2017513 185817 Lista+2+Prova+2 (1)

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Disciplina: Álgebra Linear
Profª.: Melissa Alves
Lista de exercícios 
Mudança de base e Transformações lineares
1) Considere a transformação T: IR³ → IR³; T(x, y, z) = (x +y + z, x-y, 2x-z)
a) Determine o núcleo da transformação
b) Determine o conjunto imagem da transformação
2) Considere uma matriz 2x3 cujos elementos da primeira linha são 2, −6, 10 e da segunda 
linha 4, 8, −2. Considere as bases A = {(1,0) , (0,1)}
e B = {(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)}
. 
Encontre a transformação linear T_{A}
 : IR³ → IR²
3) Sejam T: IR³ → IR²; T(x, y, z) = (6x+3y-3z, 9x -6y+12z), A = {(1,1,1), (1,1,0), (1, 0,0)}
, 
B = {(1,3) , (1,4)}
. Determine [T]^{A}
_{B}
4) A expressão geral de um operador linear T:IR² → IR² é
T(x, y) = (ax+by, cx+dy). Determine as constantes a, b, c e d de modo que T transforme os 
vetores u = (1,2) e v = (3,4) nos vetores T(u)=(1,1) e T(v)=(2,2)
5) A expressão geral de um funcional linear T: IR³ →IR é T(x,y,z)= ax + by +cz. Dados os 
vetores u = (1,2,3), v= (-1,2,3) e w = (1, -2, 3), determine a, b e c de tal modo que se tenha 
T(u) =1, T(v) = 0 e T(w)= 0.
6) Quais das transformações abaixo são lineares?
a) T: IR³→ IR³ , T(x,y,z) = (x, 2^(y), 2^(z))
b) T: IR³→ IR³ , T(x,y,z) = (3x, a ,5z), onde a é um número real
c) T: IR^(4) → IR³ , T(x,y,z,w) = (x-w, y-w, x+z)
7) Seja T: IR² → IR um funcional linear. Sabendo que T(1,1) = 3 e T(2,3) = 1, calcule T(1,0)
e T(0,1).
8) Considere a transformação linear T(x, y) = (2x+y, 4x+2y). Quais dos vetores abaixo 
pertencem ao núcleo de T?
a) (1, -2)
b) (3, -4)
9) Determine a transformação linear T: IR² → IR² tal que T(0,1) = (-1, 2) e T(1,1) = (1, 3)
10) Verifique se os vetores são LI ou LD
a) u = (1, 0, -2), v = (-2, -1, 3), w = (0, -1, -1)
b) u = (1, -1, 2), v = (2, 2, -1), w = (1, -1, 5)
c) u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 2), w = (0, 1, 0)
11) A transformação T: IR³ →IR³, T(x, y,z) = (x+y, y, z) é linear?
12) Determine a transformação linear T: IR² → IR³ tal que T(2,1) = (1, 5, -4) e
T(1, 0) = (1, 2, -2).
13) Determine a transformação linear T: IR³ → IR² tal que T(-1, 1, 0) = (3, 2) e
T(-1, 0, 2) = (1, 0). Ache seu núcleo. Qual é a dimensão da imagem desta transformação?
14) Encontre a transformação linear T: IR² → IR² tal que T(1,2) = (-3, 1) e
T(0, 1) = ( 2, 1).
15) Considere a transformação T: IR³ → IR³; T(x, y, z) = (x + y - z, x – y, 2x – z)
a) Determine o núcleo da transformação
b) Qual a dimensão da imagem da transformação?
16) Considere a transformação T: IR³→IR³;T(x, y, z)=(6x + 4,2x + y – z, 3x+2y)
a) Determine o núcleo da transformação
b) Determine o conjunto imagem da transformação
17) Quais das funções são transformações lineares
a) T(x, y) = (x-y, y, x)
b) T(x, y, z) = (x², y, y + z)
c) T(x, y) = (y + x, 3x)
d) T(x, y, z) = (x-y, x+y-z)
18) Encontre a matriz de T : IR³ → R² dada por T(x, y, z) = (x +y, x − z) com relação as 
bases canônicas de IR³ e IR², B: {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
 e
C: {(1, 0), (0, 1)}
.
19) Verifique se a transformação é linear:
a) T: IR² → IR² ; T(x, y) = (x+y, y)
b) T: IR³ → IR² ; T(x, y) = (x-y, x+y-z)
20) Determine uma transformação linear
a) T: IR² → IR³ ; T(2, 1) = (1, 5, -4) e T(0, 1) = (1, 2, -2)
b) T: IR³ → IR³ ; T(-1, 1, 0) = (0, 2) e T(1, 0, 0) = (1, 0)
c) T: IR² → IR² ; T(1, 2) = (-3, 1) e T(0, 1) = (2, 1)
Gabarito
1) a) {(0,0,0)}
 b) {x (1, 1, 2) + y (1, -1, 0) + z (1, 0 ,-1); x, y, z in IR}
2) T(x, y, z) = (2x-6y+10z, 4x+8y-2z)
3) elementos da primeira linha da matriz: 9, 33, 15 / elementos da segunda linha da matriz: 
-3, -24, -9
4) Monte um sistema de equações: T(1,2)=(a + 2b, c + 2 d) = (1,1) e
T(3,4) = (3 a + 4 b, 3 c + 4 d) =(2,2). a =0, b = ½, c = 0, d= ½
5) a = ½ , b = ¼ e c = 0
6) a) Não é linear b) Não é linear c) É linear
7) T(1,0) = 8 e T(0,1) =-5
8) a
9) T(x, y) = (2x-y, 2y +x)
10) a) LD, b) LI , c) LI
11) Sim
12) T(x, y) = (x-y, y+2x, -2x)
13) a) Ker (T) = {k. (1, 0, 0); k em IR}
 b) 2 c) {(3, 2), (1/2, 0)}
14) T(x, y) = (-7x +2y, -x +y)
15) a) Ker (T) = {k. (1, 1, 2); k em IR}
 b) 2
16) a)Ker(T)= {k. (-2/3, 1, -1/3); k em IR}
 b)(6, 2, 3),(0, 1, 2),(0, -1, 0),(4, 0, 0)}
17) a, c e d
18) primeira linha da matriz: 1, 1, 1 / segunda linha da matriz: 1, 0, -1
19) a e b são transformações lineares
20) a)T(x, y)=(y, 2y +(3x)/2, -x-2y) b)T(x,y,z)=(y, 2y) c)T(x, y)=(-7x+2y, -x+y)
“A maioria das pessoas não planeja fracassar; fracassa por não planejar.”
John L. Beckley
Divirtam-se! ;)