Caderno do Professor Matemática 2009 3ªSérie EM Volume 2

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caderno do
PROFESSOR
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Em
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ensino médio
volume 2 – 2009
3a- SÉRiE
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São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
 Caderno do professor: matemática, ensino médio - 3ª- série, volume 2 / 
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos 
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José 
Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
 ISBN 978-85-7849-298-4
 1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. 
II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. 
Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
 CDU: 373.5:51
S239c
Governador
José Serra
Vice-Governador
Alberto Goldman
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias 
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TéCNiCA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas 
Pedagógicas
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais 
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* 
deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
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Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos 
dos Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton 
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu 
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, 
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva, 
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e 
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza 
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, 
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina 
Schrijnemaekers 
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo 
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene 
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta 
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, 
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso 
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina 
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, 
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida 
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria 
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo 
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, 
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, 
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, 
Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã 
Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de 
Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de 
Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira 
e Yassuko Hosoume
Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de 
Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença 
de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, 
Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda 
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, 
Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e 
Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, 
Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana 
Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, 
Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira 
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, 
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet 
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, 
José Luís Marques López Landeira e João Henrique 
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos 
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz 
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério 
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e 
Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de 
Felice Murrie 
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de 
Carvalho, Beatriz Blay, Eliane Yambanis, Heloisa 
Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, 
Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo 
Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, 
Pepita Prata, Ruy César Pietropaolo, Solange 
Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, 
Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design 
(projeto gráfico)
APOiO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da 
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Esdeva Indústria Gráfica
Prezado(a) professor(a),
Vinte e cinco anos depois de haver aceito o convite do nosso saudoso e querido 
Governador Franco Montoro para gerir a Educação no Estado de São Paulo, nova-
mente assumo a nossa Secretaria da Educação, convocado agora pelo Governador 
José Serra. Apesar da notória mudança na cor dos cabelos, que os vinte e cinco anos 
não negam, o que permanece imutável é o meu entusiasmo para abraçar novamente a 
causa da Educação no Estado de São Paulo. Entusiasmo alicerçado na visão de que 
a Educação é o único caminho para construirmos um país melhor e mais justo, com 
oportunidades para todos, e na convicção de que é possível realizar grandes mudanças 
nesta área a partir da ação do poder público.
Nos anos 1980, o nosso maior desafio era criar oportunidades de educação para todas 
as crianças. No período, tivemos de construir uma escola nova por dia, uma sala de aula 
a cada três horas para dar conta da demanda. Aliás, até recentemente, todas as políticas 
recomendadas para melhorar a qualidade do ensino concentravam-se nas condições de 
ensino, com a expectativa de que viessem a produzir os efeitos desejados na aprendiza-
gem dos alunos. No Brasil e em São Paulo, em particular, apesar de não termos atingido 
as condições ideais em relação aos meios para desenvolvermos um bom ensino, o fato é 
que estamos melhor do que há dez ou doze anos em todos esses quesitos. Entretanto, os 
indicadores de desempenho dos alunos não têm evoluído na mesma proporção.
O grande desafio que hoje enfrentamos é justamente esse: melhorar a qualidade 
de nossa educação pública medida pelos indicadores de proficiência dos alunos. Não 
estamos sós neste particular. A maioria dos países, inclusive os mais desenvolvidos, es-
tão lidando com o mesmo tipo de situação. O PresidenteBarack Obama, dos Estados 
Unidos, dedicou um dos seus primeiros discursos após a posse para destacar exata-
mente esse mesmo desafio em relação à educação pública em seu país. 
Melhorar esses indicadores, porém, não é tarefa de presidentes, governadores ou 
secretários. É dos professores em sala de aula no trabalho diário com os seus alunos. 
Este material que hoje lhe oferecemos busca ajudá-lo nesta sua missão. Foi elaborado 
com a ajuda de especialistas e está organizado em bimestres. O Caderno do Professor 
oferece orientação completa para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem 
propostas para cada disciplina. 
Espero que este material lhe seja útil e que você leve em consideração as orientações 
didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer suas 
dúvidas e acatar suas sugestões para melhorar a eficácia deste trabalho. 
Alcançarmos melhores indicadores de qualidade em nosso ensino é uma questão 
de honra para todos nós. Juntos, haveremos de conduzir nossas crianças e jovens a um 
mundo de melhores oportunidades por meio da educação.
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
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4
SuMário
São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado 5
Ficha do Caderno 7
orientação geral sobre os Cadernos 8
Situações de Aprendizagem 13
Situação de Aprendizagem 1 – A equação de 3º- grau e o aparecimento natural dos 
números complexos 13
Situação de Aprendizagem 2 – Das fórmulas à análise qualitativa: relações entre 
coeficientes e raízes 21
Situação de Aprendizagem 3 – Equações e polinômios: divisão por x – k e redução 
do grau da equação 26
Situação de Aprendizagem 4 – Números complexos: representação no plano e 
significado das operações (translações, rotações, ampliações) 35
Orientações para Recuperação 50
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão 
do tema 51
Considerações finais 52
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 53
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5
São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA 
CurriCulAr PArA o EStAdo
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do 
Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fun-
damental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão 
também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas 
durante a primeira fase de implantação da proposta.
Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida 
das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto 
na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e suges-
tões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam 
ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los. 
A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição. 
Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de sig-
nificados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e 
consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o 
que estava sendo proposto.
Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas 
para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia 
esse processo.
Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação 
da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único, 
gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.
Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no 
contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia 
escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da 
aprendizagem e de seus resultados. 
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Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva, 
na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, reve-
lando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas 
e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Edu-
cação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e 
recursos didáticos.
Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de 
São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das 
ações propostas para a construção de uma escola melhor.
O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que 
acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a 
em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será 
apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi 
alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos 
Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.
Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para 
que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo 
este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que 
pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade 
a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever 
esse sucesso, que também é de vocês. 
Bom ano letivo de trabalho a todos!
Maria inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
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7
FiCHA do CAdErno
Equações, polinômios, complexos: uma história cheia de significado em que as 
fórmulas não são tudo
 nome da disciplina: Matemática
 área: Matemática
 Etapa da educação básica: Ensino Médio
 Série: 3ª-
 Período letivo: 2º- bimestre de 2009
 temas e conteúdos: Equações algébricas: história e significado
 Equações como perguntas e expansões nos 
conjuntos numéricos
 Noções sobre números complexos
 Equações algébricas e polinômios
 Das fórmulas à abordagem qualitativa; 
relações entre coeficientes e raízes 
de equações
 Operações com polinômios – algoritmo de 
Briot-Ruffini
 Números complexos
 Representação no plano
 Significado das operações com complexos
 Transformações no plano complexo 
e aplicações
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oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS
Os temas escolhidos para compor o conteú-
do disciplinar de cada bimestre não se afastam, 
de maneira geral, do que é usualmente ensinado 
nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros 
didáticos. As inovações pretendidas referem-se 
à maneira de abordagem dos mesmos, sugerida 
ao longo dos Cadernos de cada um dos bimes-
tres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os 
princípios norteadores do presente currículo, 
destacando-se a contextualização dos conteú-
dos, as competências pessoais envolvidas, es-
pecialmente as relacionadas com a leitura e a 
escrita matemática, bem como os elementos 
culturais internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão 
organizados em oito unidades de extensões 
aproximadamente iguais, que podem cor-
responder a oito semanas de trabalho letivo. 
De acordo com o número de aulas disponí-
veis por semana, o professor explorará cada 
assunto com mais ou menos aprofundamen-
to, ou seja, escolherá uma escala adequadapara o tratamento do mesmo. A critério do 
professor, em cada situação específica, o tema 
correspondente a uma das unidades pode ser 
estendido para mais de uma semana, enquan-
to o de outra unidade pode ser tratado de 
modo mais simplificado. 
É desejável que o professor tente contem-
plar todas as oito unidades, uma vez que, 
juntas, compõem um panorama do conteúdo 
do bimestre, e, muitas vezes, uma das unida-
des contribui para a compreensão das outras. 
Insistimos, no entanto, no fato de que somente 
o professor, em sua circunstância particular, e 
levando em consideração seu interesse e o dos 
alunos pelos temas apresentados, pode deter-
minar adequadamente quanto tempo dedicar a 
cada uma das unidades. 
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas, 
além de uma visão panorâmica do conteúdo 
do bimestre, quatro Situações de Aprendiza-
gem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a ma-
neira de abordagem sugerida, instrumentando 
o professor para sua ação em sala de aula. As 
atividades são independentes, e podem ser ex-
ploradas pelos professores com mais ou menos 
intensidade, segundo seu interesse e de sua clas-
se. Naturalmente, em razão das limitações no 
espaço dos Cadernos, nem todas as unidades 
foram contempladas com Situações de Apren-
dizagem, mas a expectativa é de que a forma 
de abordagem dos temas seja explicitada nas 
atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Cader-
no, sempre que possível, materiais disponíveis 
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em 
sintonia com a maneira de abordagem proposta, 
que podem ser utilizados pelo professor para o 
enriquecimento de suas aulas. 
Compõem o Caderno ainda algumas consi-
derações sobre a avaliação a ser realizada, bem 
como o conteúdo considerado indispensável ao 
desenvolvimento das competências esperadas 
no presente bimestre.
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Matemática - 3a série - Volume 2
Conteúdos básicos do bimestre
O conteúdo básico do 2o bimestre da 3a série 
é Equações Algébricas, Polinômios e Números 
Complexos. Os três temas entrelaçam-se conti-
nuamente, ao longo da História. Como se sabe, 
uma equação sempre corresponde a uma per-
gunta, sempre envolve algo desconhecido, uma 
incógnita, e sempre está associada à solução de 
algum problema. Equacionar um problema é 
justamente traduzir a pergunta que ele repre-
senta por meio de uma equação.
No Ensino Fundamental, sobretudo nas 
séries finais, já foram apresentados aos alunos 
diversos problemas, em diferentes contextos, 
cuja solução conduz a equações do primei-
ro e do segundo graus. Já sabemos resolver 
equações de 1º- grau (ax + b = 0, com a ≠ 0) 
e de 2º- grau (ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0). 
Trata-se agora de enfrentar equações cor-
respondentes a situações um pouco mais en-
redadas, que conduzem a equações de 3º- grau 
(ax3 + bx2 + cx + d = 0, com a ≠ 0), de 4º- grau 
(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, com a ≠ 0), de 
5º- grau (ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0, com 
a ≠ 0), e assim por diante. Tal é o conteúdo das 
Unidades 1 e 2. 
A história da busca de soluções para tais 
equações, chamadas equações algébricas, é 
muito instrutiva. Com base nela, compreen-
demos mais facilmente as sucessivas amplia-
ções nos conjuntos numéricos, dos números 
naturais até os números complexos, que via-
bilizam a atribuição de significado à raiz qua-
drada de um número negativo. Aprendemos 
também com a história que, com as equações de 
3º- grau, a busca por uma fórmula envolvendo 
radicais que nos forneça as raízes, do mesmo 
tipo da que nos dá as soluções de uma equa-
ção de 2º- grau (x
b b ac
a
= ± −–
2 4
2
), não cos-
tuma ser o melhor caminho para resolver as 
equações de graus 3 e 4, e é um caminho in-
viável, impossível de ser trilhado, para equa-
ções de grau maior ou igual a 5. O caminho 
mais conveniente, nesses casos, é uma análi-
se qualitativa da pergunta que cada equação 
representa, extraindo da própria pergunta 
informações relevantes sobre as raízes. Apren-
deremos com a história, portanto, que é mui-
to importante sempre, e é decisivo em muitos 
casos, pensar efetivamente em um problema 
como se pensa em uma pergunta, aprendendo 
a examiná-la criticamente com a intenção de 
chegar à sua resposta. Mais do que qualquer 
intenção de ensinar técnicas de solução, nos-
so objetivo aqui é a plena compreensão desse 
fato. Uma apresentação das ideias fundamen-
tais da história das equações algébricas será 
feita na Situação de Aprendizagem 1. 
Avançando um pouco mais, o significado 
da análise qualitativa de uma equação algé-
brica estará presente nas Unidades 3 e 4. 
Tanto as relações entre os coeficientes do po-
linômio P(x) e as raízes da equação P(x) = 0, 
quanto o fato de que, conhecendo-se uma raiz 
x = k da equação P(x) = 0, conseguimos redu-
zir sua solução à de uma equação de grau uma 
unidade menor, e assim por diante, são explo-
rados nas Situações de Aprendizagem 2 e 3, 
cor respondentes a essas unidades. Serão en-
trelaçados em atividades os dois resultados 
seguin tes, que expressam basicamente o mes-
mo fato: “x = k é raiz da equação P(x) = 0” é 
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10
equivalente a “o polinômio P(x) pode ser fato-
rado e escrito na forma (x – k) . Q(x), em que 
Q(x) é um polinômio de grau uma unidade 
menor que P(x)”. Até esse ponto, vários fatos 
terão sido reunidos a respeito das raízes da 
equação P(x) = 0, sendo P(x) um polinômio. 
Relações entre coeficientes e raízes, possíveis 
raízes inteiras, fatoração de P(x) e diminuição 
no grau da equação, entre outros, poderão ser 
resumidos na Unidade 5.
A partir da Unidade 6, os números com-
plexos entram em cena mais diretamente. 
Como no caso das equações, a ênfase tam-
bém não será posta nos cálculos algébricos, 
mas sim no significado de tais números, de 
aparência inicialmente estranha, mas que 
conduzem a uma notável expansão dos con-
juntos numéricos já conhecidos. As múlti plas 
possibilidades da representação geométrica 
de um número complexo z, que tem como 
imagem um ponto no plano, como um par 
(x; y) de números reais, ou escrito na forma 
z = x + yi. Assim, como a reta foi necessária e 
suficiente para acolher todos os números 
reais, racionais e irracionais, veremos que, 
com a expansão do campo numérico para 
incluir números que possam ser raízes qua-
dradas de negativos, será necessário (e sufi-
ciente) todo o plano cartesiano, que servirá 
de inspiração para a construção do plano 
complexo, suporte para a representação de 
todos os números complexos. A unidade 
imaginária i, que representa o novo número 
cujo quadrado dá –1, serve de padrão para 
a representação no eixo vertical de núme-
ros como 2i, 6i, 7i, – 4i, etc.
Em sintonia com tal representação, vere-
mos que o valor absoluto de um complexo z 
é |z| = x y
2 2+ , e mede a distância, no plano 
complexo, da imagem de z à origem do siste-
ma de coordenadas. O ângulo que a reta de-
terminada pela origem e a imagem de z forma 
com o eixo x (medido no sentido anti-horá-
rio) é o argumento de z, representado por θ. 
As aproximações com a geometria analítica 
plana serão naturais: por exemplo, o conjun-
to de pontos do plano que representam com-
plexos de módulo constante, digamos, |z| = 5, 
é a circunferência x2 + y2 = 25.
Plano Complexo
eixo Imaginário
eixo Real
y
x
i
z = x + yi
|z| = 5
|z|
1
Plano Cartesiano
eixo Y
eixo X
y
x
P (x:y)
x2 + y2 = 25
1
1
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11Matemática - 3a série - Volume 2
O significado das operações com números 
complexos será explicitado nas Unidades 7 e 8. 
Veremos em tais unidades que as operações 
com complexos correspondem à realização 
de certos movimentos no plano.
Por exemplo, se a um complexo z for so-
mado o número real 4, sua representação no 
plano será deslocada na direção do eixo x de 
4 unidades; se a z for somado o número ima-
ginário 3i, sua representação será deslocada 
na direção do eixo y de 3 unidades; se a z for 
somado o número 4 + 3i, sua representação 
sofrerá um deslocamento horizontal (eixo 
Real) de 4 unidades, seguido de um vertical 
(eixo Imaginário) de 3 unidades, ou seja, o 
deslocamento de z terá valor igual ao mó- 
dulo do complexo 4 + 3i, que é igual a 5, na 
direção determinada pela origem e a repre-
sentação deste complexo. Ao multiplicar o 
complexo z pelo real 5, mostraremos que z 
permanece com o mesmo argumento (ângu-
lo com o eixo x) mas a distância de z até a 
origem fica multiplicada por 5; se multipli-
carmos z por i, o módulo de z permanecerá 
o mesmo e seu argumento aumentará de π
2
; 
já se multiplicarmos z por 5i, os dois efeitos 
são combinados: aumenta a distância até a 
origem, ao mesmo tempo que o argumento 
aumenta de π
2
.
eixo Imaginário
eixo Real
z + 4 + 3i
z + 4
3z
z . i
|z|
|z|
z 
z + 3i
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12
A exploração de tais movimentos na ima-
gem de z, decorrentes de operações realizadas 
sobre z, torna o estudo dos números comple-
xos especialmente significativo, abrindo ca-
minho para um grande número de aplicações 
práticas dos mesmos. Tal é o conteúdo da Si-
tuação de Aprendizagem 4.
De modo geral, ao longo das oito unidades 
do bimestre, a ênfase será dada ao significado 
de cada equação como uma pergunta, de cada 
raiz como uma resposta, de cada complexo 
como um ponto do plano, de cada operação 
realizada sobre ele como uma transformação 
em sua imagem no plano. 
Desde as seções iniciais, o exercício da 
compreensão leitora encontra-se presente em 
todas as etapas do texto. Os cálculos a serem 
efetuados ao longo da resolução das equa-
ções são sempre acompanhados de um texto 
explicativo, o que pode alongar um pouco o 
percurso, mas esperamos que o torne mais 
significativo. Afinal, aprender Matemática 
também significa desenvolver a capacidade 
de expressão na leitura e na escrita, ao lado 
das habilidades de cálculo.
Sinteticamente, as oito unidades que com-
põem o presente bimestre são apresentadas 
a seguir.
Quadro geral de conteúdos 
do 2º- bimestre da 3ª- série 
do Ensino Médio
unidade 1 – Equações algébricas de 
graus 1, 2, 3, 4, 5, ...; história, fórmulas. 
unidade 2 – A raiz quadrada de um núme-
ro negativo e o conjunto dos complexos. 
unidade 3 – Das fórmulas à abordagem 
qualitativa: relações entre coeficientes 
e raízes.
unidade 4 – Equações e polinômios; 
operações com polinômios; divisão de 
um polinômio por x – k.
unidade 5 – Síntese de resultados sobre 
a resolução de equações algébricas de 
qualquer grau.
unidade 6 – Números complexos; repre-
sentação no plano; relações com Geo metria 
Analítica.
unidade 7 – Significado das operações 
com números complexos; translações, 
rotações, ampliações.
unidade 8 – Transformações no plano 
complexo; exercícios simples.
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Matemática - 3a série - Volume 2
SituAçõES dE APrEndizAGEM
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 
A EQUAçãO DE 3º- GRAU E O APARECIMENTO NATURAL 
DOS NÚMEROS COMPLEXOS
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: equações como perguntas; expansões nos conjuntos numéricos; história 
das equações algébricas: a passagem das equações de 2o grau (com fórmulas resolutivas) 
para as equações de grau superior, em que elas podem não existir; primeiras noções sobre 
números complexos.
Competências e habilidades: compreender a representação de perguntas por equações; compreen-
der a importância do deslocamento das atenções da busca por fórmulas para a análise qualita-
tiva de situações-problema.
Estratégias: recorrer à história das equações algébricas para apresentar aos alunos a abor-
dagem qualitativa das equações; explorar por meio de exercícios os fatos fundamentais 
sobre equações.
roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 1
um pouco da história das equações
A história das equações pode ser apresen-
tada pelo professor para despertar nos alu-
nos interesse sincero pela maneira como a 
Matemática é construída. Como se sabe, uma 
equação sempre representa uma pergunta en-
volvendo algum elemento desconhecido, uma 
incógnita. Resolver a equação é descobrir tal 
incógnita. Equações de 1o grau, ou seja, da 
forma ax + b = 0 (a ≠ 0), traduzem a pergunta 
“Qual é o número x que multiplicado por a e 
somado com b dá zero?”. A resposta é única 
e a raiz da equação é x = – b
a
, ou seja, x é o 
simétrico do quociente de b por a. Já vimos 
que muitos problemas práticos envolvendo 
grandezas diretamente proporcionais recaem 
em equações de 1o grau.
As equações de 2o grau possuem a forma 
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) também podem ser com-
pletamente resolvidas, obtendo-se uma fórmula 
para as raízes: x
b b ac
a
= − ± −
2 4
2
. Quando o 
discriminante ∆ = b2 – 4ac é positivo, a equa-
ção tem duas raízes distintas; quando ∆ = 0, 
as duas raí zes são iguais; e quando ∆ < 0, então 
a equação não tem raízes reais, uma vez que 
não é possível extrair a raiz quadrada de um 
número negativo.
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Na 8ª série do Ensino Fundamental e na 
1ª- série do Ensino Médio, tais equações já fo-
ram estudadas, referidas a diversos contextos. 
O estudo das equações de 3o grau, na 
forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0), histo-
ricamente, seguiu pelo mesmo caminho: 
buscava-se uma fórmula, envolvendo radicais, 
que expressasse as raízes. No século XVI, os 
italianos Tartaglia e Cardano, entre outros, 
propuseram caminhos que conduziam a tal fór-
mula. Nunca, no entanto, o uso sistemático da 
mesma se consolidou, e poucos são os que es-
tudam Matemática sem serem especialistas no 
tema, que a conhecem, muito diferentemente do 
caso das equações de 2o grau, em que a fór mula 
de Bhaskara é amplamente conhecida. Sinte-
ticamente, o caminho seguido por Tartaglia 
e Cardano era:
Dividindo-se todos os coeficientes por a, a equação
ax f 3 + bx2 + cx + d = 0
pode ser transformada na forma equivalente 
x f 3 + bx2 + Cx + d = 0, onde B = 
b
a
 , C = 
c
a
 , D = 
d
a
.
Fazendo-se x = y – 
B
3
 (o denominador 3 corresponde ao grau da equação), a equação x3 + Bx2 + 
Cx + D = 0 pode ser reduzida a y3 + My + n = 0, onde M e N podem ser determinados em termos de 
B, C e D (o que será explicado mais adiante, na Atividade 3).
Assim, para resolver uma equação completa de 3o grau, basta resolver a equação incompleta 
y3 + My + n = 0 (o que será feito mais adiante, na Atividade 4), encontrando-se:
y = –
n
2
+
n
4
+
M
27
2 3
3 f + –
n
2
–
n
4
+
M
27
2 3
3 .
Logo, como x = y – 
B
3
 , obtemos os valores de x em termos de a, b, c e d.
Para equações de 4o grau, procedimentos 
semelhantes levam a fórmulas ainda mais 
complicadas. Para equações de grau 5, no 
entanto, foi demonstrado pelo matemático 
Abel, em 1824, que não é possível expressar 
as soluções por meio de radicais. Um pou-
co depois, Galois estendeu tal resultado para 
equações de grau maior do que 5, de maneira 
que a busca de uma fórmula que englobe as 
soluções tornou-se um caminho inviável. 
No fim do século XVIII,Gauss demons-
trou o fato de que uma equação algébrica 
de grau n, ou seja, da forma a0xn + a1xn – 1 + 
a2x
n – 2 + a3x
n – 3 + ... + an – 1x + an = 0 (a0 ≠ 0) 
tem pelo menos uma raiz; em consequência, 
pode ser mostrado que terá sempre n raízes, 
reais ou complexas. Tal fato é conhecido 
como Teorema Fundamental da Álgebra. 
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Matemática - 3a série - Volume 2
Do ponto de vista prático, equações de 
grau maior do que 4 precisam ser resolvidas, 
uma vez que surgem efetivamente em situa-
ções concretas; para isso, no entanto, deve-
mos seguir outros caminhos. As equações são 
perguntas e as respostas a elas precisam, nes-
ses casos, ser extraídas de uma análise enge-
nhosa da própria pergunta; decididamente, as 
fórmulas não são tudo. Esse será o tema das 
Unidades 3 e 4. Antes disso, para trazer para 
a sala de aula as questões históricas apresen-
tadas até aqui, vamos desenvolver algumas 
atividades relativas às Unidades 1 e 2.
Atividade 1
Já sabemos resolver completamente as equa-
ções de 2o grau, obtendo as soluções por meio 
da fórmula de Bhaskara. Apenas como exercí-
cio, para verificar a compreensão do caminho 
sugerido para resolver as equações de 3o grau, 
vamos procurar resolver a equação de 2o grau 
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) seguindo os passos 
propostos por Tartaglia e Cardano no texto 
anterior, para verificar se eles funcionariam, 
nesse caso.
a) Divida os dois membros da equação 
ax2 + bx + c = 0 por a, obtendo:
x2 + Bx + C = 0, com B = 
b
a e C = 
c
a .
b) Substitua x por y − 
b
2
 (o denominador 
2 corresponde ao grau da equação) e 
verifique que a equação se transforma 
em: y2 + C – 
B2
4 
= 0.
c) Mostre que, em consequência, 
y = ± B – 4C
2
2
.
Como y2 = 
B2
4
 – C, segue que 
y = ± B – 4C
2
2
 .
d) Substitua agora os valores de y, de b e 
de C em x = y – 
B
2
 , obtendo os valores de 
x (você identifica, nos cálculos, a fórmu-
la de Bhaskara?). 
Como x = y – 
B
2
, segue que 
x = ± B – 4C
2
2
 – B
2
, ou seja, 
x = – B
2
 ± B – 4C
2
2
 .
Substituindo B por 
b
a
 e C por c
a
 , obtemos 
x = 
– b± b – 4ac
2a
2
, que é a fórmula de 
Bhaskara.
e) Resolva a equação 3x2 + 15x + 18 = 0, 
seguindo os passos descritos nos 
itens anteriores. 
Dividindo os coeficientes por 3, obtemos f
x2 + 5x + 6 = 0;
substituindo f x por y – 5
2
, onde o deno­
minador 2 é o grau da equação, obtemos 
(y – 5
2
)2 + 5(y – 5
2
) + 6 = 0; 
efetuando os cálculos, obtemos f y2 = 1
4
, 
ou seja, y = ± 1
2
; 
como f x = y – 5
2
, segue que x = – 2 ou 
x = – 3.
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Atividade 2
Já sabemos que, se uma equação de 2o grau 
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) tiver duas raízes distin-
tas, x1 e x2, então ela pode ser escrita na forma 
x2 – Sx + P = 0, onde: 
S = x1 + x2 e P = x1 . x2
a) Mostre que, nesse caso, as raízes são dadas 
pela fórmula x = 
S S P± 2 4
2
–
. Mostre 
que não existem dois números reais cuja 
soma seja 10 e cujo produto seja 40.
Tais números seriam as raízes da equação 
x2 – 10x + 40 = 0 . Segundo a fórmula do 
item a, teríamos de calcular 10 – 1602 = 
– 60 ; como não existe a raiz quadrada 
de um número negativo, concluímos que não 
existem dois números reais cuja soma seja 
10 e cujo produto seja 40.
b) Mostre que não existem dois números 
reais cujo quadrado de sua soma seja 
menor do que o quádruplo do produto 
dos dois números. 
Se existissem dois números reais de soma 
igual a S e produto igual a P, então eles 
seriam raízes da equação x2 – Sx + P = 0. 
Mas se o quadrado da soma S dos dois nú­
meros fosse menor que o quádruplo de seu 
produto P, ou seja, se S2 < 4P, então a equa­
ção x2 – Sx + P = 0 teria o discriminante 
Δ = S2 – 4P negativo, ou seja, não teria raí­
zes reais. Logo, não existem dois números 
reais nas condições acima.
Atividade 3
a) Considere a equação x3 + 15x2 + 11x + 
7 = 0. Substitua x por y – 
15
3
, ou seja, 
x = y – 5 e mostre que a nova equa-
ção em y não apresenta o termo em y2 
(o denominador 3 corresponde ao grau 
da equação).
Efetuando a substituição indicada, obtemos: 
(y – 5)3 + 15(y – 5)2 + 11(y – 5) + 7 = 0.
Efetuando os cálculos: y3 – 64y + 202 = 0
b) Mostre que, na equação x3 + Bx2 + Cx + 
+ D = 0, substituindo-se o x por y – B
3
 , 
a nova equação em y não apresenta o 
termo em y2. 
Efetuando a substituição de x por y – 
B
3
 ve­
rificamos que os termos em y2 se cancelam. 
De modo geral, efetuando­se os cálculos 
indicados, é possível mostrar que, na equa­
ção xn + A1x
n – 1 + A2x
n – 2 + A3x
n – 3 + ... 
+ An – 1x + An = 0, a substituição de x por 
y – A1
n
 conduz à eliminação do termo em y n­1.
Atividade 4
Vamos agora procurar entender a lógica 
dos passos propostos por Tartaglia e Cardano 
para resolver a equação incompleta de grau 3 
resultante da eliminação do termo do segun-
do grau: y3 + 3y + 6 = 0. Para tanto, considere 
a seguinte analogia:
Sabemos que: f (p + q)3 = p3 + 3 p2q + 
3pq2 + q3.
Podemos rearranjar a igualdade f
acima, escrevendo:
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Matemática - 3a série - Volume 2
(p + q)3 – 3pq.(p + q) – (p3 + q3) = 0 
 
Comparando com f y3 + 3 . y + 6 = 0, 
se tivermos, simultaneamente, – 3pq = 3 
e – (p3 + q3) = 6, então a solução da equa-
ção dada será y = p + q. 
De –3pq = 3, concluímos que pq = –1, e f
portanto, p3. q3 = –1; como p3 + q3 = – 6, 
podemos construir a equação do se-
gundo grau que tem como raízes p3 e q3, 
uma vez que temos a soma e o produ-
to desses dois números; tal equação é 
z2 + 6z – 1 = 0 (soma das raízes igual 
a – 6; produto das raízes igual a –1; ver 
Atividade 2).
Resolvendo esta equação, obtemos as f
raízes –3 ± 10 ou seja, p3 = –3 + 10 e 
q3 = –3 – 10 .
z = –6 ± 36 + 4
2
, ou seja, z = –3 ± 10. 
Significa que estes são os valores de p3 e q3, 
ou seja, p = – 3+ 103 e q = – 3 – 103 .
Concluímos, então, que y = p + q, ou seja,
y = – 3+ 103 + – 3 – 103 .
Se você acompanhou todos os passos da ex-
plicação, então repita os mesmos procedimentos 
e mostre que a fórmula que dá as raízes da equa-
ção algébrica de grau 3, dada por y3 + My + N = 0, 
é a apresentada na introdução da Atividade 1:
y = –
N N M
2 4 27
2 3
3 + + + –   –  N N M
2 4 27
2 3
3 + .
Comparando a igualdade (p + q) f 3 – 3pq. 
.(p + q) – (p3 + q3) = 0 com a equação 
y3 + M . y + N = 0, deduzimos que: 
se –3pq = M e – (p3 + q3) = N, então 
y = p + q será raiz da equação.
Temos, então, de encontrar dois nú­ f
meros p e q tais que p3. q3 = –
M
27
3



 e 
p3 + q3 = –N. Tais números p3 e q3, que 
têm soma e produto conhecidos, devem 
ser as raízes da equação do segundo grau 
z2 + Nz – M
27
3
 = 0.
Resolvendo tal equação, obtemos: f
z = 
–N ± N
4M
27
2
2
3
+
= 
–N
2
±
N
4
+
M
27
2 3
,
Isso significa que os valores de p f 3 e q3 são 
–N
2
+
N
4
+
M
27
2 3
 e –N
2
–
N
4
+
M
27
2 3
.
Logo, os valores de f p e de q serão:
–N
2
+
N
4
+
M
27
2 3
3 e –N
2
–
N
4
+
M
27
2 3
3
Em consequência, o valor de y será:
y = p + q, ou seja, 
y = –N
2
+
N
4
+
M
27
2 3
3 + –N
2
–
N
4
+
M
27
2 3
3
como queríamos mostrar.
Atividade 5
Encontre uma raiz da equação y3 – 3y – 2 = 0.
Substituindo na fórmula obtida na atividade 
anterior, temos:
y =
2
2
4
4
27
27
3 + + ( )– + 2
2–
4
4
+
–27
27
3
( )
 =
1 0 1 0 23 3+ + =– ; 
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logo, y = 2 é uma raiz.
Como será visto nas atividades seguintes, co­
nhecendo­se uma das raízes de uma equação 
de grau 3, é possível reduzi­la a uma equa­
ção de 2o grau, encontrando­se, assim, todas 
as raízes da equação inicial.
Atividade 6
Um marceneiro quer construir duas cai-
xas, uma com a forma de um cubo de aresta x, 
outra com a forma de um paralelepípedo 
com a base retangular, de lados 3 m e 5 m, 
e de altura igual à altura do cubo. O valor 
de x deve ser escolhido de tal maneira que 
o volume do cubo seja 4 m3 maior do que o 
do paralelepípedo.
a) Escreva a equação que traduz a exigên-
cia a ser satisfeita pelo valor de x. 
O volume do cubo de aresta x é igual a x3; 
o volume do paralelepípedo de base 15 m2 
e aresta x é igual a 15x; segue, então, que 
a exigência de o volume do cubo ser 4 m3 
maior do que o do paralelepípedo pode ser 
traduzida pela equação x3 = 15x + 4, ou 
seja, x3 – 15x – 4 = 0 .
b) Use a fórmula da atividade anterior para 
determinar as raízes da equação do item a. 
A que conclusão você chega? 
Calculando o valor de x pela fórmula obtida an­
teriormente para equações de 3o grau, obtemos: 
x = 2 121 2 1213 3+ +– – – .
Pela fórmula, parece não existir raiz da equação, 
uma vez que deparamos, nos cálculos, com a raiz 
quadrada de um número negativo.
c) Verifique diretamente na equação dada 
que x = 4 é uma raiz, ou seja, fazendo 
x = 4 m, temos o cubo com volume 
64 m3 e o paralelepípedo com volu-
me 60 m3. Como podemos interpretar 
o resultado do item b? 
Certamente a equação admite x = 4 como 
raiz, como se pode verificar diretamente, 
uma vez que 43 – 15 . 4 – 4 = 0. No uso da 
fórmula das raízes, os cálculos foram inter­
rompidos quando surgiu a raiz quadrada de 
–121. No estudo das equações de 2o grau, 
era assim que procedíamos: ao deparar com 
a raiz quadrada de um número negativo, di­
zíamos: “a equação não tem raízes reais”. 
Mas aqui sabemos que a equação de grau 3 
proposta tem uma raiz real, que é x = 4. 
Então, como ficamos?
Na atividade seguinte, vamos examinar 
uma maneira de prosseguir nos cálculos e ob-
ter o resultado x = 4, reinterpretando a limi-
tação sobre a existência de raízes quadradas 
para um número negativo. 
Atividade 7
Sabemos que o quadrado de qualquer nú-
mero real não nulo, positivo ou negativo, é 
sempre positivo. Até aqui, em nosso percurso 
escolar, sempre que deparamos com a extra-
ção da raiz quadrada de um número negativo, 
dizemos que ela não existe. Na Atividade 5, tal 
decisão nos impediu de chegar a uma das raízes 
da equação, uma vez que teríamos de extrair 
a raiz quadrada de –121. Vamos fazer, agora, 
uma atividade de imaginação: imaginemos 
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Matemática - 3a série - Volume 2
–7 = 7 i.  , e assim por diante.
Insistimos em que estamos, por enquanto, 
apenas fazendo um exercício de imaginação: 
se existir um número que seja a raiz qua drada 
de –1, então as raízes quadradas de todos os 
números negativos poderão ser expressas 
com base nesse número; chamando tal nú­
mero imaginário de i, temos, por exemplo, 
que – 25 = 25 .  – 1 = 25.  –1( ) = 5.i. 
b) Retorne ao item b da Atividade 6. Es-
crevendo no lugar de −121 o valor 
imaginário 11i indique a solução da 
equação x3 – 15x – 4 = 0. 
Substituindo –121 por 11i na expressão 
x = 2+ –121 + 2 – –1213 3 , obtemos: 
x = 2+ 11i + 2 – 11i3 3 .
que existam números estranhos (certamente, 
não seriam números da reta real) cujo quadra-
do seja negativo. 
a) Mostre que, na verdade, bastaria existir 
um número estranho desses, a raiz qua-
drada de –1, para que dele decorressem 
todas as outras raízes de negativos. 
De fato, como –121 = 121.(–1), para extrair 
a raiz quadrada de –121 bastaria sabermos 
quanto vale a raiz quadrada de –1. Se re­
presentarmos por i esse número imaginário, 
teríamos –1 = i2, ou seja, i = –1 .
Em consequência, –121 = 121 –1= 11 i. . . 
Analogamente, seria possível expressar a 
raiz quadrada de qualquer número negativo: 
 –9 = 9 –1 = 9. .i = 3i; analogamente, 
Professor, uma sugestão! 
Novamente temos de parar, pois não sabemos calcular a raiz cúbica do estranho nú-
mero 2 + 11i. Tal número é “mistura” de uma parte real, que é 2, com uma parte 
imaginária, que é 11i. Números assim são chamados “números complexos”, e serão 
estudados a seguir. Por enquanto, vamos supor que possamos continuar a operar com 
tais números como se opera com os números reais, respeitando-se apenas a novidade 
que decorre do fato de termos i2 = –1. Por exemplo: 
 para somar 3 + 4i com 5 + 7i, somamos as partes reais e imaginárias separadamente e f
obtemos: (3 + 4i) + (5 + 7i) = (3 + 5) + (4i + 7i) = 8 + 11i.
 para multiplicar (3 + 4i) por (5 + 7i), utilizamos a propriedade distributiva e escrevemos: f
(3 + 4i).(5 + 7i) = 3.5 + 3.7i + 4i.5 + 4i.7i. 
agrupando termos do mesmo tipo, obtemos: (3 + 4i).(5 + 7i) = 15 + 21i + 20i + 28i f 2.
como i f 2 = –1, o resultado final seria o seguinte: 
(3 + 4i).(5 + 7i) = 15 + 41i – 28 = –13 + 41i.
Como veremos, essas operações envolvendo números imaginários vão se mostrar recurso 
fecundo para superarmos as limitações resultantes da impossibilidade de extrair raízes qua-
dradas de números negativos. Com base nelas, vamos conseguir harmonizar o fato de saber-
mos que a equação x3 – 15x – 4 = 0 admite efetivamente a raiz real x = 4, ainda que a fórmula 
resolutiva nos conduza à raiz quadrada de um número negativo.
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20
Atividade 8
Supondo válidas as propriedades das ope-
rações com os números reais para os números 
formados por uma parte real x e uma parte 
imaginária yi, sendo i = −1, efetue as ope-
rações indicadas, dando o resultado mais sim-
ples possível:
a) (3 – 4i) + (–5 + 3i)
–2 – i
b) (–11i + 7) – (–5 – 8i)
–3i + 12
c) (2i – 13) . (7 – 5i)
– 81+ 79i
d) (13 – i). (13 + i)
170
e) i3 + i5 + i7
–i
f) i13
i
Considerações sobre a avaliação
Até aqui, o objetivo das atividades foi a 
apresentação dos novos números, formados 
por uma parte real e uma parte imaginária, 
como recurso necessário para dar sentido a 
cálculos envolvendo a solução de equações 
algébricas, correspondentes a problemas con-
cretos, como é o exemplo da Atividade 6. 
Reiteramos o fato de que equações são tradu-
ções de perguntas propostas por problemas, e 
que o interesse em resolvê-las é inerente aos 
procedimentos matemáticos. A história conta-
da até este ponto ilustra uma importante mu-
dança de perspectiva, como já foi assinalado 
c) Usando o fato de que a raiz cúbica de 
um número é outro número que, ele-
vado ao cubo, reproduz o primeiro, 
mostre que 2 + i é uma raiz cúbica de 
2 + 11i. 
Vamos elevar ao cubo o “número” 2 + i, que 
é uma “mistura” de uma parte real com uma 
parte imaginária, e verificar que, efetuados 
os cálculos, obtemos (2 + i)3 = 2 + 11i. 
De fato, temos:
(2 + i)3 = 23 + 3.22.i + 3. 2.i2 + i3
(2 + i)3 = 8 + 12.i + 6.i2 + i2.i
Como i2 = –1, segue que:
(2 + i)3 = 8 + 12i + 6.(–1) + (–1).i
Ou seja, (2+ i)3 = 2 + 11i.
De modo análogo, pode ser mostrado que uma 
raiz cúbica de 2 – 11i é 2 – i.
d) Retorne à Atividade 5. Mostre que a 
solução x = 4 pode ser obtida com base 
na fórmula para as raízes cúbicas da 
equação x3 – 15x – 4 = 0. 
Substituindo os valores das raízes cúbicas 
encontradas, temos: x = 2+11i + 2 – 11i3 3 , 
ou seja, x = 2 + i + 2 – i = 4. Assim, reconci­
liamos a fórmula com o fato concreto de que a 
equação tinha x = 4 como uma de suas raízes. 
Como sevê, pode ser conveniente atribuir 
significado às raízes quadradas de núme­
ros negativos. Mostraremos mais adiante 
de que maneira os novos números assim 
construídos – os chamados números com­
plexos – são uma extensão natural muito 
fecunda dos conhecidos números reais.
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21
Matemática - 3a série - Volume 2
anteriormente, que é a de se passar da busca 
desenfreada de fórmulas resolutivas para uma 
abordagem qualitativa, que busca extrair da 
própria equação/pergunta as condições para 
a obtenção de sua resposta. Nas Situações de 
Aprendizagem seguintes, explicitaremos mais 
o significado de tal abordagem qualitativa, 
bem como exploraremos a existência dos nú-
meros complexos, aqui apenas vislumbrados. 
Na avaliação das atividades, até este pon-
to, sugerimos que o professor se concentre na 
compreensão da passagem natural das equa-
ções de 2o grau para as equações de grau supe-
rior a 2, revendo fatos básicos sobre as equações 
de 2o grau, como a análise do sinal do discrimi-
nante para a determinação do número de raízes 
reais, as relações entre coeficientes e raízes, entre 
outros. No caso das equações de 3o grau, não se 
deve pretender mais do que a tentativa de resolu-
ção de algumas delas, com coeficientes simples, 
usando os passos propostos nas atividades da 
presente situação. Esbarrar em raízes quadradas 
de números negativos pode ser uma motivação a 
mais para a continuidade dos estudos das situa-
ções seguintes. Em resumo, a compreensão his-
tórica da problemática da solução de equações 
é mais importante, neste momento, do que as 
técnicas algébricas para resolvê-las.
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 
DAS FÓRMULAS À ANÁLISE QUALITATIVA: RELAçÕES ENTRE 
COEFICIENTES E RAÍzES
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: relações entre coeficientes e raízes de uma equação de 2o grau – revisão; 
extensão das relações entre coeficientes e raízes para equações de 3o e 4o graus.
Competências e habilidades: compreender o fato de que uma pergunta bem formulada traz em 
si os elementos constituintes de sua resposta; compreender o fato de que é possível conhecer 
qualidades das raízes de equação algébrica mesmo sem resolvê-la, com base no conhecimento 
de seus coeficientes.
Estratégias: rever e estender o estudo das relações entre coeficientes e raízes, já conhecido 
no caso das equações de 2o grau, para equações de grau superior a 2; explorar tal fato para 
resolver ou conhecer algumas das soluções de uma equação algébrica.
roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 2
Equações algébricas: das fórmulas à 
abordagem qualitativa
Uma vez abandonada a perspectiva de ter-
mos uma fórmula que indique as raízes de uma 
equação algébrica, cabe ao professor explorar 
a via da observação dos coeficientes da própria 
equação, em busca de informações sobre suas 
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22
raízes. Sabemos, por exemplo, que as raízes da 
equação x2 + 7x + 12 = 0 têm soma igual a –7 
e produto igual a 12. É possível generalizar in-
formações desse tipo, sobre a soma e o produto 
das raízes, para uma equação de qualquer 
grau. É o que exploraremos a seguir.
No caso da equação de 2o grau ax2 + bx 
+ c = 0, de raízes r1 e r2, sabemos que, após a 
divisão de todos os coeficientes por a, ela pode 
ser escrita na forma x2 + 
b
a
x + 
c
a 
= 0, que po-
demos imaginar fatorada e escrita na forma 
(x – r1) . (x – r2) = 0. Efetuando as multiplica-
ções indicadas e ordenando, obtemos a forma 
equivalente:
x f 2 – (r1 + r2)x + r1 . r2 = 0, ou seja: 
x f 2 – S1x + S2 = 0, 
onde S1 = r1 + r2 = – 
b
a
 é a soma das raízes e 
S2 = r1 . r2 = 
c
a
 é o produto das raízes.
No caso de uma equação de 3º- grau ax3 + 
bx2 + cx + d = 0, mesmo sem conhecer fór-
mulas para as soluções, se a equação tiver 
como raízes r1, r2 e r3, procedendo de manei-
ra análoga ao que fizemos para a equação de 
2º- grau, após a divisão por a de todos os seus 
coeficientes, ela pode ser escrita na forma 
x3 + 
b
a
 x2 + 
c
a 
x + 
d
a
 = 0, que podemos 
imaginar fatorada e escrita na forma:
(x – r1) . (x – r2) . (x – r3) = 0. 
Efetuando as multiplicações indicadas e 
ordenando, obtemos a forma equivalente 
x3 – (r1 + r2 + r3)x
2 + (r1r2 + r1r3 + r2r3)x – 
r1r2r3 = 0, 
ou seja: x3 – S1x
2 + S2x – S3 = 0, onde 
S1 = r1 + r2 + r3 é a soma das raízes, 
S2 = r1 . r2 + r1 . r3 + r2 . r3 é a soma dos 
produtos das raízes tomadas duas a duas, 
e S3 = r1 . r2 . r3 é a soma dos produtos das 
raízes tomadas três a três, ou seja, é o produto 
das raízes.
Por exemplo, se uma equação de 3º- grau 
tiver como raízes 2, 3 e 5, então ela poderá ser 
escrita na forma: 
(x – 2) . (x – 3) . (x – 5) = 0, e ao efetuarmos 
as multiplicações, obtemos:
x3 – 10x2 + 31x – 30 = 0 ; podemos notar 
que: S1 = 2 + 3 + 5 = 10, 
S2 = 2 . 3 + 2 . 5 + 3 . 5 = 31 e 
S3 = 2 . 3 . 5 = 30, ou seja, 
observação para o professor!
Poderíamos notar, com base na fór-
mula de Bhaskara, que as duas raízes da 
equação são as indicadas a seguir:
r
b b ac
a1
2 4
2
= +  – – 
e r
b b ac
a2
2 4
2
= – – – ,
cuja soma dá r1 + r2 = 
– b
a
, e cujo 
produto dá r1 . r2 = 
c
a
.
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23
Matemática - 3a série - Volume 2
a equação pode ser escrita na forma 
x3 – S1x
2 + S2x – S3 = 0. 
Se procedermos analogamente no caso de 
uma equação de 4º- grau 
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, de raízes r1, r2, 
r3, r4, chegaremos à forma equivalente:
x4 – S1x
3 + S2x
2 – S3x + S4 = 0, onde:
S1 = r1 + r2 + r3 + r4, 
S2 = r1r2 + r1r3 + r1r4 + r2r3 + r2r4 + r3r4
S3 = r1r2r3 + r1r2r4 + r1r3r4 + r2r3r4 
S4 = r1r2r3r4. 
Tal relação pode ser generalizada para 
uma equação algébrica de grau n. É im-
portante notar a alternância nos sinais 
das somas S: as somas das raízes tomadas 
de 1 em 1, de 3 em 3, de 5 em 5 ... apare-
cem como coeficientes na equação com 
o sinal trocado; as somas de 2 em 2, de 
4 em 4, de 6 em 6, ... aparecem como coe-
ficientes com o próprio sinal.
As atividades seguintes darão ao profes-
sor a oportunidade de explorar essa rela-
ção entre os coeficientes e as raízes de uma 
equação algébrica.
Atividade 1
Escreva na forma x3 – S1x
2 + S2x – S3 = 0 
uma equação algébrica de grau 3 cujas 
raízes são: 
a) 3, 5 e 1
Temos: S1 = 3 + 5 + 1 = 9, 
S2 = 3.5 + 3.1 + 5.1 = 23 e S3 = 3.5.1 = 15; 
Logo, a equação correspondente é 
x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0.
b) 2, 7 e –3
Analogamente, temos: S1 = 6, S2 = –13, e 
S3 = –42, e a equação correspondente é 
x3 – 6x2 –13x + 42 = 0.
c) –2, –3 e 4
Efetuando os cálculos, obtemos: 
S1 = –1, S2 = –14, S3 = 24, e a equação 
correspondente é x3 + x2 – 14x – 24 = 0.
Atividade 2
Escreva na forma x4 – S1x
3 + S2x
2 – S3x + S4 = 0 
uma equação algébrica de grau 4 cujas 
raízes são:
a) 2, 3, 4 e 5
Calculando as somas das raízes tomadas 1 a 1, 
2 a 2, 3 a 3 e 4 a 4, temos:
S1 = 14, 
S2 = 2.3 + 2.4 + 2.5 + 3.4 + 3.5 + 4.5 = 71, 
S3 = 2.3.4 + 2.3.5 + 2.4.5 + 3.4.5 = 154,
S4 = 2 . 3 . 4 . 5 = 120, e a equação correspondente 
é x4 – 14x3 + 71x2 – 154x + 120 = 0.
b) –2, 3, 4, –5
Analogamente, temos:
S1 = 0, S2 = –27, S3 = –14, S4 = 120, e 
a equação correspondente é 
x4 – 0 . x3 – 27x2 +14x + 120 = 0.
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24
c) 1, 0, 3, 7
Efetuando os cálculos, temos:
S1 = 11, S2 = 31, S3 = 21, S4 = 0, e 
a equação correspondente é:
x4 – 11x3 + 31x2 – 21x = 0.
Atividade 3
Dada a equação x3 – 8x2 + kx – 24= 0, 
responda:
a) Quais as possíveis raízes inteiras da equação? 
Observando os coeficientes, concluímos que 
24 é igual ao produto das três raízes. Logo, 
os divisores de 24 são possíveis raízes intei­
ras da equação, ou seja, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, 
± 6, ± 8, ± 12, ± 24. Naturalmente, depen­
dendo do valor de k, tal equação pode não 
admitir qualquer um desses divisores como 
raiz; o que se pode afirmar é precisamente 
o fato de que, se houver raiz inteira, ela terá 
de ser um dos divisores de 24. 
b) Se a equação tiver duas raízes simétricas, 
qual será a terceira raiz? 
Como a soma das duas raízes simétricas é 
zero e a soma das três raízes é 8, então a 
terceira raiz deverá ser igual a 8.
c) Se uma das raízes for o inverso da outra, 
qual será a terceira raiz? 
Como o produto das duas raízes inversas é 
igual a 1 e o produto das três raízes é 24, 
então a terceira raiz deverá ser igual a 24.
d) É possível que a equação tenha uma 
raiz nula? 
Não é possível que a equação tenha raiz 
nula, pois, nesse caso, o produto das raízes 
seria zero, e já vimos que o produto das raí­
zes é igual a 24.
Atividade 4
 Considere a equação 3x4 – 12x3 + kx2 – 6x + 
 + 3 = 0.
a) Quais as possíveis raízes inteiras 
da equação?
Dividindo os coeficientes da equação por 3, 
que é o coeficiente do termo de maior grau, 
obtemos a equação equivalente (com as 
mesmas raízes) expressa na forma:
x4 – 4x3 + 
k
3
x2 – 2x + 1 = 0.
Comparando com a forma x4 – S1x
3 + S2x
2 – 
– S3x + S4 = 0, concluímos que o produto das 
raízes da equação é igual a S4 = 1. 
Logo, as possíveis raízes inteiras da equação 
são os divisores de 1, ou seja, +1 ou –1.
b) Quais os valores de k que fazem com 
que a equação proposta acima tenha 
raízes inteiras?
Para que a equação tenha raízes inteiras, ou 
seja, para que ela tenha +1 ou –1 como raí­
zes, quando substituirmos os valores de x por 
+1 ou por –1 no primeiro membro da equa­
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25
Matemática - 3a série - Volume 2
ção, o resultado deve dar igual ao segundo 
membro, ou seja, a zero.
Para x = 1, temos: 
14 – 4 . 13 + 
k
3
 12 – 2 . 1 + 1 = 0, 
ou seja, k = 12.
Para x = –1, temos: 
(–1)4 – 4. (–1)3 + 
k
3
(–1)2 – 2(–1) + 1 = 0, 
ou seja, k = –24.
Atividade 5
Sabendo que 1 é raiz da equação 
x3 + 7x2 + kx – 15 = 0, determine o valor de k 
e encontre as outras duas raízes.
Como 1 é raiz, substituindo x por 1 devemos 
ter a igualdade verdadeira; 
logo, 1 + 7 + k – 15 = 0, e então, k = 7. 
Como a soma das três raízes é igual a –7, 
sendo uma delas igual a 1, a soma das outras 
duas deve ser igual a – 8. 
Como o produto das três raízes é igual a 15, 
sendo uma delas igual a 1, o produto das ou­
tras duas é igual a 15. 
Logo, além da raiz dada r1 = 1, as outras duas 
raízes da equação são tais que sua soma é – 8 
e seu produto é 15; elas são, portanto, as raí­
zes da equação de 2o­ grau x2 + 8x + 15 = 0. 
Resolvendo tal equação, obtemos r2 = –3 e 
r3 = –5.
Concluímos que a equação proposta no 
enunciado tem como raízes os números reais 
1, –3 e –5.
observação para o professor!
Outras atividades como as anteriores 
podem ser propostas, mas lembramos 
que não interessa tanto, nesse caso, a rea-
lização de muitos cálculos, quanto, por 
exemplo, a percepção, na Atividade 5, 
do fato de que, conhecendo uma raiz 
da equação, é possível reduzi-la a uma 
equação mais simples, ou seja, a pes-
quisa sobre as possíveis raízes inteiras 
pode resultar na solução da equação. Na 
Situa ção de Aprendizagem seguinte tal 
fato será mais bem explorado.
Considerações sobre a avaliação 
O objetivo das atividades desta Situação 
de Aprendizagem é a compreensão do fato de 
que os próprios coeficientes das equações 
trazem informações relevantes sobre suas 
possíveis raízes, o que é apenas uma amostra 
das possibilidades de uma abordagem quali-
tativa das equações. Outros procedimentos 
semelhantes poderiam ser aqui apresentados, 
mas consideramos que as atividades realiza-
das terão sido bem-sucedidas se os alunos 
compreenderam a existência de tais cami-
nhos alternativos, na busca das soluções de 
equações, mesmo sem uma exploração mais 
exaustiva de tal fato. 
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SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 
EQUAçÕES E POLINÔMIOS: DIVISãO POR x–k E REDUçãO DO 
GRAU DA EQUAçãO
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: divisão de um polinômio por x – k; algoritmo para efetuar de maneira 
simples a divisão de um polinômio por x – k; redução do grau de uma equação com base no 
conhecimento de uma das raízes.
Competências e habilidades: compreender as relações naturais entre o estudo dos polinômios e 
o estudo das equações algébricas; compreender a importância da articulação entre a técnica e o 
significado na solução de equações/problemas.
Estratégias: todos os elementos conceituais relativos aos conteúdos da presente Situação de 
Aprendizagem serão apresentados por meio de exercícios exemplares, tendo em vista uma 
aproximação efetiva entre as técnicas resolutivas e os significados dos conceitos envolvidos.
roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 3
Alguns fatos fundamentais sobre 
polinômios: a ideia de identidade
Como foi mostrado aos alunos na Ativi-
dade 4 da Situação de Aprendizagem 2, co-
nhecendo uma das raízes de uma equação de 
grau 3, é possível reduzir a sua solução à 
de uma equação de 2o- grau. De maneira ge-
ral, é possível generalizar tal procedimento: se 
conhecemos uma das raízes de uma equação 
algébrica de grau 4, é possível reduzir a sua 
solução à de uma equação de grau 3, e assim 
sucessivamente; conhecendo-se uma das raízes 
de uma equação de grau n, será possível redu-
zir a sua solução à de uma equação de grau 
n – 1. Para isso, é preciso realizar algumas 
operações com os polinômios que constituem 
o primeiro membro das equações algébricas. 
O estudo das equações algébricas, portanto, 
se entrelaça naturalmente com o estudo dos 
polinômios. Não vamos aqui nos dedicar 
especialmente a técnicas de cálculos com poli-
nômios, mas um mínimo de informações so-
bre elas precisam ser conhecidas, para poder 
continuarmos a aprender fatos fundamentais 
sobre equações.
Como se sabe, um polinômio de grau n é 
uma expressão algébrica do tipo
P(x) = a0x
n + a1x
n – 1 + a2x
n – 2 + a3x
n – 3 + ... 
+ an – 1x + an = 0, com a0 ≠ 0.
Uma equação algébrica também pode ser 
chamada uma equação polinomial, uma vez 
que ela pode ser escrita na forma P(x) = 0, 
sendo P(x) um polinômio.
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27
Matemática - 3a série - Volume 2
Se o valor de P(x) para x = k, que indica-
remos por P(k), for igual a zero, ou seja, se 
P(k) = 0, então isso significa que k é uma raiz 
da equação polinomial P(x) = 0. 
Sendo P1(x) um polinômio e P2(x) outro poli-
nômio, podemos ter o caso de P1(x) = P2(x)para 
alguns valores particulares de x e P1(x) ≠ P2(x) 
para outros valores de x. Por exem plo, se 
P1(x) = x
2 + 3x – 1 e P2(x) = x
3 – 5x2 + 4x + 13, 
então temos:
P1(2) = 9 e P2(2) = 9, mas P1(0) = –1 e 
P2(0) = 13.
Quando dois polinômios P1(x) e P2(x) são 
tais que, para todos os valores possíveis para 
x, temos P1(x) = P2(x), então dizemos que 
os polinômios são idênticos, e escrevemos 
P1(x) ≡ P2(x). 
Sendo P1(x) = a0x
n + a1x
n – 1 + a2x
n – 2 + 
+ a3x
n – 3 + ... + an – 1x + an um polinômio de grau n 
e P2(x) = b0x
m + b1x
m – 1 + b2x
m – 2 + b3x
m– 3 + ... 
+ bm – 1x + bm outro polinômio de grau m, para 
termos P1(x) ≡ P2(x), ou seja, paraos dois po-
linômios serem iguais para todos os valores 
de x, devemos ter a igualdade dos termos 
independentes de x, ou seja, an = bm, pois 
an = P1(0) e bm = P2(0). Podemos mostrar que 
a igualdade entre os dois polinômios para 
todos os valores de x obriga a igualdade de 
todos os coeficientes dos termos de mesmo 
grau, ou seja:
an = bm ; an – 1 = bm– 1 ; an – 2 = bm – 2 e assim por 
diante. 
Em consequência, dois polinômios idênti-
cos devem ser sempre do mesmo grau, uma vez 
que se forem de graus diferentes, os coeficientes 
dos termos de maior grau serão distintos (um 
deles é zero e o outro é diferente de zero).
Por exemplo, podemos ter P1(x) = x
2 + 3x – 1 
e P2(x) = x
3 – 5x2 + 4x + 13 iguais para al-
guns valores de x, mas não para todos os 
valores de x, ou seja, não é verdade que 
P1(x) ≡ P2(x), neste caso, pois os coeficientes 
dos termos de grau 3 são distintos (1 em P2(x) 
e 0 em P1(x)).
operações com polinômios
Para somar, subtrair e multiplicar polinô-
mios, basta operar com as expressões algébri-
cas que compõem suas parcelas, que são os 
monômios, realizando as operações indicadas, 
recorrendo à propriedade distributiva, quan-
do for o caso, e reunindo os termos que cor-
respondem a potências de x de mesmo grau 
(chamados “termos semelhantes”).
A divisão de um polinômio por outro, no 
entanto, exige atenção um pouco maior, e será 
necessária para podermos aprender a reduzir 
o grau de uma equação, com base no conheci-
mento de uma de suas raízes. 
De fato, se x = k for uma raiz da equação 
algébrica: 
a0x
n + a1x
n – 1 + a2x
n – 2 + a3x
n – 3 + ... + an – 1x + 
+ an = 0 (a0 ≠ 0), 
então a equação pode ser escrita na 
forma fatorada
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28
(x – k) . (b0x
n – 1 + b1x
n – 2 + b2x
n – 3 + ... + 
+ bn– 2x + bn – 1) = 0.
Daí segue que ou x – k = 0, e portanto, 
x = k, ou então, 
b0x
n – 1 + b1x
n – 2 + b2x
n – 3 + ... + bn – 2x + bn – 1 = 0.
Resolvendo a equação de grau n – 1 que 
corresponde ao segundo fator igualado a zero, 
teremos as n raízes da equação inicial.
Os polinômios a0x
n + a1x
n – 1 + a2x
n – 2 + a3x
n – 3 + 
+ ... + an – 1x + an, e o resultante do produto 
(x – k) . (b0x
n – 1 + b1x
n – 2 + b2x
n – 3 + ... + bn – 2x + 
+ bn – 1) são idênticos, isto é, são iguais para 
todos os valores reais de x.
Para obter o polinômio b0x
n – 1 + b1x
n – 2 + 
+ b2x
n – 3 + ... + bn – 2x + bn – 1, basta dividir o 
polinômio a0x
n + a1x
n – 1 + a2x
n – 2 + a3x
n – 3 + ...+ 
+ an – 1x + an, pelo binômio x – k, o que pode 
ser feito diretamente, escrevendo-se 
a0x
n + a1x
n – 1 + a2x
n – 2 + a3x
n – 3 +...+ an – 1x + 
+ an ≡ (x – k) . (b0xn – 1 + b1xn – 2 + b2xn – 3 +...+ 
+ bn – 2x + bn – 1). 
O símbolo ≡ significa, como já foi dito, nes-
se caso, mais do que a simples igualdade; sig-
nifica que os dois membros da igualdade são 
iguais para todos os valores possíveis de x. 
Para determinar os valores dos coeficien-
tes b0, b1, b2, …, bn – 1 a partir dos coeficientes 
 a0, a1, a2, a3, ... an –1, an, podemos efetuar a 
multiplicação anteriormente indicada e, em 
seguida, igualar os coeficientes dos termos de 
mesmo grau nos dois lados da identidade. 
Os exercícios das atividades seguintes cons-
tituem uma oportunidade de exploração dos 
fatos descritos acima. 
Atividade 1
Considere os polinômios A(x) = x2 – 3x + 2 
e B(x) = x3 – 2x2 – 3x + 2.
a) É possível termos A(x) = B(x)? 
Sim, é possível termos A(x) = B(x).
Resolvendo a equação algébrica A(x) = B(x), 
temos: x2 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 2; 
logo, x3 – 3x2 = 0. Fatorando, obtemos 
x.x.(x – 3) = 0, e segue que, para o produto ser 
nulo, um dos fatores deve ser nulo, ou seja, ou 
x = 0, ou x = 0 (0 é uma raiz dupla), ou 
então x – 3 = 0, ou seja, x = 3. Logo, a equa­
ção A(x) = B(x) tem como raízes 0 e 3. 
Para todos os valores de x diferentes de 0 e 
de 3 os polinômios A(x) e B(x) assumem 
valores distintos.
b) É possível termos A(x) ≡ B(x)? 
Não é possível termos A(x) ≡ B(x). Os poli­
nômios têm graus diferentes. Em consequên­
cia, os coeficientes de x3 são diferentes em 
A(x) e em B(x).
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Matemática - 3a série - Volume 2
Atividade 2
Considere os polinômios A(x) = x3 – 3x + 2 
e B(x) = x3 – 2x2 – 3x + 10.
a) É possível termos A(x) = B(x)?
Sim. Basta resolver a equação correspon­
dente: x3 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 10. 
Efetuando os cálculos, obtemos 2x2 = 8, e 
então, x = ± 2.
b) É possível termos A(x) ≡ B(x)? 
Não, pois os coeficientes de x2 são diferentes 
nos dois polinômios.
Atividade 3
 Considere os polinômios: 
P1(x) = ax
5 – 11x4 – 2x3 + 7x2 + bx + d.
P2(x) = bx
5 + cx4 – 2x3 + 7x2 – 3x + d.
a) Determine os valores de a, b e c de modo 
que os polinômios sejam idênticos. 
Igualando os coeficientes dos termos de 
mesmo grau, temos: a = b, c = –11 e 
b = – 3 = a
b) Calcule o valor de d sabendo que –1 é raiz 
da equação P1(x) = 0. 
Se –1 é raiz da equação P1(x) = 0, então 
devemos ter P1(–1) = 0.
Logo, substituindo x por –1, e igualando 
o resultado a zero, obtemos:
– 3 . (–1)5 – 11(–1)4 – 2 . (–1)3 + 7(–1)2 – 
– 3 . (–1) + d = 0.
Concluímos, efetuando os cálculos, que 
d = 2 – 2 3 .
Atividade 4
Considere o polinômio P(x) = 3x5 – 2x4 + 
+ 5x3 – 11x2 – 7x + 12.
a) Mostre que x = 1 é raiz da equação P(x) = 0. 
Basta substituir x por 1 em P(x) e verificar 
que o resultado dá zero, ou seja, que temos 
P(1) = 0. Isso significa que P(x) pode ser 
fatorado e apresenta x – 1 como um fator, ou 
seja, é divisível por x – 1. Podemos, então, 
escrever: P(x) ≡ (x – 1). Q(x), onde Q(x) 
é o quociente da divisão de P(x) por x – 1. 
b) Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo 
binômio x – 1.
O quociente da divisão será um polinômio de 
grau 4, podendo ser escrito na forma geral 
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
Devemos ter a identidade 
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ≡ (x – 1). 
.(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e).
Efetuando as operações indicadas no segun­
do membro, obtemos:
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ≡ ax5 + bx4 + 
+ cx3 + dx2 + ex – ax4 – bx3 – cx2 – dx – e.
Agrupando os termos semelhantes do se­
gundo membro, obtemos:
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 
≡ 
ax5 + (b – a)x4 + (c – b)x3 + (d – c)x2 + (e – d)x – e.
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30
Igualando os coeficientes dos termos de mes­
mo grau nos dois membros da identidade, 
temos: 3 = a; –2 = b – a; 5 = c – b; 
–11 = d – c; –7 = e – d; 12 = – e.
Logo, concluímos que a = 3, b = 1, c = 6, 
d = –5, e = –12 
e em consequência, Q(x) = 3x4 + x3 + 6x2­ 
– 5x – 12.
Assim, para resolver a equação P(x) = 0, 
sabendo que uma de suas raízes é x = 1, 
obtemos o quociente de P(x) por x – 1, che­
gando ao quociente Q(x); as demais raí­
zes de P(x) = 0 são as raízes da equação 
Q(x) = 0.
Atividade 5
 Considere o polinômio P(x) = 3x5 – 2x4 + 
+ 5x3 – 11x2 – 7x – 46.
a) Mostre que x = 2 é raiz da equação P(x) = 0.
Basta substituir x por 2 em P(x) e verificar 
que o resultado dá zero, ou seja, que temos 
P(2) = 0. Isso significa que P(x) pode ser 
fatorado e apresenta um fator x – 2, ou seja, 
ele é divisível por x – 2. Podemos escrever, 
então: P(x) ≡ (x – 2).Q(x), onde Q(x) é o 
quociente da divisão de P(x) por (x – 2). 
b) Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo 
binômio x – 2. 
O quociente da divisão será um polinômio de 
grau 4. Em sua forma geral, podemos escre­
ver que Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.
Para determinar Q(x), temos a identidade:
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2– 7x – 46 ≡ 
≡ (x – 2) . (ax4 + bx3 + cx2 + dx + e).
Efetuando as operações indicadas no segun­
do membro, obtemos:
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 ≡ ax5 + bx4 + 
+ cx3 + dx2 + ex – 2ax4 – 2bx3 – 2cx2 – 2dx – 2e.
Agrupando os termos semelhantes do se­
gundo membro, obtemos:
3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46
≡
Igualando os coeficientes dos termos de 
mesmo grau nos dois membros da identi­
dade, temos: 
3 = a; –2 = b – 2a; 5 = c – 2b; –11 = d – 2c; 
–7 = e – 2d; –46 = –2e.
Logo, concluímos que a = 3, b = 4, c = 13, 
d = 15, e = 23 
e então, o quociente será: 
Q(x) = 3x4 + 4x3 +13x2 +15x + 23.
Em consequência, para resolver a equa­
ção P(x) = 0, sabendo que uma de suas 
raízes é x = 2, obtemos o quociente de 
P(x) por x – 2, chegando ao quociente 
Q(x); as demais raízes de P(x) = 0 são as 
raízes da equação Q(x) = 0.
ax5 + (b – 2a)x4 + (c – 2b)x3 + (d – 2c)x2 + (e – 2d)x – 2e.
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31
Matemática - 3a série - Volume 2
Atividade 6
Algoritmo de briot-ruffini 
Retome o enunciado da Atividade 5. 
Existe uma maneira prática para obter o quo-
ciente de P(x) = 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 
pelo binômio x – 2. 
Observando os cálculos efetuados, notamos 
que, sendo Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, 
o coeficiente f a é igual ao coeficiente de 
x5 em P(x): a = 3;
o coeficiente f b é obtido somando-se 
ao coeficiente de x4 em P(x) o produto 
de 2 por a: b = –2 + 2a; 
o coeficiente f c é obtido somando-se 
ao coeficiente de x3 em P(x) o produto 
de 2 por b: c = 5 + 2b;
o coeficiente f d é obtido somando-se 
ao coeficiente de x2 em P(x) o produto 
de 2 por c: d = –11 + 2c;
o coeficiente f e é obtido somando-se 
ao coeficiente de x em P(x) o produto 
de 2 por d: e = –7 + 2d.
Esses cálculos podem ser organizados 
no algoritmo seguinte, conhecido como 
algoritmo de Briot-Ruffini para a divi-
são de um polinômio por um binômio da 
forma x – k: 
coeficientes de P (x)
coeficientes de Q (x)
Q(x) = 3x4 + 4x3 + 13x2 + 15x + 23
resto da divisão
raiz 2
3 – 2 5 – 11 – 46
3 . 2
3
4 . 2
4 13 15 23 0
13 . 2 15 . 2 23 . 2
– 7
Para verificar o entendimento do que 
se apresentou, construa o algoritmo acima 
para determinar o quociente da divisão de 
P(x) = x5 – 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x + 57 por x – 3.
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32
Temos, então, Q(x) = x4 + x3 – 4x2 – 9x – 19.
Atividade 7
a) Dado o polinômio P(x) = a0xn + a1xn – 1 + 
+ a2x
n – 2 + a3x
n – 3 + … + an – 1x + an , mostre 
que o resto da divisão de P(x) por x – k é P(k).
Quando P(x) é divisível por x – k, podemos 
escrever P(x) ≡ (x – k). Q(x), e segue que 
P(k) = 0.
Quando P(x) não é divisível por x – k, então 
temos a identidade:
P(x) ≡ (x – k). Q(x) + R, onde a constante R 
é o resto da divisão. 
raiz 3
coeficientes de P (x)
coeficientes de Q (x)
resto da divisão
1 – 2 – 7 3 57
1 . 3
1
1 . 3
1 – 4 –9 –19 0
–4 . 3 –9 . 3 –19 . 3
8
Segue daí que P(k) = R, ou seja, o resto da 
divisão de P(x) por x – k é igual a P(k).
b) Calcule o resto da divisão de P(x) = 3x5 + 
+ x4 + 3x3 – 7x + π pelo binômio x + 3.
O resto será o valor de P(–3), ou seja, 
R = P(–3) = –708 + π. 
O cálculo do resto também poderia ser feito 
por meio do algoritmo de Briot­Ruffini, uti­
lizado nas Atividades 5 e 6. Basta proceder 
como lá foi indicado, notando que ao último 
coeficiente do polinômio corresponderá, em 
vez do resto zero, o valor do resto procurado:
resto da divisão
0 p
27 . (–3) – 81. (–3) 236 . (–3)
– 81 236 –708 + p
–7
coeficientes de Q (x)
coeficientes de P (x)
3 1 3
3 . (–3) – 8 . (–3)
3 – 8 27
raiz –3
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33
Matemática - 3a série - Volume 2
Atividade 8
a) Mostre que a equação a seguir apresenta 
raízes inteiras: 
2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 = 0 
Dividindo os coeficientes por 2, obtemos a 
equação equivalente 
x4 – 
9
2
x3 + 3x2 + 
11
2
x – 3 = 0.
Escrita nessa forma, já vimos que os divi­
sores de –3 serão possíveis raízes inteiras, 
pois esse coeficiente representa o produto 
das raízes da equação. Calculando os va­
lores numéricos do polinômio do primei­
ro membro da equação para x = ± 1 e 
x = ± 3 , concluímos que –1 e 3 são raízes da 
equação dada.
b) Resolva a equação.
A equação dada é, portanto, equivalente 
à equação: 
(x + 1) . (x – 3) . (mx2 + nx + p) = 0.
Para encontrar o trinômio mx2 + nx + p, e 
descobrir as outras raízes da equação, basta 
dividir o polinômio do primeiro membro su­
cessivamente por (x + 1) e (x – 3), confor­
me indicamos a seguir:
2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡
≡ (x + 1) . (ax3 + bx2 + cx + d)
coeficientes de P (x)
coeficientes de Q1(x) resto da divisão
2
2
–9
–11
6
17
11
–6
2 . (–1) –11 . (–1) 17 . (–1) –6 . (–1)
– 6
0
raiz –1
2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ (x + 1) . (2x3 – 11x2 + 17x – 6).
Dividindo­se agora Q1(x) por (x – 3), obtemos Q2(x):
 
(2x3 – 11x2 + 17x – 6) ≡ (x – 3) . (2x2 – 5x + 2).
coeficientes de Q1 (x)
coeficientes de Q2 (x) resto da divisão
2
2
–11
–5
17
2
–6
0
2 . 3 –5 . 3 2 . 3raiz 3
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34
Considerações sobre a avaliação
Como foi dito inicialmente, o objetivo da 
presente Situação de Aprendizagem era ape-
nas consolidar a ideia de que, conhecendo 
uma das raízes de uma equação algébrica, 
podemos reduzir a sua solução à de uma 
equação de grau inferior, por meio de 
uma divisão do polinômio inicial por um 
binômio do tipo (x – k), onde k é a raiz co-
nhecida. Para tanto, foi necessário introdu-
zir algumas ideias a respeito da identidade 
de polinômios, que conduziram a uma ma-
neira de efetuar os cálculos, resumida em 
um algoritmo, conhecido como Algoritmo 
de Briot-Ruffini. Praticamos tal redução de 
ordem em uma equação em alguns exemplos 
ilustrativos, sem qualquer intenção de super-
valorizar as técnicas de cálculo, procurando 
apenas evidenciar a construção do caminho 
alternativo que a abordagem qualitativa das 
equações algébricas propicia. Se os alunos 
tiverem compreendido perfeitamente o fato 
de que, quando conhecemos uma das raízes de 
uma equação algébrica, é como se o grau 
da equação fosse reduzido de uma unidade, 
sendo capazes de efetuar uma divisão e mos-
trar a nova equação a ser enfrentada, então 
os objetivos da presente Situação de Apren-
dizagem terão sido atingidos.
Concluímos, então, que:
2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡
≡ (x + 1) . (x – 3) . (2x2 – 5x + 2).
Resolvendo a equação de 2o grau 
2x2 – 5x + 2 = 0, obtemos as raízes r3 = 2 e
r4 = 
1
2
.
Logo, as raízes da equação dada inicialmente 
são: r1 = –1, r2 = 3, r3 = 2, e r4 = 
1
2
.
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Matemática - 3a série - Volume 2
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4 
NÚMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAçãO NO PLANO 
E SIGNIFICADO DAS OPERAçÕES (TRANSLAçÕES, 
ROTAçÕES, AMPLIAçÕES)
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: apresentação dos números complexos como pontos do plano; operações 
com números complexos: significado geométrico; aplicações das operações com complexos na 
interpretação de movimentos e transformações no plano (translações, rotações, ampliações).
Competências e habilidades: compreender a analogia existente entre a passagem dos números 
reais aos números complexos e a passagem dos pontos da reta aos pontos do plano; aumento na 
capacidade de expressão por meio de números, em decorrência da apresentação do significado 
geométrico dos complexos e das operações sobre eles.