NIVELAMENTO_MAT_UNIDADE_VI

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UNIVERSIDADE DE ITAÚNA 
Nivelamento em Matemática 
 
Prof. Tarcísio Valério Diniz 1 
UNIDADE VI – FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU 
Na unidade V estudamos funções sem dar a elas qualquer classificação. Porém, existem 
funções que aparecem com muita freqüência e deverão ser estudadas com um maior 
aprofundamento. São chamadas funções usuais. 
Definição 
Chamamos função de primeiro grau à função definida por: 
 ( ) RbabxaxfyRRf ∈+==→ ,;.: 
O domínio dessa função é o conjunto dos números reais e seu gráfico é uma reta. 
Veja os exemplos: 
1) 
Tabela de correspondência: 
32
11
10
31
52
−
−−
−−
yx
 
 
Observe que a função do exemplo acima é uma função crescente e este fato irá ocorrer 
sempre que o valor de “a” da função for positivo ( a = 2 ). 
 
2-) 
Tabela de correspondência: 
32
11
10
31
52
−
−
−
−
yx
 
 
Observe que a função do exemplo acima é uma função decrescente e este fato irá ocorrer 
sempre que o valor de “a” da função for negativo ( a = - 2 ). 
y
•
•
•
•
•
x
( )



−=
=
⇒−==
1
2
12
b
a
xxfy
•
•
•
•
•
x
( )



=
−=
⇒+−==
1
2
12
b
a
xxfy
y
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Os valores de a e b podem ser nulos. 
 
1º caso: ( ) bxfya ==⇒= 0 
Neste caso a função recebe o nome de função constante e seu gráfico é uma reta paralela 
ao eixo das abscissas. 
Veja o exemplo: 
( ) 3== xfy 
Tabela de correspondência: 
 
 
 
 
 
2º caso: ( ) xaxfyab ==⇒≠= 0;0 
Neste caso a função recebe o nome de função linear e seu gráfico é uma reta que passa 
pela origem do plano cartesiano. 
Veja o exemplo: 
( ) xxfy 2== 
Tabela de correspondência: 
 
 
 
 
 
 
No caso geral em que 0≠a e 0≠b a função terá a forma ( ) bxaxfy +== e recebe o 
nome de função linear afim. 
•• •
x
•
32
31
30
31
32
−
−
yx
•
y
•
•
•
x
•
42
21
00
21
42
−−
−−
yx
•
y
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Obs: Quando 1=a e 0=b a função terá a forma ( ) xxfy ==
 
e será chamada função 
identidade ( os valores de y são idênticos aos valores de x ) e o gráfico será a bissetriz dos 
quadrantes ímpares ( 1º e 3º quadrantes ). 
A seguir, faremos um estudo sobre os coeficientes a e b da função linear afim. 
 
Coeficientes da função linear afim: 
Coeficiente Angular: 
Considere a função dada por bxay += . Como vimos, o gráfico dessa função é uma reta 
e esta reta faz um ângulo de medida α com o eixo das abscissas. 
Sejam ( )AA yxA , e ( )BB yxA , dois pontos dessa reta. Se esses pontos pertencem a 
essa reta, eles satisfazem a equação da mesma. 
Assim, bxay AA += e bxay BB += . Daí, 
( )




+=
−+=
bxay
bxay
BB
AA 1.
 




+=
−−=−
bxay
bxay
BB
AA .
+ 
ABAB xaxayy −=− ( )
AB
AB
ABAB
xx
yy
axxayy
−
−
=⇒−=−⇒ .
 
Veja a interpretação no gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
/
/
x
y
α
α
Ax
Ay
Bx
By
A
B
AB yy −
AB xx −
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Considerando o triângulo destacado na figura acima vemos que o valor de a é igual ao 
cateto oposto ao ângulo dividido pelo cateto adjacente. Este quociente é chamado em 
Matemática de tangente do ângulo . 
Representamos: αtga = . Como o valor de a tem ligação com o ângulo que a reta faz com o 
eixo das abscissas, ele é chamado coeficiente angular da reta. ( É comum chamarmos o a 
de declividade da reta ). 
Coeficiente Linear 
O número b da função linear afim é chamado coeficiente linear e ele representa a ordenada 
do ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas, pois fazendo 0=x , teremos: 
bybay =⇒+= 0. . 
Resumindo tudo em um gráfico genérico, temos: 
 
 
 = intersecção com o eixo das 
 ordenadas 
 
Zero da função linear afim 
Chamamos zeros de uma função aos valores de x que fazem com que f ( x ) seja igual a 
zero. 
Na função linear afim, ( )
a
b
xbxabxaxf −=⇒−=⇒=+⇒= 00 
Exemplo: Determine o zero da função dada por 52 −−= xy 
Teremos: 
2
5
2
5
−=⇒
−
−
−= xx 
Estudo da variação de sinais da função linear afim. 
O gráfico de uma função linear afim pode se apresentar de uma das duas maneiras abaixo: 
 
 
 
α
α
α
b
x
y bxay +=
αtga =
( )b,0
0>a 0<a
a
b
−
a
b
−
•
•
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 ou 
 
Observe que no primeiro gráfico, os valores menores que fazem com que o gráfico da 
função esteja abaixo do eixo das abscissas e portanto, assumam valores negativos 
enquanto que os valores maiores que fazem com que o gráfico da função esteja 
acima do eixo das abscissas e portanto assumam valores positivos. No segundo gráfico, 
teremos o contrário do primeiro. 
Observando os sinais da função e o sinal do coeficiente angular a podemos resumir: 
y
a
b
x
y
a
b
x
y
a
b
x
⇒−>
⇒−<
=⇒−= 0
 Adotaremos: 
=
=
am
ac
/
/
 
Resumindo: ou 
 
Exemplo: Faça um estudo da variação de sinais da função dada por 82 +−= xy 



=
−=
8
2
b
a
4
2
8
=
−
−=−=⇒
a
b
x
 
 
Respondendo o exercício: 
 
04
04
04
<⇒>
>⇒<
=⇒=
yx
yx
yx
 
Inequações. Inequações produto. Inequações quociente. 
Uma das importantes aplicações do estudo da variação de sinais da função linear afim é na 
resolução de inequações. 
Veja o exemplo: resolva a inequação 
 045 ≤− x 
Solução: ( )
4
5541.54045 ≥⇒≥⇒−−≤−⇒≤− xxxx 
Resp: 






≥∈=
4
5
xRxS 
ab−
ab−
adealmesmooterá sin
adecontrárioalterá sin
a
b
−
•
adecontrário ademesmo
adecontrário
ademesmo
•
++++
−−−−
xdevalores
ydeaissin
4
0
a
b
−
•
am /ac /
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Veja que a solução da inequação se deu por um processo muito fácil mas ele é muito 
limitado na resolução de outras inequações. Vamos apresentar agora uma nova metodologia 
de resolução e a princípio, você vai achar mais difícil, porém, essa metodologia é muito útil 
na resolução de inequações mais complexas. 
Resolva a inequação 
 045 ≤− x 
Consideremos a função xy 45 −= . ( Função linear afim com 54 =−= bea ). O que 
queremos saber é o conjunto de valores de “x” que fazem a função “y” assumir valores 
menores ou iguais a zero. Portanto, valores negativos ou nulos.4
5
4
5
5
4
=
−
−=−⇒



=
−=
a
b
b
a
. Fazendo o estudo de sinais: 
Observe que a parte destacada da reta é a solução da inequação, ou seja, 
Resp: 






≥∈=
4
5
xRxS 
Observe agora os exemplos de inequações produto e quociente: 
Resolva as inequações seguintes: 
01-) ( ) ( ) 043.32 >−+ xx . 
Se fizermos 32 += xf e xg 43 −= queremos então determinar os valores de x que fazem 
gf . assumir valores maiores que zero ( positivos ) 
Montaremos a seguinte estrutura: 
2
3
3
2
−=−⇒



=
=
a
b
b
af 
4
3
4
3
3
4
=
−
−=−⇒



=
−=
a
b
b
a
g 
Os valores de x que fazem o produto f.g assumir valores positivos são os valores 
compreendidos entre 
2
3
− e 
4
3
 ( assinalados acima ). O intervalo é aberto pois na inequação 
não tem o sinal da igualdade ( não é ≥ ) 
Daí, 






<<−∈=
4
3
2
3
xRxS 
4
5
•
xdevalores
ydeaissin0++++ −−−−
2
3
−
4
3
0
0
• •
+++
−−−
−−− +++
+++ +++
2
3
−
4
3
−−−−−− +++
oo
f
g
gf .
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A inequação acima é chamada inequação produto e o processo é o mesmo quando temos o 
produto de várias funções. 
02-) ( ) ( ) ( ) 03.12.2 ≤−−+ xxx 
 



−=−=−⇒
=
=
2
1
2
2
1
a
b
b
af 



=
−
−=−⇒
−=
=
2
1
2
1
1
2
a
b
b
a
g 



=
−
−=−⇒
=
−=
3
1
3
3
1
a
b
b
af 
Portanto, 






≥≤≤−∈= 3
2
12 xouxRxS 
Observações: 
1-) Os sinais da última linha foram obtidos pela conjugação de sinais das linhas acima. 
2-) Os intervalos ficaram fechados porque o sinal da inequação contém a igualdade ( ≥ ) 
Para as inequações quociente procedemos da mesma forma. 
 
03-) 0
45
32
≥
−
+
x
x
 



−=−⇒
=
=
2
3
3
2
a
b
b
af 



=
−
−=−⇒
=
−=
4
5
4
5
5
4
a
b
b
a
g 
 
Portanto, 






<≤−∈=
4
5
2
3
xRxS 
Observe que mesmo contendo a igualdade na inequação o extremo 
4
5
 ficou aberto pois 
esse valor anula o denominador e portanto, não pode entrar na resposta. 
f g h
f
g
h
hgf ..
• ••
•••
2−
2−
2
1
2
1
3
3
0
0
0
−−−
−−− −−−
−−−
+++ +++ +++
+++ +++
+++++++++
++++++ −−− −−−
f
g
2
3
−
4
5
• •
• o
f
g
g
f
2
3
− 4
5
−−− 0
0 −−−
+++ +++
+++ +++
+++−−− −−−
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Observação: em inequações não podemos tirar mínimo múltiplo comum quando existirem 
variáveis no denominador. 
Nestas inequações temos de fazer uma preparação antes de resolvê-las. 
Veja o exemplo: 
 
2
3
1
≥
−
+
x
x
 
Solução: 
( ) ( ) 0
3
530
3
2610
3
3.21.102
3
1
≥
−
−
⇒≥
−
+−+
⇒≥
−
−−+
⇒≥−
−
+
x
x
x
xx
x
xx
x
x
 que é a 
inequação que deveremos resolver 



=
−
−=−⇒
−=
=
3
5
3
5
5
3
a
b
b
af 
3
1
3
3
1



=
−
−=−⇒
=
−=
a
b
b
a
g 
 
 
Portanto, 






<≤∈= 3
3
5
xRxS 
 
EXERCÍCIOS 
01-) Determine ℜℜℜℜ∈∈∈∈m para que a função dada por (((( )))) 535 ++++−−−−==== xmy seja decrescente. 
 R: 






>>>>ℜℜℜℜ∈∈∈∈
3
5
mm 
 
02-) Uma função linear afim f é tal que (((( )))) (((( ))))110 ff ++++==== e (((( )))) (((( ))))021 ff −−−−====−−−− . Determine (((( ))))3f 
Resp: 
 
f
g
3
5
3
• •
• o
f
g
g
f
−−− 0
0 −−−
+++ +++
+++ +++
+++−−− −−−
3
5 3
2
5
−−−−
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03-) A reta do gráfico abaixo indica a quantidade de soro ( em ml ) que uma pessoa deve tomar, em 
função de seu peso ( dado em kgf ), num tratamento de imunização. A quantidade total de soro a ser 
tomada será dividida em 10 injeções idênticas. Quantos ml de soro receberá em cada aplicação um 
indivíduo de 80 kgf ? 
 
 
 
 Resp: 50 ml 
 
04-) Dê o conjunto solução das inequações seguintes: 
• A-) (((( )))) (((( )))) 05312 ≥≥≥≥−−−−++++ x.x Resp: 






≤≤−ℜ∈
5
3
2
1
xx 
• B-) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 0523123 <<<<++++−−−−++++ x.x.x Resp: 






−−−−≠≠≠≠>>>>−−−−<<<<ℜℜℜℜ∈∈∈∈ 31
2
5
x;xouxx 
• C-) 0
53
2
≥≥≥≥
−−−−
++++
x
x
 Resp: 






<<<<≤≤≤≤−−−−ℜℜℜℜ∈∈∈∈
3
52 xx 
• D-) 5
1
32
>>>>
−−−−
++++
x
x
 Resp: 






<<<<<<<<ℜℜℜℜ∈∈∈∈
3
81 xx 
• E-) (((( )))) (((( ))))(((( )))) 0612
4591
≤≤≤≤
−−−−
−−−−−−−−
x
x.x
 Resp: 






====≠≠≠≠≤≤≤≤ℜℜℜℜ∈∈∈∈ 5
2
11 x;x;xx 
• F-) 204253 ≤≤≤≤−−−−++++ xxx Resp: {{{{ }}}}225 ≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−−−−−≤≤≤≤ℜℜℜℜ∈∈∈∈ xouxx 
 
05-) Dê o domínio da função dada por (((( ))))
x
x
xf
21
523
−−−−
++++
−−−−==== Resp: 






>−≤ℜ∈
2
1
4
1
xouxx 
06-) Determine o conjunto solução do sistema: 
 Resp: 
 
 
07-) Represente num mesmo sistema de eixos as funções dadas pelas equações 32 ++++−−−−==== xy e 
52 −−−−==== xy 
Resolva o sistema formado pelas duas equações e verifique que a solução do sistema é o ponto de 
intersecção entre as retas do gráfico, 
 
kgf
ml
10
20
30
50
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )



>
−−−
−−−
<
−−
0
6.5.4
3.2.1
043.12
xxx
xxx
x
xx






≤<<ℜ∈ 1
2
10 xouxx