CAL 4 Lista 0

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Lista de Exerc´ıcios Zero
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
Geometria Anal´ıtica
(1) Considerando o cubo de aresta a representado na figura abaixo, determine:
(a)
−→
OA · −−→OC;
(b)
−→
OA · −−→OD;
(c) |−−→OB| e |−−→OG|;
(d)
−−→
EG · −−→OF ;
(e) O aˆngulo entre a diagonal do cubo e uma aresta.
(2) Considerando o cubo da questa˜o anterior calcule:
(a)
−−→
OF ×−−→OD;
(b)
−→
AC ×−→FA;
(c)
−−→
GB ×−→AF ;
(d)
−−→
CD ·
(−−→
OC ×−−→BG
)
;
(e) O volume do tetraedro AGEF .
(3) Os pontos
A = (−2, 5, 3), B = (−1, 8, 3), C = (−4, 6, 3) e D(−2, 5, 10)
sa˜o ve´rtices de um tetraedro ABCD.
(a) Calcule seu volume;
(b) Calcule a medida da altura trac¸ada do ve´rtice A.
(4) Pelos pontos A = (−6; 6;−5) e B = (12;−6; 1) trac¸a-se uma reta. Ache os pontos de intersec¸a˜o desta
reta com os planos coordenados.
(5) Escreva as equac¸o˜es reduzidas da reta que passa por A = (1, 3, 5) e intersepta o eixo-z perpendicular-
mente.
(6) Em cada item a seguir encontre a equac¸a˜o geral do plano pi que atende as condic¸o˜es dadas.
(a) pi passa pelo ponto A = (−1, 3, 9) e possui vetor normal −→N = (1, 3,−7).
(b) pi passa pelos pontos A = (4, 1, 9), B = (−1, 7, 1) e C = (−2, 0, 3).
(c) pi e´ paralelo ao plano xz e dista 5 unidades do ponto A = (4, 7,−3). (Sa˜o dois planos no total.)
(d) As equac¸o˜es parame´tricas de pi sa˜o
pi :

x = 4 + k1 − k2
y = −3 + k2
z = k1
(e) pi e´ paralelo ao plano pi1 : 4x− 3y + 4z + 9 = 0 e passa pela origem.
(7) Identifique e esboce a coˆnica.
(a) x2 = −12y.
(b)
(x− 2)2
16
+
(y + 5)2
25
= 1.
(c) 16x2 − 9y2 − 64x− 18y + 199 = 0.
(d) 9x2 − 4y2 − 54x+ 45 = 0.
(e) y2 − 16x+ 2y + 49 = 0.
(f) 25x2 + 16y2 + 50x+ 64y − 311 = 0.
(8) Identifique e esboce a superf´ıce qua´drica.
(a) 9x2 + 4y2 + 36z2 = 36.
(b) 36x2 + 9y2 − 4z2 = 36.
(c) 36x2 − 9y2 − 4z2 = 36.
(d) x2 + 4z2 − 8y = 0.
(e) 4x2 − 9y2 − 36z = 0.
Ca´lculo 2
(1) Esboce a regia˜o delimitada pelas curvas dadas. Em seguida calcule sua a´rea.
(a) jj
(2) Marque os pontos com as coordenadas polares dadas e encontre suas coordenadas cartesianas.
A = (
√
2, pi/4), B = (0, pi/2), C = (1, 0).
(3) Marque os pontos com as coordenadas cartesianas e encontre dois conjuntos de coordenadas polares
para cada um.
A = (−1, 1), B = (−1,−
√
3), C = (0, 3).
(4) Represente graficamente o conjunto de pontos cujas coordenadas polares satisfazem as equac¸o˜es e as
desigualdades dadas.
(a) r = 2
(b) r ≥ 1
(c) θ = 2pi/3, r ≥ 2
(d) 0 ≤ θ ≤ pi, r = 1
(e) −pi
4
≤ θ ≤ 3pi
4
, 0 ≤ r ≤ 1
(f) 0 ≤ θ ≤ pi/2, 1 ≤ |r| ≤ 2
Ca´lculo 3
(1) Determine e esboce o domı´nio das func¸o˜es a seguir.
(a) f(x, y) = arcsen(x2 + y2 − 2).
(b) f : D → R, com D = {(x, y) ∈ R2, x2 + 4y2 ≤ 16}.
(c) f(x, y) = 4
√
x+ y − 5 + log3(y − 3x− 1).
(d) f(x, y) = log(9− x2 − 9y2).
(e) f(x, y) =
√
y − x+ ln(y + x).
(f) f(x, y) = log(y − x2) +
√
x− y + 2.
(g) f(x, y) =
√
x+
√−y + ln(4− x2 − y2).
(2) Esboce o gra´fico das func¸o˜es a seguir.
(a) f(x, y) =
√
4− 4x2 − y2, onde
Domf =
{
(x, y) ∈ R2; 4− 4x2 − y2 ≥ 0, y ≥ 0} .
(b) f : D ⊂ R2 → R, f(x, y) = cosx, onde D = {(x, y) ∈ R2, 0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ 2}.
(c) f(x, y) = 4− x2 − y2, onde Dom(f) = {(x, y) ∈ R2, x ≥ 0, x ≤ y ≤ 2x}.
(d) f(x, y) = 9− x− y, onde Dom(f) = {(x, y) ∈ R2, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
(e) f(x, y) =
√
25− x2 − y2, onde Dom(f) = {(x, y) ∈ R2, x2 + y2 ≤ 25, x ≥ 0}.