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MATRIZ 
 Matriz 
 Podemos dizer que uma matriz é uma tabela com 
colunas (vertical) e linhas (horizontal). 
Então chamamos de matriz toda tabela m x n 
sendo que m e n podem assumir qualquer valor 
natural menos o zero. Sendo que m é o número 
de linhas e n o número de colunas. 
Para representar uma matriz devemos colocar 
as linhas e colunas entre parênteses, chaves 
ou entre duas barras duplas, veja alguns 
exemplos: 
 
 
 
 
Observe que em cada matriz dos exemplos acima tem ao lado indicando o 
número de linhas e o de colunas da matriz, o primeiro exemplo esta 
indicado 2 x 3 que lê assim a matriz é de ordem dois por três. 
E cada número pertencente a uma matriz é o seu elemento. 
Se pegarmos uma matriz qualquer de ordem m x n, como iríamos 
representá-la? 
Cada elemento de uma matriz pertence a uma linha e uma coluna. Dada 
a matriz de ordem 3 x 2: 
 
O elemento - 5 pertence a 1ª linha e a 1ª 
coluna. 
O elemento 2 pertence a 2ª linha e 2ª 
coluna. 
 Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2 
onde não temos seus elementos definidos, 
representamos da seguinte forma: 
a11 ; a21 ; a12 ; a22 são elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e 
duas colunas). 
Então o elemento a21 pertence a 2ª linha e 1º 
coluna. 
 Exemplo: 
Escreva a matriz A = (a 
A matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos 
escrevê-la assim: i j)2 x 3 tal que ai j = 2i 
+ j. 
 Agora os números que ocuparam o lugar de: a11, a21, 
a12, a22, a13 e a23, irão depender da equação dada 
no enunciado: ai j = 2i + j. 
Então iremos calcular cada elemento sabendo que: 
i é a linha que o elemento pertence. 
j é a coluna que o elemento pertence. 
 
a11 = 2 . 1 + 1 a21 = 2 . 2 + 1 
a11 = 3 a21 = 5 
 
a12 = 2 . 1 + 2 a22 = 2 . 2 + 2 
a12 = 4 a22 = 6 
a13 = 2 . 1 + 3 a23 = 2 . 2 + 3 
a13= 5 a23 = 7 
 
Então os elementos que pertencem a matriz A 
são: 
TIPOS DE MATRIZES 
 Matriz linha 
É toda matriz do tipo 1xn(n ∈ R*). 
 
 
 Observe os exemplos: 
 
MATRIZ COLUNA 
 É toda matriz do tipo mx1(m R*). 
MATRIZ QUADRADA 
 É Toda matriz quadrada possui duas diagonais: 
• A principal, composta por elementos aij 
tais que i=j, isto é: 
 
 
 
 Toda matriz cujo numero de linhas é igual ao 
numero de colunas. Assim, chamamos matriz 
quadrada de ordem n toda matriz do tipo n x 
n. Exemplos: 
 
 • A secundária, em que os elementos aij são 
tais que, i+j = n+1. veja como são as 
diagonais de uma matriz quadrada do tipo 3×3. 
 
MATRIZ NULA 
 : É toda matriz do tipo m x n cujos elementos 
são todos nulos. Para indicar uma matriz nula 
utiliza-s a notação: 
 
MATRIZ DIAGONAL 
 É toda matriz quadrada em que os elementos 
não pertencentes à diagonal principal são 
todos nulos. Por exemplo: 
 
MATRIZ TRANSPOSTA (AT) 
 Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m. 
 
Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A 
corresponde à 2ª coluna de At. 
MATRIZ DIAGONAL 
 É uma matriz quadrada onde aij = 0, para i j, 
isto é, os elementos que não estão na 
diagonal principal são nulos. 
 
MATRIZ SIMÉTRICA 
 matriz quadrada de ordem n tal que A = At . 
Por exemplo, 
 
é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, 
temos sempre a ij = a ij. 
MATRIZ OPOSTA 
 matriz -A obtida a partir de A trocando-se o 
sinal de todos os elementos de A. 
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 Igualdade de Matrizes 
 
 Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de 
mesma ordem, são iguais se, e somente se, aij 
= bij. 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES 
 A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e B = 
(bij)mxn de mesma ordem é uma matriz C = (aij)mxn 
tal que C = aij + bij. 
 
 A subtração de matrizes é dada pela sentença: 
 A + B = C 
EXEMPLOS 
 
Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo 
tipo 
 
PRODUTO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ 
 Se é um número real, o produto desse número 
por uma matriz A = (aij)mxn é uma matriz B = 
(bij)mxn tal que bij = . aij 
PRODUTO DE MATRIZES 
 
Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, 
o produto da matriz A pela matriz B, nesta 
ordem, somente será possível quando o número 
de colunas da matriz A for igual ao número de 
linhas da matriz B. 
 
A matriz produto (A x B)mxn terá número de linhas de A e número de 
colunas de B. 
 Os elementos da matriz produto são obtidos 
multiplicando-se cada elemento das linhas da 
matriz A pelo correspondente elemento das 
colunas da matriz B e adicionando os produtos 
obtidos. 
 
 Vamos multiplicar a matriz 
para entender como se obtém cada Cij: 
1ª LINHA E 1ª COLUNA 
 
1ª LINHA E 2ª COLUNA 
 
2ª LINHA E 1ª COLUNA 
 
2ª LINHA E 2ª COLUNA 
 
 Assim , 
 Observe que: 
 
 Portanto , A, ou seja, para a multiplicação de matrizes 
não vale a propriedade comutativa. 
 VEJAMOS OUTRO EXEMPLO COM AS MATRIZES 
 Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o 
número de colunas de A for igual ao número de linhas de B: 
 
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de 
colunas de B(n): 
 
 
 
 
Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5 
Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto 
Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1