
Onde a.a é a área da base
V = 𝒂𝟑
Priscila usou massa de modular para construir um
paralelepípedo retângulo cujas as dimensões eram
20cm x 30cm x 45cm. Em seguida, ela desmanchou o
paralelepípedo que havia construído e aproveitou
toda a massa usada na sua construção para modelar
um cubo de x centímetros de aresta. Com base
nessas informações, determine:
a) x;
b) A medida da diagonal do cubo;
c) A razão entre a área total do paralelepípedo e a 
área total do cubo;
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
Solução
Para o cálculo de “x”
V
p
= Volume do paralelepípedo => V
p
= (20cm).(30cm).(45cm) = 27000 cm
3
Como a massa utilizada é a mesma, logo V
p
= V
c
, então
V
c
= x
3
=> 27000 = x
3
=> x =
3
27000 cm3 => x = 30 cm
Para o cálculo da “diagonal”
Como a d = x 3 => d = 30 3
Para o cálculo da “razão entre as áreas do paralelepípedo e do cubo”
Área total do paralelepípedo: A
tp
= 2ab + 2ac + 2bc
A
tp
= 2(20)(30) + 2(20)(45) + 2(30)(45) => A
tp
= 5700 cm
2
Área Total do Cubo: A
tc
= 6.x
2
=> A
tc
= 6.30
2
=> A
tc
= 5400 cm
2
Logo a razão =>
Atp
Atc
=
5700
5400
=
19
18
cm
2
Configurar uma fórmula para o volume de um
paralelepípedo retângulo em alguns sólidos
intuitivamente não era uma conta tão simples de se
calcular. Imaginemos se tivermos que calcular o
volume e a área destas figuras geométricas:
VOLUME DE UM PRISMA 
QUALQUER
Para isso, o matemático italiano Bonaventura
Francesco Cavalieri (1598-1647), adotou um axioma
obtido pelo resultado do volume de um sólido
qualquer. Em ambas as pilhas de chapas, ele provou
que o volume da figura1 é igual ao volume da
figura2.
VOLUME DE UM PRISMA 
QUALQUER
Cavalieri afirmou que ambas as figuras estavam numa
mesma base e num mesmo plano (α). Traçado um
segundo plano (β) qualquer, paralelo a (α) e secante as
figuras, ele percebeu que a superfície de uma era
equivalente a da outra, ou seja, notou que as superfícies
eram congruentes.
VOLUME DE UM PRISMA 
QUALQUER
A mesma ideia pode ser estendida para outros sólidos,
numa pilha de moedas por exemplo, as dimensões vão
ser iguais, vão ter a mesma superfície para quaisquer
plano segundo o Princípio de Cavallieri.
VOLUME DE UM PRISMA 
QUALQUER
Quando dois sólidos S1 e S2, cuja altura h é a mesma
apoiados em ambos os planos (α) e (β) e paralelos entre si.
Determinamos A1 e A2 como sendo iguais, para qualquer
plano (β), temos que S1 e S2 tem o mesmo volume V1 = V2.
PRINCÍPIO DE CAVALLIERI
Área Total
A área total de um prisma é a reunião da superfície lateral com as bases
Volume
A área total de um prisma é a reunião da superfície lateral com as bases
At = Al + 2Ab
V = Ab . h
Um artesão faz peças maciças de latão e as vende por
R$35,00 o Kg. Fabricio comprou uma dessas peças que
tem a forma de um prisma regular hexagonal de 10cm de
altura e cuja aresta da base mede 4cm. Considerando que
a densidade do latão é 8,5g/cm
3
, quanto Fabricio pagou
pela peça comprada? Usar aproximação 3 = 1,17.
EXERCÍCIO
10 cm
4 cm
Solução
Para o cálculo de “V”
Como é um prisma regular hexagonal, então
V = Ab .h, onde a área de um hexágono é conhecidapela fórmula Ab = nl
𝑙 𝑥 𝑎
2
logo
Ab = 6
4 𝑥 2 3
2
= 6
4 𝑥 2 𝑥 1,7
2
= 6
81,6
2
= 40,8 cm
2
Então o V= 40,8 x 10, logo V = 408 cm
3
Um artesão faz peças maciças de latão e as vende por
R$35,00 o Kg. Fabricio comprou uma dessas peças que
tem a forma de um prisma regular hexagonal de 10cm de
altura e cuja aresta da base mede 4cm. Considerando que
a densidade do latão é 8,5g/cm cúbicos, quanto Fabricio
pagou pela peça comprada? Usar aproximação 3 = 1,17.
EXERCÍCIO
10 cm
4 cm
Solução
Para o cálculo da quantia paga pelo Fabrício
Utilizando a regra de três para calcular a quantidade
de massa, fazemos:
8,5(g)  1(cm3) logo, x = 408 x 8,5 = 3,648 kg
x(g)  408(cm3)
Se o artesão vende a peça por R$ 35,00 o Kg, então
a peça comprada foi R$ 35,00 x 3,468 = R$ 121,38
Matemática: ciência e aplicações, Volume2:
Ensino médio / Gelson Iezzi....[et al.]. – 7. ed.
- São Paulo: Saraiva, 2013
Outros autores: Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Perigo, Nilze de Almeida
Novo Olhar matemática: 3 / Joamir Roberto de Souza.
- 2. ed . – São Paulo: FTD, 2013
BIBLIOGRAFIA