Segunda lista de exerc cios de lgebra Linear (2)

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Segunda lista de exercícios de Álgebra Linear 
Nos problemas a seguir apresentam-se um conjunto com as operações de adição e 
multiplicação por escalar neles definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. 
Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam. 
1. ℝ�,(�,�,�)+ (��,��,��)= (� + ��,� + ��,�+ ��) � �(�,�,�)= (0,0,0) 
2. {(�,2�,3�);� ∈ ℝ com as operações usuais 
3. ℝ�,(�,�)+ (�,�)= (�,�) � �(�,�)= (��,��) 
4. ℝ�,(�,�)+ (��,��)= (� + ��,� + ��) � �(�,�)= (���,���) 
5. ℝ�,(�,�)+ (��,��)= (� + ��,� + ��) � �(�,�)= (��,0) 
6. � = {(�,�)∈ ℝ� /� = 5�} com as operações usuais 
7. � = ��
0 �
� 0
� ∈ � (2,2) /�,� ∈ ℝ� com as operações usuais 
Nos problemas a seguir são apresentados subconjuntos do ℝ�. Verificar quais deles são 
subespaços vetoriais do ℝ� relativamente às operações usuais de adição e multiplicação 
por escalar. 
1) � = {(�,�)/� = −�} 
2) � = {(�,��);� ∈ ℝ} 
3) � = {(�,�)/� + 3� = 0} 
4) � = {(�,�)/ � = � + 1} 
Os problemas 5 e 6 a seguir se referem aos vetores � = (2,−3,2) e � = (−1,2,4) do 
ℝ�. 
5) Escrever o vetor � = (7,−11,2) como combinação linear de � e �. 
6) Para que valor de k o vetor � = (−8,14,�) é combinação de � e �. 
Os problemas 7 e 8 a seguir se referem aos vetores �� = (−1,2,1),�� = (1,0,2) 
e �� = (−2,− 1,0) do ℝ
� 
7) Expressar o vetor � = (−8,4,1) como combinação linear dos vetores ��,�� e 
��. 
8) Expressar o vetor � = (0,2,3) como combinação linear de ��,�� e ��. 
9) Dado o conjunto � = {�� = (− 1,3,−1),�� = (1,2,4)}⊂ ℝ
�, determinar o 
subespaço G(A). 
10) Determinar o subespaço G(A) para � = {(1,−2),(−2,4)}⊂ ℝ� e dizer o 
que representa geometricamente esse subespaço. 
11) Mostrar que os vetores �� = (1,1,1),�� = (0,1,1) e �� = (0,0,1) geram o 
ℝ�. 
12) Classificar os seguintes subconjuntos do ℝ� em LI ou LD: 
a) {(1,3)} 
b) {(1,3), (2,6)} 
c) {(2,-1), (3,5)} 
d) {(1,0), (-1,1), (3,5)} 
13) Classificar os seguintes subconjuntos do ℝ� em LI ou LD: 
a) {(-2,1,3)} 
b) {(1,-1,1), (-1,1,1)} 
c) {(2,1,0), (-1,3,0), (3,-4,0)} 
d) {(2,1,3), (0,0,0), (1,5,2)} 
14) Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do ℝ�. 
a) {(1,2), (-1,3)} 
b) {(3,-6), (-4,8)} 
c) {(0,0), (2,3)} 
d) {(3,-1), (2,3)} 
15) Verificar quais dos seguintes conjuntos vetores formam uma base do ℝ�. 
a) {(1,1,-1), (2,-1,0), (3,2,0)} 
b) {(1,0,1), (0,-1,2), (-2,1,-4)} 
c) {(2,1,-1), (-1,0,1), (0,0,1)} 
d) {(1,2,3), (4,1,2)} 
Os problemas 16 e 17 se referem aos seguintes subespaços do ℝ�: 
�� = {(�,�,�,�)/ � + � + � = 0} 
�� = {(�,�,�,�)/ � − 2� = 0 � � = 3�} 
16) Determinar ��� �� e uma base de ��. 
17) Determinar ��� �� e uma base de ��.