Fenômenos de Transporte II

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Fenômenos de 
Transporte II
Revisão de conceitos
 Regime Permanente : estado no qual as propriedades em uma dada seção do
escoamento não se alteram com o decorrer do tempo, além disto, se se tem
um reservatório no estudo, o nível do fluido nele permanece constante na
condição de escoamento em regime permanente
 As propriedades do fluido podem variar de ponto a ponto desde que não
variem com o tempo.
 Propriedades :
 Velocidade.
 Massa Específica.
 Pressão.
Revisão de conceitos
 Equação de Continuidade : Em condição de Regime permanente toda a 
quantidade de massa de fluido que entra por uma seção do escoamento 
deve ser idêntica à quantidade que sai por outra seção qualquer. 
 Balanço de massas ou de vazão em massa
𝑄𝑚1 = 𝑄𝑚2
𝜌1𝐴1𝑣1 = 𝜌2𝐴2𝑣2
 A vazão de um fluido incompressível é a mesma em qualquer seção do 
escoamento
𝑄1 = 𝑄2
𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2
Equação de energia em regime 
permanente
 Tendo em conta:
 A Equação de Continuidade 
 Que a energia não se cria nem se destrói apenas se transforma
 Balanço de energia num escoamento 
 Vai se fazer o estudo num caso particular em regime permanente: 
 Equação de Bernoulli 
Tipos de Energia
 Energia Potencial 𝐸𝑝: Associada à altura
𝐸𝑝 = 𝑚𝑔𝑧
 Energia Cinética 𝐸𝑐: Associada ao movimento 
𝐸𝑐 =
𝑚𝑣2
2
 Energia de Pressão : Associado às forças de pressão 
𝐸𝑝𝑟 = 
𝑉
𝑝𝑑𝑉
Energia Mecânica Total 
𝐸 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑐 +𝐸𝑝𝑟
𝐸 = 𝑚𝑔𝑧 +
𝑚𝑣2
2
+ 
𝑉
𝑝𝑑𝑉
𝐸 = 𝑚𝑔𝑧 +
𝑚𝑣2
2
+ 𝑚𝑔
𝑝
𝜑
Princípio de Conservação de energia 
 A energia num sistema deve ser igual em qualquer ponto de análise.
z
EP= m.g.z
EC=0
EP= 0
EC=(mv2)/2
Equação de Bernulli
 Utiliza-se a Equação de conservação de energia em diferentes pontos 
do fluido 
 Hipóteses:
 Regime Permanente
 Sem Maquinas no trecho do escoamento
 Sem perdas por atrito no escoamento
 Propriedades uniformes nas seções
 Fluido Incompressível
 Sem trocas de calor 
1
2Z 1
Z 2
Equação de Bernoulli
 Sabendo que a energia de um fluido está definido por: 
𝐸 = 𝑚𝑔𝑧 +
𝑚𝑣2
2
+𝑚𝑔
𝑝
𝜑
 Analisando em dois pontos diferentes 
𝐸1 = 𝐸2
𝑚1𝑔𝑧1+
𝑚1𝑣1
2
2
+𝑚1
𝑝1
𝜑1
= 𝑚2𝑔𝑧2+
𝑚2𝑣2
2
2
+𝑚2
𝑝2
𝜑2
 Sendo o fluido incompressível 𝜑1= 𝜑2 e em regime permanente 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚
𝑧1 +
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑝1
𝜑
= 𝑧2 +
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑝2
𝜑
Equação de Bernoulli
𝑧1 +
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑝1
𝜑
= 𝑧2 +
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑝2
𝜑
 Relaciona :
 Cotas : Cargas de Posição (E. potencial por unidade de peso) 
 Velocidades: cargas de velocidade (E.cinética por unidade de peso)
 Pressões: cargas de pressão (E. de pressão por unidade de peso)
Equação de Bernoulli
 Introduzimos a expressão Carga Total H: Energia total por unidade de Peso
 Com esta notação, a equação de Bernoulli será 
𝐻1 = 𝐻2
 Se, entre duas seções do escoamento, o fluido for incompressível, sem
atritos, e o regime permanente, se não houver máquina nem trocas de calor,
então as cargas totais se manterão constantes em qualquer seção, não
havendo nem ganhos nem perdas de carga.
Fenômenos de 
transporte II (Aula 2)
Aplicações Equação de Bernoulli 
Equação de Bernoulli na presença de maquinas 
Exercícios (Livro Brunette ou similares )
 Determinar a velocidade do jato do liquido no orifício do tanque de 
grandes dimensões da Figura 
 Rta/ v = 2𝑔ℎ
 Se: ℎ = 5𝑚, 𝐴 = 10𝑐𝑚2, ache a vazão de fluido descarregado
Exercícios (Livro Brunette ou similares )
 Determinar a velocidade do jato e a vazão do liquido no orifício do 
tanque de grandes dimensões da Figura 
 Se: ℎ = 3𝑚, 𝐴 = 10𝑐𝑚2, ache a vazão de fluido descarregado
Exercícios (Livro Brunette ou similares )
 Um dos métodos para se produzir vácuo numa câmera é descarregar 
água por um tubo convergente-divergente, como mostrado na figura. 
Qual deve ser a vazão em massa de água pelo tubo para produzir uma 
depressão de 50 cm de mercúrio na câmera? desprezas as perda de 
carga, 𝛾𝐻𝑔 = 1,36×
105𝑁
𝑚3
; 𝑔 = 10
𝑚
𝑠2
; 𝐷1 = 340 𝑚𝑚; 𝐷2 = 10𝑚𝑚
 R/ 𝑄𝑚 = 8,14
𝑘𝑔
𝑠
Equação de Bernoulli na presença de 
uma máquina no escoamento 
 As hipóteses da equação de Bernoulli serão retiradas aos poucos, 
inicialmente vamos supor que há uma máquina no trecho do 
escoamento do Fluido.
 Maquina : Qualquer dispositivo dentro do escoamento que forneça ou 
retire Energia
Bomba (B) Fornece Energia
Turbina (T) Retira Energia
Efeitos de uma máquina na Equação de 
Bernoulli
 Equacao de Bernoulli
𝑧1 +
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑝1
𝜑
= 𝑧2 +
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑝2
𝜑
Se chamamos H à energia por unidade de peso (carga)
𝐻 =
𝑝
𝜑
+
𝑣2
2𝑔
+ 𝑧
 Podemos reescrever a Eq. De Bernoulli como 
𝐻1 = 𝐻2
Se a máquina for uma bomba 
 O sistema recebera energia, para equilibrar :
𝐻1 +𝐻𝐵 = 𝐻2
 Sendo 𝐻𝐵 a energia fornecida pela bomba por unidade de peso. Também se 
denomina carga ou altura manométrica da Bomba 
𝐻2 > 𝐻1
 O sistema recebera energia, para equilibrar :
𝐻1 + 𝐻𝑚 = 𝐻2
 Sendo 
 𝐻𝑚 = 𝐻𝐵 para bombas 
 𝐻𝑚 = −𝐻𝑇 para Turbinas 
De forma Geral
𝐻𝑚 > 0
𝐻𝑚 < 0
M é Bomba
M é Turbina
Potencia fornecida pela máquina: Noção 
de Rendimento 
 Potência do Fluido: Lembrar que a potência é o trabalho pela unidade de tempo, 
Representada por N:
𝑁 =
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑀𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑀𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎
𝑃𝑒𝑠𝑜
∙
𝑝𝑒𝑠𝑜
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
 De equação de Bernoulli : Energia por unidade de peso H (carga)
𝑝𝑒𝑠𝑜
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
= 𝑄𝐺 =
𝐺
𝑡
= 𝜑
𝑣𝑚
𝑡
= 𝜑𝑄
𝑁 = 𝜑𝑄𝐻
𝑁 = 𝜑𝑄𝐻𝐵
𝑁 = 𝜑𝑄𝐻𝑚: 
𝑁 = 𝜑𝑄𝐻𝑇
Rendimento de uma Bomba
 Quando há transmissão de potência  sempre existem perdas 
 Potencia Recebida ou cedida pelo fluido ≠Potencia da Máquina (Potencia do seu 
Eixo)
 Rendimento : Razão entre a Potência recebida pelo fluido e a fornecida pelo eixo 
𝜂𝐵 =
𝑁
𝑁𝐵
→ 𝑁𝐵 =
𝑁
𝜂𝐵
=
𝜑 𝑄 𝐻𝐵
𝜂𝐵
Rendimento de uma Turbina 
 Para uma turbina a energia vai do fluido para a turbina 
 Rendimento : Razão entre a Potência recebida pela turbina e a fornecida pelo 
fluxo
𝜂𝑇 =
𝑁𝑇
𝑁
→ 𝑁𝑇 = 𝑁𝜂𝑇 = 𝜑 𝑄 𝐻𝑇𝜂𝑇
Exemplo
O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água para a atmosfera 
a traves de uma tubulação com vazão de 1 × 10−2𝑚3/𝑠 verificar se a máquina 
instalada é uma bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento é 
75%
Aula 3: Equação de 
Energia em fluidos reais 
Equação de Energia para fluido Real
 Retiramos a hipótese de Fluido ideal: existem atritos internos e perda de 
energia por eles
 A energia 𝐻𝑝1,2 será a energia dissipada (perdida por unidade de peso) e 𝐻1 >
𝐻2, para reestabelecer a igualdade :
𝐻1 = 𝐻2 + 𝐻𝑝1,2
 Se for considerada a presença de uma maquina
 A potência dissipada pelos atritos : 
Exemplo
 Calcular a perda de carga na instalação da figura
 Onde: Potencia da Bomba = 3700 W e o seu rendimento é de 80% 
 Uma bomba deve recalar 0,15 𝑚3/𝑠 de óleo com peso especifico de 7600 
𝑁/𝑚3 para um reservatório C, se a perda de carga de (A) para (1) seja 2,5m e 
de (2) para (C) de 6m determinar sua potência se o seu rendimento é75%
Instalação de Recalque 
 Toda instalação hidráulica que transporta o fluido de uma cota inferior para 
uma conta superior. 
 O escoamento é viabilizado pela presença de uma Bomba hidráulica, a bomba 
fornece Energia ao fluido : e por unidade de peso essa energiaé 𝐻𝐵.
 Duas seções :
 Tubulação de sucção: Antes da Bomba
 Tubulação de recalque : Após a Bomba
Instalação de Recalque 
Instalação de Recalque 
Aula 4: Equação de 
Energia para diversas 
entradas e saídas
Diversas entradas e saídas 
 Regime permanente, fluido incompressível e sem troca de calor
 
𝑒
𝐸 = 
𝑠
𝐸
E=Energia, e= entradas, s= saídas 
Diversas entradas e saídas 
 Colocamos a equação em forma de potência:
 𝑒𝐸
𝑡
=
 𝑠𝐸
𝑡
 
𝑒
𝑁 = 
𝑠
𝑁
Lembrando que a potência de um fluido é : 𝑁 = 𝜑𝑄𝐻
E que a carga 
𝐻 =
𝑝
𝜑
+
𝑣2
2𝑔
+ 𝑧
Diversas entradas e saídas 
 Por tanto a equação de conservação de energia para um sistema com 
múltiplas entradas e saídas será:
 
𝑒
𝜑𝑄𝐻 = 
𝑠
𝜑𝑄𝐻
 
𝑒
𝜑𝑄
𝑝
𝜑
+
𝑣2
2𝑔
+ 𝑧 = 
𝑠
𝜑𝑄
𝑝
𝜑
+
𝑣2
2𝑔
+ 𝑧
Diversas entradas e saídas 
 No sistema da figura os reservatórios são de grandes dimensões, o X alimenta 
o sistema com 20𝐿/𝑠 e o Y é alimentado pelo sistema com 7,5𝐿/𝑠 . A potência 
da bomba é de 2KW e o seu rendimento 80%. Todas as tubulações tem 62mm 
de diâmetro. Pede-se:
a) A Vazão no ponto (2)
b) a cota h referente ao centro da bomba
Velocidade não uniforme 
 A hipótese inicial : Escoamento uniforme, mas devido ao princípio de
aderência dos fluidos esta hipótese não se cumpre para sistemas reais.
 Ao retirar esta hipótese o termo afetado, na equação de conservação de
energia será aquele referente à energia cinética.
𝑣2
2𝑔
Velocidade não uniforme 
 A utilização da velocidade média requer de um termo de correção.
 Para determinar aquele termo de correção estudamos uma porção
infinitesimal do fluido, escoando durante um temo dt
Determinação do coeficiente de energia 
cinética 
 Define-se um termo de Fluxo de Energia Cinetica (Energia cinética numa
seção por unidade de tempo):
𝐶 =
𝐸𝐶
𝑡
, 𝑐𝑜𝑚 𝐸𝑐 =
1
2
𝑚𝑣2
 Num intervalo de tempo 𝑑𝑡
𝑑𝐶 =
1
2
𝑑𝑚𝑣2
𝑑𝑡
 Lembrando as definições de Vazão de massa através de uma secção
transversal 𝑑𝐴 num tempo 𝑑𝑡, e de Vazão de volume :
𝑑𝑄𝑚 =
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝑑𝜌𝑄 = 𝜌𝑣𝑑𝐴
Determinação do coeficiente de energia 
cinética 
 O fluxo de energia cinética será:
𝑑𝐶 =
1
2
𝜌𝑣𝑑𝐴 𝑣2
𝑑𝐶 =
𝜌
2
𝑣3𝑑𝐴
 Para achar o fluxo em toda a seção, integra-se pela área
𝐶 = 
𝜌
2
𝑣3𝑑𝐴 ≠
𝜌
2
𝑣𝑚
3 𝑑𝐴
 Para obter a igualdade, precisa-se introduzir um coeficiente de correção 𝜶
Determinação do coeficiente de energia 
cinética 
 𝛼 se denomina Coeficiente de Energia Cinetica .
 Se introduze na equação anterior obtendo:
𝐶 = 
𝜌
2
𝑣3𝑑𝐴 = 𝜶
𝜌
2
𝑣𝑚
3𝑑𝐴
 𝛼 será :
𝛼 =
1
𝐴
 
𝑣3
𝑣𝑚
3
𝑑𝐴
 Na equação de Bernoulli utiliza-se a energia por unidade de peso:
𝐸𝑐
𝐺
=
𝐶𝑡
𝐺
=
𝐶
𝑄𝐺
= 𝛼
𝑣𝑚
2
2𝑔
A Equação de conservação de energia para 
fluidos reais, em presença de máquinas e 
com escoamento não uniforme 
𝛼1
𝑣𝑚1
2
2𝑔
+
𝑝1
𝛾
+ 𝑧1 +𝐻𝑀 = 𝛼2
𝑣𝑚2
2
2𝑔
+
𝑝2
𝛾
+ 𝑧2 +𝐻𝑝1,2
Aula 6: Equação da 
Quantidade de 
Movimento 
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO PARA REGIME PERMANENTE
 Até agora foi analisado o fluido pelo balanço de massa e 
energia com as equações de continuidade e de 
conservação. 
 Em alguns casos é importante determinar as forças que 
agem num corpo sólido quando em contato com fluidos 
em movimento: Utiliza-se a formula de Quantidade de 
Movimento e essas forças são denominadas forças 
dinâmicas 
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO PARA REGIME PERMANENTE
 É a equação da segunda lei de Newton : Modificada para o 
estudo de fluidos.
 Para que uma massa varie de velocidade em módulo e/ou 
direção é necessária uma força (por exemplo um corpo 
sólido em contato com um fluido em movimento)
 Pelo princípio de ação/reação se uma superfície aplica 
força num fluido, este também aplica força na superfície 
com a mesma magnitude mas em sentido contrario 
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO PARA REGIME PERMANENTE
 Os anteriores fatos permitem a dedução da equação de 
quantidade de movimento 
 Vetorial 
 Se a massa é constante 
 Como 𝑝 = 𝑚 𝑣 = Quantidade de movimento:
A força resultante que age no sistema em estudo, e igual à variação 
com o tempo da quantidade de movimento do sistema
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO PARA REGIME PERMANENTE
 1. definir o sistema : tubo de corrente com a hipótese de 
regime permanente (as propriedades nos pontos no varia no 
decorrer do tempo, mas podem variar de ponto a ponto)
 2. supor escoamento permanente
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO PARA REGIME PERMANENTE
 3. Estabelecer as forças que agem no sistema
 4. Colocar em forma de Força resultante com todas as
componentes e lembrar que a força resultante é igual a
variação da quantidade de movimento no sistema no tempo
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO PARA REGIME PERMANENTE
 No instante de tempo dt: 
 Como temos regime permanente : 
∆𝑝 = 𝑑𝑚2𝑣2 − 𝑑𝑚1𝑣1
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO PARA REGIME PERMANENTE
 Analisemos as forças que atuam nosso fluido entre as seções (1) e (2) :
1. 𝑮: Força Peso: A massa de fluido dentro do volume de controle tem
um peso atuando na direção da gravidade. (peso especifico x volume)
2. 𝑭𝒑𝟏 e 𝑭𝒑𝟐: Forças de pressão nos extremos: a pressão do fluido cria
uma força de pressão em cada cara 𝐹𝑝 = 𝑝. 𝐴. Assumindo a convenção
de normais da Figura tem-se :
𝑭𝒑𝟏 = −𝒑𝟏𝑨𝟏𝒏𝟏 ;𝑭𝒑𝟐 = −𝒑𝟐𝑨𝟐𝒏𝟐
3. 𝐹𝑠
′: Força de pressão e cisalhamento nas paredes
 𝐹𝑠
′: Força de pressão e cisalhamento nas paredes:
𝐹𝑝𝑙𝑎𝑡 = 𝑝𝑙𝑎𝑡𝐴𝑛
𝐹𝜏 = 𝜏𝐴
 A força em toda a área :
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO PARA REGIME PERMANENTE
 Finalmente em todo o sistema teremos as Forças :
 A força resultante que age no fluido :
 𝐹 = 𝐹𝑝1 + 𝐹𝑝2 + 𝐺 + 𝐹𝑠
′
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO PARA REGIME PERMANENTE
 Além tínhamos deduzido que a força resultante em função
da quantidade de movimento é:
 𝐹 = 𝐹𝑝1+ 𝐹𝑝2+ 𝐺 + 𝐹𝑠
′
 Igualando temos que as forças
𝑄𝑚∆ 𝑣 = 𝐹𝑝1+ 𝐹𝑝2+ 𝐺 + 𝐹𝑠
′
A força que as laterais exerce no fluido :
𝐹𝑠
′ = −𝐹𝑝1 − 𝐹𝑝2 + 𝑄𝑚∆ 𝑣 − 𝐺
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO PARA REGIME PERMANENTE
 A força que o fluido exerce no recipiente:
𝐹𝑠 = −𝐹𝑠
′
 Desprezando o peso (pratica comum mas não é regra)
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO PARA REGIME PERMANENTE
 Aplicação 1: Conduto com redução gradual da seção 
 Considerações:
 Eixos
 Fluido Incompressível
 Propriedades Uniformes
 Regime Permanente
Utilização da Equação de Quantidade de 
Movimento 
Queremos por exemplo achar a
componente horizontal do esforço
do fluido no conduto:
Para o trecho (1)-(2):
Projetando na direção x:
 Aplicação 2: Redução de seção e mudança de direção 
Utilização da Equação de Quantidade de 
Movimento 
 Aplicação 3: Desviador de jato fixo ou Pá 
Utilização da Equação de Quantidade de 
Movimento 
 Aplicação 4: Jato incidindo numa placa plana:
Suponha que o jato ao incidir nas placas verticais é espalhado uniformemente nas 
duas direções então na direção x: 
Utilização da Equação de Quantidade de 
Movimento 
Aula 7: Equação de 
quantidade de 
Movimento 
Continuação 
Forças em Superfícies solidas em 
movimento 
 Considerando só movimentos retilíneos e uniformes dos sólidos,então só 
temos que ter em conta o movimento respeito um eixo de referência dentro 
do sólido em movimento (consideramos então de novo sólido em repouso) e 
depois será analisada a velocidade no eixo de referência inercial 
Forças em Superfícies solidas em 
movimento 
𝑉𝑎𝑏𝑠 = 𝑢 + 𝑣𝑠
 𝑉𝑎𝑏𝑠= Velocidade em relação ao sistema inercial
 𝑢 = Velocidade relativa (referente ao sistema móvel)
 𝑣𝑠= Velocidade da origem do sistema fixo na superfície em movimento 
Forças em Superfícies solidas em 
movimento 
𝑉𝑎𝑏𝑠 = 𝑢 + 𝑣𝑠
 A força do desviador contra o jato é função da velocidade relativa.
 Se o desviador tem uma velocidade maior do jato: Força Nula
 Se o desviador estiver quieto a força é maior que se ele se afasta com uma 
velocidade 
 No caso atual :
 𝑄𝑚 = 𝜌𝑣𝐴 Vazão em massa que sai do bocal, mas a superfície sólida é atingida por 
uma vazão aparente.
Exemplo
 d
Exemplo
Equação da quantidade de Movimento para 
diversas entradas e saídas em regime 
permanente 
 Lembrando que a vazão em massa em cada seção é diferente 
Exemplo 
Exemplo
Aula 8 : analise 
dimensional e 
semelhança 
Análise Dimensional 
 Devido à complexidade dos métodos analíticos envolvidos em sistemas
reais de fluidos existem métodos experimentais que permitem a
criação de modelos. A análise dimensional é uma técnica que permite
tirar melhores resultados experimentais quando aplicada a mecânica
dos fluidos. A teoria da semelhança é desenvolvida a partir da análise
dimensional.
Grandezas Fundamentais e Derivadas:
 Grandezas Fundamentais : se expressam por si só, são
independentes
 Grandezas Derivadas: precisam das grandezas fundamentais para ser
definidas
 A escolha geral : ou
 Nesta aula será escolhido FLT
FLT
Força 
Comprimento 
Tempo
MLT
Massa
Comprimento 
Tempo
Grandezas Fundamentais e Derivadas:
 Equação Dimensional: equação que relaciona grandezas derivadas
com grandezas fundamentais. É constituída por produto de potências
das grandezas fundamentais
 Exemplo:
 Velocidade
 Aceleração
𝑋 é uma grandeza Trata-se como variável
Equação Dimensional de X
𝑣 =
𝑠
𝑡
𝑣 =
𝐿
𝑇
= 𝐿𝑇−1
𝑎 =
𝑣
𝑡
𝑎 =
𝑣
𝑡
=
𝐿
𝑇 ∙ 𝑇
=
𝐿
𝑇2
= 𝐿𝑇−2
𝑋 = 𝐹𝛼 ∙ 𝐿𝛽 ∙ 𝑇𝛾
Exercícios
 Achar a equação dimensional em FLT de:
 Área (𝐴)
 Volume (𝑉)
 Massa (𝑀)
 Massa especifica (𝜌)
 Peso especifico (𝛾)
 Viscosidade Dinâmica (𝜇)
 Viscosidade Cinemática (𝜈)
Exercícios
 Achar a equação dimensional em FLT de:
 Área (𝐴)
 Volume (𝑉)
 Massa (𝑚)
 Massa especifica (𝜌)
 Peso especifico (𝛾)
 Viscosidade Dinâmica (𝜇)
 Viscosidade Cinemática (𝜈)
𝐴 = 𝐿2
𝑉 = 𝐿3
𝑚 = 𝐹𝐿−1𝑇2
𝜌 = 𝐹𝐿−4𝑇2
𝛾 = 𝐹𝐿−3
𝜇 = 𝐹𝐿−2𝑇
𝜈 = 𝐿2𝑇−1
Números adimensionais ou número 𝜋
 São aqueles números que não dependem de nenhuma grandeza fundamental. 
Ou seja que na equação dimensional os exponentes são zero
 Por exemplo o número de Reynolds 
𝑅𝑒 =
𝜌 ∙ 𝑣 ∙ 𝐷
𝜇
𝑅𝑒 =
𝜌 ∙ 𝑣 ∙ 𝐷
𝜇
Importância dos números adimensionais 
na pesquisa 
 Suponha que quer achar a força de resistência ao avanço no seguinte sistema 
(força de arrasto ou arraste)
 Experimentalmente o pesquisador descobriu que esta força depende do 
diâmetro e da velocidade da esfera, como também da densidade do fluido e 
de sua viscosidade dinâmica.
Importância dos números adimensionais 
na pesquisa 
 Os resultados experimentais produzem uma serie de gráficos 
Importância dos números adimensionais 
na pesquisa 
 Para evitar as dificuldades, suponha que existem dois números adimensionais
 Por enquanto não é necessário provar como foram obtidos, mas note que os 
dois números tem as variáveis do problema.
 Como utilizar. Com só a variação da velocidade v e medindo os resultados de 
F, podem-se tabelar tanto 𝜋1 como 𝜋2, para cada 𝜋1existe um 𝜋2 resultando 
num diagrama 𝜋1= Φ𝜋2
Diagrama Universal
Exemplo
Teoremas dos 𝜋 (ou de Buckingham)
 Só enunciado e não demonstrado
Teoremas dos 𝜋
 Os primeiros r fatores dos adimensionais são chamados base das grandezas 
envolvidas no fenômeno
 As grandezas base devem ser independentes
 Por exemplo:
Teoremas dos 𝜋
 Exemplo 1:
Teoremas dos 𝜋
Teoremas dos 𝜋
Teoremas dos 𝜋
Teoremas dos 𝜋
 Exemplo 2
Teoremas dos 𝜋
Números adimensionais importantes 
 Número de Reynolds Re:
 Número Euler Eu: 
Números adimensionais importantes 
 Número de Froude Fr:
 Número Match 𝓜