AULA 05

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CÁLCULO IV
Professora online: PATRÍCIA REGINA DE ABREU LOPES
AULA 5: INTEGRAIS DE LINHA
OBJETIVOS DESTA AULA:
	Ao final desta aula, você será capaz de:
1 - 	Exercitar o Teorema de Green;
2 - 	Apresentar a interpretação vetorial do Teorema de Green;
3 - 	Apresentar campos vetoriais conservativos no plano.
INTRODUÇÃO
	Com o objetivo de praticar integrais de linha, vamos iniciar esta aula com alguns exemplos extras, utilizando o Teorema de Green. Em seguida, vamos trabalhar a interpretação vetorial do Teorema de Green, que é a versão em duas dimensões do Teorema de Gauss, que veremos posteriormente. Apresentaremos campos vetoriais conservativos no plano que é uma continuação do raciocínio feito anteriormente quando estudamos integral de linha da função F ao longo de uma curva dependendo apenas dos pontos inicial e final. Veremos agora que campos vetoriais do plano são campos gradientes. Bons estudos!
	Iniciaremos nesta aula praticando mais alguns exemplos de integrais de linha, mais especificamente do TEOREMA DE GREEN.
 	Veremos agora primeiro exemplo e como resolvê-lo passo a passo.
	EXEMPLO 1:
	Calcule a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = ao longo da curva C de equação , orientada no sentido anti - horário.
Primeiro passo
	A primeira coisa a observar é que a função F(x, y) não está definida no ponto (0, 0), pois seu denominador é .
	Observe a elipse orientada no sentido anti - horário de equação: 
	O ponto (0,0) está na região definida pela elipse, portanto o Teorema de Green não se aplica à região limitada pela curva.
	É provável que esteja se perguntando...
	Como resolver esse problema, para que possamos usar o Teorema de Green?
	É simples:
	Vamos inserir uma circunferência de raio 1 e centro na origem. 
	Esta curva irá isolar o ponto (0,0). Além disso, devemos determinar a orientação para a circunferência, e assim, com a nova região atendendo os requisitos do Teorema de Green, poderemos aplicá-lo.
	Concorda que para ser posicionada positivamente, a orientação da circunferência deveria estar no sentido horário? 
	Mas o problema fala que é anti-horário, portanto vamos usar - (seta em verde).
	Repare que a curva é fechada, o que atende ao teorema de Green.
	Prosseguindo...
	A próxima etapa é determinar a parametrização da circunferência, que é dada por: 
 (t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ 2.
	A integral então será definida por: 
	Mas qual é o próximo passo?
	Acertou se você respondeu:
	Definir e , as derivadas e 
	Escrevendo na integral, temos: 
	Pelo teorema visto na aula passada, temos: 
	Portanto: 
	DESEJAMOS ENCONTRAR A INTEGRAL EM C, CERTO?
	Para isso precisamos desenvolver da seguinte forma: 
.
	Então, deveremos fazer duas integrais, ou seja, a integral de linha em e a integral dupla em D.
	A integral dupla em D é a integral da área da elipse, pois: 
	OBSERVAÇÃO: Como encontrar a área da elipse:
	Para:
	Fazendo a mudança de variável y = b sen z, e dy = b cos z dz, então: 
RETOMANDO, COMO É DEFINIDA A ÁREA DA ELIPSE?
	Pela área da elipse menos a área da circunferência que adicionamos, ficando assim com:
	Portanto: 
	E a integral de linha em é a integral de linha na circunferência criada.
	
	Assim, a integral na curva C será dada por:
	Observou que o artifício de colocar a circunferência para isolar o ponto (0,0) é o mesmo raciocínio que usamos na aula passada, ao inserir duas curvas para fechar uma região?
EXEMPLO 2:
	Antes de dar continuidade a seus estudos veja um exemplo para entender melhor.
	Calcule , onde C é a fronteira da região limitada por 
x = y4 +1 e x = 2, orientada no sentido anti-horário. 
	A região D, limitada por C, é definida por:
	F = é de classe C1 em D e a curva está orientada positivamente; portanto, podemos aplicar o Teorema de Green:
 e 
	Portanto:
	Para desenvolvermos a integral, devemos definir os limites de integração da região D. D é do tipo II; portanto, será definida por: - 1 ≤ y ≤ 1, y4 + 1 ≤ x ≤ 2.
INTERPRETAÇÃO VETORIAL DO TEOREMA DE GREEN
	Suponha que possuímos as condições impostas pelo Teorema de Green, ou seja, que a região D seja fechada e limitada no plano xy, cuja fronteira é uma curva orientada no sentido anti-horário.
	Se pudermos parametrizar a fronteira, e esta for de classe C1, cujo vetor tangente é não nulo em cada ponto da fronteira. Denotaremos os vetores tangentes e normal unitário respectivamente por T(t) e n(t), e estes serão definidos por:
	Já vimos à teoria de vetor tangente e vetor normal, na disciplina de Cálculo. 
	A aplicação da interpretação vetorial do Teorema de Green será estendida nas próximas aulas, para definir outros teoremas, e estes possuem várias aplicações na Física.
	Neste momento, vamos ver apenas uma introdução a esta teoria.
	A integral de linha de F, ao longo da fronteira de D, pode ser definida em termos do vetor tangente, desde que F = (F1, F2) seja um campo vetorial de classe C1 definido em um subconjunto aberto que contenha D.
	Normalizando o vetor ′ (t), e consequentemente, para não modificar a expressão multiplicando por ‖ ′ (t) ‖, podemos escrever:
	
	Usando a notação de T(t), podemos escrever:
	Portanto, o Teorema de Green pode ser reescrito como:
	Vamos ver esse resultado em aulas posteriores, como um caso particular do Teorema de Stokes.
 	Podemos usar o vetor normal unitário n(t) da mesma forma que fizemos anteriormente.
	Suponha G = (- F2, F1) um campo vetorial ao longo da fronteira de D.
	A pergunta natural será: por que a escolha desse G?
	Relembrando o cálculo vetorial, temos que o vetor normal é perpendicular a qualquer vetor tangente à superfície.
 	Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar (produto interno) de F.G = 0.
	Tomando F = (F1, F2) como o vetor tangente à curva e G como o vetor normal, portanto G tem que ser (- F2, F1), para que seja satisfeita a condição F.G = 0.
	Observe que, utilizando G, o sinal muda na definição de integral de linha:
	Portanto, o Teorema de Green aplicado ao campo G pode ser reescrito como:
	Voltaremos a este tópico posteriormente, com a versão em duas dimensões do Teorema de Gauss.
CAMPOS VETORIAIS CONSERVATIVOS NO PLANO
	Vimos na aula passada que, se F =  f, a integral de linha de F ao longo de uma curva C depende apenas dos pontos inicial e final.
	Ou seja, um campo vetorial F(x, y) = (F1, F2) é conservativo na região D 
R2 se, para toda curva :
	[a: b] D, de classe C1 por partes, temos que a integral da linha só depende do ponto inicial (a) e (b) da curva.
EXEMPLO 3:
	Antes de encerrarmos, vamos relembrar, através de um exemplo, o que vimos na aula passada.
	Verifique se a força F = (yz + 1, xz + 1, xy + 1) é conservativa. 
	O campo de forças F possui funções contínuas, que possuem derivadas parciais de 1a ordem contínuas. Como F admite uma função potencial f (F é um campo de forças conservativo), então devemos encontrar a função potencial de F.
f(x, y, z) = 
f(x, y, z) = 
f(x, y, z) = 
	Então, f(x, y, z) = xyz + x + y + z + c, C é uma constante qualquer.
f(x, y, z) = xyz + x + y + z + c
	Observe que, supondo que possuímos os pontos final e inicial da curva, poderíamos calcular o trabalho realizado pela força na curva dada. Se a curva fosse fechada, o trabalho seria zero, pois os pontos inicial e final seriam os mesmos. 
	Para finalizar esta aula, vamos definir de uma maneira mais formal tais conclusões na forma de um teorema.
	TEOREMA: seja F = (F1, F2) um campo vetorial de classe C1, definido em um domínio U ⊂ 2, para toda curva fechada C em U, a região limitada por C está totalmente contida em U (*).
	As seguintes condições são equivalentes: 
a) , qualquer que seja a curva fechada C, C1 por partes, contida em U; 
b) A integral de linha de F do ponto A até o ponto B independe da curva C1 por partes, contida em U, que liga A a B; 
c) F é um campo gradiente de alguma função potencial f em U.
d) em U. 
	Observe as afirmações (c) e (d): 
(c) - F é um campo gradiente de alguma função potencialf em U significa que e 
(d) - Se F = f (da afirmação (c)) em U, então e . Como F é de classe C1, então f é de classe C2. E considerando suas derivadas parciais de segunda ordem e e , portanto em U.
	O aluno poderá ver a título de curiosidade as demonstrações de cada etapa deste teorema na bibliografia indicada. 
	Acrescentando uma nova palavra ao seu vocabulário matemático: um subconjunto aberto U ⊂ 2 é dito simplesmente conexo (*) se, para toda curva fechada C em U, a região limitada por C está totalmente contida em U. 
	Intuitivamente, um aberto U é simplesmente conexo se não tem "buracos".
	Podemos concluir, pelo conteúdo da aula passada, que:
	Se F é um campo vetorial contínuo em um domínio conexo U ⊂ R2 (U ⊂ R3), são equivalentes as três afirmações:
a) F é o gradiente de uma função potencial u em U, ou seja, F é conservativo em U;
b) A integral de linha de F é independente do caminho de integração em U;
c) A integral de linha de F ao redor de todo caminho fechado em U é igual à zero.
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Professor aula tele transmitida: ANA LUCIA DE SOUSA Tempo: 52min 45seg
AULA 5: INTEGRAIS DE LINHA
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Teorema de Green
Interpretação vetorial do teorema de Green;
Campos vetoriais conservativos no plano.
TEOREMA DE GREEN
Exercitar o Teorema de Green;
Apresentar a interpretação vetorial do teorema de Green;
Apresentar campos vetoriais conservativos no plano. 
Iniciaremos esta aula com alguns exemplos extras especificamente utilizando o Teorema de Green. 
Em seguida trabalharemos a interpretação vetorial do Teorema de Green que é a versão em duas dimensões do Teorema de Gauss que veremos posteriormente.
Apresentaremos campos vetoriais conservativos no plano que é uma continuação do raciocínio feito anteriormente quando estudamos integral de linha da função F ao longo de uma curva dependendo apenas dos pontos inicial e final. Veremos agora que campos vetoriais do plano são campos gradientes.
	Nesta aula usaremos o cálculo do Gradiente. Este conteúdo já foi estudado . Vamos recordar!
EXEMPLO 1:
	Determine o vetor gradiente da função no ponto (1, - 1, 1).
	Lembre - se o gradiente tem como simbologia .
	Vamos encontrar o vetor devemos fazer encontrar o vetor:
	Portanto o vetor será: aplicando o ponto (1, -1, 1) teremos o vetor (2, -6, 8).
	O teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano xy com uma integral dupla sobre a região limitada pela curva fechada. 
	Seja D uma região fechada e limitada do plano xy, cuja fronteira está orientada positivamente e é parametrizada por uma função C1 por partes, de modo que seja percorrida apenas uma vez. Se F(x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)) é um campo vetorial de classe C1 num subconjunto aberto que contém D, então.
EXEMPLO 2: 
	Se D é a região interior a elipse e exterior a circunferência , calcule a integral de linha onde C é a fronteira de D e esta orientada positivamente.
	Observe que ) é um campo de classe C1 em R2 e a fronteira de D está orientada positivamente satisfazendo assim as condições para usarmos o teorema de Green.
	Aplicando o teorema de Green: e .
	Então vamos escrever o teorema de Green:
 
	Simplificando podemos escrever:
 
	Isto significa que será 2 vezes a área de D.
EXEMPLO 3:
	Usando o teorema de Green, calcular 
	Considere o triângulo de vértices (0,0), (1,2) e (0,2), no sentido anti-horário.
	
	
	
	
	
	
	Usando o Teorema de Green:
	Exemplos utilizando o Teorema de Green.
EXEMPLOS 4:
	Calcule a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = ao longo da curva C de equação , orientada no sentido anti - horário.
	Observe que a função F(x, y) não está definida no ponto (0, 0), pois seu denominador é .
	Note a elipse orientada no sentido anti - horário de equação: 
	Note que:
	O ponto (0,0) está na região definida pela elipse, portanto o Teorema de Green não se aplica à região limitada pela curva.
	Como resolver esse problema, para que possamos usar o Teorema de Green?
	Vamos inserir uma circunferência de raio 1 e centro na origem, esta curva irá isolar o ponto (0,0). Além disso, devemos determinar a orientação para a circunferência, e assim, com a nova região atendendo os requisitos do Teorema de Green, poderemos aplicá-lo.
	Para ser orientada positivamente a orientação da circunferência deveria ser no sentido horário, mas o problema fala que é anti-horário, portanto vamos usar - (seta em verde).
	A curva é fechada, o que atende ao teorema de Green.
	Próxima passo determinar a parametrização da circunferência, que é dada por: 
 (t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ 2.
	A integral então será definida por: 
	Próximo passo definir e :
	As derivadas e 
	Escrevendo na integral, temos:
 
	Mas pelo teorema visto na aula passada, temos:
	Portanto: 
	Como desejamos encontrar a integral em C devemos desenvolver a seguinte forma: .
	Então, deveremos fazer duas integrais, ou seja, a integral de linha em e a integral dupla em D.
	A integral dupla em D é a integral da área da elipse, pois: 
	OBSERVAÇÃO: 
	Para:
	Fazendo a mudança de variável y = b sen z, e dy = b cos z dz, então: 
	Mas a área da Elipse é definida pela área da elipse menos a área da circunferência que adicionamos, ficando assim com:
	Portanto: 
	E a integral de linha em é a integral de linha na circunferência criada.
	
	Assim, a integral na curva C será dada por:
	
EXEMPLO 5:
	Calcule , onde C é a fronteira da região limitada por x = y4 +1 e x = 2, orientada no sentido anti-horário. 
	A região D, limitada por C, é definida por:
	F = é de classe C1 em D e a curva está orientada positivamente; portanto, podemos aplicar o Teorema de Green:
 e 
	Portanto:
	Para desenvolvermos a integral, devemos definir os limites de integração da região D. 
	D será definida por: - 1 ≤ y ≤ 1, y4 + 1 ≤ x ≤ 2.
INTERPRETAÇÃO VETORIAL DO TEOREMA DE GREEN
	Suponha que possuímos as condições impostas pelo Teorema de Green, ou seja, que a região D seja fechada e limitada no plano xy, cuja fronteira é uma curva orientada no sentido anti-horário.
	Se pudermos parametrizar a fronteira, e esta for de classe C1, cujo vetor tangente é não nulo em cada ponto da fronteira denotaremos os vetores tangentes e normal unitário respectivamente por T(t) e n(t), e estes serão definidos por:
	A teoria de vetor tangente e vetor normal já foi visto anteriormente na disciplina de Cálculo. 
	A aplicação da interpretação vetorial do Teorema de Green será estendida nas próximas aulas, para definir outros teoremas, e estes possuem várias aplicações na Física.
	Neste momento estaremos mostrando só uma introdução a esta teoria.
	A integral de linha de F, ao longo da fronteira de D, pode ser definida em termos do vetor tangente, desde que F = (F1, F2) seja um campo vetorial de classe C1 definido num subconjunto aberto que contenha D.
	Normalizando o vetor ′ (t), e consequentemente, para não modificar a expressão multiplicando por ‖ ′ (t) ‖, podemos escrever:
	Usando a notação de T(t), podemos escrever:
	Portanto, o Teorema de Green pode ser reescrito como:
	Este resultado será visto em aulas posteriores, como um caso particular do Teorema de Stokes.
 	Podemos usar o vetor normal unitário n(t) da mesma forma que fizemos anteriormente.
	Suponha G = (- F2, F1) um campo vetorial ao longo da fronteira de D.
	A pergunta natural será: por que a escolha desse G?
	Relembrando o cálculo vetorial, temos que o vetor normal é perpendicular a qualquer vetor tangente à superfície.
 	Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar (produto interno) de F.G = 0.
	Tomando F = (F1, F2) como o vetor tangente à curva e G como o vetor normal, portanto G tem que ser (- F2, F1), para que seja satisfeita a condição F.G = 0.
	Observe que, utilizando G, o sinal muda na definição de integral de linha:
	Portanto, o Teorema de Green aplicado ao campo G pode ser reescrito como:Voltaremos a este tópico posteriormente, com a versão em duas dimensões do Teorema de Gauss.
CAMPOS VETORIAIS CONSERVATIVOS NO PLANO
	Estudamos que se F =  f, a integral de linha de F ao longo de uma curva C depende apenas dos pontos inicial e final, ou seja, um campo vetorial F(x, y) = (F1, F2) é conservativo na região D R2 se, para toda curva : [a: b] D, de classe C1 por partes, temos que a integral da linha só depende do ponto inicial (a) e (b) da curva.
	Podemos concluir que:
	Se F é um campo vetorial contínuo em um domínio conexo U R2 (U R3), são equivalentes as três afirmações:
a) F é o gradiente de uma função potencial u em U, ou seja, F é conservativo em U;
b) A integral de linha de F é independente do caminho de integração em U;
c) A integral de linha de F ao redor de todo caminho fechado em U é igual à zero.
EXEMPLO 6:
	Verifique se a força F = (yz + 1, xz + 1, xy + 1) é conservativa. 
	O campo de forças F possui funções contínuas, que possuem derivadas parciais de 1a ordem contínuas e como F admite uma função potencial f (F é um campo de forças conservativo). Então devemos encontrar a função potencial de F.
f(x, y, z) = 
f(x, y, z) = 
f(x, y, z) = 
	Então, f(x, y, z) = xyz + x + y + z + c, C é uma constante qualquer.
f(x, y, z) = xyz + x + y + z + c
	Observe que, supondo que tivéssemos os pontos final e inicial da curva, poderíamos calcular o trabalho realizado pela força na curva dada. Se a curva fosse fechada, o trabalho seria zero, pois os pontos inicial e final seriam os mesmos. 
	Para finalizar esta aula, vamos definir de uma maneira mais formal tais conclusões na forma de um teorema.
	TEOREMA: seja F = (F1, F2) um campo vetorial de classe C1, definido num domínio U ⊂ 2, para toda curva fechada C em U, a região limitada por C está totalmente contida em U (*).
	As seguintes condições são equivalentes: 
a) , qualquer que seja a curva fechada C, C1 por partes, contida em U; 
b) A integral de linha de F do ponto A até o ponto B independe da curva C1 por partes, contida em U, que liga A a B; 
c) F é um campo gradiente de alguma função potencial f em U.
d) em U. 
	Observe as afirmações (c) e (d): 
(c) - F é um campo gradiente de alguma função potencial f em U significa que e 
(d) - Se F = f (da afirmação (c)) em U, então e . Como F é de classe C1, então f é de classe C2. E considerando suas derivadas parciais de segunda ordem e e , portanto em U.
Um subconjunto aberto U ⊂ 2 é dito simplesmente conexo (*) se, para toda curva fechada C em U, a região limitada por C está totalmente contida em U. 
Um aberto U é simplesmente conexo se não tem "buracos".
	NESTA AULA, VOCÊ:
Exercitou mais alguns exemplos de integrais de linha; 
Verificou a importância da interdisciplinaridade;
Utilizou o conhecimento dos cálculos anteriores;
Partiu do conhecimento anterior da disciplina de cálculo para fazer uma extensão para o conteúdo aprendido nesta aula;
Acrescentou ao seu conhecimento a interpretação vetorial do Teorema de Green;
Acrescentou ao seu conhecimento Campos Vetoriais conservativos no plano.