C10 EnergiaTrabalho 2008

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Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 Cap. 10 
 
177
 
 
10.1 – Princípio Energia- 
Trabalho 
 
1) Energia Cinética Total do 
Corpo Rígido 
 
O método das Energias constitui um outro método 
para se resolver problemas que envolvem Forças, 
Velocidades e Deslocamentos na Dinâmica de um 
Sistema. Para isso iremos obter a energia para um 
Corpo Rígido em um Movimento Geral (Rotação + 
Translação). Consideremos um corpo realizando um 
movimento geral como da figura, um disco ou cilindro 
que se move em relação ao sistema de referência 
inercial xOy . Localizado em um ponto qualquer do 
corpo, consideremos um outro sistema de referência 
x’Qy’: 
 
 
Para um ponto P qualquer do corpo com massa dm à 
distância rP/O de O, sistema de referência inercial e 
com velocidade em relação a O, vP/O=v, tem energia 
cinética total 2vdm)2/1(T = . Integrando-se a energia 
para todos os pontos do corpo, obtemos a energia 
cinética total do corpo rígido: 
 
∫=
m
vdmT 2
2
1 
 
Considerando as expressões de posição e velocidade 
relativa de P, ponto qualquer do corpo, em relação a 
Q, origem do sistema de referencia x’Qy’, ligada a um 
ponto do corpo: 
O/QQ/PO/P rrr
rrr += 
derivando 
 O/QQ/PO/P vvv
rrr += 
 
Fazendo PO/P vOarelaçãoemPdevelocidadev
rr == 
 QO/Q vOarelaçãoemQdevelocidadev
rr == 
)(/ jyixkjvivvvv QyQxQPQP
rrrrrrrr +∧ω++=+=
 
jxviyvv QyQxP
rrr
][][ ω++ω−= 
 
Elevando esta velocidade ao quadrado: 
 
2
Py
2
Px
2
PPP ]xv[]yv[vv.v ω++ω−==rr 
 
2222 22 rxvyvvv QQQP ω+ω+ω−= 
 
Substituindo na energia cinética, obtemos: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ω+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ω+
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ω−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
∫∫
∫∫
m
22
m
Q
m
Q
2
Q
m
dmr
2
1dmxv2
dmyv2vdm
2
1T
 
 
Como 
 
∫∫∫ ∫ ====
m
Q
2
mm m
Idmr;mxdmx;mydmy;mdm
 
 
Então, 
 
22
2
1
2
1 ω+ω+ω−= QQyQxQ ImxvmyvvmT
 
Considerando que a origem Q coincide com o Centro 
de Massa G do corpo, então, 0== xy , assim: 
 
Energia Cinética de um Corpo Rígido em 
Movimento Plano Geral em relação a G é: 
 
22
2
1
2
1 ω+= GG IvmT ( N.m = J ) 
 
Rotação em torno de um eixo fixo: 
 
___________________________________________________________ 
Capítulo 10 
 
 Energia e Trabalho 
___________________________________________________________ 
 
x 
y 
P 
x 
y 
O
ω
Q 
y’ 
x’ rP/O 
v 
rQ/O 
rP/Q 
 
 Cap. 10 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 
 
 
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A energia de translação e rotação de um 
corpo rígido em torno de um eixo fixo A, diferente do 
Centro de Massa G, será dado por: 
 
 
Uma vez que vG = rG ω : 
 
2
G
2
G I2
1vm
2
1T ω+= 
2
G
2
G I2
1)r(m
2
1T ω+ω= 
 
 ( ) 22GG rmI21T ω+= 
2
AI2
1T ω= 
 
Obs.: para um corpo rígido girando em torno de um 
eixo fixo A, diferente do Centro de Massa G, o 
momento de Inércia de A pode ser escrito usando-se 
o teorema dos eixos paralelos (TEP): 
 
2
AGGA dmII += 
 
2
GGA rmII += 
 
Para o caso da relação entre os raios de giração de A 
e G, podemos obter: 
2
AGGA dmII += 
2
AG
2
G
2
A dmkmkm += 
Então, 
2
AG
2
G
2
A dkk += 
 
2) Trabalho de uma Força 
 
 
O trabalho U de uma força F
r
, aplicada a um 
corpo rígido é dado pelo produto escalar entre a força 
F
r
 e o deslocamento rd
r
, integrada em cada ponto ao 
longo de todo o deslocamento da posição (1) até a 
posição (2). 
 
∫=→
2
1
21 rd.FU
rr 
 
 
F
r
é a força aplicada ao corpo rígido 
kFjFiFF zyx
rrrr ++= 
rd
r
é o deslocamento infinitesimal tangente à direção 
do movimento do corpo em cada ponto: 
 
kdzjdyidxrd
rrrr ++= 
 
U é o trabalho da força F
r
projetada ao longo da 
trajetória s 
 
dzFdyFdxFdU zyx ++= 
 
dzFdyFdxFU zyx ∫∫∫ ++= 
 
Pelo produto escalar, a força deve ser projetada na 
direção do deslocamento rd
r
 do corpo. Somente a 
componente da força projetada na direção do 
deslocamento rd
r
 produz trabalho U. Força na direção 
perpendicular ao deslocamento ou componente de 
força projetada perpendicularmente ao deslocamento 
não produz trabalho. O deslocamento rd
r
 é sempre 
tangente à trajetória do movimento no sentido do 
movimento. O módulo do deslocamento rd
r
 vale ds. 
 
A unidade no Sistema Internacional de trabalho ou 
energia é dada em joules = J, em homenagem ao 
físico Britânico: James Prescott Joule (1818-1889). 
Outras unidades são: 
 
1 kgm = 1 kilogrametro = 1 kgf x 1 m = 9,80 J 
 
1 ft . lb = 1 foot . 1 libra = 1,356 J 
 
1 Btu = 1 British Thermal Unit = 1055 J 
 
1 erg = 10-7 J 
 
1 cal = 4,186 J 
 
1 eV = 1 eletron-volt = 1,602 x 10-19 J 
 
1 kWh = 1 quilo-watt-hora = 3,6 x 106 J 
 
1.1) Trabalho de uma força qualquer: 
 
 
 
∫= rdFU rr . 
Como 
dsFrdFrdF θ=θ= coscos.. rrrr 
 
∫ θ= sF dsFU cos 
 
 
• Uma força Fr realiza trabalho se o valor de sua 
projeção ao longo do deslocamento s do corpo 
FS, for diferente de zero, FS ≠ 0. De forma 
F
Força variável no espaço
θ
rd
r
θ’
F
r
θ
rd
r
s
F
r
F
r
rd
r
dsrd =r 
G
A Gr
r
Gv
r
 ω 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 Cap. 10 
 
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equivalente uma força F
r
 realiza trabalho se 
alguma parte do deslocamento s do corpo ao 
longo de sua trajetória tiver direção paralela sF 
à força, sF ≠ 0 . 
• Graficamente o trabalho é a área sob a curva num 
diagrama de força paralela ao deslocamento 
(FS ) X deslocamento na direção da força (sF) . 
• O trabalho de uma força é positivo quando a força 
tem o mesmo sentido do deslocamento do 
corpo. Se a força estiver no sentido contrário 
ao deslocamento então o trabalho desta força 
é negativo. 
• Potência de uma força é o trabalho da força por 
unidade de tempo: 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ===== Wwatts
s
Jv.F
dt
rd.F
dt
dU
P F
rrr
r
 
• Um torque τr realiza trabalho positivo se o seu 
sentido de giro for o mesmo do deslocamento 
angular θ. Se o torque τr tiver sentido contrário 
ao deslocamento angular θ, então o trabalho 
desta força é negativo. 
∫ θτ=→
2
1
21 d.U 
• Potência de um torque é o trabalho do torque por 
unidade de tempo: 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ==ωτ=θτ== τ Wwatts
s
J.
dt
d.
dt
dU
P 
 
a) Trabalho de uma força constante: 
 
Se a força F for constante e o ângulo θ entre F e rdr 
também, então F cosθ sai fora da integral e ∫ = xxd 
então: 
idxrd
rr = 
jsenFicosFjFiFF yx
rrrrr θ+θ=+= 
 
x)cosF(dxcosFdx)cosF(rd.FU θ=θ=θ== ∫∫∫ rr 
 
x)cosF(UF θ= 
 
O trabalho de uma força constante é igual à força 
projetada na direção do movimento vezes o 
deslocamento sofrido; ou: o deslocamento do corpo 
projetado na direção da força vezes a força; duas 
condições equivalentes. 
 
b) Trabalho da Força Peso: 
 
 
 
O trabalho da força Peso, só ocorre se o 
deslocamento for na vertical, ou seja, na mesma 
direção da força. Na direção horizontal o trabalho da 
força peso é nulo. No deslocamento horizontal quem 
produz trabalho não é a força peso é outra força. O O 
trabalho na horizontal seria de uma força que age na 
direção do movimento horizontal. Se o corpo sobe, a 
força peso está no sentido contrário ao do 
deslocamento, neste caso o trabalho é negativo. Se o 
corpo desce, a força peso está no mesmo sentido do 
deslocamento portanto é positivo.Direcionando o eixo y para cima, a força peso será: 
)( jPP
rr −= 
e o deslocamento genérico é 
kdzjdyidxrd
rrrr ++= 
e portanto, o trabalho da força peso será: 
 
∫ ∫ ∫ ∆−=−=++−== yPdyPkdzjdyidxjPrdPU )(.)(. rrrrrr
 
mghymgymgyPUP mm =∆=∆−=∆−= 
 
yPUPeso ∆−= 
 
Se o corpo sobe o deslocamento ∆y é positivo e o 
trabalho fica negativo, deslocamento no sentido 
inverso ao da força peso. Se o corpo desce o ∆y é 
negativo vezes o negativo da expressão fica positivo, 
e, portanto, o trabalho é positivo, uma vez que o 
deslocamento está no mesmo sentido da força. 
 
 
c) Trabalho da Força elástica em uma 
Mola: 
Consideremos uma mola comprimida ou distendida de 
sua posição natural, devido a uma força externa que 
realiza esta dinâmica. Vamos verificar como fica o 
sentido da força elástica em cada caso e sua 
expressão geral. 
 
0=elásticaF
r
x
x = 0 (a)
Referencial definido.: comprimento natural da mola em x = 0. 
F = const
F cos θ 
F = const 
s
θθ
Força constante
x
G
G
P
P ∆y 
∆x
s 
y
x
h
 
 Cap. 10 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 
 
 
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A força devido à mola, F = Fmola = Felástica , que a 
mola aplica no corpo, depende da posição x em que o 
corpo está em relação ao seu comprimento natural. 
Definindo a origem do eixo ( x=0 ) no ponto do corpo 
em que a mola está no seu comprimento natural. 
Podemos avaliar que se o corpo vai para um local de 
x negativo, compressão da mola, a força elástica fica 
no sentido positivo de x, ou seja, a força elástica fina 
no sentido i
r+ então podemos montar a expressão: 
ixkFFF elásticamola
rrrr −=== 
No caso de compressão da mola, x < 0: 
ixki)x(kixkFFF elásticamola
rrrrrr =−−=−=== 
onde k é a constante elástica da mola, sempre 
positiva, sendo que x, representa o deslocamento do 
corpo em relação à posição natural da mola ( x=0 ), ou 
posição inicial de x, como definida por convenção. 
No caso contrário em que o corpo vai para posições 
de x maiores que zero, esticando ou distendendo a 
mola, temos que o valor de x é positivo, e como k é 
positivo, a força elástica ficará no sentido negativo de 
x, sentido i
r− , dado pela expressão: 
ixkixkFelástica
rrr −=−= 
 fazendo valer para os dois casos o sinal negativo da 
expressão para esta convenção inicial. 
ixkFelástica
rr −= 
 
O trabalho U1 → 2 da força elástica será dado por: 
 
2
1
2
2
).()(. xxelásticaF
xkdxxkidxixkrdFU −=−=−== ∫∫ ∫ rrrr
 ( )212221 xxkU elásticaF −−= 
 
d) Trabalho da Força Centrípeta: 
 
 
 
 
Um corpo quando em um movimento circular qualquer, o 
trabalho da Força Centrípeta é nulo. uma vez que a Força 
Centrípeta é perpendicular ao deslocamento na direção da 
velocidade tangencial à trajetória. 
 
O trabalho da força centrípeta ou normal será dado 
por: 
 
∫∫ =ω== 0)).((. 2 tdsnrrdFU cpcpF
rrrr
 
 
uma vez que o produto escalar entre o versor normal 
e o versor tangente é nulo: 0º90cosˆ.ˆ.ˆ == tntn r 
 
0=centrípetaFU 
 
e) O Trabalho das forças Peso e Normal 
no ponto central de uma roda que gira 
num plano horizontal 
 
Neste caso as forças atuam em pontos que possuem 
deslocamentos (no sentido da velocidade) 
perpendiculares às forças, portanto, o trabalho de 
cada uma destas duas forças N e P é nulo. 
 
 
O trabalho da força peso, de uma roda indo na 
horizontal é nulo, pois a força peso é perpendicular ao 
deslocamento: 
 
0)().(. =−== ∫∫ idxjPrdPUPeso rrrr 
 
uma vez que o Peso e o deslocamento são 
perpendiculares: 0º90cos.. == ijij rrrr 
 
O trabalho da força normal, com a roda em plano, 
seja ele feito na horizontal ou na diagonal, será nulo: 
 
0)ˆ().(. === ∫∫ tdxnNrdNUNormal rrr 
 
uma vez que o deslocamento do ponto A, ponto de 
atuação da normal à roda, é perpendicular ao 
deslocamento da roda. 
 
0=horizontalrodaNormalU 
 
0=horizontalrodaPesoU 
 
 
f) O Trabalho da força de atrito no ponto 
de contato da roda com o solo, se a roda 
gira sem escorregar 
 
 
externaF
r
x
distensão 0〉∆x
ixkFelástica
rr −=
x = 0 (c) 
externaF
rixkixkFelástica
rrr =−−= )(
x
compressão 0〈x
x = 0 (b) 
O 
P 
v
r
 
CPF
r
 
P N
v
r
deslocamento
O
A
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 Cap. 10 
 
181
 
Como a velocidade do ponto A de contato com o solo 
é zero, sendo o ponto A, o Centro Instantâneo de 
Rotação da roda (CIR), o deslocamento infinitesimal 
neste ponto é nulo, portanto o trabalho da força de 
atrito neste ponto é nulo. Sabemos que no movimento 
geral sem escorregamento, o deslocamento do ponto 
A é nulo, dx = 0, uma vez que a velocidade 
instantânea neste ponto é nula, sendo este ponto o 
Centro Instantâneo de Rotação da roda. No entanto, a 
força de atrito realiza trabalho, caso o roda escorre no 
solo, quando o roda breca ou acelera com 
escorregamento da roda. 
 
0)0.()(. =−== ∫∫ iiFrdFU AtratrAtrF
rrrr
 
 
0U rodadanoCIRFat = 
 
g) O Trabalho da força magnética 
 
 
 
O trabalho da Força Magnética é sempre nulo 
0=
magFU , uma vez que ela é uma força do tipo 
centrípeta, perpendicular ao deslocamento circular, 
tangente à trajetória. 
 
0=magnéticoFU 
 
h) O Trabalho da força elétrica sobre uma 
carga em um campo eletrostático externo 
 
 
Entre duas placas eletrizadas, sendo o campo elétrico 
constante E, a força elétrica na carga q é 
EqF
rr = 
também constante. O traballho será: 
VqdEqdxEqrd.FU 2121 ∆−==== ∫∫→ r
r
 
onde sabemos que o campo elétrico aponta para 
potenciais decrescentes, portanto, AB VV 〈 , 
portanto, para as duas cargas, positiva e negativa, os 
trabalhos são positivos, seja a carga positiva que se 
movimenta de A para B ou a carga negativa que se 
movimenta de B para A, as suas forças elétricas estão 
no mesmo sentido dos deslocamentos, sendo 
portanto, o movimento espontâneo, ou seja, com 
trabalho positivo: 
 
0)( 〉−−=+ AB VVqU 
 
0)( 〉−−=− BA VVqU 
 
)( inicialfinalelétricaF VVqU −−= 
 
VqU elétricaF ∆−= 
 
Como observação adicional podemos dizer que, como 
sabemos, o trabalho é a integral de linha de campos 
de forças, podemos igualmente associar a integral de 
linha do campo elétrico, que é a força sobre a carga, 
qFE /
rr = , que nos fornece assim, o potencial do 
campo elétrico ou potencial elétrico. 
 
k
z
Vj
y
Vi
x
VVE
rrrr
∂
∂−∂
∂−∂
∂−=∇−= 
 
.consti
x
VE =∂
∂−= rr 
 
∫∫∫ −=−=⇒−= dxEdxEdVdxEdV ⇒ 
 
dEV =∆ 
 
o potencial elétrico de um campo elétrico uniforme é o 
campo (constante) vezes a distância entre os dois 
pontos na direção do campo. 
No caso o trabalho da força elétrica, se esta for 
eletrostática será conservativa, e portanto, o trabalho 
é dado da força elástica é VqU elétricaF ∆−= . Assim 
podemos definir o módulo da d.d.p. ou diferença de 
potencial V∆ , entre dois pontos, como sendo o 
trabalho da força elétrica por unidade de carga (J/C). 
 
3) Trabalho de um Torque 
 
Consideremos um corpo sujeito a um binário 
de torque τ = F.d , de tal forma que o corpo sofre um 
deslocamento angular dθ em torno de um eixo 
perpendicular às forças. Assim sendo, o trabalho 
desse Torque define-se como sendo: 
 
O
q, m 
v
r
 
r
vmFBvqF CPmag
2
===
v
r
translação 
Fatr 
A
ωr 
rotação 
0;0 == dxvAr
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
−
−
−
−
−
+ 
V1 
V2 〈 V1 
−
E
r
 
eletrF
r x 
eletrF
r
 
+ 
+ 
−
−
Carga positiva 
Carga negativa 
 d 
V2Cap. 10 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 
 
 
182 
 
Se a intensidade do torque é constante e o trabalho 
vale: 
 
θ∆τ=θ−θτ=τθ=θτ= θθ
θ
θ
=τ ∫ .)(dU 12cte 21
2
1
 
 
 
4) Princípio Energia-Trabalho 
 
O Princípio Trabalho-Energia é utilizado para resolver 
problemas de dinâmica que envolvem velocidades, 
forças e deslocamentos. A Energia cinética de um 
corpo rígido envolve dois temos: a Energia de 
translação e a Energia de rotação como visto. Se a 
rotação é feita em torno de um eixo fixo qualquer, 
estas duas energias se combinam podendo se 
expressar através apenas da energia de rotação em 
torno do eixo O, no qual o corpo gira, e que sabemos 
ser igual à Energia Cinética de todas as partículas do 
corpo que sabemos ser idêntica à Energia Cinética 
do Centro de Massa desse corpo, somada à Energia 
Cinética de Rotação do corpo todo em torno do 
Centro de Massa (G ou CM): 
 
2
I
2
I
2
vm
T
2
o
2
G
2
G ω=ω+= 
 
Considerando o Trabalho da Força Resultante 
somado ao Trabalho do Torque Resultante temos: 
 
 
∫ ∫∫∫∑ =θα+=θ+=→ dIrdamdMrdFU GRR rrrr21 
 ∫ ∫ θω+= ddt
dmrd
dt
vdm
rr
 
 
∑ ∫ ∫ ∫∫ ωω+=θω+=→ dIvdvmdt
ddm
dt
rdvdmU G21
rrrr 
 
2
1
2
2
1
2
21 22
ω
ω→
ω+=∑ Gvv IvmU
r
r 
 
12
2
1
2
1
2
2
2
221 2
1
2
1
2
1
2
1 TTImvImvU GG −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ω+−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ω+=∑ → 
 
O Trabalho da força resultante somado ao Trabalho 
do torque resultante, pode ser considerado a soma do 
trabalho de todas as forças e torques que atuam no 
corpo do estado 1 para o estado 2: 
 
∫ ∑ ∫∑∫ ∫ θτ+=θτ+=τ drdFdrd.FU iiRR,F RR r
rrr
 
 
∑ ∑ ∫ ∑∫ →τ =θτ+= 21ii,F UddrFU RR
r
 
 
Portanto, podemos enunciar o Princípio Trabalho-
Energia como sendo: 
 
“A energia cinética total inicial de um corpo rígido 
somado ao trabalho das forças e torques 
resultantes que agem neste mesmo corpo rígido, 
resulta na energia cinética total final do corpo.” 
 
2211 TUT ∑∑∑ =+ → 
ou 
 
 “O trabalho total resultante sobre o corpo para ir 
da posição 1 à 2 é igual à variação da sua energia 
cinética.” 
 
TU ∆=∑ →21 
 
10. 2 – Princípio da Energia 
Potencial para Forças de 
Trabalhos Conservativos 
 
 
1) Definição da função Potencial 
 
a) Integral de Linha 
 
Chamam-se forças conservativas, aquelas forças cujo 
trabalho ao logo de um caminho fechado é nulo. 
Quando as forças que agem sobre um corpo são 
conservativas, ou seja, não dissipam energia ao longo 
de um caminho de trabalho sobre um corpo. No 
entanto, inicialmente vamos buscar entender sob o 
ponto de vista da Física e suas conseqüências 
Matemáticas, alguns parâmetros anteriores que levam 
ao conceito de força conservativa. 
Chama-se integral de linha do campo vr 
qualquer, ao longo de uma trajetória Γ à integral: 
 
 
∫
Γ
= rdvIL rr 
onde: 
IL = integral de linha 
rd
r
 = vetor deslocamento infinitesimal tangente a trajetória e 
no sentido do movimento 
v
r
 = vetor campo qualquer que pode representar um campo 
elétrico, campo magnético, gravitacional, ou força qualquer. 
Γ = trajetória seguida pelo corpo 
 
b) Circuitação de um campo vetorial v 
 
Se a integral de linha é feita ao longo de uma 
linha fechada Γ, que parte de um ponto e retorna ao 
mesmo ponto, ela é denominada de circuitação de v
r
. 
dθ
F 
F 
O
r / 2 
r / 2
dθ
 ∫
θ
θ
θτ= 2
1
dU M 
A
v
r
rd
r rdr
v
r
 
Γ
B
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 Cap. 10 
 
183
Para isso usamos a integral com um circulo interno 
dizendo que o caminho percorrido é fechado ( ∫ ): 
 
 
 
∫
Γ
⋅= rdvvC rrr )( 
 
Como exemplo, podemos dizer que a circuitação do 
vetor campo gravitacional g
r
 é: 
 
∫
Γ
⋅= rdg)g(C rrr 
 
Neste caso, podemos definir campo 
conservativo como o sendo o campo cuja circuitação 
é nula. O campo gravitacional é conservativo: 
 
0rdg)g(C =⋅= ∫
Γ
rrr
 
O campo eletrostático é também um campo 
conservativo: 
 
0)( =⋅= ∫
Γ
rdEEC
rrr
 
 
Podemos dizer que a integral de linha de um 
campo conservativo entre dois pontos A e B é a 
mesma, qualquer que seja o caminho, ou seja, uma 
vez que: 
 
 
 
 
∫ ∫∫
Γ ΓΓ
=⋅==⋅+⋅
A
B
B
A 21
0rdg0rdgrdg
rrrrrr 
Portanto: 
 
∫ ∫∫
Γ ΓΓ
⋅=⋅−=⋅
A
)(B
B
)(A
B
)(A 2 21
rdgrdgrdg
rrrrrr 
 
Portanto, a integral de linha para ir do ponto A até B 
pelo caminho Γ1 é igual a integral de linha para o 
campo g ir do ponto A até B pelo caminho Γ2, ou 
qualquer outro caminho. 
 
c) Função Potencial 
Se a integral de linha não depende do caminho, então 
podemos dizer que neste espaço temos um campo 
conservativo e podemos associá-lo a uma função que 
depende apenas dos pontos A e B independente do 
caminho que se siga dentro destes dois pontos pelo 
campo, ou caminho feito. Se os pontos A e B 
coincidem, temos um caminho fechado, então a 
circuitação é nula, uma vez que podemos associar ao 
mesmo ponto um mesmo número. Não dependendo 
do caminho seguido, a um mesmo ponto desse 
espaço, para este campo, cada ponto deve possuir 
um mesmo valor e para isso faz-se necessário, por 
simplificação do resultado físico, estabelecer-se um 
modelo e um ponto de referência, com um valor 
escolhido, da qual todos os outros pontos terão seus 
valores dependentes desse inicial. 
Estes campos são chamados de conservativos neste 
espaço. Daí, aos campos conservativos costuma-se 
sempre associar para sua simplificação,uma função 
escalar de ponto V = V (P) = V (x,y,z) denominada de 
função potencial escalar do campo, que varia de 
ponto para ponto do espaço, sem depender do 
caminho de um ponto a outro. A direção do campo 
original esta ligada à maneira como varia este 
potencial no espaço. Ocorre que a uma função 
potencial escalar, aparece a vantagem de que ao se 
fazer a superposição de vários potenciais de várias 
distribuições em um ponto, a soma é uma soma 
simplesmente algébrica e não vetorial. 
Se é um campo de forças conservativas, a função 
escalar de ponto é denominada de Energia Potencial. 
Se é um campo que cria uma força a função potencial 
do campo que gera a força é chamada simplesmente 
de potencial do campo. 
O potencial de um campo é definido como sendo a 
integral de linha deste campo. Para um campo g 
qualquer, como o campo gravitacional, por exemplo, a 
função potencial é definida como: 
 
rdgdV
rr ⋅−= 
ou 
∫−=∆ rd.gV rr 
 
No caso do campo eletrostático: 
 
rdEdV
rr ⋅−= 
ou 
∫−=∆ rd.EV rr 
 
 
O sinal negativo do segundo membro indica que o 
campo vetorial g
r
ou E
r
 aponta sempre no sentido 
dos potenciais decrescentes. 
Dizemos também que o campo vetorial g
r
 ou E
r
 
deriva de um potencial, como veremos adiante e é 
definido à partir e como conseqüência da circuitação 
do campo ser nula: 
 
rdgdV0rdg)g(C
rrrrr ⋅−=⇔=⋅= ∫
Γ
 
 
A ≡ B 
v
r
 
rd
r
rd
r
 
v
r
A B 
Γ2 
Γ3 
Γ1 
 
 Cap. 10 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 
 
 
184 
rdEdVrdEEC
rrrrr ⋅−=⇔=⋅= ∫
Γ
0)( 
 
Uma outra conseqüência da circuitação do campo ser 
nula é que o rotacional do campo também é nulo, uma 
vez que o campo deve ser essencialmente divergente 
pois pela unicidade dos potenciais, as equipotencias 
não poderão se cruzar.Portanto: 
 
0grot =r 
 
0=Erot r 
 
Ao se falar sobre o potencial de um ponto temos que 
ter em mente que é sempre em relação a um 
potencial de referência escolhido convenientemente: 
 
∫∫ ⋅−=
B
A
B
A
rdEdV
rr
 ⇒ ∫ ⋅−=−
B
A
AB rdEVV
rr
 ⇒ 
∫ ⋅=−
B
A
BA rdEVV
rr
 
 
Associando aos pontos A → P (ponto P) e ao ponto B 
→ P.R. (ponto de referência) temos: 
 
∫ ⋅+=
PR
P
PRP rdEVV
rr
 
 
Potencial devido a uma carga elétrica puntiforme pode 
ser calculado e associado o valor de referência rPR → 
∞ o potencial tende a 0, VPR → 0. Da mesma forma a 
Energia potencial em volta de um planeta devido à 
sua massa (m): 
 
 
 
 
 
 
 
onde: 
)./(1085,8
tan
2212 mNCx
dadepermissividetecons
o
o −=ε
=ε
 
 
)/.(1067,6
tan
2211 kgmNxG
UniversalGravitacãodeteconsG
−=
= 
 
Para n cargas elétricas vale o Princípio da 
Superposição, uma vez que o potencial é uma 
grandeza escalar e não precisa se preocupar com a 
direção característica como no caso de vetores: 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++επ=επ= ∑ n
n
oi
i
o
elétr r
q
r
q
r
q
r
q
V ...
4
1
4
1
2
2
1
1 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++−=−= ∑
n
n
2
2
1
1
i
i
grav r
m...
r
m
r
mG
r
m
GV 
 
Funções Físico-Matemáticas: 
 
d) Cálculo matemático do Gradiente: 
Seja V = V(P) = V (x,y,z) uma função contínua e 
derivável em todos os pontos do campo. Assim, 
podemos escrever a diferencial para uma função de 
várias variáveis : 
dz
z
Vdy
y
Vdx
x
VdV ∂
∂+∂
∂+∂
∂= 
Que pode ser escrito também como: 
r
V 
q < 0 
q > 0 Hipérbole equilátera
m > 0 
Eqe
r
qq
F r
o
rr
'ˆ
4
'
2
=
επ
= 
Força Elétrica: Força Gravitacional:
gme
r
mm
GF r
rr
')ˆ('
2
=−=
Campo Elétrico:
r2
o
eˆ
r4
qE
επ
=r
Campo Gravitacional:
)ˆ(
2 r
e
r
mGg −=r
Potencial Gravitacional:Potencial Elétrico:
r
q
V
oεπ
=
4 r
mGV −=
Energia Potencial Gravitacional: Energia Potencial Elétrica: 
r
mM
GU P −=r4
'qqU
o
P επ=
Pelétrica UgradF −=
r
rdFU elétricaP
rr∫−=∆
VgradE −=r
rd.EV
rr∫−=∆
Pgravit UgradF −=
r
rdFU gravitP
rr∫−=∆
Vgradg −=r
rd.gV
rr∫−=∆
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 Cap. 10 
 
185
 
( )kdzjdyidxk
z
Vj
y
Vi
x
VdV
rrrrrr ++⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=
 
Neste caso iremos definir como sendo o gradiente de 
uma função escalar V = V (x,y,z) à expressão: 
 
k
z
Vj
y
Vi
x
VVVgrad
rrr
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇= 
 
Como 
 
dV = grad V . rd
r
 e como rdEdV
rr ⋅−= 
então: 
VgradE −=r 
 
k
z
Vj
y
Vi
x
VkEjEiEE zyx
rrrrrrr
∂
∂+∂
∂+∂
∂−=++=
 
 
x
VEx ∂
∂−= 
y
VEy ∂
∂−= 
z
VEz ∂
∂−= 
 
Daí dizermos que E
r
 deriva de um potencial. 
 
Podemos, portanto tirar os seguintes significados 
simultâneos, ou seja, se ocorre um dos 5 significados 
abaixo, os outros todos ocorrem simultaneamente: 
Campo Eletrostático: 
 
Campo Gravitacional: 
 
 
Assim, ocorrendo qualquer uma destas situações 
matemáticas com o campo, ou o campo de forças 
qualquer, ocorrerá todas as outras imediatamente, 
pois são conseqüências diretas. 
 
Definição: operador matemático nabla ou del: 
 
k
z
j
y
i
x
rrr
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ 
 
O operador matemático Del ou Nabla muda seu 
significado físico dependendo do tipo de função 
(escalar ou vetorial) e de como é aplicado (produto 
escalar ou vetorial): 
 
 
Sempre que aplicarmos o Del a uma função escalar 
V, resulta no gradiente desta função: 
 
Vk
z
j
y
i
x
VVgrad ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇= rr 
 
k
z
Vj
y
Vi
x
VVgrad
rrr
∂
∂+∂
∂+∂
∂= 
 
e) Cáculo matemático do Divergente 
de um vetor: 
 
Aplicando o Del com um produto escalar a um campo 
vetorial E
r
, resulta no divergente de E
r
 que dá como 
resultado um escalar (número): 
 
( )kgjgigk
z
j
y
i
x
ggdiv zyx
rrrrrrr ++⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=⋅∇= 
z
g
y
g
x
ggdiv zyx ∂
∂+∂
∂+∂
∂=r 
 
f ) Calculo matemático do 
Rotacional de um vetor: 
 
Aplicando o Del com produto vetorial a um campo 
vetorial E
r
, resulta no rotacional de E
r
 que é um vetor: 
 
( )kgjgigk
z
j
y
i
x
ggrot zyx
rrrrrrr ++∧⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∧∇= 
k
y
g
x
g
j
x
g
z
gi
z
g
y
ggrot zyzxyz
rrrr
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=
 
Significados físicos das funções 
físico-matemáticas: 
 
g) Significado físico de Gradiente: 
Vemos que o Del aplicado simplesmente a uma 
função escalar f (x,y,z) resulta no gradiente desta 
função f∇ que representa um vetor cuja direção 
aponta no sentido de maior crescimento da função f . 
 
h) Significado físico de Divergente: 
 
O Del aplicado escalarmente a um vetor ou campo 
vetorial E
r
 resulta no divergente deste vetor que é um 
escalar, apenas um número, cujo significado físico 
deste número é de uma proporcionalidade com a 
densidade do material que origina o vetor E
r
. Se o 
divergente do campo for zero, significa que o campo 
não é essencialmente divergente de uma origem, mas 
um campo circularmente fechado. Se o divergente for 
maior que zero significa que o campo resulta de, ou é 
gerado por, uma densidade positiva de material e o 
campo diverge à infinito, deste material. Se o 
 
 (1) Sendo E
r
conservativo ⇔ 
 (2) 0.)( == ∫ rdEEC rr ⇔ 
 (3) rdEdV
rr ⋅−= ⇔ 
 (4) VgradE −=r ⇔ 
 (5) 0=∧∇= EErot rr 
 
 (1) Sendo g
r
conservativo ⇔ 
 (2) 0rd.g)g(C == ∫ rr ⇔ 
 (3) rdgdV
rr ⋅−= ⇔ 
 (4) Vgradg −=r ⇔ 
 (5) 0ggrot =∧∇= rr 
 
 Cap. 10 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 
 
 
186 
divergente for menor que zero significa que o campo 
resulta de, ou é gerado por, uma densidade negativa 
de material e o campo converge do infinito para esse 
material. 
 
 
Vemos que as cargas elétricas tem sua polaridade 
que pode ser separada em bipolaridade individual e 
portanto o divergente pode ser positivo ou negativo 
dependendo da densidade de carga. As linhas de 
campo elétrico divergem das cargas positivas, saindo 
de sua fonte que é a densidade de cargas e 
convergem para as cargas negativas entrando nas 
cargas negativas. Podemos separar os monopólos 
elétricos como individualidades independentes sob o 
ponto de vista físico. 
 
 
 
Vemos que na essência a massa é uma grandeza de 
divergente negativo, portanto, deveria ter densidade 
negativa, mas seu sinal é introduzido artificialmente 
devido o comportamento físico de atração de duas 
massas de mesmo sinal. Onde estariam as massas 
de sinais contrários a estas que neste caso 
produziriam repulsão? Existiriam a fim de garantir a 
simetria do Universo? Pelo menos, deveriam existir! 
 
 
 
Vemos que os campos magnéticos não tem 
monopólos magnéticos, apenas dipolos, não dando 
para separar os dipolos magnéticos. Sendo assim as 
linhas de campo magnético são sempre fechadas. 
Será que existem condições em que é possível 
separar os dipolos magnéticos e o divergente do 
campo magnético ser diferente de zero ( 0≠Bdiv r ) , 
a fim de tornar a 1ª e 3ª Equações de Maxwell 
simétricas ? 
 
i) Significado Físico de Rotacional: 
 
O Del aplicado com produto vetoriala um campo 
vetorial resulta no rotacional deste campo, que é um 
outro vetor, gerado pela variação espacial do primeiro 
em movimento de rotação ou giratório. Se o campo 
vetorial tiver rotacional nulo significa que ele é 
essencialmente divergente e da maneira como ele se 
configura no espaço ele não gera nenhum outro vetor 
pela sua maneira de variação no espaço. Por exemplo 
um campo conservativo terá sempre rotacional nulo. 
Um campo que dissipa energia no espaço terá 
rotacional diferente de zero, ou seja, ele gera um 
outro vetor espacial que resulta na transformação de 
um tipo de energia em outro, degradando a energia 
original e por conseqüência aumentando a entropia do 
ambiente. Se um campo tiver linhas de campo 
fechadas o seu rotacional será também diferente de 
zero como no caso do campo magnético. O rotacional 
do campo elétrico e neste caso ele não é conservativo 
e é originado pela variação do campo magnético no 
tempo.O rotacional do campo magnético é originado 
pela densidade de corrente elétrica J
r
 e/ou também 
pela variação do campo elétrico no tempo. 
t
BErot ∂
∂−=r : (2ª Equação de Maxwell) ; 
t
EJBrot ooo ∂
∂εµ+µ=
rrr
 : (4ª e última Equação de Maxwell) 
Será que na 2ª Equação de Maxwell existiria um 
termo como na quarta equação em que uma 
“densidade de corrente magnética” produziria um 
campo elétrico rotacional para tornar as (2ª e 4ª) 
equações simétricas ? Até agora nada se descobriu 
sobre isto. 
0〈gdiv r
+m
Campo gravitacional 
ρπ−= Ggdiv 4r
gme
r
mMGF r
rr =−= )ˆ(2
)ˆ(2 rer
MGg −=r
ρπ−= Ggdiv 4r 
0grot =r
Vgradg −=r 
r
mGV −= 
ρ = densidade volumétrica de massa 
0〉Ediv r
+q 
o
Ediv ε
ρ=r 
Campo Elétrico 
ρ = densidade volumétrica de carga 
E
r
(1ª Equação de Maxwell) 
Norte Sul 
B
r
 
0〈Ediv r 
-q 
E
r
o
Ediv ε
ρ=r
(1ª Equação de Maxwell) 
Campo Magnético B
r
: 0=Bdiv r (3ª Equação de Maxwell) 
Pois as linhas de Campo Magnético são sempre fechadas. Não 
divergem. Somente rotacionam. 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 Cap. 10 
 
187
 
 
Os gradientes, divergentes e rotacionais são 
ferramentas matemáticas essenciais ao 
desenvolvimento da física, ou seja, à compreensão da 
natureza, na lógica de suas variáveis dinâmicas ou 
estáticas, vetoriais ou escalares. A essência das 
equações matemáticas é que ao estabelecer uma 
equação para um fenômeno simples as outras 
soluções possíveis para ela, farão sugerir fenômenos 
físicos que ainda nunca foram testados 
experimentalmente ou descobertos. 
 
j ) Exemplo Prático de Gradiente: 
 
Retornando ao gradiente que mais nos interessa 
nesta capítulo em que estudamos o trabalho e a 
energia, vamos esclarecer melhor o que constitui o 
significado de gradiente de uma função espacial 
escalar através de exemplos. 
1) Supondo uma montanha onde são 
desenhadas as curvas de nível , ou seja, as 
curvas de mesma altura h, as equi-alturas. Podemos 
fazer então estas curvas de equi-alturas em um 
diagrama (x,y), tendo então uma função escalar onde 
se associa a cada ponto do plano (x,y) uma altura h = 
h (x,y). Aplicando-se o del a esta função escalar 
obtemos um campo vetorial ∇h que tem como 
direção o sentido de maior crescimento da função h 
em cada ponto. A função grad h será tanto maior 
quanto mais próxima ela se encontra de outra curva 
de nível. 
 
 
 
 
2) Um corpo aquecido no espaço gera um 
campo escalar de temperaturas: gera ao seu 
redor curvas de nível de temperaturas que é uma 
função escalar no espaço que associa a cada ponto 
do espaço uma grandeza física que é a temperatura 
daquele ponto. O gradiente desta função escalar de 
temperaturas aponta em cada ponto no sentido de 
maior temperatura. Sendo T = T (x, y, z ) ou em 
função de coordenadas esféricas T = T ( r, ϕ, θ) se 
aplicarmos o del ou em coordenadas cartesianas ou 
retangulares ou em coordenadas esféricas, 
obteremos o gradiente da função, ou seja, um campo 
vetorial que aponta no sentido de maior crescimento 
das temperaturas, sendo o campo de temperaturas 
∇T, proporcional à intensidade da variação de 
temperaturas e à intensidade de temperaturas em 
cada ponto. Obs.: O del em coordenadas esféricas ou 
cilíndricas está no capítulo 1 de vetores. 
 
 
3) Os potenciais elétricos entre dois 
eletrodos. O gradiente de V = V(x,y,z), grad V, gera 
o campo elétrico com sinal trocado: 
VVgradE ∇−=−=r que aponta portanto no sentido 
de maior decrescimento dos potenciais. Sendo que 
∫−=∆
B
A
rdEV
rr
. ⇒ rdEdV rr ⋅−= . Ou seja se 
pegarmos 
a)um deslocamento infinitesimal rd
r
 na direção 
paralela ao campo E
r
, //rd
r
 temos: 
 
lr
rrr
dErdErdEdV −=°−=⋅−= 90cos//// (direção de 
máximo decrescimento do potencial) 
a)um deslocamento infinitesimal rd
r
 na direção 
perpendicular ao campo E
r
, ⊥rd
r
 temos: 
00cos =°−=⋅−= ⊥⊥ rdErdEdV r
rrr
 (direção de uma 
equipotencial, na direção perpendicular à linha de campo) 
 
 
 
 
4) O trabalho representa um movimento de um 
corpo se deslocando no espaço gerado por um campo 
de forças. O trabalho é uma integral de linha de um 
campo de forças ao longo de um deslocamento. 
Portanto é uma função escalar cujas forças derivam 
desta função trabalho. Se o campo de forças for 
conservativo, ou seja, não dissipar energias, então do 
0 m 
100 m 
200 m 
300 m 
400 m 
500 m 
700 m Função escalar de alturas 
(curvas de nível) : 
h = h (x,y) 
x 
y
z = h 
Olhando de cima em 
função de x e y , as 
curvas de nível: h = h 
(x,y) 
O grad h, resulta num 
vetor que aponta no 
sentido de alturas 
maiores em cada ponto.
y 
z 
x 
∇T 
∇T 
∇T 
∇T 
∇T 
VE −∇=r 4 V 
8 V 12 V 16 V 
20 V 24 V28 V 
V = 30 V = cte
0int =E
r
30 V 
V−∇V−∇V−∇
100 m 
0 m
200 m 
300 m 
500 m
x 
y 
∇h 
∇h 
grad h 
∇h 
400 m
0 V 
(refe
rênci
a) 
 
 Cap. 10 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 
 
 
188 
trabalho pode-se derivar uma função potencial (de 
ponto) que denominamos de Energia Potencial EP ou 
V. Assim sendo, para forças conservativas, o trabalho 
será igual à menos a variação da Energia Potencial. 
 
O trabalho é uma integral de linha que pode ou não 
depender do caminho seguido. É uma função de linha 
mais geral. 
 
∫
Γ
⋅= rdFU rr 
Se o trabalho ao longo de um caminho fechado é 
zero, isto significa que ele não depende do caminho, e 
as forças envolvidas com ele não dissipam energias 
ou seja são conservativas e o trabalho é nulo. Neste 
caso podemos ter o Princípio da Energia Potencial. 
 
k) Princípio da Energia 
Potencial: 
 
 
 
 
PUU ∆−=→21 
 
 
Se a força é conservativa a integral de linha desta 
força que representa o trabalho entre dois pontos não 
depende do caminho, ou seja, não há perdas de 
energia ao longo do caminho neste caso podemos 
interpretar este trabalho como sendo uma função de 
ponto ou função potencial, na qual depende apenas 
do ponto inicial e ponto final do deslocamento, não 
importando o caminho que foi percorrido. Chamamos 
ou definimos a esta função de ponto de Energia 
Potencial. UP , e depende apenas do ponto do 
espaço em que o corpo se encontra UP = UP (x,y,z) 
para o caso em que o trabalho da força não depende 
do caminho. 
Um trabalho qualquer é igual à 
 [ ] .diss1P2P21 UUUU ∑+−−=→ 
 
Tendo conservação da energia ao longo do caminho, 
então 0U .diss =∑ , logo: 
 [ ]1P2P21 UUU −−=→ 
 
 
PUU ∆−=→21 
 
ou ( )1P2P21 UUU −−=→ 
 
PUgradF −=r
 
ou 
PUF −∇=
r
 
 
∫ ⋅−=∆⇒−= rdFUrdFdU PP rrrr . ⇒ 
 
∫ ⋅+=
PR
P
PRP rdFUpUp
rr 
 
Campo que gera a força 
 
No caso do campo que gera a força. Por exemplo: (1) 
a força peso gmP
rr = é gerado pelo campo 
gravitacional )s/m(j8,9g 2
rr = , e se a força for 
conservativa ela deriva de uma energia potencial 
gravitacional UPgrav . O campo gravitacional por sua 
vez, g
r
, gera também uma função potencial que 
chamamos simplesmente de potencial V que é 
também uma função de ponto, ou seja não depende 
do caminho, mas que contrariamente à energia 
potencial não depende da massa de prova; (2) a força 
elétrica EqF
rr = é gerado pelo campo elétrica Er , e se 
a força elétrica é conservativa, ela gera uma energia 
potencial elétrica UPeletrica . O campo elétrico E
r
, por 
sua vez, também gera uma função potencial a que 
chamamos simplesmente de potencial V que é 
também uma função de ponto, mas não como a 
energia potencial UPelétrica que depende da carga, o 
potencial V derivado do campo E
r
não depende da 
carga de prova, da mesma forma que o campo E
r
não 
depende também da carga de prova que a força 
elétrica depende. 
 
m) Tipos de Forças 
Conservativas: 
 
São forças que não dissipam energias, são forças que 
mantém a energia mecânica ao longo de um caminho. 
São forças que conservam as energias ligadas a elas 
ao longo do espaço. Neste caso que tipo de forças 
são conservativas? Apresentemos algumas: 
 
1) Força Peso: O trabalho da força 
peso gera a Energia Potencial 
Gravitacional 
 
Energia Potencial Gravitacional propriamente dita 
de um planeta 
Consideremos um corpo de massa m e ele produz a 
sua volta um campo gravitacional produzindo uma 
força de atração em um segundo corpo: 
 
 
M = massa do corpo maior 
m = massa do corpo menor 
r = distância do centro do corpo A ao centro de B 
G = constante universal de gravitação = 6,67 x 10-11 N.m2 / kg2 
F
r
 = Força gravitacional que o corpo M faz sobre o corpo m 
r
r
 = vetor de direção radial, com origem em M e extremidade em m 
radialmAcorpodosaindoforapararadialunitáriovetorversorer ,)(ˆ =
 
 
“Se uma força é conservativa, então o 
trabalho desta força entre dois pontos 
é igual `a menos a variação da energia 
potencial.” 
rA 
M FAB reˆ
m
Inicial Final 
deslocamento 
rB 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 Cap. 10 
 
189
)ˆ(
2 rAB
e
r
mMGF −=r = m gr = Força gravitacional 
)ˆ(
2 r
e
r
MGg −=r = campo gravitacional produzida pelo e em torno 
do corpo de massa M 
Se M = MTerra ; r = RTerra então g = 9,8 m/s2 
 
O Trabalho para levar um corpo no campo 
gravitacional de A para B é igual à menos a variação 
da Energia Potencial gravitacional. Sendo o vetor 
deslocamento infinitesimal em coordenadas esféricas: 
ϕθ ϕθ+θ+= eˆdsenreˆdreˆdrrd rr 
redrrd ˆ=r 
∫∫ −=⋅=−−=→
B
A
2
B
A
PAPBBA
r
drMmGrdF)UU(U
rr
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−
AB
B
A
PAPB r
1
r
1mMG
r
1mMGUU 
 
Assim sendo a Energia Potencial gravitacional em um 
ponto qualquer é definido a partir da expressão acima 
como: 
 
r
mMGUP −= 
 
Considerando BTB hRr += e ATA hRr += . 
Ou então 
 
Escolhendo o ponto inicial 0U,entãor PAA =∞→ , 
ou seja, a energia para trazer o corpo de um ponto 
muito longínqüo até um ponto qualquer, e o corpo em 
uma distância rB = r, qualquer, do centro do corpo, 
será UPB = UP assim 
r
mMGUP −= = Energia Potencial 
gravitacional para distâncias em grande escala. 
Considerando o campo gravitacional de maneira 
análoga: 
)ˆ(
2 r
e
r
MGg −=r , 
o potencial gravitacional deste campo é : 
r
MGV −= 
 
2) Energia Potencial Gravitacional de 
uma região pequena e com campo g 
uniforme 
 
Considerando o caso mais simples que pegamos 
uma região do espaço em que o g da gravidade é 
praticamente constante, não variando perto das 
distâncias em que se experimenta. Um campo, 
portanto, uniforme: g = const. 
Assim sendo: 
jgmgmP
rrr −== = const. 
 
Como já calculado, 
 
hPyPU 21P ∆−=∆−=→∑ 
 
jdhjdyrd
rrr == = deslocando de dy ou dh o corpo 
para cima ou para baixo 
 
 
)hh(gm)yy(gmU
)jdy(.)jmg()UU(U
121221
2
1
1P2P21
−−=−−=
−=−−=
→
→ ∫
rr
 
 
 
)yy(gm)UU(UU 121P2PP12 −−=−−=∆−= 
ou 
hgmygmU nalgravitacioP == 
 
A energia potencial depende da massa. 
 
No caso do Campo Gravitacional constante: 
 
.constg =r 
 
ygV = 
 
O potencial gravitacional independe da massa de 
prova. 
 
 
3) Força Elástica: Energia Potencial 
Elástica 
 
Trabalho da força elástica: 
2
1elástica
x
x
2
F 2
xkidx).ixk(rd.FU −=−== ∫ ∫
rrrr
 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=−−= 21221P2PF xk2
1xk
2
1)UU(U
elástica
 
 
Energia potencial elástica: 
2
elásticaP xk2
1U = 
 
 
4) Força Elétrica: Energia Potencial 
Elétrica 
 
Força elétrica constante : 
 
 
)V(qxEq)idx()iEq(rd.FU elétricaBA ∆−=∆=== ∫∫→ rrrr
 
 
onde sabemos que o campo elétrico é menos o gradiente do 
potencial ou o potencial é menos a integral de linha do 
campo elétrico: ∫−=∆ dxEV ; e que o campo elétrico 
P = m g
P = m g
2y
1y
1212 yyhh −=−
 
 Cap. 10 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 
 
 
190 
aponta sempre para potenciais menores, portanto, 
se AB VV 〈 , o trabalho da força eletrostática para cargas 
positivas e negativas é 
0)VV(qU AB0q 〉−−=〉 
0)VV(qU AB0q 〈−−=〈 
 
)VV(qVq)UU(U ABPAPBBAelétricaForça −−=∆−=−−=→
 
A energia potencial elétrica: 
VqU elétricaP ∆⋅= 
 
 
l) Princípio de Conservação de 
Energia: 
 
Uma outra forma de escrever o Princípio Energia-
Trabalho é através do discernimento entre energias 
cinéticas totais T e energias potenciais UP: 
 
( ) ∑∑∑ =+ → 'TUT 21 
 
Considerando que o trabalho de 1 para 2 (‘) 
contenham forças conservativas e dissipativas (não 
conservativas), podemos escrever: 
 
( ) ( )consconsnão21 UUU ∑∑∑ +=→ 
 
Considerando que o trabalho das forças conservativas 
é igual a menos a variação das energias potenciais 
(finais menos iniciais), temos que 
 
( ) ( ) )UU(UU 1P2PPcons ∑∑∑∑ −−=∆−= 
 
Substituindo, 
 
( ) [ ( ) ]∑∑∑∑ −−+=→ PPconsnão21 U'UUU 
 
Considerando o princípio Energia-Trabalho, 
 
 
∑∑∑∑∑ −=−=→ T'TTTU 1221 
 
 
Enunciado do Princípio de Conservação de Energia (PCE): 
 
“A soma das energias cinéticas e potenciais 
iniciais de um corpo rígido, mais as energias 
perdidas por dissipação no caminho entre os 
dois pontos é igual à soma das energias 
cinéticas mais potenciais no final do 
caminho.” 
 
Expressão matemática do PCE: 
 
( ) ∑ ∑∑∑∑ +=++ 'U'TUUT P.consñP 
 
Esta expressão do Princípio de Conservação de 
Energia é idêntica ao Princípio Energia-Trabalho, mas 
escrita de uma forma diferente, considerando os 
Trabalhos Conservativos e não Conservativos. 
 
 
Sendo 
ΣT = soma das energias cinéticas totais do corpo no 
primeiro ponto a ser considerado (A); 
ΣU = soma das energias potenciais totais do corpo no 
primeiro ponto a ser considerado (A); 
ΣUA →B = soma do trabalho das forças dissipativas de 
energia que agiram ao longo do caminho de A até B; 
exemplo: trabalho da força de atrito que é uma força 
dissipativa de energia, ou seja, transforma a energia 
mecânica em outro tipo de energia: energia térmica, 
energia acústica. 
ΣT’ = soma das energias cinéticas totais do corpo no 
segundo ponto a ser considerado (B); 
ΣU’ = soma das energias cinéticas totais do corpo no 
segundoponto a ser considerado (B); 
 
m) Principio de Conservação de 
Energia Mecânica: 
 
“Considerando que haja somente forças conservativas 
ao longo da trajetória do corpo 
(∑ = 0vasconservatinãoU em um problema) a soma 
das energias cinéticas mais as energias potenciais, a 
qual denominamos de Energia Mecânica, em 
qualquer ponto da trajetória é sempre igual. A energia 
mecânica, soma das energias cinéticas e energias 
potenciais, em qualquer outro ponto da trajetória, se 
conserva. “ 
 
PCBA MMMM E...EEE ==== 
 
finalMinicialM EE = 
 
∑ ∑∑∑ +=+ 'U'TUT PP 
 
10.3 – Potência e 
Rendimento 
 
Potência 
 
A Potência de uma força é dada pela quantidade de 
trabalho que essa força consegue produzir em joules 
por unidade de tempo em segundos. Um trabalho 
realizado não dá informações de sua eficiência de 
realização. Ele pode ter sido realizado tanto em 
1minuto, ou em 1hora ou em 1 mês, ou em 1 ano ou 
10 anos ou 100 anos. Quem dá informações sobre 
essa eficiência do trabalho é a Potência. Podemos 
definir Potência como sendo a derivada do Trabalho 
pelo tempo, ou a derivada da Energia pelo tempo, ou 
A
B
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 Cap. 10 
 
191
seja, é a taxa de variação de trabalho (ou energia) por 
unidade de tempo. 
 
dt
dE
dt
dP =τ= 
 
A Potência no Sistema Internacional é medido em 
Joules por segundo, e recebe o nome especial de 
watts em homenagem ao cientista inglês James Watt: 
 
Wwatts
seg
joules
s
J === 
 
Dado que o trabalho elementar é dado por força 
vezes deslocamento elementar: rdFd
rr ⋅=τ , que 
substituindo na expressão de Potência, temos o que 
poderiamos chamar de Potência instantânea, para o 
momento do valor da velocidade v do corpo: 
 
vF
dt
rdF
dt
dP
rrr
r
⋅=⋅=τ= 
 
Portanto, a Potência pode ser calculada pelo produto 
Força pela velocidade instantânea. 
 
A Potência média pode ser calculada como o trabalho 
total τ pela variação de tempo: 
 
t
P ∆
τ= 
 
Para o caso da Potência de um torque, temos que a 
Potência seria representada pelo trabalho do torque 
pela unidade de tempo, e teriamos : 
 
ω⋅τ=θ⋅τ=τ=
dt
d
dt
dP 
 
Ou seja, a Potência instantânea do torque aplicado, 
seria representada pelo torque vezes a velocidade 
angular instantânea. 
 
As outra unidade de Potência seriam: 
 
 
W8,9
s
J8,9
s
metroxforçaramalogki
segundo
râmetrologqui
s
kgm ==−== 
 
W2830,0watts2830,0
s3600
J1055
hora
unitthermalBritish
h
Btu ====
 
1 hp = 1 horse power = 745,7 W = 75,9 kgm/s 
 
1 ft.lb/s = 1 feet . libra/s = 1,356 J/s = 1,356 W 
 
1 cal/s = 1 caloria / Segundo = 4,186 J/s = 4,186 W 
 
Rendimento 
 
Da Potência total gasta em um aparelho, uma parte 
da energia total vai se transformar em potência útil 
para realizar o que o aparelho foi designado a 
realizar; uma outra parte a energia total vai ser 
transfomada em energias dissipadas como energia 
térmica, energia acustica, energia vibracional, etc. 
Portanto, podemos definir da energia total, a energia 
útil e a energia dissipada ou entropizada: 
 
dissipadaútiltotal EEE += 
 
Da mesma forma: 
 
dissipadaútiltotal PPP += 
 
Portanto, podemos definir de rendimento de um 
aparelho qualquer como sendo: 
 
total
útil
total
útil
E
E
P
P ==η 
Onde 
10 ≤η≤ 
 
%100
P
P1%100
P
P
%100%
total
diss
total
útil
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −==η=η 
 
Não existe, em tese, um rendimento de 100% uma 
vez que sabemos que para toda transformação de um 
tipo de energia em outro, uma parte da energia se 
dissipa sempre, aumentando a entropia ou 
desorganização do Sistema. Da mesma forma que 
podemos dizer que existem energias mais nobres ou 
menos entrópicas ou menos entropizadas que ao 
serem transformadas em outro tipo de energia tem um 
rendimento muito maior, como é o caso da energia 
mecânica, energia elétrica, que podem ter 
rendimentos de 40%, 70%, 80%. No entanto, existem 
outros tipos de energias que são mais entropizadas, 
também chamadas de energias mais degradadas, 
mais microscopizadas e desordenadas, como é o 
caso da energia térmica, da energia acústica, que na 
tentativa de serem aproveitadas e ao serem 
transformadas em outros tipos de energia apresentam 
rendimento baixo como 10%, 15%, 20%, 
necessitando de muito gasto para pouco rendimento. 
 
 
10. 5 – Resumo do 
Capítulo 
 
1) Energia Cinética de um Corpo Rígido em 
Movimento Plano Geral em relação a G é: 
22
2
1
2
1 ω+= GG IvmT (J) 
Rotação em torno de um eixo fixo: 
 22
2
1
2
1 ω+= GG IvmT = 
222
2
1
2
1 ω=ω⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + OGG IrmI 
 Uma vez que vG = rG ω, coincidindo com o teorema dos eixos paralelos 
2) Trabalho de uma Força: ∫= rdFU rr . ; UF = 
∫ θs dxcosF ; Trabalho da força resultante(de todas as forças): 
∫ ∑∑ =→ 21 i21 rdFU r 
Força constante: UF = x)cosF( θ ; Força Peso: 
hgmUPeso ±= Trabalho da Força Elástica: ( )2122elásticaF xxk21U −−= ; Trabalho da Força 
Centrípeta: 0=centrípetaFU ; Força de Atrito na base de 
 
 Cap. 10 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 
 
 
192 
uma roda que não escorrega: 
0=horizontalrodabasenaatritoFU . 
Trabalho de um binário: 
∫
θ
θ
τ θτ=
2
1
dU . 
3) Princípio Trabalho-Energia 
2211 TUT =+ ∑ → ou TU ∆=∑ →21 
4) Princípio de Energia Potencial: 
“Se uma força é conservativa, então o trabalho desta força é igual `a 
menos a variação da energia potencial.” ( )inicialPfinalPPfi UUUU −−=∆−=→ 
Energia Potencial gravitacional: 
hgmU nalgravitacioP = ; 
Energia Potencial Elástica: 
2
elásticaP xk2
1U = ; 
Energia Potencial Elétrica: 
VqU elétricaP = 
5) Princípio de Conservação de Energia: 
“A soma das energias cinéticas do corpo, mais as energias potenciais 
(conservativas), mais o trabalho das forças não conservativas durante um 
intervalo de espaço percorrido pelo corpo é igual à soma das energias 
cinéticas e energias potenciais finais. “ ( ) ∑ ∑∑∑∑ +=++ 'U'TUUT P.consñP 
6) Principio de Conservação de Energia Mecânica: 
“Havendo somente forças conservativas em um problema, a soma das 
energias cinéticas mais as energias potenciais (Energia Mecânica), em 
qualquer ponto da trajetória é sempre constante. “ .constUM = 
finalMinicialM UU = ; ∑ ∑∑∑ +=+ 'U'TUT PP 
7) Potência de uma Força ou de um Torque 
dt
dE
dt
dP =τ= ; vF
dt
rdF
dt
dP
rrr
r
⋅=⋅=τ= ; ω⋅τ=θ⋅τ=τ= dt
d
dt
dP ; 
dissipadaútiltotal EEE += ; rendimento: 
total
útil
total
útil
E
E
P
P ==η ; 
10 ≤η≥ 
 
10.6 - Exercícios 
Resolvidos 
 
Energia Cinética e Trabalho 
 
10.1*) Os quatro corpos da figura estão ligados entre 
si por uma corda. Sabendo que a massa do disco A é 
de 12 kg e raio rA = 0,8 m, das roldanas B e C é 3 kg 
com raios de 0,4 m, e do bloco D é 15 kg. Sabendo-se 
que o bloco B neste instante tem velocidade de 1,2 
m/s e não há escorregamentos, determine a energia 
cinética total do sistema. Sabe-se que o momento de 
inércia de um disco como A, B ou C é IG = m r2/2. 
 
 
 
 
 
 
 
10.2*) O alçapão da figura no piso de uma casa tem 
massa de 3 kg e está submetido a um binário ou 
torque τ = 80 N.m constante e no sentido anti-horário 
e uma força F de 120 N aplicada sempre 
perpendicularmente ao alçapão na sua extremidade 
de abertura D. Uma mola que desliza livremente na 
sua extremidade de rolete B, está fixa em C, ficando 
sempre na verticall à medida em que se abre o 
alçapão. A mola possui uma constanteelástica k = 50 
N/m e comprimento natural de 0,5 m. 
Determine o trabalho total realizado por todas as 
forças agindo no alçapão quando este gira da posição 
horizontal com θ = 0 até a posição vertical quando θ= 
90°. 
 
 
 
 
A 
B 
C 
D 
P 
F 
τ 
A 
B 
CG D
 2 m 
 1,5 m 0,5 m 
 0,8 m 
Solução: Trabalho do Peso P: O peso sobe de 1 m com 3 kg x 9,8 
(m/s2 ) = 29,4 N ; UP = -29,4 J; 
Trabalho do Binário τ constante: Uτ = 80 N.m x π/2 = 125,7 J ; 
Trabalho da Força da mola Fs : 
Com θ=0 s = 0,3m e com θ= 90°, s= 1,8m ; UFs = - ( ½ 50x1,82 – ½ 
50x0,32 ) = -78,75 J ; 
Trabalho da Força F: a medida que o alçapão se desloca faz um 
quarto de circunferência percorrendo uma distância 2 π r / 4 = 
3,1416: UF = 120x3,1416 = 377 J; As forças no pino A não 
executam trabalho porque não sofreram deslocamento. 
Trabalho resultante ou Trabalho Total: 
U = - 29,4 + 125,7 – 78,75 + 377 = 395 J 
 
Solução: smrv AAA /5,18,0/2,1/ ===ω 
smrv BBCB /34,0/2,1/ ===ω=ω 
 
TA = mA vA2 / 2 + IG ωA2 /2=12 x (1,2)2 / 2 + ( 12 x 0,82 /2) 1,52 /2= 13,0 J 
TB = TC = IG ωB2 /2 = (3 x 0,42 / 2) 32 /2= 1,08 J 
TD = mD vD2 / 2 = 15 x (1,2)2 / 2 = 10,8 J 
 
T = TA + TB + TC + TD = 26,0 J 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 Cap. 10 
 
193
 
Princípio Trabalho-Energia: 
 
10.3*) O disco de massa 20 kg da figura, gira em 
torno de um eixo fixo onde age uma força F = 30 N 
através da corda de massa desprezível e um torque 
na direção de rotação do disco de 10 N.m. Determine 
o numero de revoluções dadas pelo disco, desde o 
momento em que ele parte do repouso até atingir uma 
velocidade angular de 80 rad/s. O momento de inércia 
de um disco é ½ mr2 . 
 
 
 
10.4*) O pêndulo da figura consiste em uma barra 
delgada de 5 m de massa m1 = 25 kg, ligada na 
beirada de um disco de raio r = 0,5 m e massa m2 = 
50 kg. Se o sistema está inicialmente na posição 
horizontal, como na figura, é solto a partir do repouso 
e está submetido a um torque constante τ = 100 
(N.m), determine: (a) a velocidade angular após o 
pêndulo ter girado um ângulo de (a) 90° e (b) 180° a 
partir da posição inicial. O movimento ocorre 
unicamente no plano da figura. Obs.: O momento de 
inércia de uma barra delgada para girá-la em torno do centro 
de massa (G1) vale 2m
12
1 l e para girá-la em torno de uma 
extremidade (A) é 2m
3
1 l . O momento de inércia de um 
disco para girá-lo em torno de um eixo perpendicular (G2) ao 
seu centro de massa é 2rm
2
1
. O teorema dos eixos 
paralelos para transferir o momento de inércia do eixo do 
centro de massa até outro eixo paralelo é 
2
AGGA dmII += 
 
 
 
 
 
10.6 - Exercícios 
Propostos 
 
 
10.5) Dado o eixo de giro A, fixo, que está no centro 
de um carretel, possuindo massa 50 kg, raio maior 5 
m e raio menor 3 m. Com a finalidade de desenrolar 
16 m de corda aplicando sobre ela uma força 
constante de 25 N,, determine a velocidade angular 
do carretel ao final dos 16 m de corda desenrolada. O 
raio de giração do carretel é de 1,5 m. 
Resp.: ω = 2,67 rad / s 
 
 
 
 
10.6) O carretel da figura tem sua corda enrolada e é 
puxada com uma Força constante de 200 N. Se o 
carretel inicialmente estiver em repouso, determine a 
velocidade angular no momento em que um 
comprimento de corda de 5 m for desenrolado. 
Despreze o peso da porção de corda desenrolada. A 
massa da bobina e corda é de 90 kg e o raio de 
giração em relação ao eixo central da bobina é kG = 
3,2 m. Resp.: ω = 1,47 rad/s 
 
 
 
 
 
10.7) Uma força F = 150 N é aplicada a um cabo em 
uma bobina fixa de 100 kg de massa como mostra a 
figura. A massa do cabo que se desenrola é 
desprezível e a bobina gira sem atrito. Sendo o raio 
interno da bobina 0,8 m, o raio externo 1,4 m, e o raio 
de giração do conjunto para girá-la em torno do centro 
de massa G, kG = 0,9m, (a) determine a velocidade 
angular da bobina, após 4 voltas completas, partindo 
do repouso pelo método das Equações do 
Movimento. (b) Calcule a mesma velocidade angular 
da bobina após 4 voltas completas, através do 
Método: Princípio Energia-Trabalho. 
Resp.: sradk /63,8
rr =ω 
 
F 
5m 
3m 
ω
G
y 
x 
A 
3 m 
5 m 
25 N 
ω
F = 30 N 
M = 10 N.m 
r =0,4 m 
Solução: ∑ =+ → 2211 TUT ; 
repouso: T1 = 0 ; T2 = (½ mr2 ) 802 / 2 = 5120 J ; 
∑ →21U = τ θ + Fs =10 θ + 30 θ 0,4 = 22 θ . Aplicando 
o Princípio Trabalho-Energia: 
0 + 22 θ = 5120 ⇒ θ = 233 rad = 233 / 2 π = 37 rev 
G1 
A 
τ=100(N.m) 0,5 m
5 m 
G2 
Solução: Princípio Energia-Trabalho (PET): ∑ =+ → 2211 TUT : 
(a) 
2211
22
AG2
2
2
22
1 hgmhgm'dmrm2
1
2
1'm
3
1
2
1 ++ω⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ω⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=θτ l 
5,5x8,9x505,2x8,9x25'5,5x505,0x50
2
1
2
1'5x25
3
1
2
1
2
100 22222 −−ω⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ω⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=π
26955,612'25,756'1041,157 22 −−ω+ω= ⇒ )s/rad(01,2
4,860
3465' ==ω 
(b) 2'860314 ω= ⇒ )s/rad(604,0
4,860
314' ==ω 
 
 Cap. 10 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 
 
 
194 
 
 
 
 
 
 
10.8) Uma força F = 250 N é aplicada a um cabo em 
uma bobina (carretel) fixa de 200 kg de massa como 
mostra a figura. A massa do cabo que se desenrola é 
desprezível e o carretel gira sem atrito. Sendo que o 
raio interno da bobina é 0,5 m, seu raio externo 1,2 m, 
e o raio de giração do conjunto para girá-lo em torno 
do centro de massa G, kG = 0,7m. (a) Determine a 
velocidade angular da bobina, após 3 voltas 
completas da bobina, partindo do repouso pelo 
Método das Equações Dinâmicas do Movimento. (b) 
Calcule a mesma velocidade angular da bobina após 
3 voltas completas, através do método Princípio 
Energia-Trabalho. 
Resp.: sradk /93,6
rr −=ω 
 
 
 
 
10.9) Um ioiô é abandonado do repouso da mão do 
operador e desce aumentando sua velocidade 
angular. Determine o espaço que o ioiô desce para 
que sua velocidade angular atinja o valor de 60 rad/s. 
A massa do ioiô é de 0,300 kg, seu raio até o cordão 
que o mantém é r = 0,02 m, sendo seu raio de 
giração, para fazê-lo girar em torno de seu centro de 
massa G, kG = 0,06 m. Resp.: s = 0,735 m 
 
 
 
 
 
10.10) (2,5 ptos – Energia e Trabalho ) A figura mostra um 
martelo pendular, de peso 60 lb e raio de giração kA = 
3,5 ft que desce da posição horizontal, à 0°, a qual 
se encontra, até a posição vertical à 90°. Sabendo-se 
que ele é lançado da horizontal com uma velocidade 
angular inicial ωo = 2 rad/s, determine: (a) a 
velocidade angular final, ωB do pêndulo, um instante 
antes dele bater em B; (b) Determine a velocidade 
linear da extremidade E do pêndulo no momento da 
colisão com o ponto B, sabendo-se que a extremidade 
E fica a uma distância AE= 4 ft do ponto de giro A. 
Resp. s/ft0,16Ev)b(;s/rad01,4 ==ω 
 
 
 
 
10.11) A figura mostra um martelo pendular, de 
massa m = 5 kg e raio de giração kA = 9 m, que 
desce da posição horizontal em θ = 0°, a qual se 
encontra, até a posição diagonal em θ = 60° no 
momento em que colide com a peça BC. Sabendo-se 
que ele é lançado da horizontal com uma velocidade 
angular inicial ωo = 3 rad/s, determine: (a) a 
velocidade angular do martelo para θ = 60°, AEωr ; (b) 
Determine a velocidade linear da extremidade E do 
pêndulo no momento da colisão com o ponto C, 
sabendo-se que a extremidade E fica a uma distância 
AE= 11 m do ponto de giro A. 
Resp.: )s/rad(k27,3AE
rr −=ω ; )s/m(j0,18i1,30vE
rrr −−= 
 
 
A 
3 ft ω0 
G 
y 
x z 
B 
E 
θ 
F = 250N
y
z x
0,5 m 
1,2 m 
F = 150 N 
y
z x
1,4 m 
0,8 m 
r 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 Cap. 10 
 
195
 
 
 
 
 
 
10.12) Um tambor de massa m = 4 kg, raio r = 1,5 m 
e raio de giração kG = 1,2 m, está ligado a um motor 
de torque constante τ = 20 N.m no sentido horário. 
No momento em que o motor é ligado, t=0, o tambor 
está girando com velocidade angular inicial ω0 = 6 
rad/s, também no sentido horário, fazendo descer um 
corpo A, de massa 5 kg, através de seu cabo ligado à 
periferia do tambor. Determine a velocidade do corpo 
A após ele ter descido de uma distância de 8 m, a 
partir do instante inicial em que se ligou o motor. 
Resp.: vA = 14,6 m/s ↓ 
 
 
 
 
 
 
 
10.13) Uma barra delgada fixa em uma das 
extremidades, ponto A, tem densidade linear λ = 2,25 
kg / m e pode girar livremente ao redor do ponto A 
fixo. Quando ela se encontra na posição vertical é 
aplicada sobre ela um torque τ = 20 N.m, constante, 
no sentido horário e uma força F= 8 N, que se 
mantém perpendicular à barra e na sua extremidade, 
de valor constante ao longo de toda a trajetória, como 
mostra a figura. Sabendo-se que a velocidade angular 
inicial da barra na posição da figura é ω1 = 3 (rad/s). 
Determine a velocidade angular ω’ da barra no 
momento em que ela se encontra na posição (a) a 90° 
da sua posição inicial ; (b) a 360° da sua posição 
inicial. Obs.: o momento de inércia de uma barra 
delgada para girá-la pelo centro de massa G é 
2
G m12
1I l= e para girá-la em torno de uma 
extremidade é 2A m3
1I l= . 
Resp.: (a) para θ=90°: )s/rad(25,2'=ω ; (b) para θ=360°: 
)s/rad(76,4'=ω 
 
 
 
 
10.14) O elevador E tem massa mE = 900 kg e um 
contrapeso C de massa mC = 1500 kg. A polia 
superior A, possui um motor que é acionado com um 
torque τ = 300 N.m constante. As massas das polias 
valem mA = mB = 100 kg, possuem raio rA = rB = 0,40 
m e seus raios de giração em relação ao centro de 
massa é kA = kB = 0,32 m. Desprezando a massa do 
cabo e considerando que o cabo não escorrega nas 
polias, determinar após o elevador ter subido 
continuamente 10 m: (a) a velocidade do elevador 
Ev
r
; (b) a velocidade angular das polias, ωr . 
Resp.: (a) )s/m(j24,7vE
rr = ; (b) )s/rad(k1,18
rr −=ω 
 
 
 
 
 
A 
8 m ω0 
G 
B 
E 
θ=60° 
G 
E 
C 
ω
y
x z 
4 m G 
A 
B
F 
τ 
A
y
xz
E
C
B
A
τA 
8 m 
vA0 
ω0 τ=20 N.m 
r 
G 
y 
x z 
 
 Cap. 10 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 10 - Energia e Trabalho - 10ª Edição - 2008 
 
 
196 
10.15) O sistema da figura possui: duas barras finas, 
cada uma com comprimento 2 m e com massa m = 10 
kg, interligadas pelo ponto B, fazendo com a 
horizontal um ângulo de 45° e com momento de 
inércia em relação a G IG = (1/12) m ℓ 2; uma mola de 
constante elástica k = 6 (N/m), que na posição da 
figura se encontra não distendida; e um disco de raio r 
= 0,5 m e massa 15 kg com momento de inércia IG = 
(1/2) m r2 , e que rola sem escorregar. No instante da 
figura o arranjo é solto a partir do repouso. 
Determinar a velocidade angular da barra AB no 
instante em que o ângulo θ = 0º. 
Resp.: (a) )s/rad(17,3=ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.16) Uma esfera de massa m = 8 kg e raio R= 0,3 
m, encontra-se presa a uma mola de constante 
elástica k = 200 (N/m) num plano inclinado de 40° 
com a horizontal. Os dois, mola e esfera, se 
encontram em equilíbrio inicial, sendo que pelo centro 
da esfera passa um eixo que se liga à mola. Então é 
aplicada à esfera, em torno de seu centro G, e 
perpendicular ao plano mostrado na figura, um torque 
de valor constante e igual à τ = 12 kg.m2. A esfera 
possui momento de inércia em relação ao seu centro 
de massa IG = (2/5) m r2 . No movimento de descida 
da esfera e sabendo-se que ela desce sem 
escorregar, determinar: (a) o módulo da velocidade da 
esfera após o seu centro de massa G descer no plano 
inclinado de 0,2 m; (b) Qual a distância plano abaixo, 
que a esfera desce até parar. 
Resp.: (a) )s/m(59,1vG = ;(b) m904,0d = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.17) De uma polia A na horizontal de raio rA = 0,5 m 
e massa mA = 9 kg, sai um cabo que passa por uma 
polia B na vertical de raio rB = 0,3 m e massa mB = 5 
kg que se liga a uma carga suspensa de massa mC = 
4 kg. Considere que não há escorregamento dos 
cabos nas polias, despreze a massa do cabo e que 
as polias são discos finos, que para girá-los em torno 
do seu eixo central, com momento de inércia 
2
G rm)2/1(I = . Determine, após o bloco descer de 
uma altura h de 2 m: (a) a velocidade do bloco; (b) a 
velocidade angular da polia A ; (c) a velocidade 
angular da polia B. Resp.:(a) )s/m(j78,3vb
r−= ; 
(b) )s/rad(j55,7A
r=ω ; (c)
 
)s/rad(k6,12B
r−=ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h
rA 
rB
C
)m/N(6k = 
45° 
2 m 2 m 
A
B 
C 
)m.N(12=τ
40°