MATERIAL DE ESTUDO - MECÂNICA DOS SOLOS

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TENSÃO DE 
CISALHAMENTO 
CÁSSIA JULIANA FERNANDES TORRES 
Engenheira Ambiental 
Engenheira de Segurança do Trabalho 
Engenheira de Segurança de Barragem 
Especialista em Geoprocessamento 
Mestre em Engenharia Ambiental Urbana/UFBA 
Doutoranda em Energia e Ambiente/Cienam/UFBA 
 
Centro Universitário Estácio da Bahia - FIB 
INTRODUÇÃO 
TRÊS 
PROPRIEDADES 
DE EXTREMA 
RELEVÂNCIA 
PARA O SOLO 
PERMEABILIDADE 
COMPRESSIBILIDADE/
RECALQUE 
TENSÃO DE 
CISALHAMENTO 
NOMENCLATURAS 
 f (fi) - Ângulo de atrito 
c - Coesão 
 (tal) – tensão de cisalhamento 
s - Tensão total 
s n - Tensão normal 
s ‘ - Tensão efetiva 
U – Poro pressão 
Alfa e a – coeficientes do Diagrama p x q 
 
Qualquer obra de engenharia que envolve conhecimentos geotécnicos 
deve necessariamente responder a pergunta, pode ocorrer a ruptura? 
Para respondê-la, deve-se equacionar diversas 
solicitações envolvidas na obra e verificar se o solo 
resiste a estas solicitações, determinando-se a 
resistência ao cisalhamento mobilizada pelo solo. 
INTRODUÇÃO 
INTRODUÇÃO – TEOREMA DE TERZAGHI 
st = s„ + U 
onde: st = tensão total aplicada; 
 s„ = tensão efetiva (tensão existente nos 
contatos entre os grãos); 
 U = pressão neutra (tensão existente na 
água). 
A tensão total é facilmente calculada, pois representa a tensão 
normal existente em um determinado ponto do plano. A pressão 
neutra também pode ser facilmente obtida através de medidores 
de carga hidráulica. No entanto, a tensão efetiva é impossível de 
ser obtida de forma direta. 
APLICAÇÃO EM SOLOS 
 
MOLA ~ GRÃOS 
ÁGUA ~ AGUA NOS VAZIOS 
VÁLVULA ~ PERMEABILIDADE 
CONCEITO DE SOLICITAÇÃO DRENADA E NÃO DRENADA 
SOLO 
DRENADO 
U = 0 (Não há poro pressão) 
SOLO 
NÃO DRENADO 
Há poro pressão 
SOLO SECO SOLO SATURADO 
Argila, areia: Solicitação drenada Areia: Solicitação drenada 
Argila: Solicitação não drenada 
Ruptura 
A ruptura ocorre quando a tensão 
aplicada no solo se iguala com a 
tensão de cisalhamento. 
INTRODUÇÃO 
RESISTÊNCIA AO 
CISALHAMENTO 
DO SOLO 
A ruptura de um solo, representada de maneira ideal, se produz por 
cisalhamento ao longo de uma superfície de ruptura, ocorre o 
deslizamento de uma parte do maciço sobre uma zona de apoio que 
permanece fixa. 
COESÃO 
ATRITO 
A lei de cisalhamento é 
a relação que une, no 
momento da ruptura e 
ao longo da superfícies 
de ruptura 
A tensão normal ou tensão de 
compressão (σ) 
A tensão tangencial ou 
tensão de cisalhamento (τ) 
INTRODUÇÃO 
COESÃO 
ATRITO 
• Fenômeno puramente físico; 
• Necessita de um primeiro movimento para acontecer; 
• Depende do peso do talude. 
• Fenômeno físico químico; 
• Ao primeiro movimento não existe mais a coesão; 
• Independe do peso da cunha do talude. 
Em um talude, ao primeiro 
movimento a coesão não 
existe mais, após, quem tende 
a sustentá-lo é o atrito. No 
entanto, caso venha a saturar, 
o atrito não existirá mais e 
ocorrerá a sua ruptura. 
No caso de solos, o atrito se dá nos contatos entre os grãos cujas 
superfícies são rugosas. Neste caso, não só ocorre deslizamento 
(escorregamento), mas também rolamento e galgamento das partículas, 
isto devido ao entrosamento ou embricamento das partículas. 
ATRITO 
COEFICIENTE DE 
ATRITO - O coeficiente 
de atrito interno do solo 
(denominado f) pode ser 
dividido: 
 
a) atrito grão a grão - é função apenas do 
tipo de mineral que compõe o grão 
(depende da resistência dos minerais 
presentes) 
(b) Entrosamento entre grãos 
(“interlocking”) - depende de como os 
grãos estão encaixados, logo é função da 
compacidade do material. Quanto mais 
compacto for o solo, maior será o 
entrosamento entre os grãos. (Exp: areia 
fofa tem um menor atrito que a areia 
compacta) 
COESÃO 
• Parcela da resistência do solo, que existe independente de quaisquer esforço 
normal aplicado. 
• Decorrente de: 
Cimentação entre partículas (ex. óxido de ferro – intemperização) – 
COESÃO VERDADEIRA 
Efeito de tensões negativas capilares. Ocorre apenas em solos 
parcialmente saturados, pode ser eliminada se ocorrer a saturação do solo 
– COESÃO APARENTE. 
 
A coesão aumenta 
com os seguintes 
fatores: 
Quantidade de argila e atividade coloidal. 
Razão de pré-adensamento. 
Diminuição da umidade. 
Exemplos típicos da influência da resistência ao cisalhamento dos solos 
Exemplos típicos onde a determinação da 
resistência ao cisalhamento do solo é que 
condiciona o projeto, são as análises de 
estabilidade de taludes (aterros e cortes), 
empuxos sobre muros de arrimo ou 
qualquer estrutura de contenção, 
capacidade de carga de sapatas e estacas. 
Qualquer problema de ruptura em Mecânica dos Solos envolve, portanto, uma 
superfície de ruptura, a qual poderá ser definida a priori como aquela onde, em 
todos os seus pontos, a tensão de cisalhamento atinge o valor limite da 
resistência ao cisalhamento do solo. 
A resistência ao cisalhamento de um solo em qualquer direção é a tensão de 
cisalhamento máxima que pode ser aplicada à estrutura do solo naquela 
direção. Quando este máximo é atingido, diz-se que o solo rompeu, tendo sido 
totalmente mobilizada a resistência do solo. 
RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO 
O fator de segurança (F) 
contra a ruptura é 
calculado como a razão 
entre as forças 
estabilizadoras e as 
forças instabilizadoras: 
As forças estabilizadoras são função dos 
parâmetros de resistência do solo (coesão e 
ângulo de atrito interno). As forças que atuam 
ao longo da superfície de ruptura arbitrada devem 
resistir à força aplicada no elemento de fundação. 
• Resistência ao cisalhamento: “Tensão de cisalhamento sobre 
o plano de ruptura, na ruptura” Leonards. 
• Propriedade mecânica mais importante dos Solos. 
• Aplicação de esforços de compressão ao solo geram no 
interior do maciço tensões de compressão e Cisalhantes. 
• Ruptura ocorre por cisalhamento (dependendo do nível de 
tensões e da resistência ao cisalhamento oferecida pelo solo). 
• Tensões cisalhantes podem também surgir quando da 
realização de escavações ou cortes no terreno 
RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO 
Fonte: Prof. João Carlos/UFBA 
CRITÉRIOS DE RUPTURA 
Há ruptura num determinado ponto, quando ao longo de uma superfície 
passando por esse ponto, a tensão de cisalhamento iguala à resistência 
intrínseca de cisalhamento do material, a qual é função da pressão normal 
atuante, no ponto sobre o plano em questão. 
CRITÉRIO DE 
RUPTURA DO 
MOHR- COULOMB 
1º - MOHR 
2º - COULOMB 
Em qualquer ponto da massa do solo existem três planos ortogonais onde as 
tensões cisalhantes são nulas. Estes planos são chamados “planos principais de 
tensões”. Portanto, as tensões normais recebem o nome de tensões principais, 
onde a maior das tensões atuantes é chamada tensão principal maior (σ1), a 
menor é chamada tensão principal menor (σ3), e a terceira é chamada 
tensão principal intermediária (σ2). 
Em Mecânica dos Solos, normalmente, despreza-se a tensão principal 
intermediária (σ2). Embora “σ2” influencie na resistência ao cisalhamento 
dos solos, seus efeitos não são perfeitamente compreendidos. 
1º - MOHR 
O estado de tensões em todos os planos passando por um ponto podem ser 
representados graficamente em um sistema de coordenadas em que as abcissas 
são as tensões normais (σ) e as ordenadas são as tensões de cisalhamento (τ), 
CÍRCULO DE MOHR 
O círculo de Mohr tem seu centro no eixo das abcissas. Desta forma, ele pode 
ser construído quando se conhecerem as duastensões principais, ou as tensões 
normais e de cisalhamento em dois planos quaisquer. 
Representação do estado de tensões através do diagrama de Mohr. 
A tensão desviadora 
representada em função da 
deformação específica, indica o 
valor máximo, que corresponde 
à ruptura, a partir do qual fica 
definido o círculo de Mohr, 
correspondente à situação de 
ruptura. 
A tensão cisalhante em um ponto do CP é 
função das tensões normal e cisalhante no 
plano de ruptura. 
1º - MOHR 
CRITÉRIO DE 
RUPTURA DE 
MOHR-
COULOMB 
A envoltória de resistência que tangencia os 
círculos de ruptura e é curva 
Apenas o circulo tangenciado pela envoltória 
apresenta uma combinação de tensões 
ortogonais capaz de levar o Corpo de Prova 
(CP) a ruptura. 
O ponto de tangencia representa o plano de 
ruptura. 
A inclinação da reta que une o centro do 
circulo ao ponto de tangencia representa o 
dobro da inclinação do plano de ruptura em 
relação ao plano de aplicação da tensão 
principal maior. 
Aspectos importantes: 
 
• Como determinar a envoltória? 
 
Ensaiar corpos de prova até a ruptura com diferentes tensões de 
confinamento. Traçar a envoltória tangente aos diversos 
círculos de ruptura encontrados. 
• Qual a inclinação do plano de ruptura ()? 
Através da figura: 2. = 90º + f OU  = 45º + f/2 
• O plano de ruptura usualmente não é o plano de tensão de 
cisalhamento máxima. 
• O critério considera s2 = s3. 
• A intercessão do circulo de ruptura pela envoltório em dois 
pontos é considerada impossível. 
1º - MOHR 
  ff = (s t – U)× tang (f) + c 
2º - COULOMB 
• Importante: Para um mesmo solo, a depender das condições de ensaio 
especificadas, pode-se obter valores de c e f totalmente diferentes. 
• Envoltória de Mohr-Coulomb - maneira eficiente e confiável de 
representação da resistência do solo, residindo justamente em sua 
simplicidade um grande atrativo para sua aplicação prática. 
Tensão 
Cisalhante Tensão 
total 
Poro 
Pressão 
Tensão efetiva 
Ângulo do 
atrito 
Coesão 
Coeficiente 
do atrito 
EQUAÇÃO DE 
TERZAGUI 
• Dentro de uma certa faixa de “s“, a envoltória curva poderia 
ser associada a uma reta. 
• A inclinação da envoltória seria o angulo de atrito interno do 
material e C o intercepto coesivo. 
• O valor das tensões normal e de cisalhamento poderiam ser 
obtidas em qualquer plano de inclinação  com o plano de 
aplicação da tensão principal maior do CP dado as tensões 
principais ortogonais na ruptura. 
 
2º - COULOMB 
Raio = s1 - s3 
 2 
Centro = s1 + s3 
 2 
t = s1 - s3 . sen (2. f) 
 2 
sn = s1 + s3 + s1 - s3 . cos (2. f) 
 2 2 
 
  ff 
s s 1 s 3 
f 
sn = Centro + Raio . cos (2. f)  = Raio . sen (2. f) 
TENSÃO NORMAL TENSÃO TANGENCIAL 
O valor das tensões normal e de cisalhamento poderiam ser obtidas em 
qualquer plano de inclinação  com o plano de aplicação da tensão principal 
maior do CP dado as tensões principais ortogonais na ruptura. 
2f 
c 
Determinação das tensões atuantes no plano. 
Conhecendo-se os planos e as tensões principais num ponto, pode-se sempre 
determinar as tensões normais e de cisalhamento em qualquer plano passando por 
este ponto. 
2º - COULOMB 
Exemplo 1: Dado o estado de tensões 
da figura abaixo, determine as tensões 
no plano horizontal “dd”. 
CÍRCULO DE MOHR 
ENVOLTÓRIO DO CÍRCULO DE MOHR 
Cada círculo de Mohr representa o estado de tensões na ruptura de 
cada ensaio. A linha que tangência estes círculos é definida como 
envoltória de ruptura de Mohr. A envoltória de Mohr é geralmente 
curva, embora com frequência ela seja associada a uma reta. 
ESTADOS DE TENSÕES ASSOCIADOS A UM PONTO. 
Estado 1 
A amostra de solo está submetida a uma pressão 
hidrostática (igual em todos as direções). O 
estado de tensão deste solo é representado pelo 
ponto σ3 e a tensão cisalhante é nula. 
ESTADOS DE TENSÕES ASSOCIADOS A UM PONTO. 
Estado 2 
O circulo de Mohr está inteiramente abaixo da 
envoltória. A tensão cisalhante (τα) no plano de 
ruptura é menor que a resistência ao 
cisalhamento do solo (τ) para a mesma tensão 
normal. Não ocorre ruptura. 
ESTADOS DE TENSÕES ASSOCIADOS A UM PONTO. 
Estado 3 
O círculo de Mohr tangência a envoltória de 
ruptura. Neste caso atingiu-se, em algum plano, a 
resistência ao cisalhamento do solo e ocorre a 
ruptura. Esta condição ocorre em um plano 
inclinado a um ângulo "α critico" com o plano 
onde atua a tensão principal maior. 
ESTADOS DE TENSÕES ASSOCIADOS A UM PONTO. 
Estado 4 
Este círculo de Mohr é impossível de ser obtido, 
pois antes de atingir-se este estado de tensões já 
estaria ocorrendo ruptura em vários planos, isto é, 
existiria planos onde as tensões cisalhantes seriam 
superiores à resistência ao cisalhamento do solo. 
ENSAIOS DE RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO 
ENSAIOS DE 
LABORATÓRIO 
Ensaio Cisalhamento Direto 
Ensaio Triaxial 
Ensaio de Compressão Simples 
Ensaios Especiais 
ENSAIOS DE 
CAMPO 
Ensaio de Palheta (Vane Test) 
Sondagem à Percussão 
Ensaios de Cone 
Cisalhamento Direto In-situ 
ENSAIOS DE CISALHAMENTO - TRIAXIAL 
É considerado o ensaio padrão em Mecânica dos Solos 
É utilizado para obter os coeficientes necessários para 
cálculo da tensão de cisalhamento: Coesão (c) e atrito ( ) 
ENSAIOS DE CISALHAMENTO - TRIAXIAL 
ENSAIOS DE CISALHAMENTO - TRIAXIAL 
Foto 1 – Moldagem de um CP de areia sobre a própria base interna da câmara; Foto 2 – Montagem na 
câmara triaxial, após a montagem do CP na base, fora da prensa de compressão; Foto 3 – Aspecto da 
câmara montada na prensa, preenchida com água sob pressão, durante a realização do ensaio; Foto 4 – 
Registro de um corpo de prova rompido, em que se observa o plano de cisalhamento do material ensaiado – 
no caso um solo argiloso compactado. 
ENSAIOS DE CISALHAMENTO - TRIAXIAL 
QUANDO SOLICITAR UM ENSAIO DE TRIAXIAL DEVE-SE 
INFORMAR AO LABORATÓRIO: 
 
1_ Quantidade de Corpo de PROVA (CP): Mínimo 3; Ideal 4. 
2_ Níveis de tensões a serem aplicadas (25 Kpa; 50 Kpa; 100 Kpa; 200 
Kpa): Varia de acordo com a obra. 
3_ Ensaio saturado ou não saturado. 
4_ Controle de drenagem: CU (Consolidado não drenado); CD 
(consolidado, drenado) e UU (não consolidado, não drenado). 
5_ Trajetória de tensão: CA (Compressão Axial); EA (Extensão Axial);CR 
(Compressão Radial); ER (Extensão Radial). 
VALORES DE ÂNGULO DE ATRITO E A COESÃO VARIAM DE 
ACORDO COM O TIPO DE ENSAIO QUE VAI SER FEITO NO CORPO 
DE PROVA PARA UM MESMO SOLO. 
ENSAIO DE CISALHAMENTO - TRIAXIAL 
E
N
S
A
IO
 T
R
IA
X
IA
L
 
UNCONSOLDATION 
UNDRAINED – UU 
(Ensaio não adensado 
não drenado) 
CONSOLIDATION 
DRAINED – CD 
(Ensaio adensado 
drenado) 
CONSOLIDATION 
UNDRAINED – CU 
(Ensaio adensado não 
drenado) 
COMPRESSÃO 
AXIAL 
EXTENSÃO 
AXIAL 
EXTENSÃO 
RADIAL 
COMPRESSÃO 
RADIAL 
CU COM COMPRESSÃO AXIAL, COM TENSÕES DE 500; 100; 200KPa, para 
condição de solo saturado é o teste mais usual na engenharia – Resolve 90% dos 
casos. 
ENSAIO DE CISALHAMENTO - TRIAXIAL 
COMPRESSÃO 
AXIAL 
Comprimir até ocorrer a 
ruptura 
Etapa I (adensamento): σ1 = σ3 
Etapa II (cisalhante): σ3 é constante e 
aumenta a σ1 até a ruptura 
COMPRESSÃO 
RADIAL 
Comprimir até ocorrer a 
ruptura 
Etapa I (adensamento): σ1 = σ3 
Etapa II (cisalhante): σ1 é constante e 
aumenta a σ3 até a ruptura 
RADIAL 
AXIAL 
ENSAIO DECISALHAMENTO - TRIAXIAL 
EXTENSÃO 
 AXIAL 
Etapa I (adensamento): σ1 = σ3 
Etapa II (cisalhante): :σ3 é constante e 
reduz a σ1 até a ruptura 
EXTENSÃO 
RADIAL 
Etapa I (adensamento): σ1 = σ3 
 Etapa II (cisalhante): σ1 é constante e 
reduz a σ3 até a ruptura 
EXTENSÃO AXIAL – Alívio tensão (Exp: 
escavação vertical) 
ENSAIO DE CISALHAMENTO – TRIAXIAL – Exemplos aplicações 
1. Compressão Axial (CA) 
Exp: Construção de um edifício ou um aterro: Para dimensionamento da 
fundação dessa obra haverá necessidade de encontrar ângulo de atrito e a 
coesão do solo. Para este caso, a s 3 não é afetada e s 1 é afetado pela 
sobrecarga, caso venha a romper. 
3. Extensão Axial (EA) 
Exp: Escavação: Haverá necessidade de encontrar ângulo de atrito e a 
coesão do solo. Para este caso, a s 3 é constante e reduz s 1 . 
4. Extensão Radial (ER) 
Exp: Muro de arrimo: Para evitar uma ruptura deve-se realizar uma análise 
de estabilidade obtendo a coesão e o ângulo de atrito. Para este caso, reduz 
s 3 e mantem s 1. 
2. Compressão Radial (CR) 
Exp: Cortina atirantada: Haverá necessidade de encontrar ângulo de atrito 
e a coesão do solo. Para este caso, aumenta s 3 e mantem s 1 Constante. 
ENSAIO NÃO ADENSADO NÃO DRENADO (UU) 
ENSAIO DE CISALHAMENTO – CONTROLE DE DRENAGEM 
Neste ensaio aplica-se a tensão confinante e o carregamento axial até a ruptura do corpo 
de prova sem permitir qualquer drenagem. O teor de umidade permanece constante e 
pode-se medir as pressões neutras (tensões totais e efetivas). 
ENSAIO ADENSADO NÃO DRENADO (CU) 
Neste ensaio há permanente drenagem do corpo de prova. Aplica-se a tensão confinante 
(σc) e espera-se o corpo de prova adensar (24 a 48 horas). A seguir, a tensão axial (σd) é 
aplicada lentamente, permitindo a dissipação do excesso de pressão neutra (u) gerada 
pelo carregamento (até uma semana). Desta maneira a pressão neutra durante o 
carregamento permanece nula e as tensões totais medidas são às tensões efetivas. 
ENSAIO ADENSADO DRENADO (CD) 
Aplica-se a tensão de confinamento permitindo-se a drenagem do corpo de prova 
(adensamento), até a completa dissipação do excesso de pressão neutra gerada pela 
aplicação da tensão confinante. Fecham-se os registros do canal de drenagem e aplica-se 
a tensão axial (desviadora) até a ruptura, medindo-se as pressões neutras geradas pelo 
carregamento (o teor de umidade permanece constante na fase de cisalhamento). 
ENSAIO DE CISALHAMENTO – CONTROLE DE DRENAGEM 
ENSAIO NÃO 
ADENSADO NÃO 
DRENADO (UU) 
ENSAIO ADENSADO 
NÃO DRENADO 
(CU) 
ENSAIO 
ADENSADO 
DRENADO (CD) 
Etapa I (adensamento): Torneira fechada 
Etapa II (cisalhante): Torneira fechada 
Etapa I (adensamento): Torneira aberta 
Etapa II (cisalhante): Torneira aberta 
Etapa I (adensamento): Torneira aberta 
Etapa II (cisalhante): Torneira fechada 
ENSAIO DE CISALHAMENTO – CONTROLE DE DRENAGEM 
Solo consolidado: Quando um empreendimento já estabilizou o seu 
máximo alcançado após sua construção. Exp: Uma barragem (30 anos) de 
construída. 
OBSERVAÇÃO: Em projetos de barragens há uma necessidade de 
solicitar ensaio Triaxial no mínimo para duas situações: UU (NÃO 
CONSOLIDADO, NÃO DRENADO) e CU (CONSOLIDADO, NÃO 
DRENADO) – Utiliza-se o menor valor encontrado em ambos os ensaios 
para o ângulo de atrito e para a coesão. 
 
• O corpo de prova para realizar este ensaio para o caso de barragens, 
deve ser corpo de prova compactado na umidade ótima. 
TENSÕES EFETIVAS 
AS TENSÕES QUE CONTROLAM A 
RESISTÊNCIA DE CISALHAMENTO NÃO SÃO 
AS TENSÕES TOTAIS E SIM AS TENSÕES 
EFETIVAS. LOGO, A TENSÃO TOTAL É 
CALCULADA APENAS PARA ENCONTRAR A 
TENSÃO EFETIVA. 
TRAJETÓRIAS DE TENSÃO (DIAGRAMA P,P‟,Q) 
Representação gráfica do caminho percorrido pelo estado de tensões num 
elemento de solo durante o carregamento. A representação gráfica do estado 
de tensão pelo círculo de Mohr não é apropriada para representar a 
trajetória de tensões. É preciso antes transformar o círculo de Mohr em um 
ponto. 
Os círculos de tensões são representados pelo ponto de coordenada (centro, 
raio). Essas coordenadas são do plano de tensão cisalhante máxima (que forma 
90º) ou 45º com o plano de aplicação da tensão principal maior no CP. 
As trajetórias podem ser definidas em termos de tensões totais e efetivas: 
Tensões 
TOTAIS 
p = s1 + s3 (centro do circulo); 
 2 
q = s1 - s3 (raio do circulo). 
 2 
Tensões 
EFETIVAS 
p‟ = s1‟ + s3‟ = (s1-U) + (s3-U) = s1 + s3 - U = p - U; 
 2 2 2 
q‟ = s1‟ - s3‟ = (s1-U) - (s3-U) = s1 - s3 = q 
 2 2 2 
TRAJETÓRIAS DE TENSÃO (DIAGRAMA P,P‟,Q) 
TRAJETÓRIAS DE TENSÃO (DIAGRAMA P,P‟,Q) 
45º 
q 
p 
Obs: No gráfico pxq, todas as trajetórias de tensões possuem inclinação 
de 45º. 
Obs: Para cada corpo de prova , apenas uma reta. 
Φ ≠≠  
c ≠≠ a 
Tang  = 𝑠𝑒𝑛Φ 
a= 𝑐 𝑐𝑜𝑠Φ 
Para as 
envoltórias valem 
as respectivas 
equações: 
TRAJETÓRIAS DE TENSÃO (DIAGRAMA P,P‟,Q) 
Como a envoltória do diagrama p x q associa os pontos do plano de tensão 
cisalhante máxima e a envoltória de Mohr associa os pontos do plano de 
ruptura, torna-se claro que apenas no caso particular de envoltória horizontal, 
as inclinações são semelhantes, assim como os respectivos interceptou. 
’ = C’ + sn’. tang f‘ 
 = C + sn. tang f. 
q' = a’ + p’. tang ‘ 
q = a + p. tang  
TRAJETÓRIAS DE TENSÃO (DIAGRAMA P,P‟,Q) 
q 
45º 45º 
p 
45º 
CP1 CP2 CP3 
Ensaio Triaxial – Compressão Axial 
a 
 
q 
45º 45º 45º 
CP1 CP2 CP3 
Ensaio Triaxial – Extensão Radial 
a 
Observação: O ponto no 
final da seta representa a 
coordenada do centro onde 
ocorreu a ruptura. 
q' = a’ + p’. tang ‘ 
q = a + p. tang  
TRAJETÓRIAS DE TENSÃO - EXEMPLOS 
1. Ensaio Drenado – Compressão Axial (s1 aumenta e s3 constante) 
CP1 
s1 s3 p q Ensaio 
25 25 25 0 Fase I - Adensamento 
26 25 25,5 0,5 Fase II - Cisalhante 
 27 25 26 1 
28 25 26,5 1,5 
... ... ... ... 
45 25 35 10 Fase III - Ruptura 
p = s1 + s3 
 2 
q = s1 - s3 
 2 
TRAJETÓRIAS DE TENSÃO - EXEMPLOS 
1. Ensaio Drenado – Compressão Axial (s1 aumenta e s3 constante) 
CP2 
s1 s3 p q Ensaio 
50 50 50 0 Fase I - Adensamento 
51 50 50,5 0,5 Fase II - Cisalhante 
 52 50 51 1 
53 50 51,5 1,5 
... ... ... ... 
100 50 75 25 Fase III - Ruptura 
p = s1 + s3 
 2 
q = s1 - s3 
 2 
TRAJETÓRIAS DE TENSÃO - EXEMPLOS 
1. Ensaio Drenado – Compressão Axial (s1 aumenta e s3 constante) 
CP3 
s1 s3 p q Ensaio 
100 100 100 0 Fase I - Adensamento 
101 100 100,5 0,5 Fase II - Cisalhante 
 102 100 101 1 
103 100 101,5 1,5 
... ... ... ... 
220 100 160 60 Fase III - Ruptura 
p = s1 + s3 
 2 
q = s1 - s3 
 2 
TRAJETÓRIAS DE TENSÃO - EXEMPLOS 
1. Ensaio Drenado – Compressão Axial (s1 aumenta e s3 constante) 
25 45 50 100 220 s1 ,s3 
 
C 
f 
p 
q 
Tang  = 𝑠𝑒𝑛Φ 
a= 𝑐 𝑐𝑜𝑠Φ 
10 
a 
35 
TRAJETÓRIAS DE TENSÃO - EXEMPLOS 
2. Ensaio Não Drenado – Compressão Axial (s1 aumenta e s3 
constante) 
CP1 
s1 s3 p q U s1 „ s3 „ p‟ q' 
25 25 25 0 0 25 25 25 0 
26 25 25,5 0,5 0,5 25,5 24,5 25 0.5 
27 25 26 1 1,0 26 24 25 1.0 
28 25 26,5 1,5 1,5 26,5 23,5 25 1,5 
... ... ... ... ... ... ... ... ... 
45 25 35 10 4 41 21 31 10 
p = s1 + s3 
 2 
q = s1 - s3 
 2 
s‟ = s - U 
Família de tensõestotais Família de tensões efetivas 
p‟ = s1 + s3 - U 
 2 
q' = q = s1 - s3 
 2 
PARA HAVER RUPTURA A TRAJETÓRIA TEM QUE 
INTERCEPTAR A ENVOLTÓRIA DE RUPTURA 
ENVOLTÓRIA TRAJETÓRIA 
q' = a’ +p’. tang ‘ 
q = a + p. tang  
Y = ax + b 
q = + ou -p tang 45 + ou - b = 
O sinal de p e b dependem da 
trajetória – Determinada por 
trigonometria 
b é o valor do início da 
trajetória 
Quando ocorre a ruptura os valores 
de q da envoltória e q da trajetória se 
tornam iguais 
Trajetória 
q 
P, p’ 
45º 
q 
p 
b 
Equação da trajetória 
CA: q = p tang 45 –b 
CR: q = p tang 45 + b 
EA: q = - p tang 45 –b 
ER: q = -p tang45 +b 
+ 
- 
EXERCÍCIO 1 
Considere um solo cujas envoltórias de tensões efetivas e totais, 
são respectivamente,  = sn„.tan 25º e  = sn.tan 14º. Considere 
ainda que um corpo de prova deste material é inicialmente 
adensado em uma câmara triaxial para 4 tf/m2. Pede-se: 
 
a) O valor da tensão desviadora máxima se o corpo de prova for 
cisalhado segundo uma trajetória de tensões totais s1=s3 de 
forma drenada; 
b) O valor de qf se o corpo de prova for cisalhado de forma 
drenada por extensão lateral; 
c) Os valores das tensões principais total, efetiva e neutra na 
ruptura, para um corpo de prova cisalhado por compressão axial 
de forma não drenada; 
d) As tensões normal e tangencial no plano que faz 30º com o 
plano de atuação da tensão principal maior. 
 
Fonte: Aula Mecânica dos Solos Prof. João Carlos - UFBA 
Dois corpos de prova são adensados isotropicamente com 
tensões de 3 tf/m2 e 5 tf/m2. Observou-se que as tensões 
desviatórias máximas foram, respectivamente, 2 tf/m2 e 3 tf/m2 
obtidas em ensaios triaxiais drenados. Pede-se: 
 
 
a) A equação da envoltória de tensões efetivas; 
b) O valor de qf se o corpo de prova for cisalhado de forma 
drenada em um ensaio triaxial convencional com uma tensão de 
confinamento de 7 tf/m2; 
c) Sabendo que a equação da envoltória de tensões totais é  = 
sn.tan 10º + 0,5. Determinar as tensões principais total e efetiva 
e neutra na ruptura para dois corpos de prova cisalhados por 
compressão axial de forma não drenada, adensados inicialmente 
para 1 tf/m2 e 8 tf/m2; 
d) As tensões normal e tangencial no plano que faz 10º com o 
plano de atuação da tensão principal maior para um corpo de 
prova adensado isotropicamente para 2 tf/m2. 
EXERCÍCIO 2 
Fonte: Aula Mecânica dos Solos Prof. João Carlos - UFBA 
PRINCIPAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
Sandro Lemos Machado e Miriam de Fátima C. 
MachadoMECÂNICA DOS SOLOS II Conceitos 
introdutórios. Universidade Federal da Bahia – UFBA, 2013. 
UNIDADE 9 – RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO 
DOS SOLOS. Notas de Aula - Mecânica dos Solos. 
Disponível em: 
http://www.dcc.ufpr.br/mediawiki/images/6/6c/Unidade-9-
e28093-resistc3aancia-ao-cisalhamento-dos-solos.pdf 
OBRIGADA! 
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