Resolução - Integral Melhorado

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Blog Matemática Nua & Crua 
Professor Luiz Francisco 
 
" F e l i z a q u e l e q u e t ra n s f e re o q u e sa b e e a p ren d e o q u e en s in a " . 
C o r a C o r a l i n a ( 1 . 8 8 9 + 9 6 = 1 . 9 8 5 ) 
 
 
 
 
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P
ág
in
a1
 
Resolva a integral: 
 
∫
 
 √ 
 
 
Solução: 
 
∫
 
 √ 
 
 
 
 ∫
 
√ 
 
 
Temos uma Integral do tipo √ envolvendo uma Substituição Trigonométrica: 
 
 
 
 ∫
 
√ 
 
 
 
 ∫
 
√ 
 
 
 
 
 
 
√ , para 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo 
 
 
 
 ∫
 
√ 
 
 
 
 ∫
( ) 
 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
Simplificando: 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫( ) 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 (∫ ∫ ) 
 
 
 
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Calculando 
 
(i) 
 
∫ 
 
Dica multiplicar por 
( )
( )
 . 
 
∫ ∫( ) 
( )
( )
 ∫
( ) ( )
( )
 
 
Realizando uma mudança de variável: 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) ( ) 
 
∫
( ) ( )
( )
 ∫
 
 
 ∫
 
 
 
 
∫
 
 
 | | 
 
 | | | | 
 
∫ | | 
 
(ii) 
 
∫ 
 
∫ ∫ 
 
Integrando por partes: 
 
 
 
 
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 ∫ ∫ 
 
∫ ∫ ∫ 
 
∫ ∫ 
 
 ∫ 
 
 ∫( ) 
 
 (∫ ) ∫ ∫ 
 
Temos então: 
 
∫ ∫ ∫ 
 
∫ ∫ ∫ 
 
 ∫ ∫ 
 
∫ 
 
 
 ( ∫ ) 
 
∫ 
 
 
 ( | |) 
 
Retornando temos: 
 
 
 
 (∫ ∫ ) 
 
 
 
 
 [(
 
 
 ( | |) ( | |) )] 
 
 
 
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Sabemos que e são constantes, logo: 
 
 
 
A partir deste ponto coo as operações com a constante K resultante em outras 
constantes não definidas, omitiremos estes cálculos: 
 
 
 
 
 [(
 
 
 
 
 
 | | ( | |))] 
 
 
 
 
 [(
 
 
 
 
 
 | |)] 
 
 
 
 
 [
 
 
 ( | |)] 
 
 
 
 
 
 
 
 [( | |)] 
 
 
 
 
 [( | |)] 
 
Voltando ao variável original: 
 
√ 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [( | |)] 
 
 
 
 
 [(
√ 
 
 
 
 
 |
√ 
 
 
 
 
|)] 
 
 
 
 
 [(
 √ 
 
 |
 √ 
 
|)] 
 
∫
 
 √ 
 
 
 
 [(
 √ 
 
 |
 √ 
 
|)] 
 
 
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∫
 
 √ 
 
 
 
 √ 
 
 
 |
 √ 
 
| 
 
Podemos escrever o resultado como sendo: 
 
∫
 
 √ 
 
 
 
 √ 
 
 
 [ |
 √ 
 
|] 
 
∫
 
 √ 
 
 
 
 √ 
 
 
 [ | √ | ] 
 
∫
 
 √ 
 
 
 
 √ 
 
 
 | √ | 
 
 
 
 
Sabemos que 
 
 
 são valores constantes, então 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
∫
 
 √ 
 
 
 
 √ 
 
 
 | √ |