aula_13 Equações quadraticas

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Equac¸o˜es Quadra´ticas - Continuac¸a˜o
MO´DULO 2 - AULA 13
Aula 13 – Equac¸o˜es Quadra´ticas -
Continuac¸a˜o
Apo´s estudar esta aula, voceˆ
• compreender o conceito de mudanc¸a de coordenadas;
• Expressar a para´bola atrave´s de uma equac¸a˜o quadra´tica.
Na aula passada voceˆ teve ocasia˜o de estudar a para´bola, e agora e´ o
momento de apresentar outras curvas: a elipse e a hipe´rbole. Essas duas
curvas mais a para´bola sa˜o conhecidas desde a e´poca cla´ssica da Matema´tica
grega, com o nome de coˆnicas, e teˆm lugar nobre na histo´ria da Matema´tica.
O grande matema´tico da antiguidade Apoloˆnio de Perga (262 - 190 a.C.)
registrou, em um genial livro denominado ”Sec¸o˜es Coˆnicas”, todo o conhe-
cimento matema´tico da e´poca sobre estas curvas. Cada uma delas pode ser
obtida atrave´s da intersec¸a˜o de um plano com um duplo cone circular reto,
da´ı o nome coˆnicas. A obtenc¸a˜o de uma ou outra coˆnica fica na dependeˆncia
da posic¸a˜o geral do plano em relac¸a˜o ao eixo e as geratrizes do cone duplo.
Veja representado na Figura 13.1, a obtenc¸a˜o de cada coˆnica. No caso da
para´bola, o plano e´ paralelo a uma das geratrizes do cone superior e inter-
secta o cone inferior. No caso da elipse, o plano intersecta o eixo do cone com
um aˆngulo diferente de 900 e intersecta todas as geratrizes do cone inferior.
No caso da hipe´rbole, o plano e´ paralelo ao eixo e intersecta os cones superior
e inferior.
Fig. 13.1: Para´bola, elipse e hipe´rbole, respectivamente
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Equac¸o˜es Quadra´ticas - Continuac¸a˜o
A elipse
Uma elipse fica definida no plano a partir da escolha de dois pontos
F1 e F2 e de uma medida m maior que a distaˆncia entre estes pontos. Aqui
m e´ um nu´mero positivo. Se como de costume denotarmos por d(F1, F2) a
distaˆncia entre os pontos, a condic¸a˜o prescrita e´ que m > d(F1, F2).
A elipse e´ enta˜o por definic¸a˜o o conjunto dos pontos P = (x, y) do
plano tal que a soma da distaˆncia de P ate´ F1 com a distaˆncia de P ate´ F2
e´ igual a m. Em outras palavras fixados F1 e F2 e uma medida m maior que
a distaˆncia entre estes pontos, a equac¸a˜o da elipse e´ definida pela condic¸a˜o
geome´trica
d(P, F1) + d(P, F2) = m.
Na linguagem de conjuntos, se α e´ um plano, enta˜o
elipse = {P ∈ α; d(P, F1) + d(P, F2) = m}.
A partir da definic¸a˜o voceˆ pode desenhar uma elipse no papel escolhendo
um barbante com comprimento m e fixando as extremidades dos barbante
por duas tachinhas localizadas nos pontos F1 e F2. Agora basta esticar o
barbante com um la´pis e deslizar mantendo o barbante esticado de modo
que e´ poss´ıvel desenhar a elipse. Veja a ilustrac¸a˜o na Figura 13.2.
Fig. 13.2: Uma elipse desenhada num papel
Agora, num plano onde esta´ representado uma elipse, introduzimos um
sistema de eixos ortogonais adaptados a` elipse com o intuito de encontrar
uma equac¸a˜o a mais simples poss´ıvel que a represente. Este sistema de
coordenadas e´ tal que o eixo 0x contem os focos F1 e F2 e o ponto me´dio do
segmento F1F2 e´ a origem do sistema de coordenadas. Como os focos esta˜o
sobre o eixo 0x enta˜o podemos escrever, nas coordenadas x0y que
F1 = (c, 0) e F2 = (−c, 0), onde c > 0.
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Tambe´m, vamos escrever a distaˆncia m > d(F1, F2) como
m = 2a, onde a > 0.
Assim, se P = (x, y) e´ um ponto arbitra´rio da elipse, temos que
d(P, F1) + d(P, F2) = m ⇒
√
(x− c)2 + (y − 0)2 +
√
(x+ c)2 + y2 = 2a.
A u´ltima equac¸a˜o pode ser escrita como√
(x+ c)2 + y2 = 2a−
√
(x− c)2 + (y − 0)2.
Agora elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade vamos encon-
trar que
4a2 − 4a
√
(x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2 = (x+ c)2 + y2.
Desenvolvendo os quadrados, temos
4a2 − 4a
√
(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2 + y2 = x2 + 2cx+ c2 + y2.
Cancelando as parcelas iguais e somando −4a2 + 2cx a ambos os mem-
bros da igualdade, obtemos
−4a
√
(x− c)2 + y2 = 4cx− 4a2.
Cancelando o fator comum, temos
−a
√
(x− c)2 + y2 = cx− a2.
Elevando ao quadrado ambos os membros desta igualdade, temos
a2((x− c)2 + y2) = c2x2 − 2a2cx+ a4.
Desenvolvendo o lado esquerdo desta igualdade, obtemos
a2x2 − 2a2cx+ a2c2 + a2y2 = c2x2 − 2a2cx+ a4.
Somando −c2x2 + 2a2cx − a2c2 a ambos os membros desta igualdade,
reescrevemos a equac¸a˜o como
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a4 − a2c2 = a2(a2 − c2),
Como a > c > 0, temos que a2 > c2. Assim, a2 − c2 e´ um nu´mero real
positivo e podemos escreveˆ-lo como o quadrado de um nu´mero real b > 0,
logo b2 = a2 − c2. Observe que b < a. A equac¸a˜o anterior se reescreve como
b2x2 + a2y2 = a2b2 que, dividindo por a2b2 6= 0, e´ equivalente a
x2
a2
+
y2
b2
= 1, onde c2 = a2 − b2.
Esta equac¸a˜o e´ chamada equac¸a˜o reduzida da elipse.
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Observe a representac¸a˜o gra´fica da elipse na Figura 13.3 e acompanhe
atrave´s das notas o destaque de pontos relevantes.
x
y
B1
F1
A2
B2
F2
A1
Fig. 13.3: Elipse: eixos maior e menor, focos e ve´rtices
Notas.
1. Os pontos A1 = (a, 0) e A2 = (−a, 0) pertencem a` elipse. Basta subs-
tituir os pontos na equac¸a˜o reduzida da elipse para confirmar. Estes
pontos representam a intersec¸a˜o da elipse com o eixo 0x. O segmento
A1A2 e´ dito o eixo maior da elipse e estes pontos sa˜o denominados
ve´rtices.
2. Os pontos B1 = (0, b) e B2 = (0,−b) pertencem a` elipse. Uma
substituic¸a˜o direta destes pontos na equac¸a˜o da elipse confirma esta
afirmac¸a˜o. Estes pontos representam a intersec¸a˜o da elipse com o eixo
0y. O segmento B1B2 e´ o eixo menor da elipse.
3. Observe que os focos da elipse esta˜o sobre o eixo maior A1A2.
4. Na construc¸a˜o para obter a equac¸a˜o reduzida da elipse os focos foram
colocados sobre o eixo 0x e deste modo o eixo maior da elipse fica sobre
o eixo 0x, enquanto que o eixo menor fica sobre o eixo 0y. A equac¸a˜o
da elipse tem a forma
x2
a2
+
y2
b2
= 1, onde a > b > 0.
Neste caso o eixo maior da elipse tem comprimento 2a, enquanto que
o eixo menor tem comprimento 2b.
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5. Por outro lado, e´ poss´ıvel realizar o mesmo desenvolvimento de modo
que os focos fiquem sobre o eixo 0y e evidentemente o eixo 0x encon-
trando perpendicular o segmento focal F1F2 no ponto me´dio. Nesta
situac¸a˜o o eixo menor da elipse fica sobre o eixo 0x, enquanto que o
eixo maior fica sobre o eixo 0y. A equac¸a˜o da elipse tem a forma
x2
a2
+
y2
b2
= 1 onde b > a > 0.
Neste caso o eixo maior da elipse tem comprimento 2b, enquanto que o
eixo menor tem comprimento 2a.
Exemplo
A equac¸a˜o
x2
4
+
y2
9
= 1 representa uma elipse cujos eixos maior e menor
medem, respectivamente, 3 e 2 e possuem os eixos coordenados como eixos
de simetria. Veja a Figura 13.4, representando esta elipse.
x
y
-3
3
-2 2
Fig. 13.4: A elipse
x2
4
+
y2
9
= 1
Mudanc¸a de coordenadas
Considere a elipse trabalhada no u´ltimo exemplo, cuja equac¸a˜o e´
x2
4
+
y2
9
= 1 e o gra´fico esta´ representado na Figura 13.4. Considere um
novo sistema de coordenadas uov obtido do sistema x0y por translac¸a˜o de
modo que o = (−1, 3), com estas coordenadas referidas ao sistema x0y. Enta˜o
como conhecemos, a mudanc¸a de coordenadas funciona com{
x = u− 1
y = v + 3
Substituindo estas novas coordenadas na equac¸a˜o da elipse encontramos que
(u− 1)2
4
+
(v + 3)2
9
= 1 ⇔ 9(u− 1)2 + 4(v + 3)2 = 36.
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Desenvolvendo encontramos que
9u2 + 4v2 − 18u+ 24v + 9 = 0
e´ a equac¸a˜o quadra´tica que representa a elipse no novo sistema de coordena-
das. Acompanhe este trabalho como representado na Figura 13.5.
x
y-3
3
-2 2
v
u
-1
(-1,3)
Fig. 13.5: Mudanc¸a de coordenadas na equac¸a˜o da elipse
Nota.
O c´ırculo pode ser considerado como uma elipse degenerada, isto e´, uma
elipse com os eixos maior e menor com o mesmo comprimento. Considere
a equac¸a˜o da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 e o caso limite, onde os comprimentos
dos eixos coincidem. Ou seja, a = b. Com esta condic¸a˜o encontramos que
x2 + y2 = a2 que e´ uma equac¸a˜o quadra´tica e representa um c´ırculo de raio
r = a e centrado na origem.
Exemplo.
Considere a equac¸a˜o x2 + y2 − 4 = 0, a qual representa um c´ırculo de raio
r = 4 e com centro na origem 0 = (0, 0). Veja que podemos escrever a
equac¸a˜o na forma
x2 + y2 = 4 ⇔ x
2
22
+
y2
22
= 1,
que e´ uma “elipse degenerada” cujos eixos maior e menor medem 2.
A hipe´rbole
Do ponto de vista estrutural, uma hipe´rbole tem uma definic¸a˜o geome´-
trica muito similar a` da elipse. O ponto de partida sa˜o dois pontos fixos
do plano denominados focos da hipe´rbole e de uma medida m menor que a
distaˆncia entre estes pontos. Aqui m e´ um nu´mero positivo. Se como de
costume denotarmos por d(F1, F2) a distaˆncia entre os pontos, a condic¸a˜o
que acabamos de estabelecer prescreve que
d(F1, F2) > m.
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A hipe´rbole e´ enta˜o por definic¸a˜o o conjunto dos pontos P = (x, y) do
plano tal que o valor absoluto da diferenc¸a entre a distaˆncia de P ate´ F1 e a
distaˆncia de P ate´ F2 e´ igual a m.
Em outras palavras fixados F1 e F2 e uma medida m maior que a
distaˆncia entre estes pontos, a equac¸a˜o da elipse e´ definida pela condic¸a˜o
geome´trica
|d(P, F1)− d(P, F2)| = m.
Na linguagem de conjuntos, se α e´ um plano, enta˜o, em termos de
conjunto de pontos,
hipe´rbole = {P ∈ α; |d(P, F1)− d(P, F2)| = m}.
Veja na Figura 13.6, a representac¸a˜o no plano α de uma hipe´rbole de
focos F1 e F2.
y
xA1F1 F2
B2
B1
A2
Fig. 13.6: Hipe´rbole do focos F1 e F2
Do mesmo modo como procedemos para o caso da elipse, podemos
encontrar a equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole se escolhermos um par de eixos
adaptado. Assim se o eixo 0x conte´m os focos, de modo que a origem do eixo
coincida com o ponto me´dio do segmento focal F1F2 e de modo que o foco
F1 fica na parte positiva do eixo 0x e o eixo 0y encontra o segmento focal no
ponto me´dio. Se 2c e´ a distaˆncia entre os focos e escrevendo m = 2a, enta˜o
por construc¸a˜o como os focos esta˜o sobre o eixo 0x, encontramos que
F1 = (c, 0) e F2 = (−c, 0), onde c > 0.
Tambe´m, a t´ıtulo de simplificar a equac¸a˜o escrever a distaˆncia m < d(F1, F2)
como
m = 2a, onde a > 0.
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Assim, se P = (x, y) e´ um ponto arbitra´rio da elipse, temos que
|d(P, F1)− d(P, F2)| = m⇔
∣∣∣√(x− c)2 + (y − 0)2 −√(x− (−c))2 + y2∣∣∣ = 2a
⇔
√
(x− (−c)2 + (y − 0)2 −
√
(x− c)2 + (y − 0)2 = ±2a
⇔
√
(x+ c)2 + y2 −
√
(x− c)2 + y2 = ±2a
⇔
√
(x+ c)2 + y2 = ±2a+
√
(x− c)2 + y2.
Elevando ao quadrado ambos os membros da u´ltima igualdade, obtemos
(x+ c)2 + y2 = 4a2 ± 4a
√
(x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2.
Desenvolvendo os quadrados, temos
x2 + 2cx+ c2 + y2 = 4a2 ± 4a
√
(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2 + y2.
Cancelando as parcelas iguais e deixando apenas a raiz quadrada do
lado direito, obtemos
4cx− 4a2 = ±4a
√
(x− c)2 + y2.
Dividindo por 4, temos
cx− a2 = ±a
√
(x− c)2 + y2.
Elevando ao quadrado ambos os membros desta igualdade, temos
c2x2 − 2a2cx+ a4 = a2(x− c)2 + y2
Desenvolvendo o lado direito desta igualdade, obtemos
c2x2 − 2a2cx+ a4 = a2x2 − 2a2cx+ a2c2 + a2y2.
Somando 2a2cx−a4−a2x2−a2y2 a ambos os membros desta igualdade,
reescrevemos a equac¸a˜o como
(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2c2 − a4 = a2(c2 − a2).
Como 0 < a < c, temos a2 < c2. Assim, c2 − a2 e´ um nu´mero real
positivo e podemos escreveˆ-lo como o quadrado de um nu´mero real b > 0,
logo b2 = c2 − a2. Observe que b < c. Finalmente, a equac¸a˜o anterior se
escreve como b2x2− a2y2 = a2b2 que, dividindo por a2b2 6= 0, e´ equivalente a
x2
a2
− y
2
b2
= 1, onde c2 = a2 + b2.
Esta equac¸a˜o e´ chamada equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole.
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A interpretac¸a˜o geome´trica para a e b sera´ relevante para desenhar o
gra´fico da hipe´rbole. Fazendo y = 0 nesta equac¸a˜o, obtemos
x2
a2
= 1, que
e´ equevalente a x2 = a2. Portanto, x = ±a e os pontos A1 = (−a, 0) e
A2 = (a, 0) sa˜o pontos da hipe´rbole, chamados ve´rtices. O segmento de reta
A1A2 tem comprimento 2a e e´ chamado de eixo real ou transverso.
Fazendo agora x = 0, obtemos
y2
b2
= −1, uma equac¸a˜o na˜o admite
soluc¸a˜o em nu´meros reais. Isto significa que o eixo y e a hipe´rbole na˜o se
intersectam. A origem O e´ chamada de centro da hipe´rbole. Os pontos
B1 = (0,−b) e B2 = (0, b) na˜o esta˜o na hipe´rbole, mas desempenham um
papel importante para trac¸ar o seu gra´fico. O segmento de reta B1B2 tem
comprimento 2b e e´ chamado eixo imagina´rio da hipe´rbole. Na˜o se esquec¸a
que os focos da hipe´rbole esta˜o situados no eixo x e sa˜o F1 = (−c, 0) e
F2 = (c, 0).
As retas verticais passando por A1 e A2 e as retas horizontais passando
por B1 e B2 determinam um retaˆngulo de ve´rtices C,D,E e F cujas diago-
nais passam pela origem e teˆm equac¸o˜es y = ± b
a
x, chamadas ass´ıntotas da
hipe´rbole.
As ass´ıntotas da hipe´rbole teˆm a seguinte propriedade: um ponto da
hipe´rbole muito afastado do centro O esta´ a uma distaˆncia muito pequena
(pro´xima de zero) da ass´ıntota. Na pra´tica, isto significa que o desenho do
gra´fico da hipe´rbole se aproxima da ass´ıntota quando o ponto da hipe´rbole
se afasta do centro, conforme a Figura 13.7.
y
xA1F1 F2
B2
B1
C D
EF
A2
Fig. 13.7: Desenho das ass´ıntotas da hipe´rbole
Mais precisamente:
(1) Pontos da hipe´rbole do primeiro e terceiro quadrantes com |x| muito
grande esta˜o pro´ximos de y =
b
a
x.
(2) Pontos da hipe´rbole do segundo e quarto quadrantes com |x| muito
grande esta˜o pro´ximos de y = − b
a
x.
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Exemplo.
A equac¸a˜o x2 − y2 = 1, representa uma hipe´rbole, cujos eixos medem 1 e
as bissetrizes dos eixos coordenados sa˜o as ass´ıntotas. Veja a Figura 13.8,
representando esta hipe´rbole.
y
x10-1
1
-1
Fig. 13.8: A hipe´rbole x2 − y2 = 1
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