Aula 04 (Cálculo II Semestre 2015.1)

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Cálculo II – Prof. Marcus V. S. Rodrigues (Semestre 2015.1) 
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AULA 04 – Integral de Riemman 
Considere uma função 
 y f x
 contínua e não negativa no intervalo 
 a,b
, 
então, seja a região 
R
 limitada acima pela curva 
 y f x
, abaixo pelo eixo 
x
, à esquerda 
pela reta 
x a
 e à direita pela reta 
x b
, conforme ilustrada na Fig. 1. 
 
Figura 1 – Representação gráfica da região R 
 
 
Conforme ilustrado na Fig. 1, a área da região S será indicada por 
R
 e o objetivo 
aqui é o de definir uma fórmula para o cálculo desta área. 
 
Definição 1. Uma partição 
P
 de um intervalo 
 a,b
 é um conjunto finito 
 0 1 2 nP x , x , x ,..., x
 onde 
0 1 2 na x x x ... x b     
, que divide o intervalo 
 a,b
 em 
n
 subintervalos da forma 
i 1 ix , x  
, 
i 1, 2,..., n
. 
 
Figura 2 – Subintervalos de [a, b] 
 
 
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Para cada subintervalo 
i 1 ix , x  
 tem-se 
i i i 1x x x   
 que é a amplitude do 
intervalo. Assim, 
1 1 0x x x  
, 
2 2 1x x x  
,...., 
n n n 1x x x   
 
Vale salientar que os números 
1x
, 
2x
,..., 
nx
 não são necessariamente 
iguais; o maior deles é denominado amplitude da partição 
P
 e indica-se por 
imáx x
. 
Uma partição 
 0 1 2 nP x , x , x ,..., x
 de 
 a,b
 será indicada simplesmente por 
0 1 2 nP: a x x x ... x b     
 (1) 
Inicialmente, para encontrar a área 
S
, considere, então, a partição 
P
 dividindo o 
intervalo 
 a,b
 em 
n
 subintervalos do tipo 
i 1 ix , x  
, 
i 1, 2, 3,..., n
. Em cada subintervalo 
é escolhido um ponto
*
ix
, 
*
i i 1 ix x ,x  
, de tal forma que seja definido um retângulo de 
altura 
 *if x
 e largura dado por 
ix
, como mostrado na Fig. 3. 
 
Figura 3 – Subintervalo [xi-1, xi] 
 
 
Para cada subintervalo 
i 1 ix , x  
, define-se um retângulo cuja área é definida por 
 *i i iS f x x 
 (2) 
 
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Assim, conforme ilustrado na Fig.4, é possível escrever 
1a, x  
, 
 *1 1 1S f x x 
; 
1 2,  x x
, 
 *2 2 2S f x x 
; 
2 3x , x  
, 
 *3 3 3S f x x 
; 
... ... ... 
n 1x ,b  
, 
 *n n nS f x x 
. 
 
Figura 4 – Aproximação da área pelo método dos retângulos 
 
 
Somando as áreas de cada retângulo, 
iS
, tem-se o valor da soma aproximada 
NS
, 
isto é, 
       * * * *N 1 1 2 2 3 3 n nS f x x f x x f x x ... f x x        
 (3) 
 
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ou em notação de somatório: 
 
n
*
N i i
i 1
S f x x

 
 (4) 
O somatório dado pela equação (4) é comumente chamado de soma de Riemann. 
A área dada pela equação (4) é um valor aproximado para a área real 
S
, isto é 
NS S
 . Este 
método é chamado de método dos retângulos, e área real pode ser escrita da seguinte forma 
 
n
*
i i
i 1
S f x x

 
 (5) 
Pode-se fazer 
 
n
*
i i
i 1
f x x


 se aproximar o quanto queira de 
S
, bastando fazer 
com que 
n
 cresça sem limitação. Isto é, 
 
n
*
i i
i 1
f x x S

 
 quando 
n
. 
 
Definição 2. Se a função 
f
 for contínua em 
 a,b
 e 
 f x 0
 para todo 
 x a,b
, então a área 
sob a curva 
 y f x
 no intervalo 
 a,b
 é definida por 
 
n
*
i i
n
i 1
S lim f x x


 
 (6) 
 
Pode-se observar que fazendo 
n
, implica que 
imáx x 0 
. Daí, a 
Definição 2, pode ser escrita da seguinte forma alternativa. 
 
Definição 3. Se a função 
f
 for contínua em 
 a,b
 e 
 f x 0
 para todo 
 x a,b
, então a área 
sob a curva 
 y f x
 no intervalo 
 a,b
 é definida por 
 
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 
i
n
*
i i
máx x 0
i 1
S lim f x x
 

 
 (7) 
 
Os limites dados pelas equações (6) e (7) não dependem da particular escolha dos 
números 
*
1x
, 
*
2x
, 
*
3x
,... , 
*
nx
, porém, estes limites são freqüentemente difíceis ou até 
mesmo impossíveis de se resolverem. 
Os pontos 
*
ix
 podem ser arbitrariamente escolhidos nos subintervalos; porém, as 
escolhas mais comuns, em termos de simplificação, são os extremos esquerdos e direitos, ou o 
ponto médio do intervalo. 
 
Teorema 1. Fórmulas de somatório. 
(a) n
i 1
1 n


 (b)  n
i 1
n n 1
i
2



 
(c)   n 2
i 1
n n 1 2n 1
i
6

 

 (d)  
2n
3
i 1
n n 1
i
2

 
  
 

 
 
Se a função 
f
 é contínua e admitir valores positivos e negativos no intervalo 
 a,b
, como mostrado na Fig. 5, então o limite dado na equação (7), 
 
i
n
*
i i
máx x 0
i 1
lim f x x
 


, 
não mais representa a área entre a curva 
 y f x
 e o intervalo 
 a,b
. O limite representa 
agora a diferença das áreas: a área acima de 
 a,b
 e abaixo da curva 
 y f x
, 
1S
, menos a 
área abaixo de 
 a,b
 e acima da curva 
 y f x
, 
2S
. Isto é a área líquida com sinal entre o 
gráfico de 
 y f x
 e o intervalo 
 a,b
. 
 
 
 
 
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Figura 7 – Região entre a curva y = f(x) e o eixo x 
 
 
 
Assim, de acordo com a Fig. 7, tem-se que: 
 
i
n
*
i i 1 2
máx x 0
i 1
lim f x x S S
 

  
 (8) 
 
Definição 4. O limite 
 
i
n
*
i i
máx x 0
i 1
lim f x x
 


 se existir é único e ele independe da particular 
escolha dos 
*
ix
. Então, escreve-se 
 
i
n
*
i i
máx x 0
i 1
lim f x x L
 

 
 (9) 
se dado um 
0
 puder existir um 
0
 tal que, 
 
n
*
i i
i 1
f x x L

  
 sempre que 
i0 máx x  
 
Este número 
L
 é muito importante e recebe a notação 
 
b
a
f x dx
, que é chamado de integral 
definida. 
 
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Definição 5. Dizemos que uma função 
f
 é Riemann integrável ou, simplesmente, integrável 
em um intervalo finito e fechado 
 a,b
, se o limite 
   
i
b n
*
i i
máx x 0
i 1a
f x dx lim f x x
 

 
 (9) 
existir e não depender da escolha da partição ou dos pontos 
ix

 no subintervalo.