Terceira lista de exerc cios de lgebra Linear (1)

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Quarta lista de exercícios de Álgebra Linear 
Nos problemas 1 a 9 a seguir dentre as funções (transformações) dadas, verificar 
quais delas são lineares. 
1) �:ℝ� → ℝ�,�(�,�)= (2� − �,3� + 5�) 
2) �:ℝ� → ℝ�,�(�,�)= (��,��) 
3) �:ℝ� → ℝ�,�(�,�)= (� + 1,�) 
4) �:ℝ� → ℝ�,�(�,�)= (� − �,0) 
5) �:ℝ� → ℝ,�(�,�)= �� 
6) �:ℝ� → ℝ�,�(�,�)= (3�,−2�,0) 
7) �:ℝ� → ℝ�,�(�,�,�)= (� + �,� − �,−�) 
8) �:ℝ → ℝ�,�(�)= (�,2) 
9) �:ℝ� → ℝ�,�(�,�)= (�,�,�,�) 
10) Seja �:ℝ� → � a projeção ortogonal do ℝ� sobre o plano y0z, indicado por 
W. 
a) Determinar a lei que define T. 
b) Calcular T(3,-4,5). 
11) Dada a transformação linear �:ℝ� → ℝ� tal que 
�(1,0,0)= (2,1),�(0,1,0)= (− 1,0)� �(0,0,1)= (1,−2). 
a) Determinar a matriz canônica de T. 
b) Calcular T(3,4,5). 
c) Calcular T(x,y,z). 
12) Uma transformação linear �:ℝ� → ℝ� é tal que 
�(−1,1)= (3,2,1) � �(0,1)= (1,1,0). Nessas condições determinar: 
a) T(2,3) 
b) T(x,y) 
c) � ∈ ℝ� tal que T(v)=(-2,1,-3) 
13) Dado o operador linear �:ℝ� → ℝ�,�(�,�)= (2� + �,4� + 2�), dizer 
quais dos seguintes vetores pertencem a N(T) 
a) �� = (1,−2) 
b) �� = (2,−3) 
c) �� = (−3,6) 
14) Para o mesmo operador linear do problema anterior, verificar quais dos 
seguintes vetores pertencem a Im(T): 
a) �� = (2,4) 
b) �� = (−
�
�
,−1) 
c) �� = (−1,3) 
Nos problemas 15 à 18 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma 
delas determinar: 
a) O núcleo, uma base desse subespaço e sua dimensão; 
b) A imagem, uma base desse subespaço e sua dimensão; 
c) Verificar a propriedade 3, em cada caso relativa à dimensão. 
15) �:ℝ� → ℝ�,�(�,�)= (3� − �,−3� + �) 
16) �:ℝ� → ℝ�,�(�,�)= (� + �,�,2�) 
17) �:ℝ� → ℝ�,�(�,�)= (� − 2�,� + �) 
18) �:ℝ� → ℝ�,�(�,�,�)= (� + 2� − �,2� − � + �) 
19) Dada a transformação linear �:ℝ� → ℝ�,�(�,�,�)= (2� + � − �,� + 2�) 
e as bases � = {(1,0,0),(2,−1,0),(0,1,1)} ⊂ ℝ� e � = {(−1,1),(0,1)} do 
ℝ�, determinar a matriz T nas bases A e B. 
Os problemas 20 à 24 se referem aos operadores lineares T e S definidos por 
T(x,y)=(x-2y,y) e S(x,y)=(2x,-y). Calcular 
20) T+S 
21) S-T 
22) 2T+4S 
23) T∘S 
24) S∘T. 
25) Dado o operador linear �:ℝ� → ℝ� que produz uma rotação do plano de um 
ângulo �, calcular T(-2,4) e T(x,y) nos casos de: 
a) � = � 
b) � =
�
�