NIVELAMENTO_MAT_UNIDADE_VII

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UNIVERSIDADE DE ITAÚNA
Prof. Tarcísio Valério Diniz 
UNIDADE VII - FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU
Definição: é a função definida por 
Exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio: Como não existem restrições para a variável 
números reais. Assim, D =
Gráfico 
O gráfico de uma função de segundo grau, também chamada função quadrática, é uma 
curva chamada parábola. 
Veja os exemplos seguintes:
1-) ( ) 42 −= xxf 
 
 
Observação: A parte interna da parábola se chama “concavidade” e no gráfico acima, a 
concavidade da parábola está apontando para cima. Isto ocorre todas as vezes em que o 
coeficiente A é um número positivo.
 
 
( )
( )
( )
( )





⇒=−
⇒+=−
⇒−=−
+−=−
5)4
13)3
7)2
52)1
2
2
2
2
C
B
A
xxf
xxf
xxxf
xxxf
( )
02
31
40
31
02
−
−
−−
−
xfx
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Nivelamento em Matemática
FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU 
é a função definida por ( ) ;,,;2 ≠∈++= ARCBACxBxAxf
Como não existem restrições para a variável x , o domínio é formado por todos os 
R 
O gráfico de uma função de segundo grau, também chamada função quadrática, é uma 
Veja os exemplos seguintes: 
 
 
A parte interna da parábola se chama “concavidade” e no gráfico acima, a 
concavidade da parábola está apontando para cima. Isto ocorre todas as vezes em que o 
é um número positivo. 
=
=
=





=
=
=





=
−=
=
⇒





−=
=
−=
⇒−
0
0
5
1
0
3
0
7
1
3
5
2
3
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
x
x
y
2− 1−
3−
2
1−
2−
4−
1
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1
0 
, o domínio é formado por todos os 
O gráfico de uma função de segundo grau, também chamada função quadrática, é uma 
A parte interna da parábola se chama “concavidade” e no gráfico acima, a 
concavidade da parábola está apontando para cima. Isto ocorre todas as vezes em que o 
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2-) ( ) 42 +−= xxf
 
 
Observação: no gráfico acima, a concavidade da parábola está apontando para baixo. Isto 
ocorre todas as vezes em que o coeficiente 
Discriminante 
Definimos como discriminante de uma função quadrática ao número 
O valor do discriminante é muito útil no estudo da função quadrática.
Ex: Determine o discriminante da função dada por 





=
=
−=
4
5
3
C
B
A
( )345 2 ×−×−=∆⇒
Zeros da função quadrática
Seja a função ( ) xAxf = 2
com ( )xf seja igual a zero e representam os pontos de intersecção da curva com o eixo 
das abscissas. 
Assim, 02 =++ CxBxA ( equação de segundo grau )
Como foi visto anteriormente, 
⇒>∆ 0 dois zeros reais e desiguais ( a curva corta o eixo das abscissas em dois pontos 
diferentes.) 
⇒=∆ 0 dois zeros reais e iguais ( a curva corta o eixo das abscissas em apenas um ponto.)
⇒<∆ 0 nenhum zero real ( a curva não corta o eixo das abscissas.) 
 
( )
02
31
40
31
02
−
−
xfx
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no gráfico acima, a concavidade da parábola está apontando para baixo. Isto 
ocorre todas as vezes em que o coeficiente A é um número negativo. 
Definimos como discriminante de uma função quadrática ao número 
O valor do discriminante é muito útil no estudo da função quadrática. 
Ex: Determine o discriminante da função dada por 
7348254 =+=× 
função quadrática 
CxB ++2 . Os zeros da função são os valores de “
seja igual a zero e representam os pontos de intersecção da curva com o eixo 
( equação de segundo grau ) 
Como foi visto anteriormente, 
A
B
x
2
∆±−
=
 ( fórmula de Baskara ) 
dois zeros reais e desiguais ( a curva corta o eixo das abscissas em dois pontos 
dois zeros reais e iguais ( a curva corta o eixo das abscissas em apenas um ponto.)
nenhum zero real ( a curva não corta o eixo das abscissas.) 
x2− 1−
3
4
21
1
2
y
( ) 53 2 ++−= xxxf
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2
no gráfico acima, a concavidade da parábola está apontando para baixo. Isto 
Definimos como discriminante de uma função quadrática ao número CAB ..42 −=∆
 
. Os zeros da função são os valores de “x” que fazem 
seja igual a zero e representam os pontos de intersecção da curva com o eixo 
dois zeros reais e desiguais ( a curva corta o eixo das abscissas em dois pontos 
dois zeros reais e iguais ( a curva corta o eixo das abscissas em apenas um ponto.) 
4+
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Vértice 
O ponto mais alto ( 0<A ) ou mais baix
quadrática é chamado vértice da parábola e pode ser obtido pela fórmula 





 ∆
−−
AA
BV
4
,
2
 
 
Observação: 
Quando vamos fazer a representação gráfica de uma função de segun
montar uma tabela de valores nas proximidades do vértice.
Exemplo: represente graficamente a função dada por: 





−=
=
−=
5
4
1
C
B
A
( )144 2 ×−×−=∆⇒
( ) ( )14
4
,
12
4
⇒





−×
−
−
−×
− VV
 
Máximos e mínimos na função quadrática
Quando o valor de “A” de uma função quadrática é um número positivo, a parábola que 
representa a função tem a concavidade voltada para cima e portanto, tem um valo
O valor mínimo dessa função pode ser obtido através da ordenada do vértice e o valor que 
faz com que a função assuma o menor valor é a abscissa do vértice.
Exemplo: Determine o valor que torna mínima a função dada por 
o seu menor valor. 
( )
54
23
12
21
50
−
−
−
−
−
xfx
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) ou mais baixo ( 0>A ) da parábola que representa uma função 
quadrática é chamado vértice da parábola e pode ser obtido pela fórmula 
Quando vamos fazer a representação gráfica de uma função de segun
montar uma tabela de valores nas proximidades do vértice. 
Exemplo: represente graficamente a função dada por: ( ) 42 +−= xxxf
( ) 420165 −=−=−× 
( )1,2 −V 
 
Máximos e mínimos na função quadrática 
” de uma função quadrática é um número positivo, a parábola que 
representa a função tem a concavidade voltada para cima e portanto, tem um valo
O valor mínimo dessa função pode ser obtido através da ordenada do vértice e o valor que 
faz com que a função assuma o menor valor é a abscissa do vértice. 
: Determine o valor que torna mínima a função dada por (f
y
0
1 2 4
5−
3
2−
1−
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3
) da parábola que representa uma função 
quadrática é chamado vértice da parábola e pode ser obtido pela fórmula 
Quando vamos fazer a representação gráfica de uma função de segundo grau, devemos 
5− 
 
” de uma função quadrática é um número positivo, a parábola que 
representa a função tem a concavidade voltada para cima e portanto, tem um valor mínimo. 
O valor mínimo dessa função pode ser obtido através da ordenada do vértice e o valor que 
( ) 352 2 −+= xxx e 
x
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




−=
=
=
3
5
2
c
b
a
( ) 4924253245 2 =+=−××−=∆⇒






−=
×
−=
∆
−=
−=
×
−=−=
⇒
8
49
24
49
4
4
5
22
5
2
A
y
A
B
x
 
Assim, o valor que faz com que a função assuma o menor valor possível é 
4
5
−=x e o 
menor valor admissível para esta função é 
8
49
−=y . 
Quando o valor de “A” de uma função quadrática é um número negativo, a parábola que 
representa a função tem a concavidade voltada para baixo e portanto, tem um valor máximo. 
O valor máximo dessa função também pode ser obtido através da ordenada do vértice e o 
valor que faz com que a função assuma o maior valor é a abscissa do vértice. 
Exemplo: Determine o valor que torna máxima a função dada por ( ) 542 2 −+−= xxxf 
e o seu maior valor. 





−=
=
−=
5
4
2
c
b
a
( ) ( ) 2440165244 2 −=−=−×−×−=∆⇒
( )
( )



−=
−
−
−=
−×
−
−=
∆
−=
==
−×
−=−=
⇒
3
8
24
24
24
4
1
4
4
22
4
2
A
y
A
B
x
 
Assim, o valor que faz com que a função assuma o maior valor possível é 1=x e o maior 
valor admissível para esta função é 3−=y . 
Observação: 
No curso de Cálculo Diferencial e Integral existe um capítulo para tratar exclusivamente de 
problemas que envolvem máximos e mínimos de funções, com o uso de derivadas. 
Considere o problema: 
Determine dois números inteiros de soma 6 de modo que o produto entre eles seja o menor 
possível. Determine também esse produto. 
Sejam x e y esses números: 
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( ) xxPxxPxxPyxP
xyyx
666..
66
22 +−==−=⇒−=⇒=
−=⇒=+
 
Observe que temos uma função quadrática que representa o produto dos números. 
Assim, as coordenadas do vértice são: ( ) 32
6
12
6
2
=
−
−=
−×
−=−=
A
B
x 
 
( )
( ) 94
36
4
036
14
0146
4
2
=
−
−=
−
+
−=
−×
×−×−
−=
∆
−=
A
P
 
Como xy −= 6 , se 3=x 336 =⇒−=⇒ yy . 
Portanto, os números inteiros pedidos são 3 e 3 e o maior valor do produto é 9. 
Variação de sinais da função quadrática 
De acordo com o que já foi dito no texto, o gráfico de uma função quadrática pode se 
apresentar de seis modos diferentes em relação ao eixo das abscissas e de acordo com o 
sinal de “A” ( positivo ou negativo ). Veja as figuras a seguir: 
 
 
 
 
0
0
>
>∆
A
0
0
>
<∆
A
0
0
>
=∆
A
0
0
<
<∆
A
0
0
<
=∆
A
0
0
<
>∆
Ax
x
x
x
x
x
,x
,,x
,x
,x
,x
,,x
,,x
,,x
=
=
+ +
+ +
+
+
+
+
0
0
0
0
00• •
•
• •
•
−
−
−
−
−
−
−
−
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De acordo com as figuras anteriores, podemos resumir a situação em três partes: 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: com o quadro acima conseguimos fazer o estudo de sinais de qualquer função 
de segundo grau. 
Lembre-se: m / A = mesmo sinal de “A” 
 c / A = sinal contrário de “A” 
Exemplos: 
Faça um estudo da variação de sinais das funções de segundo grau dadas a seguir: 
1-) 232 2 −−= xxy 





−=
−=
=
2
3
2
C
B
A
( ) ( ) ( )
4
53
22
53251692243 2 ±=⇒
×
±−−
=⇒=+=−×−−=∆⇒ xx 
Portanto, 




−=
=
2
1
2
,,
,
x
x
 Na reta, 
Daí, temos a solução: 
02
2
1
02
2
1
02
2
1
<⇒<<−
>⇒>−<
=⇒=−=
yx
yxoux
yxoux
 
 
 
•
••
00
,x
,x
,,x
,,x=
0
xdevalores
xdevalores
xdevalores
ydesinaisAm /Am /
Am /Am /
Am /
Ac /
••
2
1
−
2
xdevalores
0 0
+ +
−
ydesinais
ydesinais
ydesinais
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2-) 452 −−−= xxy 





−=
−=
−=
4
5
1
C
B
A
( ) ( ) ( ) ( )( ) 2
35
12
35916254145 2
−
±
=⇒
−×
±−−
=⇒=−=−×−−−=∆⇒ xx
 
Portanto, 



−=
−=
1
4
,,
,
x
x
 Na reta, 
Daí, temos a solução: 
014
014
014
>⇒−<<−
<⇒−>−<
=⇒−=−=
yx
yxoux
yxoux
 
 
3-) 962 +−= xxy 





=
−=
=
9
6
1
C
B
A
( ) ( )
2
06
12
06036369146 2 ±=⇒
×
±−−
=⇒=−=××−−=∆⇒ xx
 
Portanto, 



=
=
3
3
,,
,
x
x
 Na reta, 
Daí, temos a solução: 
03
03
>⇒≠
=⇒=
yx
yx
 
 
4-) 442 −+−= xxy 





−=
=
−=
4
4
1
C
B
A
( ) ( ) ( ) 2
04
12
04016164144 2
−
±−
=⇒
−×
±−
=⇒=−=−×−×−=∆⇒ xx
 
Portanto, 



=
=
2
2
,,
,
x
x
 Na reta, 
Daí, temos a solução: 
02
02
<⇒≠
=⇒=
yx
yx
 
••
4− 1−
xdevalores
0 0
+
−
−
•
3
xdevalores
0
+ +
•
2
xdevalores
0
− −
ydesinais
ydesinais
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5-) 542 ++= xxy 





=
=
=
5
4
1
C
B
A
Rx ∉
×
−±−
=⇒−=−=××−=∆⇒
12
44
420165144 2
 
Portanto, 



∉
∉
Rx
Rx
,,
,
 Na reta, 
Daí, temos a solução: Rxy ∈∀> 0 
 
6-) 1022 −+−= xxy 





−=
=
−=
10
2
1
C
B
A
( ) ( ) ( ) Rx ∉−×
−±−
=⇒−=−=−×−×−=∆⇒
12
362
3640410142 2
 
Portanto, 



∉
∉
Rx
Rx
,,
,
 Na reta, 
Daí, temos a solução: Rxy ∈∀< 0 
 
O estudo de sinais da função de segundo grau é uma importante ferramenta na resolução 
de inequações. 
Veja os exemplos: 
Resolva as inequações seguintes: 
1-) 0672 ≤+− xx 





=
−=
=
6
7
1
C
B
A
( ) ( )
2
57
12
572524496147 2 ±=⇒
×
±−−
=⇒=−=××−−=∆⇒ xx 
Portanto, 



=
=
1
6
,,
,
x
x
 Na reta, 
xdevalores
+ ++
xdevalores
− −−
••
1 6
xdevalores
0 0
− ++
ydesinais
ydesinais
ydesinais
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Observe que o sinal da inequação é ≤ 0, o que significa que queremos apenas os valores 
de “x” que fazem com que a função seja negativa ou zero. Daí termos assinalado apenas a 
parte da reta que está abaixo do sinal negativo . 
Daí, { }61 ≤≤∈= xRxS 
 
2-) 01452 <+−− xx 





=
−=
−=
14
5
1
C
B
A
( ) ( ) ( )( ) 2
95
12
9581562514145 2
−
±
=⇒
−×
±−−
=⇒=+=×−×−−=∆⇒ xx 
Portanto, 



=
−=
2
7
,,
,
x
x
 Na reta, 
Observe que o sinal da inequação é < 0, o que significa que queremos apenas os valores de 
“x” que fazem com que a função seja negativa. Daí termos assinalado apenas as partes da 
reta que estão abaixo do sinal negativo. 
Daí, { }27 >−<∈= xouxRxS3-) 0842 >−−− xx 





−=
−=
−=
8
4
1
C
B
A
( ) ( ) ( ) ( )( ) Rx ∉−×
−±−−
=⇒−=−=−×−×−−=∆⇒
12
164
1632168144 2 
Portanto, 



∉
∉
Rx
Rx
,,
,
 Na reta, 
Observe que o sinal da inequação é > 0, o que significa que queremos apenas os valores 
de “x” que fazem com que a função seja positiva. Como a função assume apenas valores 
negativos, temos: 
 φ=S 
 
 
o
7− 2
xdevalores
0 0− +
o
xdevalores
−
−−
ydesinais
ydesinais
−
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Podemos também ter desigualdades envolvendo funções de primeiro grau e segundo, com 
produtos e quocientes das mesmas. 
Neste caso, devemos proceder como foi feito na unidade anterior. 
Veja o exemplo: 
Resolva a inequação: ( ) ( ) 0
23
932
2
2
≥
+−
−−
xx
xx
 
 
 



−=
=
3
2
b
af 
2
3
2
3
=
−
−=−=⇒
a
b
x 





=
=
−=
9
0
1
C
B
A
g 
 





=
−=
=
2
3
1
C
B
A
h 
 
 
 
 
 
 
 
Assim a solução da inequação será dada 
 





 ≤<≤<−≤∈= 32
2
313 xouxouxRxS 
Observe que os números 1 e 2 foram excluídos da resposta apesar do sinal da inequação 
ser ≥ pois esses valores anuam o denominador e o denominador de uma fração não pode 
ser zero. 
f g
h
( ) ( ) 

=
−=
⇒
−
±
=⇒
−×
±−
=⇒+=×−×−=∆⇒
3
3
2
60
12
603609140
,,
,
2
x
x
xx
( ) ( )



=
=
⇒
±
=⇒
×
±−−
=⇒=−=××−−=∆⇒
1
2
2
13
12
131892143
,,
,
2
x
x
xx
213− 32
3
f
g
h
h
gf .
0
0
0
0
0
+ + + +
++++
+++
+++ −
−
−
−
−
−
−
− −
−
••• oo
3− 1
2
3 2 3
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EXERCÍCIOS 
01-) Dada a função (((( )))) mxxxf ++++−−−−==== 523 , calcule m para que a função tenha raízes reais 
iguais. Resp: 
12
25
 
02-) O gráfico de uma função “f ” é uma parábola que passa pelos pontos ( ) ( )0,3,0,1 BA 
e ( )1,2 −C . O gráfico da função “g “ é uma reta que passa pelos pontos ( ) ( )1,0,0,1 −DC . 
Determine o conjunto solução da equação ( ) ( )xgxf = Resp: { }4,1=S 
03-) A parábola representada graficamente pela função ( ) cxbxxf ++−= 22 passa pelo 
ponto ( )0,1 e seu vértice é o ponto ( )kV ,3 . Determine o valor de “k”. Resp: 8 
04-) Uma função de segundo grau assume os valores 1,3 e 5 para x = 1, x = 2 e x = - 1, 
respectivamente. Escreva essa função e calcule as coordenadas do vértice de seu gráfico. 
Resp: ( )
3
52
3
4 2 +−= xxxf 





12
11
,
4
3V 
05-) O valor mínimo da função dada por ( ) mxxxf +−= 53 2 é – 1. Nestas condições, 
calcule o valor de “m “. Resp: 
12
13
=m 
06-) A parábola de equação 2xay = passa pelo vértice da parábola 24 xxy −= . Calcule 
o valor de “a” Resp: 1 
07-) Resolva as inequações seguintes: 
• A) 09102 ≥+− xx Resp: { }91 ≥≤ℜ∈ xouxx 
• B) 049142 >+− xx Resp: { }7≠ℜ∈ xx 
• C) 92 +≥+ xxx Resp: { }33 ≥−≤ℜ∈ xouxx 
• D) ( ) ( ) 01.12 22 <−++− xxx Resp: { }4113 <<−<<−ℜ∈ xouxx 
• E) ( ) ( ) 04.652 <−++− xxx Resp: { }641 ><<−ℜ∈ xouxx 
• F) 0
156
4
2
2
<
+−
−
xx
x
 Resp: 






><<−<ℜ∈ 2
2
1
3
12 xouxouxx 
• G) 4
1
2
<
−x
x
 Resp: { }1<ℜ∈ xx 
• H) 
1
1
1
12
2
2
+
≥
−
−+
xx
xx
 Resp: { }1;10 −≠>≤ℜ∈ xxououxx 
08-) Determine o domínio da função dada por ( ) 4 2
21
25
x
x
xf
−
−
= 






≤<−≤ℜ∈ 5
2
15Re xouxxsp