AP2 CI 2012 1 gab

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – CA´LCULO 1 – 10/06/2012
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsa´vel;
Questa˜o 1 [3 pontos]
Calcule a derivada de cada uma das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = arctg (x2 − 2)
(b) f(x) =
(3x+ 1
2− x2
)4
(c) f(x) = (1 + e2x) cos (x3 − 1)
Soluc¸a˜o.
(a) f ′(x) =
2x
x4 − 4x2 + 5
(b) f ′(x) =
(12x2 + 8x+ 24) (3x+ 1)3
(2− x2)5
(c) f ′(x) = 2 e2x cos (x3 − 1)− 3x2 (1 + e2x) sen (x3 − 1)
Questa˜o 2 [2 pontos]
Seja f(x) = 2x5 + 4x3 + x− 6.
(a) Verifique que f satisfaz as hipo´teses do Teorema da Func¸a˜o Inversa em R;
(b) Aplique o Teorema da Func¸a˜o Inversa para determinar (f−1)′(f(x)), para todo x ∈ R.
Soluc¸a˜o.
(a) Temos que:
• f e´ deriva´vel em R com f ′(x) = 10x4 + 12x2 + 1, para todo x ∈ R;
• f e´ crescente em R, visto que f ′(x) = 10x4 + 12x2 + 1 > 0, para todo x ∈ R;
• f ′(x) = 10x4 + 12x2 + 1 6= 0, para todo x ∈ R.
(b) Como visto em (a), todas as hipo´teses do Teorema da Func¸a˜o Inversa sa˜o satisfeitas. Logo,
(f−1)′(f(x)) =
1
f ′(x)
=
1
10x4 + 12x2 + 1
, para todo x ∈ R.
CA´LCULO 1 AP2 2
Questa˜o 3 [2 pontos]
A empresa Tesouro Brasil Ltda. produz determinado produto e vende-o a um prec¸o unita´rio de 13
reais. Estima-se que o custo total para produzir e vender q unidades e´ dado por:
c = q3 − 3q2 + 4q + 2.
Supondo que toda a produc¸a˜o seja absorvida pelo mercado consumidor, determine a quantidade que
devera´ ser produzida para se obter lucro ma´ximo.
Soluc¸a˜o.
Se L denota o lucro obtido, temos que:
L = 13q − c = 13q − (q3 − 3q2 + 4q + 2) ⇒ L(q) = −q3 + 3q2 + 9q − 2.
Da´ı,
L′(q) = −3q2 + 6q + 9 = −3(q − 3)(q + 1) = 0 ⇔ q = 3 ou q = −1.
Logo,
L′′(q) = −6q + 6 ⇒ L′′(3) = −12 < 0.
Portanto, a func¸a˜o lucro L possui um ma´ximo absoluto em q = 3.
Questa˜o 4 [3 pontos]
Considere a func¸a˜o f(x) = x3 − 3x2. Determine:
(a) os intervalos onde f e´ crescente e onde f e´ decrescente;
(b) os intervalos onde o gra´fico de f tem concavidade voltada para cima e onde o gra´fico de f tem
concavidade voltada para baixo;
(c) os pontos de inflexa˜o, se existirem, do gra´fico de f .
Finalmente, fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o.
(a) Temos que f ′(x) = 3x2 − 6x, para todo x ∈ R. Logo,
• f ′(x) > 0 ⇔ 3x2 − 6x > 0 ⇔ x < 0 ou x > 2;
• f ′(x) < 0 ⇔ 3x2 − 6x < 0 ⇔ 0 < x < 2.
Assim, f e´ crescente nos intervalos (−∞, 0) e (2,+∞) e e´ decrescente no intervalo (0, 2).
(b) Temos que f ′′(x) = 6x− 6, para todo x ∈ R. Da´ı,
• f ′′(x) > 0 ⇔ 6x− 6 > 0 ⇔ x > 1;
• f ′′(x) < 0 ⇔ 6x− 6 < 0 ⇔ x < 1.
Portanto, o gra´fico de f tem concavidade voltada para cima no intervalo (1,+∞) e tem
concavidade voltada para baixo no intervalo (−∞, 1).
(c) De (a), temos que f ′(1) = −3 e, da´ı, o gra´fico de f possui reta tangente em (1, f(1)); de
(b), temos que f ′′(x) < 0 se x ∈ (−∞, 1) e f ′′(x) > 0 se x ∈ (1,+∞). Portanto, o ponto
(1, f(1)) = (1,−2) e´ o u´nico ponto de inflexa˜o do gra´fico de f .
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CA´LCULO 1 AP2 3
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