APRESENTACAO DA AULA 5

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CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica
Aula 5: Formas de representação da reta
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Conteúdo desta aula
Equação vetorial
 da reta
1
Equações paramétricas
da reta
2
Equações simétricas 
da reta
3
Equações reduzidas 
da reta
4
PRÓXIMOS 
PASSOS
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Equação Vetorial da Reta
Equação que é capaz de gerar todos os pontos pertencentes à reta e utiliza:
• um vetor para especificar a direção da reta (vetor diretor).
Formas de representação da reta
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Formas de representação da reta
vetor diretor: define infinitas retas paralelas.
Equação Vetorial da Reta
Equação que é capaz de gerar todos os pontos pertencentes à reta e utiliza:
• um vetor para especificar a direção da reta (vetor diretor).
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Equação que é capaz de gerar todos os pontos pertencentes à reta e utiliza:
• um vetor para especificar a direção da reta (vetor diretor);
• um ponto conhecido pertencente à reta. 
 
Formas de representação da reta
ponto da reta: apenas uma das retas passa por ele.
Equação Vetorial da Reta
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Equação que é capaz de gerar todos os pontos pertencentes à reta e utiliza:
• um vetor para especificar a direção da reta (vetor diretor);
• um ponto conhecido pertencente à reta; 
• o produto do vetor por um escalar para atingir qualquer ponto da reta a partir 
do ponto conhecido.
Formas de representação da reta
A(x1,y1,z1) – ponto conhecido
P(x1,y1,z1) – ponto qualquer
Equação Vetorial da Reta
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Considerando o ponto A(x1, y1 e z1) e o vetor v=(a,b,c), não nulo, 
existe somente uma reta que passa pelo ponto e tem a direção do vetor. 
Formas de representação da reta
A(x1,y1,z1) – ponto conhecido
P(x1,y1,z1) – ponto qualquer
Equação Vetorial da Reta
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Um ponto qualquer P(x,y,z), pertencente a esta reta pode ser determinado 
através do vetor AP, que vai do ponto conhecido até o ponto desejado.
Formas de representação da reta
A(x1,y1,z1) – ponto conhecido
P(x1,y1,z1) – ponto qualquer
Equação Vetorial da Reta
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
P = A + t v
(x,y,z) = (x1, y1, z1) + t (a, b, c)
onde P é um ponto qualquer da reta, A é um ponto conhecido e v é o vetor diretor.
Formas de representação da reta
A(x1,y1,z1) – ponto conhecido
P(x1,y1,z1) – ponto qualquer
Equação Vetorial da Reta
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
P = A + t v
Existe um escalar t que, multiplicado por v, define o vetor AP.
Formas de representação da reta
A(x1,y1,z1) – ponto conhecido
P(x1,y1,z1) – ponto qualquer
Equação Vetorial da Reta
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Equações Paramétricas da Reta: obtidas a partir da eq. Vetorial, separando as coordenadas.
Formas de representação da reta
A(x1,y1,z1) – ponto conhecido
P(x1,y1,z1) – ponto qualquer
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Equações Simétricas da Reta: obtidas a partir da equações paramétricas, isolando o parâmetro t.
Formas de representação da reta
A(x1,y1,z1) – ponto conhecido
P(x1,y1,z1) – ponto qualquer
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Equações Reduzidas da Reta: obtidas a partir das equações simétricas, expressando 
duas variáveis em função de uma terceira.
Formas de representação da reta
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
Formas de representação da reta
Equações Reduzidas da Reta: obtidas a partir das equações simétricas, expressando 
duas variáveis em função de uma terceira.
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Formas de representação da reta
Equações Reduzidas da Reta: obtidas a partir das equações simétricas, expressando 
duas variáveis em função de uma terceira.
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Formas de representação da reta
y=mx+n z=px+q
Equações Reduzidas da Reta: obtidas a partir das equações simétricas, expressando 
duas variáveis em função de uma terceira.
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Formas de representação da reta
Equação vetorial: (x,y,z) = (3,0,-5)+t(2,2,-1)
• Como encontrar um ponto pertencente à reta?
Basta atribuir um valor qualquer para t e calcular (x,y,z).
• Como saber se um ponto fornecido pertence à reta?
Basta substituir as coordenadas do ponto fornecido em (x,y,z) e 
calcular o valor de t, que deve ser único para todas as coordenadas.
Se não for possível, o ponto não pertence à reta.
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Formas de representação da reta
Equações paramétricas:
• Como encontrar um ponto pertencente à reta?
Basta atribuir um valor qualquer para t (igual nas 3 equações) e calcular 
(x,y,z).
• Como saber se um ponto fornecido pertence à reta?
Basta substituir as coordenadas do ponto fornecido em (x,y,z) e 
calcular o valor de t, que deve ser único para todas as coordenadas.
Se não for possível, o ponto não pertence à reta.
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Formas de representação da reta
Equações simétricas:
• Como encontrar um ponto pertencente à reta?
Basta atribuir um valor qualquer para t e calcular (x,y,z)
ou atribuir um valor inicial para x, y ou z e encontrar os outros.
• Como saber se um ponto fornecido pertence à reta?
Basta substituir as coordenadas do ponto fornecido em (x,y,z) e 
calcular o valor de t, que deve ser único para todas as coordenadas.
Se não for possível, o ponto não pertence à reta.
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AULA 5: Formas de representação da reta
Formas de representação da reta
Equações reduzidas (em função de x):
y = 2(x-3)/2 y = x-3 
Z+5 = -1(x-3)/2 z = -5 + (3-x)/2 z = (-7-x)/2
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 5: Formas de representação da reta
Formas de representação da reta
Equações reduzidas:
• Como encontrar um ponto pertencente à reta?
Basta atribuir um valor qualquer para x, y ou z e encontrar os outros.
• Como saber se um ponto fornecido pertence à reta?
Basta substituir as coordenadas do ponto fornecido em (x,y,z) e 
verificar se as equações são atendidas.
y = x-3 
z = (-7-x)/2
Assuntos da próxima aula:
1. Prática de equação vetorial da reta;
2. Prática de equações paramétricas da reta;
3. Prática de equações simétricas da reta;
4. Prática de equações reduzidas da reta.
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