Lista1 Geometria Analítica Cleide

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Geometria Anal´ıtica AM/CT/GM 2017.1
1aLista de Exerc´ıcios Prof. Cleide Martins
1. Mostre que se (A,B) ∼ (C,D) enta˜o (A,C) ∼ (B,D) nos casos em que A,B,C e D sa˜o todos
colineares e no caso em que na˜o sa˜o.
2. Mostre que se (A,B) ∼ (C,D) enta˜o (B,A) ∼ (D,C) nos casos em que A,B,C e D sa˜o todos
colineares e no caso em que na˜o sa˜o.
3. Mostre que se
→
AB=
→
AC enta˜o B = C
4. Mostre que para todo vetor
→
v , ‖→v‖=‖ − →v‖.
5. Mostre que
→
v= − →v ⇐⇒ →v=→O
6. Se ABCD e XY ZT sa˜o bases paralelas de um paralelep´ıpedo e
→
u=
→
AB,
→
v=
→
AD e
→
w=
→
AX escreva
os vetores
→
BY ,
→
DZ,
→
BT e
→
CX em func¸a˜o de
→
u,
→
v e
→
w
7. Deˆ exemplos para cada item (fac¸a figuras), de dois vetores
→
u e
→
v tais que
i) ‖→u + →v‖=‖→u‖ + ‖→v‖
ii) ‖→u + →v‖2=‖→u‖2 + ‖→v‖2
iii) ‖→u − →v‖=‖→u‖ + ‖→v‖
iv) ‖→u − →v‖2=‖→u‖2 + ‖→v‖2
8. Verifique se cada afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa, prove as verdadeiras e deˆ contra-exemplos para
as falsas:
( ) Se a sequeˆncia (
→
u,
→
v ) e´ LD enta˜o (
→
u,
→
u +
→
v ) e´ LD.
( ) Se a sequeˆncia (
→
u,
→
v ) e´ LI enta˜o (
→
u − →v ,→u + →v ) e´ LI.
( ) Se a sequeˆncia (
→
u − →v ,→u + →v ) e´ LI enta˜o (→u,→v ) e´ LI.
9. Mostre que
(
→
u,
→
v ,
→
w) e´ LI ⇐⇒ (→u + →v ,→u + →w,→v + →w) e´ LI
10. Dados treˆs pontos A,B e C. Defina o baricentro desses pontos como sendo o ponto G tal que
→
GA +
→
GB +
→
GC=
→
O
(a) Se A,B e C sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo, mostre que o baricentro dos pontos A,B e C e´ o
ponto comum a`s treˆs medianas do triaˆngulo ABC.
(b) SeOABC e´ um tetraedro eX e´ o baricentro do triaˆnguloABC, escreva
→
OX como combinac¸a˜o
linear de
→
OA,
→
OB e
→
OC
11. Se OABC e´ um tetraedro regular de aresta unita´ria, calcule
→
AB .
→
DA
1
12. Se E = (
→
e1,
→
e2,
→
e3) e´ uma base ortonormal e
→
v= (a, b, c)E, mostre que a = v.
→
e1, b = v.
→
e2 e
c = v.
→
e3.
13. Num triaˆngulo ABC, considere o ponto D tal que
→
DC= 3
→
AD, o ponto me´dio de BC, P , e o
ponto Q sobre o lado AC tal que o triaˆngulo PQC e´ retaˆngulo em Q.
(a) escreva
→
BD como combinac¸a˜o linear de
→
AB e
→
BC
(b) Se, em alguma base ortonormal E, tem-se
→
AB= (2, 8, 8)E e
→
DC= (3, 6, 9)E
(b1) Calcule a a´rea do triaˆngulo ABC
(b2) Determine as coordenadas do vetor
→
QC na base E.
14. Dados os vetores na˜o paralelos
→
u e
→
v , calcule φ = Ang(
→
u,
→
u +
→
v ) e α = Ang(
→
v ,
→
u +
→
v ) e verifique
se eles sa˜o iguais em cada caso
i) ‖→u‖= 3, ‖→v‖= 5 e Ang(→v ,→u) = 60o
ii) ‖→u‖= 6, ‖→v‖= 2 e Ang(→v ,→u) = 120o
iii) ‖→u‖= 4, ‖→v‖= 4 e Ang(→v ,→u) = 45o
15. Sejam
→
u,
→
v e
→
w vetores unita´rios tais que
→
u .
→
v=
→
v .
→
w=
→
w .
→
u= 1
2
. Verifique se
→
w e´ combinac¸a˜o
linear de
→
u e
→
v .
16. Se E e´ uma base ortonormal e sa˜o dados
→
v= (1,−3, 2)E e →u= (−1, 0, 1)E, decomponha →u como
soma de dois vetores, um deles paralelo e outro ortogonal a
→
v .
17. Sabendo que E e F sa˜o bases ortonormais e que
→
u= (1, 1, 2)E = (b, a, 1)F e→
v= (1, 2, 3)E = (3, 1, 2)F , determine a e b
18. Mostre que, em um tetraedro regular, quaisquer duas arestas opostas sa˜o ortogonais.
19. Considere os vetores
→
u com norma
√
2,
→
v com norma
√
3 e tais que Ang(
→
u,
→
v ) = 45o. Se
→
w=
→
u ∧ →v
e →
t= Proj
→
u
→
v
+ Proj
→
v
→
u
+
→
w
determine as coordenadas de
→
t na base β = (
→
u,
→
v ,
→
w)
20. Seja B = (
→
i ,
→
j ,
→
k) uma base ortonormal positiva e considere os vetores
→
u= (1, 1, 1)B e
→
v=
(0, 1, 2)B. Determine uma base ortonormal positiva E = (
→
a,
→
b,
→
c) com as seguintes caracter´ısticas:
• →a e →u teˆm mesmo sentido;
• →b e´ combinac¸a˜o linear de →u e →v ;
• a primeira coordenada de →b e´ positiva.
21. Dados os vetores
→
u= (−1, 2, 1), →v= (−2, 1, 2) e →w= (0, 3,−1) em uma base ortonormal positiva.
(a) Determine
→
u ∧ →v
(b) Escreva
→
w como combinac¸a˜o linear de
→
u,
→
v e
→
u ∧ →v
2
(c) Fac¸a uma figura representando os vetores
→
u,
→
v ,
→
u ∧ →v e →w.
(d) Calcule a a´rea do paralelogramo gerado pelos vetores
→
u e
→
w
(e) Determine o vetor (
→
u ∧ →v )∧ →w e represente-o na figura do exerc´ıcio 3.
(f) Determine o vetor
→
u ∧(→v ∧ →w) e represente-o na figura do exerc´ıcio 3.
22. Dados os vetores
→
u= (−1, 2, 1), →v= (−2, 3, 1) e →w= (−2, 1,−3) em uma base ortonormal positiva.
(a) Determine [
→
u,
→
v ,
→
w]
(b) Calcule o volume do paralelep´ıpedo gerado por
→
u,
→
v e
→
w
(c) Calcule o volume do tetraedro gerado por
→
u,
→
v e
→
w
23. Seja ABCD um losango com diagonais AC e BD.
(a) Mostre que os vetores
→
AC e
→
BD sa˜o ortogonais.
(b) Mostre que
→
AC ∧ →BD= 2( →AB ∧ →AD)
(c) Justifique por que a a´rea de um losango e´ a metade do produto dos comprimentos de suas
diagonais.
(Sugesta˜o: lembre que um losango e´ um paralelogramo onde os lados teˆm mesmo comprimento)
24. Considere uma base ortonormal E = (
→
e1,
→
e2,
→
e3) e os vetores
→
u,
→
v e
→
w= (1, 0, 1)E.
(a) Se Ang(
→
u,
→
v ) = 60o,
→
u e´ unita´rio e ‖→u ∧(→u −2 →v ) ‖= 3, mostre que ‖→v‖= √3
(b) Se, ale´m disso,
→
v ⊥→w e →v . →e2= 1, determine as coordenadas de →v na base E.
25. Sejam
→
u,
→
v e
→
w vetores tais que [
→
u,
→
v ,
→
w] = 8
(a) Calcule [
→
u +
→
v ,
→
v ,
→
w − →v ]
(b) Calcule [2
→
u +3
→
v ,−3 →v ,→w −2 →v ]
3