CA3 Aula 4

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  4	
  
Derivadas Parciais 
Notação para Derivadas Parciais 	
  
Seja z = f(x, y). 
Todas as notações abaixo referem-se à derivada parcial da 
função f com relação a x. 
 
De forma equivalente, todas as notações abaixo referem-se 
à derivada parcial da função f com relação a y. 
f x (x, y), f x ,
∂f
∂x
, ∂
∂x
f (x, y), ∂z
∂x
, f1, D1 f , Dx f , zx
f y (x, y), f y ,
∂f
∂y
, ∂
∂y
f (x, y), ∂z
∂y
, f2 , D2 f , Dy f , zy
Regra para determinar a derivada 
parcial de z = f(x,y) 
01) Para determinar fx, olhe y como uma constante e 
diferencie f(x,y) com relação a x. 
02) Para determinar fy, olhe x como uma constante e 
diferencie f(x,y) com relação a y. 
 
Exemplos: 
Calcule as derivadas parciais das funções abaixo: 
 
1) f (x, y) = xy + sen x 4)z = sen x
x2 +3y
!
"
#
$
%
& 
2) f (x, y) = x3y + x+ 2y 5) w = x2 + y2 + z2
3)z = x2 ln( y2x)
Derivadas parciais de ordem superior 
As	
  derivadas parciais de primeira ordem (ou ordem 1) 
são elas próprias funções de x e y, podendo assim ser 
diferenciadas em relação a x e a y. 
As derivadas parciais de são chamadas derivadas 
parciais de segunda ordem de f. Existem quatro delas, 
porque há quatro possibilidades na ordem de diferenciação: 
 
 
 
 
Observação,	
  se	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  existe	
  e	
  é	
  con7nua,	
  então	
  	
  	
  
∂f
∂x
 e ∂f
∂y
∂f
∂x
 e ∂f
∂y
•
∂
∂x
∂f
∂x
"
#
$
%
&
'=
∂2 f
∂x2
 • ∂
∂x
∂f
∂y
"
#
$
%
&
'=
∂2 f
∂x∂y
•
∂
∂y
∂f
∂x
"
#
$
%
&
'=
∂2 f
∂y∂x
 • ∂
∂y
∂f
∂y
"
#
$
%
&
'=
∂2 f
∂y2
∂2 f
∂x∂y
∂2 f
∂x∂y
=
∂2 f
∂y∂x
.
Exemplo 
•  	
  	
   f x, y( ) = x3 + 2x2 y + 2
Como ∂f
∂x
= 3x2 + 4xy e ∂f
∂y
= 2x2 , segue que:
•
∂2 f
∂x2
= 6x+ 4y • ∂
∂x
∂f
∂y
"
#
$
%
&
'= 4x
•
∂
∂y
∂f
∂x
"
#
$
%
&
'= 4x •
∂
∂y
∂f
∂y
"
#
$
%
&
'= 0
Exercícios 
Encontre as derivadas de segunda ordem das funções abaixo: 
	
  
	
  
1) f (x, y) = x3 + y4
2) f (x, y) = x3y4
3) f (x, y) = x
3
y4
4) f (x, y) = sen xcos y
5) f (x, y) = sen(x2 y)