EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PESQUISA OPERACIONAL

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1.1 Certa empresa fabrica do is produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de R$ 1.000,00 e o lucro unitário de P2 é R$ 1.800. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unid ade de P1 e de 30 ho ras para fabricar um a unidade de P 2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1200horas. A demand a esperada para cada produto é d e 40 uni dades para P 1 e 30 unida des para P2. Construa o modelo de 
programação linear que objetiva Maximizar o lucro. 
Solução: 
P1: Lucro – R$ 1.000,00 
Tempo de produção P1: 20 horas 
P2: Lucro – R$ 1.800,00 
Tempo de produção P2: 30 horas 
Tempo Disponível de Produção: 1200horas 
Demanda Esperada P1: 40 unidades 
Demanda Esperada P2: 30 unidades 
Unidade produzida do Produto P1: x 
Unidade produzida do Produto P2: y 
 
Função Objetivo: 
Maximizar: 1000x + 1.800y 
Restrições: 
- Tempo de Produção: 1.200h 
20x + 30y ≤ 1.200 
- Demanda Esperada do Produto P1: 40 uni dades 
x ≤ 40 
- Demanda Esperada do Produto P2: 30 uni dades 
y ≤ 30
Logo: 
Maximizar Lucro: Max Z = 1000x + 1.800y 
Restrições: 
20x + 30y ≤ 1.200 
x ≤ 40 
y ≤ 30 
x , y ≤ 0 
 
1.2 A necessidade mínima de vitaminas na alimentação é de 32 unidades por dia e a de 
proteínas de 36 unidades por dia. Uma p essoa t em disponí vel carne e ovo para se 
alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de 
proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de 
proteínas. Qual a quantidade de carne e ovo que d eve se r consumida de forma a ter o 
Menos custo possível. Cada unidade de carne c usta R$ 3,00 e cada unidade de ovo 
custa R$ 2,5. 
Solução: 
Necessidade mínima de Vitamina: 32 unidades / dia 
Necessidade mímima de Proteínas: 36 unidades / dia 
- 1 unidade de carne: 4 unidades de vitaminas ; 3 unidades de proteína ; CUSTO R$3,00
RCusto
proteínasdeunidades
asvitaunidades
 - 1 unidade de ovo: 8 unidades de vitamina; 6 unidade de proteína ; CUSTO R$2,50
RCusto
proteínasdeunidades
asvitaunidades
 Unidade consumida de carne: x 
Unidade consumida de carne: y 
 
Minimizar Custo: Min Z = 3x + 2,5y 
Restrições: 
4x + 8y ≥ 32 
6x + 6y ≥ 36 
x, y ≥ 0
Resolva pelo Método Gráfico o seguinte modelo de Programação Linear: 
Max Z = 3x + 4y 
Sujeito a: X+Y < 6 ( I )
 X< 4 ( II )
 Y < 4 ( III )
 X2 Y > 0
yx
IIIy
IIx
Iyx
 
a) Solução 01: Coordenadas da Zona Permissível Representação gráfica das inequações num mesmo eixo cartesiano.
As re strições apresentam uma área comum que está destacada e m ver melho que caracteriza a 
Zona Permissível, ou seja, a área onde está a solução ótima do problema de Maximização. 
Esta área define 5 vértices, cujas coordenadas são: 
• A(0,0) 
• B(0,4) 
• C – Interseção das retas: X = 4 X+Y = 6
Logo: x + 4 = 6 → x = 2 
Portanto: C(2,4) 
• D – Interseção das retas: X = 4 X+Y = 6
Logo: 4 + y = 6 → y = 2 
Portanto: D(4,2) 
• E(4,0).
Definição da Solução Ótima do Problema: 
Vamos verificar em qual vértice a Função Objetivo atinge o seu maior valor: 
Max Z = 3x + 4y 
ZA = 3(0) + 4(0) = 0 
ZB = 3(0) + 4(4) = 16 
ZC = 3(2) + 4(4) = 22 
ZD = 3(4) + 4(2) = 20 
ZE = 3(4) + 4(0) = 12 
 Logo a Função Objetivo atinge o seu maior valor em Z = 22, para x = 2 e y = 4. b)Solução 02: Critério da Função Objetivo 
Uma outra forma de deter minar a solução do problema de maximização é a través da 
representação gráfica da função objetivo no mesmo gráfico das restrições. Os pontos candidatos a 
solução ótima continuam sendo os mesmos. 
Por se t ratar de um problema de maximização, o último ponto que a função objetivo interceptar 
será o ponto que representará a solução ótima do problema. 
São representadas duas retas da Função Objetivo: 
A primeira adotando Z = 12, resulta x = 4 e y = 3. 
A segunda adotando Z = 18, resulta x = 6 e y = 4,5. 
Percebemos de forma clara que e stas duas retas sã o paralelas. Logo fica bastante intuitivo que o 
último ponto que será interceptado pela função objetivo será o ponto C.
Nas alternativas a seguir assinale a que representa a aplicação da pesquisa operacional na industris 
de alimento: ração animal (problema da mistura).
Um gerente de um SPA chamado Só é Magro Quem Quer contrata voc ê para ajudá -lo com o 
problema da dieta para os hóspedes. (Observe que ele p aga bem: 40% do que você p recisa!) 
Mais especificamente, ele precisa de você para decidir como preparar o lanche das 17:00h. 
Existem dois alimentos que podem ser fornecidos: cheeseburguers e pizza. São unidades 
especiais de cheeseburguers e pizz a, grandes, com muit o molho e queijo, e custam, cada, 
R$10,00 e R$16,00, respectivamente. Entr etanto, o lanche tem que suprir requisitos mínimos de 
carboidratos e lipídios: 40 u.n. e 50 u.n., respectivamente (un. significa unidade nutricional). 
Sabe-se, ainda, que cada cheeseburguers fo rnece 1 u.n. de carboidrato e 2 u.n. de lipídios, e cada 
pizza fornece 2 u.n. de carboidratos e 5 u.n. de lipídios. O gerente pede inicialmente que você 
construa o modelo.
Min Z=10x1+16x2 
Sujeito a: 
x1+2x2≥40 
2x1+5x2≥50 
x1≥0 
x2≥0
x1+2x2≥40 
2x1+5x2≥50 
x1≥0 
x2≥0
X1 +2 x 2 > 40
2 x 1 + 5 x 2 > 50
X1 > 0
X2 > 0
Em que consiste um estudo de Pesquisa Operacional consiste?
Um estudo de Pesquisa Operacional consiste, basicamente, em construir um modelo de 
um sistema real existente como meio de analisar e compreender o comportamento dessa 
situação, com o objetivo de levá-lo a apresentar o desempenho que se deseja. 
Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 u.m. e o lucro 
unitário por P2 é de 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 
horas par a fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 
horas. As demandas esperadas p ara os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os m ontantes 
produzidos de P1 e P 2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por 
mês. Elabore o modelo. 
Max Z=100x1+150x2 
Sujeito a: 2 X 1 +3x2<120
 X1<40
 X2 >30
 X1 >0
 X2 >0
Dentre as alternativas abaixo, assinale a que não corresponde as vantagens de utiliz ação de modelos: Dificulta a visualização da amplitude das variáveis sem alterar a essência; 
A Esportes Radi cais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de montagem. A primeira 
linha de montagem tem 100 horas semanais disp oníveis para a fabricação dos produtos, e a se gunda 
linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento 
na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas. 
Sabendo que o mercado está dispo sto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro pela 
venda de cada p ára-quedas é de R$60,00 e para cada asa-delta vendida é de R$40,00, encontre a 
programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. Elabore o modelo.
Max Z=60x1+40x2 
Sujeito a: 10x1+10x2 <100
 3x1+7x2<42
 X1>0
 X2>0
Duas fábricas produzem 3 diferentes tipos de papel. A companhia qu e co ntrola as fábricas tem um 
contrato para prod uzir 16 toneladas de papelfin o, 6 toneladas de papel médio e 28 toneladas de 
papel grosso. Ex iste uma demanda p ara cada tipo de espessura. O custo de produção na primeira 
fábrica é de 1000 u.m. e o da segunda fábrica é de 2000 u.m., por dia. A primeira fábrica produz 8 
toneladas de papel fino, 1 tonelada de papel médio e 2 toneladas de papel grosso por dia, enquanto a 
segunda fábrica produz 2 toneladas de pap el fino, 1 tonelada d e papel médio e 7 toneladas de papel 
grosso. Faça o modelo do problema e determine quantos dias cada fáb rica deverá ope rar para supri r 
os pedidos mais economicamente.
Min Z=1000x1+2000x2 
Sujeito a: 8x1+2x2>16 X1+X2>6 2x1+7x2>28 X1>0 X2>0
Quais são as cinco fases num projeto de PO? Formulação do problema; Construção do modelo; Obtenção da solução; Teste do modelo e avaliação da solução e Implantação e acompanhamento da solução (manutenção)
Analise as afirmativas a seguir e marque a alternativa correta. O processo de descoberta das 
estruturas de um sistema envolve as seguintes tarefas: 
I - formulação do problema. 
II - identificação das variáveis de decisão da situação. 
III - o desenho do comportamento dessas variáveis em um gráfico. 
As afirmativas I, II e III estão corretas. 
Assinale a alternativa que não corresponde as problemas que podem ser resolvidos através da Pesquisa Operacional (PO)
PROGRAMAÇÃO BIOLÓGICA
Uma determinada empresa deseja produzir dois produtos, um produto P1 e um produto P2, que 
dependem de duas matérias primas A e B, que estão disponíveis em quantidades de 8 e 5 toneladas, 
respectivamente. Na fabricação de uma tonelada do produto P1 são empregadas 1 tonelada da 
matéria A e 1 tonelada da matéria B, e na fabricação de uma tonelada do produto P2 são empregadas 
4 toneladas de A e 1 toneladas de B. Sabendo que cada tonelada do produto P2 é vendido a R$8,00 
reais e do produto P1 a R$5,00 reais. O modelo de programação linear abaixo possibilita determinar 
o lucro máximo da empresa na fabricação desses produtos. 
Max Z = 5x1 + 8x2 
Sujeito a: X1+4X2< 8
 X1 + X2<5
 X1 , X2>0 O valor ótimo da função-objetivo é: 28
O que são variáveis controladas ou de decisão? São as variáveis cujos valores estão sob controle. Decidir, neste caso, é atribuir um particular valor a cada uma dessas variáveis. Numa programação de produção, por exemplo, a variável de decisão é a quantidade a ser produzida num período, o que compete ao administrador controlar. 
Seja a seguinte sentença: 
 "A última tabela obtida pelo método Simplex para a resolução de um problema de PL apresenta a solução ótima 
PORQUE 
a linha objetiva da tabela não tem elementos negativos nas colunas rotuladas com variáveis." 
 A partir das asserções acima, assinale a opção correta: 
As duas asserções são verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira. 
Para a construção de um modelo de PL, o roteiro padrão consiste em seguir os seguintes passos, 
identificando: variáveis de decisão - objetivo – restrições
Seja a última tabela do método simplex para cálculo da solução de um problema de PL: 
Z x1 x2 xF1 xF2 xF3 b
Qual o valor da variável x1? 3,18
Qual é a variável que entra na base? x2
Seja a seguinte sentença: 
 "A última tabela obtida pelo método Simplex para a resolução de um problema de PL apresenta a solução ótima PORQUE 
a linha objetiva da tabela tem elementos negativos nas colunas rotuladas com variáveis." 
A partir das asserções acima, assinale a opção correta: 
A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é uma proposição 
falsa. 
Sejam as seguintes sentenças:
III) Na resolução de um problema de PL, as variáveis definidas como zero são chamadas de variáveis básicas 
tipo ≤ 
Assinale a alternativa errada: III é verdadeira
Resolvendo graficamente o Problema de Programação Linear (PPL) abaixo, obtemos como solução 
ótima: 
 
minimizar -4x1 + x2 sujeito a: -X1+2X2£ 6
 X1+X2£8
 X1+ X230 x1=8, x2=0 e Z*=-32
Sejam as seguintes sentenças: 
IV - Um problema de PL não pode ter uma única solução. 
Assinale a alternativa errada: IV é verdadeira
Uma empresa fabrica dois modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o 
dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, 
a empresa poderia produzir 1000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 
cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, tipos A e B, cuja 
disponibilidade diária é de 400 para M1 (tipo A) e 700 para M2 (tipo B). Os lucros unitários são de 
R$ 4,00 para M1 e R$ 3,00 para M2. 
A quantidade que sobra de fivelas tipo A é: 200
Seja o seguinte modelo de PL: 
Max L = 2x1 + 3x2 
sujeito a: -X1+2x2<4
 X1+X2<6
 X1+3x2<9
 X1 , X2>0
No ponto de L máximo, os valores para as variáveis x1 e x2 são, respectivamente: 4,5 e 1,5
Resolvendo graficamente o Problema de Programação Linear (PPL) abaixo, obtemos como solução 
ótima: 
minimizar -2x1 - x2 
sujeito a: X1-X2£5
 -6X1+2X2£6
 -2X1+4X23-4
 X1 – X230 x1=4, x2=1 e Z*=-9
Um fazendeiro possui uma propriedade e quer dividi-la em três partes, A, B e C. A parte A seria 
dedicada à atividade de arrendamento, com um aluguel de 300 u.m. por alqueire por ano. A parte B 
seria dedicada à pecuária, que necessitaria de 100 kg/alq de adubação e 100.000 l/alq de água para 
irrigação por ano, sendo o lucro estimado de 400 u.m./alq por ano. A parte C seria dedicada ao 
plantio, que necessitaria de 200kg/alq de adubação e 200.000l/alq de água para irrigação por ano, 
sendo o lucro estimado de 500 u.m./alq por ano. A disponibilidade de recursos por ano é 12.750.000 
l de água, 14.000 kg de adubo e 100 alqueires de terra. 
No modelo de PL, a restrição referente à adubação é representada por: 
100x2+200x3 ≤ 14.000
Considere o seguinte modelo primal de programação linear. Maximizar Z = x1 + 2x2 
Sujeito a: 2x1 + x2 ≤ 6
 x1 + x2 ≤ 4
 -x1 + x2 ≤ 2
 x1, x2 ≥ 0
Acerca do modelo primal e das suas relações com o modelo dual associado a ele, identifique e 
assinale, dentre as alternativas abaixo, a correta. 
Os termos constantes das restrições do primal são os coeficientes da função-objetivo do dual.
Assinale a resposta errada: Em geral, um problema de PL pode: não ter mais que uma solução ótima
Uma empresa fabrica dois modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, tipos A e B, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 (tipo A) e 700 para M2 (tipo B). Os lucros unitários são de R$ 4,00 para M1 e R$ 3,00 para M2. A quantidade que sobra de fivelas tipo B é: 100
 
2x1+3x2≤120 
x1≤40 
x2≤30 
x1≥0 
x2≥0