05 CartaDeSmith

Prévia do material em texto

LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 1 
v Carta dos coeficientes de reflexão 
 
 
· Os cálculos em linhas de transmissão ou em guias de 
onda utilizam as fórmulas que foram dadas 
anteriormente, são portanto de difícil resolução. 
· Existem métodos gráficos que fornecem um meio rápido 
e eficiente para a realização destes cálculos. 
· Na figura o número complexo Z está representado por 
um ponto no plano complexo 
Im
ReR
X
Z
f
|r|
 
Coordenadas de um número complexo 
· O número complexo jXRZ += pode ser expresso em 
coordenadas polares por: 
fjeZZ = onde 22 XRZ += e 
R
X
arctg=f 
· O número complexo que desejamos representar é o 
coeficiente de reflexão de tensão: 
frr je= 
e o plano cujos pontos representam coeficientes de 
reflexão é denominado plano dos coeficientes de reflexão. 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 2 
v Carta dos coeficientes de reflexão 
 
 
· Nas linhas terminadas com cargas passivas o módulo do 
coeficiente de reflexão é sempre menor ou igual a 1. 
Consequentemente, vamos só dedicar a nossa atenção 
para a região do plano que é limitada por um círculo de 
raio 1 e centro na origem. 
· A carta dos coeficientes de reflexão mostrada na figura, 
inclui una escala radial de r e uma periférica graduada 
em graus o que permite uma rápida localização de rr. 
0o
30o
60o120o
150o
±180o
-150o
-120o
-90o
-60o
-30o
0, l/2l/4
90o
l/8
3l/8
Carga
Gerador
0 10,5
|r|
60o|r|=0,5
 
Carta dos Coeficientes de Reflexão 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 3 
v Carta dos coeficientes de reflexão 
 
 
· Numa linha de transmissão sem perdas a amplitude do 
coeficiente de reflexão não se altera ao longo da linha, 
mas o seu argumento varia com a posição na linha a um 
ritmo duas vezes mais rápido que a fase de qualquer das 
ondas progressivas, incidente e reflectida, de acordo com 
a expressão: 
( ) qbf rrr jdjj eeed == - 2. 
· A variação ( ) dd bfq 2-= é positiva para um 
deslocamento em direcção à carga e negativa para um 
deslocamento em direcção ao gerador. 
· Um deslocamento de meio comprimento de onda (ll/2) ao 
longo da linha de transmissão faz com que o argumento 
do coeficiente de reflexão varie 360o. 
· A escala periférica da carta dos coeficientes de reflexão 
pode ser também graduada em comprimentos de onda. 
· Exemplo: 
o Uma linha sem perdas é alimentada a 600 MHz. O 
coeficiente de reflexão em b é: ( ) ojeb 605,0=r 
a) Determinar o coeficiente de reflexão nos 
pontos a e c situados a 10 cm de b. 
b) Indicar a posição dos mínimos da envolvente 
da onda estacionária mais próximos de b. 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 4 
v Carta dos coeficientes de reflexão 
 
 
a b c
10 cm 10 cm
gerador carga
r(a) r(c)r(b)
 
a) ( ) ( ) djeba brr 2-= deslocamento em direcção ao gerador 
( ) ( ) djebc brr 2= deslocamento em direcção à carga 
ll 2,0505,0
10600
103
6
8
=Þ==
´
´
== dcmm
f
c
 
01448,02,0
2
22 === pl
l
p
bd 
conclui-se que: 
( ) ( )oojea 144605,0 -=r e ( ) ( )oojec 144605,0 +=r 
b) Os mínimos de tensão ocorrem quando as ondas incidente e 
reflectida estão em oposição de fase, isto é quando ( ) od 180±=q . 
Recorrendo à carta dos coeficientes de reflexão, vê-se que o mínimo 
mais próximo ocorre a uma distância (medida na escala circular 
periférica graduada em comprimentos de onda) medida na direcção 
da carga dada por: 
cmd 35,8167,0
1min
=» l 
Ocorre também um outro mínimo a: 
cmd 65,16333,0
2min
=» l 
na direcção do gerador. Como era esperado 22min1min
l=+ dd , 
todos os restantes mínimos da envolvente da onda estacionária 
encontram-se separados por múltiplos de 2
l . 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 5 
v Carta dos coeficientes de reflexão 
 
 
 
Exemplo de aplicação da carta dos coeficientes de reflexão 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 6 
v Rede de Impedâncias 
 
 
· A impedância Z e o coeficiente de reflexão rr estão 
relacionados pela expressão: 
r
r
-
+
=
1
1
0
Z
Z
 
· definindo 
0
Z
Z
z = como sendo a impedância normalizada 
obtemos: 
jxrz += 
e considerando: 
ir
jrrr += 
obtemos: 
ir
ir
j
j
jxr
rr
rr
--
++
=+
1
1
 
· Igualando as partes reais e imaginárias dos dois 
membros obtemos: 
( ) 22
22
1
1
ir
irr
rr
dd
+-
--
= 
( ) 221
2
ir
ir
rr
d
+-
= 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 7 
v Rede de Impedâncias 
 
 
· Estas duas equações podem ser escritas na forma: 
( )2
2
2
1
1
1 +
=+÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
rr
r
ir
rr (*) 
( )
2
2
2 111
xxir
=÷
ø
ö
ç
è
æ -+- rr (**) 
· A equação * representa uma família de circunferências 
no plano dos coeficientes de reflexão 
ir
jrrr += com 
centro nos pontos ÷
ø
ö
ç
è
æ
+
0,
1r
r
 e raios 
1
1
+r
. 
· Cada uma das circunferências desta família é o lugar 
geométrico de todas as impedâncias normalizadas com o 
mesmo valor de resistência normalizada. 
· Todas as circunferências de r constante passam pelo 
ponto (1,0). 
r=0 r=0,2 r=0,5 r=1 r=3
 
Resistências normalizadas no plano dos coeficientes de reflexão 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 8 
v Rede de Impedâncias 
 
 
· A equação ** representa uma família de circunferências 
com centro no ponto ÷
ø
ö
ç
è
æ +
x
j
1
1 e raio 
x
1
, sendo cada 
circunferência o lugar geométrico de todas as 
impedâncias normalizadas com o mesmo valor de 
reactância normalizada. 
· A valores positivos de x, reactâncias indutivas, 
correspondem circunferências localizadas acima do eixo 
real e a valores negativos de x, reactâncias capacitivas, 
correspondem circunferências localizadas abaixo do eixo 
real. 
· Como os centros das circunferências de x constante estão 
a uma distância do eixo real igual ao raio, todas elas 
passam pelo ponto (1,0). 
x=0
x=0,5
x=1
x=2
x=-0,5
x=-1
x=-2
 
Reactâncias normalizadas no plano dos coeficientes de reflexão 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 9 
v Rede de Impedâncias 
 
 
· Na figura estão representadas circunferências, no plano 
dos coeficientes de reflexão, para vários valores de r e de 
x. 
 
Rede de impedâncias
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 10 
v Carta de Smith 
 
 
· Na carta de Smith estão desenhadas circunferências de r 
constante e de x constante em número suficiente para 
permitir uma precisão razoável na leitura de 
impedâncias. 
· A carta tem uma escala periférica graduada em graus e 
uma outra graduada em comprimentos de onda na 
direcção da carga e na direcção do gerador. 
· A circunferência de raio unitário é, simultaneamente, o 
lugar geométrico das impedâncias normalizadas 
comparte real nula (r=0) e o lugar geométrico dos 
coeficientes de reflexão de módulo igual à unidade. 
· Atendendo a que o módulo do coeficiente de reflexão é 
unitário para z=0 (curto-circuito), z=¥¥ (circuito-aberto) 
e para z=±±jx (reactâncias puras), a circunferência de raio 
unitário está graduada em reactância normalizada. 
· Para z=r (x=0) a circunferência de x constante resulta 
numa recta (raio infinito), o eixo real, que está graduado 
com uma escala de resistência normalizada. 
· A natureza da impedância nas 
diferentes regiões da Carta de 
Smith pode ser observada na 
figura.
+90o
0o±180o
-90o
|Z|<1indutiva
|Z|>1
indutiva
|Z|<1
capacitiva
|Z|>1
capacitiva
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 11 
v Carta de Smith 
 
 
 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 12 
v Carta de Smith 
 
 
· Exemplo de aplicação 1 
o Determinar o coeficiente de reflexão provocado por 
uma carga ZL=25+j35 WW numa linha de transmissão 
com impedância característica Z0=50 WW. 
o Resolução: 
A impedância normalizada é: 
7,05,0
0
j
Z
Z
z L
L
+== 
representada na carta de Smith pelo ponto A (intersecção da 
circunferência de r=0,5 e x=0,7), a que corresponde o coeficiente de 
reflexão: 
oje 5,10052,0=r 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 13 
v Carta de Smith 
 
 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 14 
v Carta de Smith 
 
 
· Coeficiente de onda estacionária 
o Para x=0 a impedância é puramente resistiva e 
verifica-se: 
î
í
ì
>Ü
>Ü
=
-
+
==
0
0
0
11
1
ZRVSWR
ZRVSWR
Z
R
r
r
r
 
o A impedância normalizada num ponto de máximo 
de tensão é igual ao coeficiente de onda 
estacionária. 
o Consequentemente, a parte da escala de 
resistências normalizadas que contém os valores de 
r entre 1 e ¥¥ pode também ser considerada também 
uma escala de VSWR. A parte do eixo real que 
contém os valores de r entre 0 e 1 pode ser utilizada 
como uma escala de 1/S. 
o A partir da medição do coeficiente de onda 
estacionária e da localização de um dos extremos 
da envolvente da onda estacionária é possível obter 
o valor correspondente da impedância de carga 
normalizada. 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 15 
v Carta de Smith 
 
 
· Exemplo de aplicação 2 
o Determinar o VSWR provocado por uma carga 
ZL=25+j35 WW numa linha com Z0=50 WW e a distância 
do primeiro mínimo de tensão à carga. 
o Resolução: 
A impedância normalizada é: 
7,05,0
0
j
Z
Z
z L
L
+== 
a que corresponde o ponto A na carta. A circunferência de VSWR 
constante (linha sem perdas) intersecta a escala de resistência 
normalizada no ponto F, consequentemente VSWR=3,17. 
Os pontos E e F correspondem a pontos da linha em que se verificam 
mínimos e máximos, a fase de rr é 180o em E e 0o em F. A distância do 
primeiro mínimo de tensão à carga é a distância representada pelo 
arco AE, medida na escala graduada em comprimentos de onda em 
direcção ao gerador. 
( ) ll 3895,01105,05,0
min
=-=d 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 16 
v Carta de Smith 
 
 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 17 
v Carta de Smith 
 
 
· Impedância de entrada 
o A impedância em qualquer ponto duma linha 
terminada com uma impedância ZL é dada por: 
dtgjz
djtgz
Z
Z
z
L
Lin
in b
b
+
+
==
1
0
 
o Embora esta relação seja empregue com alguma 
frequência, é utilizado por vezes um processo de 
cálculo dividido em três fases: 
1º 
1
1
+
-
=
L
L
z
z
r 2º ( ) djed brr 2-= 3º ( )( )d
d
z
in r
r
-
+
=
1
1
 
o Este processo é especialmente útil se a carta de 
Smith for utilizada para relacionar rr e zin. 
· Exemplo de aplicação 3 
o Uma linha sem perdas com Z0=50 WW é terminada 
por uma impedância ZL=20+j100 WW. Determinar a 
impedância de entrada. 
o Resolução: 
O ponto B representa a impedância de carga normalizada marcada 
na carta de Smith. Um deslocamento de ll/4 ou 180o em direcção ao 
gerador sobre a circunferência de |rr| constante conduz ao ponto C. 
Este ponto representa a impedância normalizada zin=0,10-j0,48, logo 
W-= 245 jZ
in
 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 18 
v Carta de Smith 
 
 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 19 
v Carta de Smith 
 
 
· Exemplo de aplicação 4 
o Numa linha com Z0=50 WW e comprimento 0,35ll 
mediu-se um VSWR=3 e registou-se um mínimo de 
tensão à distância de 0,15ll da carga. Determine a 
impedância de entrada da linha. 
o Resolução: 
A impedância da carga deve estar localizada na carta sobre a 
circunferência correspondente a VSWR=3. 
O ponto E corresponde ao ponto da linha em que se verifica o 
mínimo de tensão (ff=±±180o). 
Movendo o ponto E, ao longo da circunferência de VSWR constante e 
medindo 0,15ll na escala graduada em comprimentos de onda em 
direcção à carga obtemos o ponto C. 
Ao ponto C corresponde a impedância de carga normalizada zL=0,8-
j1. 
Um novo movimento ao longo da circunferência de VSWR constante, 
correspondente a 0,35ll em direcção ao gerador (partindo do ponto 
C) permite localizar o ponto D correspondente à impedância de 
entrada normalizada zin=1,7+j1,33 
W+= 5,6685 jZ
in
 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 20 
v Carta de Smith 
 
 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 21 
v Carta de Smith 
 
 
· Admitância de entrada 
o A admitância duma linha de transmissão é dada 
por: 
r
r
+
-
==
1
111
0
ZZ
Y
in
in
 
onde rr é o coeficiente de reflexão no ponto da linha. 
o A admitância normalizada será: 
( )
( )r
r
r
r
--
-+
=
+
-
===
1
1
1
10
0 in
in
in Z
Z
Y
Y
y 
o Vê-se nesta equação que a relação entre yin e -rr é 
idêntica à relação entre zin e rr. A carta de Smith 
pode ser também considerada como a 
representação de y no plano -rr. 
o Sendo y=g+jb, as circunferências de r constante 
transformam-se em circunferências de g constante 
(g condutância normalizada) e as circunferências 
de x constante transformam-se em circunferências 
de b constante (b susceptância normalizada). 
o Para utilizar uma carta de impedâncias como carta 
de admitâncias basta rodar 180o a escala do 
argumento de rr. 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 22 
v Carta de Smith 
 
 
· Admitância de entrada de STUBS 
o Um stub é uma linha de transmissão sem perdas 
terminada em circuito-aberto ou em curto-circuito. 
Numa linha deste tipo o módulo do coeficiente de 
reflexão é 1 e o VSWR é ¥¥. 
o As impedâncias (ou admitâncias) de entrada dos 
stubs são reactâncias (ou susceptâncias) puras de 
valor determinado pelo respectivo comprimento. O 
seu lugar geométrico na carta de Smith é a 
circunferência de r=0. 
o A admitância (ou a impedância) de entrada de um 
stub é determinada, na carta de Smith, através de 
um deslocamento (correspondente ao seu 
comprimento) sobre a circunferência de raio 
unitário em direcção ao gerador, partindo do ponto 
correspondente à terminação respectiva. 
+90o
0o±180o
-90o
cc - impedância
ca - admitância
impedância - ca
admitância - cc
 
Impedância e admitância de stubs
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 23 
v Carta de Smith 
Ø Dispositivos para adaptação de impedâncias 
 
 
· O comportamento de um sistema que utiliza uma linha 
de transmissão para transporte de potência de um 
gerador para uma carga depende essencialmente da 
relação de impedâncias na terminação da carga. 
· Como geralmente não é possível adaptar a carga à linha 
de transmissão alterando um dos parâmetros que a 
constituem, é necessário adicionar à linha um dispositivo 
para adaptação. 
· Razões para a adaptar uma carga a uma linha de 
transmissão: 
o Um baixo valor de VSWR (»»1) na linha indica que 
não há potência reflectida pela carga, toda a 
potência incidente é absorvida pela carga. 
o A potência máxima que pode ser transmitida pela 
linha é limitada pela tensão de disrupção do 
dieléctrico (diferençade potencial entre os 
condutores que provoca a perfuração do 
isolamento) e pelo aquecimento dos condutores da 
linha. Se o valor do VSWR for próximo de 1 a 
tensão e corrente serão constantes (em amplitude) 
ao longo da linha e terão os valores estritamente 
necessários para fornecer a potência pretendida à 
carga. 
o Alguns dispositivos utilizados como geradores 
tornam-se instáveis quando o nível de desaptação 
ultrapassa um determinado limite.
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 24 
v Carta de Smith 
Ø Dispositivos para adaptação de impedâncias 
q Adaptação com um stub 
 
 
· O circuito da figura representa um adaptador com um 
stub que é muito utilizado em linhas de transmissão. 
d1 ou d2
ZL
Z0
Z0
P
 
Adaptador com um stub 
· Para se conseguir uma adaptação perfeita com um 
dispositivo de adaptação de impedâncias, este deve 
possuir dois ajustes. 
· No adaptador com um stub os dois ajustes disponíveis 
são o comprimento do stub e a distância do stub à carga. 
· A admitância de entrada da linha à direita no plano P 
deve ser yP=1±±jb, para que o sistema se apresente 
adaptado à esquerda do plano P (yP=1). O comprimento 
do stub deve ser de modo que a sua susceptância de 
entrada seja ±±jb. 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 25 
v Carta de Smith 
Ø Dispositivos para adaptação de impedâncias 
q Adaptação com um stub 
 
 
· Supondo que a impedância de carga normalizada zL é 
representada na carta de Smith pelo ponto A, a 
admitância correspondente é representada pelo ponto B. 
Num ponto da linha à distância d1 da carga (em direcção 
ao gerador) a admitância normalizada é igual a 1+jb e 
está representado pelo ponto C. 
 
Adaptação com um stub 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 26 
v Carta de Smith 
Ø Dispositivos para adaptação de impedâncias 
q Adaptação com um stub 
 
 
o Se um stub com susceptância de entrada 
normalizada igual a –jb for ligado em paralelo com 
a linha à distância d1 da carga, a linha estará 
adaptada à esquerda do plano P. 
o Com a colocação do stub em paralelo o ponto C 
move-se ao longo da circunferência de g=1 para o 
ponto E correspondente à admitância (ou 
impedância) normalizada 1+j0. 
o Analisando a figura conclui-se que existe outra 
solução, além das que diferem da anterior em um 
múltiplo inteiro de ll/2. À distância d2 da carga a 
admitância normalizada seria 1-jb, representada 
pelo ponto D, que pode ser transformada em 1+j0 
por um stub com susceptância de entrada 
normalizada igual a jb. 
o As susceptâncias +jb ou –jb também podem ser 
obtidas utilizando um stub terminado em circuito-
aberto, embora na prática sejam preferidos stubs 
terminados em curto-circuito. 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 27 
v Carta de Smith 
Ø Dispositivos para adaptação de impedâncias 
q Adaptação com um stub 
 
 
· Exemplo de aplicação 5 
o Uma linha com Z0=70 WW é terminada por 
ZL=84+j85,75 WW. Determinar o comprimento que 
deverá Ter um stub com a mesma impedância 
característica terminado em curto-circuito e a 
distância à carga onde deverá ser ligado para que o 
sistema fique adaptado. 
o Resolução: 
A impedância da carga normalizada é: 
225,12,1 jz
L
+= 
representado na figura pelo ponto A. O ponto B representa a 
admitância normalizada correspondente. 
A circunferência de VSWR constante que passa por B intersecta a 
circunferência de g=1 primeiro em C e depois em D, para um 
deslocamento em direcção ao gerador. As admitâncias normalizadas 
correspondentes aos pontos C e D são, respectivamente, 1+j1,125 e 1-
j1,125. 
1ª solução (ponto C) 
A distância do stub à carga está representada na carta pelo arco BC, 
medido na escala graduada em comprimentos de onda na direcção 
do gerador: 
( ) ll 237,0166,0071,0
1
=+=d 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 28 
v Carta de Smith 
Ø Dispositivos para adaptação de impedâncias 
q Adaptação com um stub 
 
 
A susceptância normalizada necessária para adaptar a carga à linha 
é –j1,125, representada na carta pelo ponto E. O comprimento do 
stub terminado em curto-circuito será: 
( ) ll 116,025,0366,0
1
=-=l 
2ª solução (ponto D) 
O arco BD, expresso em comprimentos de onda em direcção ao 
gerador, representa a distância do stub à carga: 
( ) ll 405,0334,0071,0
2
=+=d 
Para realizar a adaptação o stub deverá ter a susceptância de 
entrada normalizada j1,125, deverá ter o comprimento: 
( ) ll 384,0134,025,0
2
=+=l 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 29 
v Carta de Smith 
Ø Dispositivos para adaptação de impedâncias 
q Adaptação com um stub 
 
 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 30 
v Carta de Smith 
Ø Dispositivos para adaptação de impedâncias 
q Adaptação com dois stubs 
 
 
· Com este método de adaptação procura-se eliminar a 
principal desvantagem do método anterior que reside no 
facto de a posição do stub depender da impedância da 
carga. 
· Neste método a distância entre os dois stubs é constante, 
embora os stubs possam ser colocados em qualquer 
ponto da linha próximo da carga. 
d
b a
Stub 2 Stub 1
ZL
d
ZL
b a
Stub 2 Stub 1
 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 31 
v Carta de Smith 
Ø Dispositivos para adaptação de impedâncias 
q Adaptação com dois stubs 
 
 
O método consiste em variar o comprimento do stub 1 de modo a 
que a admitância normalizada no plano b sem o stub 2 seja 
yb=1±jb anulando-se em seguida a susceptância com o stub 2, 
ficando o sistema adaptado para a esquerda do plano b (yb=1+j0). 
 
 
Adaptação com dois stubs 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 32 
v Carta de Smith 
Ø Dispositivos para adaptação de impedâncias 
q Adaptação com dois stubs 
 
 
o Para poder ser adaptada a admitância em b tem 
que ser igual a y=1±±jb (circunferência 1). 
o A admitância vista no plano b (circunferência 1) 
tem uma correspondência no plano A. A 
admitância estará numa circunferência de igual 
raio mas cujo centro sofreu uma rotação 
correspondente à distância d (em comprimentos de 
onda) em direcção à carga (circunferência 2). 
o A admitância da carga vista no plano a, encontra-se 
no ponto A. Somando a admitância do stub 1 
fazemos com que a admitância do stub 1+carga se 
desloquem sobre uma circunferência de g constante. 
o A circunferência de g constante que passa por A 
intersecta a circunferência 2 nos pontos B e C o que 
nos dá dois pontos de possível adaptação. 
o Para se realizar a adaptação, o ponto A deverá ser 
transformado em B ou C por ajustamento do stub 
1. Este stub deve apresentar uma susceptância de 
entrada normalizada correspondente aos arcos AB 
ou AC. 
CC
BB
AA
jbgy
jbgy
jbgy
+=
+=
+=
 admitância do stub 1 
( )
( )
ACACSC
ABABSB
bbjyyy
bbjyyy
-=-=
-=-=
 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 33 
v Carta de Smith 
Ø Dispositivos para adaptação de impedâncias 
q Adaptação com dois stubs 
 
 
o É necessário calcular a susceptância do ponto B e 
do ponto C no plano b, para isso deslocamos estes 
pontos de uma distância d na direcção do gerador. 
Obtemos assim os pontos B’ e C’ na circunferência 
de g=1. 
o Este stub deve apresentar uma susceptância de 
entrada normalizada correspondente aos arcos AB’ 
ou AC’. 
''
''
1
1
CC
BB
jby
jby
+=
+=
 admitância do stub 2 
''
''
CSC
BSB
jby
jby
-=
-=
 
· Limitações ao método dos dois stubs 
o Para sepoder utilizar este método, a circunferência 
de g constante a que pertence o ponto da carta de 
Smith que representa a admitância da carga 
normalizada yL deve intersectar a circunferência de 
g=1 transferida em direcção à carga a distância d 
(em comprimentos de onda) igual à separação entre 
os stubs (circunferência 2). 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 34 
v Carta de Smith 
Ø Dispositivos para adaptação de impedâncias 
q Adaptação com dois stubs 
 
 
o Na figura estão ilustrados três casos particulares. 
Se a admitância de carga normalizada yL for 
representada pelo ponto A, a colocação de um stub 
em derivação na carga corresponderá a um 
deslocamento do ponto A ao longo de uma 
circunferência de g constante que não intersecta a 
circunferência 2, o que torna impossível a 
adaptação pelo método dos dois stubs. 
o Analisando a figura conclui-se que, para se 
conseguir a adaptação com dois stubs, a 
componente real da admitância de carga deverá 
ser: 
a) gL££1 para d=ll/4 
b) e c) gL££ para d=ll/8 ou d=3ll/8 
o O valor máximo de gL para o qual é possível a 
adaptação com dois stubs depende da separação 
destes. Pode-se demonstrar que, estando o primeiro 
stub ligado à linha na carga e sendo d a distância 
entre os stubs, a adaptação é possível se: 
dsen
g
L b2
1
£ 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 35 
v Carta de Smith 
Ø Dispositivos para adaptação de impedâncias 
q Adaptação com dois stubs 
 
 
 
Casos particulares das limitações do método dos dois stubs 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 36 
v Carta de Smith 
Ø Dispositivos para adaptação de impedâncias 
q Adaptação com dois stubs 
 
 
· Exemplo de aplicação 6 
o O coeficiente de reflexão na carga que termina uma 
linha de transmissão com Z0=50 WW é rr=0,667(90
o). 
Para adaptar a carga à linha são utilizados dois 
stubs com a mesma impedância característica 
terminados em curto-circuito e distanciados 0,375ll 
entre si, estando o stub mais próximo da carga a 
0,1ll da mesma. 
Determinar as combinações possíveis de 
comprimentos de stubs que proporcionam a 
adaptação desejada. 
o Resolução: 
A impedância de carga normalizada está representada na carta pelo 
ponto A. O ponto B representa a admitância correspondente. A 
admitância normalizada à distância de 0,1ll da carga está 
representada pelo ponto C. 
Ajustando o comprimento do stub mais próximo da carga (stub 1), o 
ponto C desloca-se sobre a circunferência de g=0,2 para o ponto D (1ª 
solução) ou para o ponto E (2ª solução) que, transferidos 0,375ll em 
direcção ao gerador, se transforma em F e G, respectivamente. 
Ajustando o comprimento do stub 2, os pontos F (1ª solução) ou G (2ª 
solução) deslocam-se sobre a circunferência de g=1 para o centro da 
carta 
1ª solução: 
stub 1 ( ) ll 212,025,0462,0
1
=-=l 
stub 2 ( ) ll 426,025,0176,0
2
=-=l 
2ª solução: 
stub 1 ( ) ll 096,025,0346,0
1
=-=l 
stub 2 ( ) ll 039,025,0289,0
2
=-=l 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 37 
v Carta de Smith 
Ø Dispositivos para adaptação de impedâncias 
q Adaptação com dois stubs 
 
 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 38 
v Carta de Smith 
Ø Escalas radiais na carta de Smith 
 
 
· Coeficiente de reflexão: 
o de tensão: 
identetensão inc
lectidatensão ref
ñ = 
o de potência: 
ncidentepotência i
eflectidapotência r
ñ =
2
 
· Perdas na linha (em dB): 
o ( )
ñ
dB
eflectidapotência r
ncidentepotência i
 retornoperdas por
1
log20==
( )
2
1
1
log10
ñ
dB
ransmitidapotência t
ncidentepotência i
 reflexãoperdas por
-
==
Coeficiente de onda estacionária: 
o 
imatensão mín
imatensão máx
VSWR = 
e os valores correspondentes em dB. 
· Coeficiente de perdas: 
o 
2
2
1
1
ñ
ñ
ransmitidapotência t
reflectidancidentepotência i
se de perdacoeficient
-
+
=
+
=
 
que, para um dado nível de potência incidente, nos 
indica o aumento das perdas no meio de transmissão, 
por desadaptação, em relação à situação de adaptação 
perfeita. 
LINHAS DE TRANSMISSÃO 
ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 39 
v Carta de Smith 
Ø Escalas radiais na carta de Smith 
 
 
· Uma escala de e-2aad em que cada divisão corresponde a 1 
dB. Pode-se utilizar esta escala de perdas por 
transmissão graduada em intervalos de 1 dB para tomar 
em consideração o factor e-2aad que relaciona os módulos 
dos coeficientes de reflexão em dois pontos distintos de 
uma linha de transmissão. 
· Sendo conhecido o coeficiente de reflexão num dado 
ponto de uma linha, o valor a uma distância d no sentido 
do gerador ou da carga pode ser calculada assumindo 
inicialmente a linha sem perdas e em seguida reduzindo 
ou aumentando, respectivamente, o raio do factor e-2aad.