Centro de Massa

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Centro de Massa
O CM é o ponto no qual podemos
considerar que toda a massa de um corpo
estivesse concentrada nele.
Algumas propriedades de centro de massa.
http://paws.kettering.edu/~drussell/Demos/COM/com-a.html
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=
12436
Importante 
1.- Se consideramos um objeto colocado perto da terra, ou seja, se 
consideramos campo gravitacional uniforme então o centro de 
massa (C.M.) e o centro de gravidade (C.G.) coincidem.
2.- Para objetos com distribuição de massa uniforme, o centro
de massa sempre esta num centro de simetria, ou eixo de simetria,
ou plano de simetria. 
Para objetos com distribuição
de massa não homogêneo
O centro de massa (C.M.) se
encontra perto das partes onde
tem maior densidade de massa
Experimento para
determinar a posição
do centro de massa
de objeto plano.
Equilíbrio estático
Equilíbrio em relação ao ponto de apoio ou base de apoio.
Equ. estável Equ. instável Equibrio
indiferente
http://www.youtube.com/watch?v=CjAVfKFuPa8&feature=related
coordenadas do centro de massa
(objetos unidimensionais)
Onde: 
xC.M. posição do centro de massa
m1, m2,  massas dos objetos no sistema
x1,, x2 coordenadas dos objetos.
m1 m2
x1
x2
21
2211
. .
mm
xmxm
x MC



m1 m2
m3
321
332211
.
321
332211
.
.
.
mmm
ymymym
y
mmm
xmxmxm
x
MC
MC






. CM
Coordenadas do C.M do sistema : (xC.M, yC.M) 
.
Em geral: 









D
D
D
D
CM
i
i
i
ii
CM
Di
i
dv
dvr
dv
dmr
r
m
rm
r
dvm
 
 
 dmMt Mt
D




Mt: massa total.
rcm:= coordenadas do centro da massa.
D














D
D
D
D
D
D
D
D
CM
D
D
D
D
CM
dv
dvz
dv
dmz
z
dv
dvy
dv
dmy
xy
dv
dvx
dv
dmx
xx
 
 
,
 
 
 
 








dv: elemento de volume
ρ: densidade local do objeto, ρ=ρ(x,y,z)
Exemplo 1: Determine as coordenadas do centro de massa do
triangulo retângulo (de densidade uniforme) de lados h e b (figura 
seguinte)
Coordenadas do centro de massa em componentes
y
x
h
b
Exemplo 2 : determine a posição da
centroide da lamina metálica 
homogênea do lado, as medidas 
estão em cm. 
Quando o objeto tem 
densidade uniforme então
o centro de massa vira uma
propriedade geométrica,
indepente da massa, logo
ela se chama centróide
Exemplo 3: Calcular as coordenadas do centro de massa
de uma lamina semi-circular de radio R e de densidade constante.
Exercício 1: Uma lamina metálica quadrada limitada por
-2≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4 tem como densidade ρ=y+|x|. Determine
as coordenadas do centro de massa.
Exercício 2: Determine a posição do centro de massa de um
solido em forma de cone reto de altura H e base circular R.
Considere solido homogêneo (ou seja, densidade uniforme).
Exercício 3: determine a posição do centro de massa de uma 
superfície semi-esférica de radio R, centrada na origem.
Algumas aplicações
Torre de Pisa
A torre foi erguida entre 1173 e o final do
século XIII, sobre um solo instável chamado
Campo dos Milagres.
Foram injetadas quase cem
toneladas de argamassa no
solo e o que se viu foi uma
inclinação ainda maior.
A solução parece ser a retirada
de terra da parte norte da torre
para que a inclinação diminua,
pois tem sido feito com êxito.
Experimento
Por que a torre não cai?
Até que ponto a torre fica em 
equilíbrio?
?
?
?
?
Por isso abrimos 
mais as pernas 
quando andamos de 
ônibus ou metrô!!!
Para nos estabilizar
Para que um objeto tenha equilíbrio é
necessário que a projeção de seu centro de
massa intercepte a sua base de apoio.
Projeção do 
centro de massa
Projeção da base