Álgebra Linear - Resumo - AV2

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Álgebra Linear 
Centro Universitário Estácio de Sá 
Igor Soares 
Revisão para AV2 | Brasília - 2017 
 
A = 
Aula 1 – Matrizes; Operações e Determinantes 
 
 Uma matriz pode ser vista como uma planilha de dados da qual 
podemos extrair ou incluir informações relativas a problemas da 
natureza prática. 
 Formalmente definimos uma matriz como uma disposição retangular 
de números ou funções do tipo 
 
 
 
 
 
 
 
 Diagonal principal da matriz quadrada A: é formada pelos 
elementos aij, tais que i=j 
 Matriz nula: possui todos os elementos iguais a zero. 
 Matriz triangular superior: é uma matriz quadrada cujos elementos 
situados abaixo da diagonal principal são iguais a zero. 
 Matriz triangular inferior: é uma matriz quadrada cujos elementos 
situados acima da diagonal principal são iguais a zero 
 Matriz diagonal: é uma matriz quadrada cujos elementos fora da 
diagonal principal são iguais a zero. 
 Matriz identidade: denotada por In, é uma matriz diagonal cujos 
elementos da diagonal principal são aij = 1 
 Matriz linha: é a matriz que possui apenas uma linha 
 Matriz coluna: é a matriz que possui apenas uma coluna 
 Matriz transposta da Matriz A=(aij): denotada por A
t, é tal que o 
elemento situado na linha i e coluna j de A passa a ser o elemento 
da linha j e coluna i de At. 
 Matriz simétrica: é uma matriz tal que A = At 
 Matriz antissimétrica: é uma matriz tal que A = - At 
 A soma de matrizes só pode ser realizada quando são de mesma 
ordem, sendo a soma de cada elemento correspondente. 
 A multiplicação por escalar é obtida multiplicando-se cada elemento 
pelo escalar em questão. 
a11 a12 --- a1n 
a21 a22 --- a2n 
 --- --- aij --- 
am1 am2 --- amm 
Quando a matriz tem o mesmo 
número de linhas e colunas, 
chamamos de 
Matriz Quadrada 
 aij é a linha i e coluna j 
 
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 Produto de matrizes: é necessário que o número de colunas da 
primeira matriz (A) seja igual ao número de linhas da segunda (B), ex: 
A (m x p) + B (p x n) = C (p x p) 
 Para definir cada elemento de C é preciso: 
 Selecionar a linha i na matriz A 
 Selecionar a coluna j da matriz B 
 Efetuar a soma dos produtos dos elementos da linha i pelos da 
coluna j, da seguinte forma: 
cij = ai1*b1j + ai2*b2j + ... + ain*bnj, para todo i e j. 
 As potências matriz de uma matriz quadrada de ordem (n x n) são: 
A2 = A*A; An = A*A*...*A (n vezes) 
 Determinante de uma matriz: denotado por det (A) ou │A│, é um 
número que está associado a essa matriz calculado da seguinte forma: 
 Caso 1: A (a) det (A) = a; 
 Caso 2: A det (A) = ad – BC 
 
 
 Caso 3: A det (A) 
 
Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, traçamos 3 
diagonais em cada sentido, sendo as linhas vermelhas com sinal negativo 
e as verdes com sinal positivo: 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 
 
1 = - c*e*g 4 = + a*e*i 
2 = - a*f*h 5 = + b*f*g 
3 = - b*d*i 6 = + c*d*h 
 
 
 
O det (A) será a somatória dos produtos indicados. 
det (A) = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi 
 Cofator: denotado por Δij, é definido por Δij = (-1)
i+j
 * det (Aij), onde Aij 
denota a matriz obtida da matriz A suprimindo-se a linha i e a coluna j. 
 
a b 
c d 
a b c 
d e f 
g h i 
a b c a b 
d e f d e 
g h i g h 
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 Regra de Laplace: 
 Escolher uma linha ou coluna 
 Se a linha i da matriz for escolhida, então: 
det (A) = ai1* Δi1 + ai2* Δi2 + ... + ain* Δin 
 Propriedades do determinante: 
 Sejam A e B matrizes quadradas na ordem n. 
 det (A
t
) = det (A) 
 det (k*A) = k
n
*det (A), sendo k um número real 
 det (A*B) = det (A) * det (B) 
 Se A possui linhas (colunas) iguais ou proporcionais, então det 
(A) = 0 
 Se trocarmos as posições de duas linhas (colunas) de A, o seu 
determinante fica multiplicado por (-1). 
 Se A é uma matriz triangular seu determinante é o produto dos 
elementos da diagonal principal. 
 Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra 
linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de A. 
 
Aula 2 – Inversa e cálculo de posto de uma matriz 
 
 Uma matriz quadrada A de ordem n, pode ser considerada inversível 
quando podemos encontrar uma matriz B também de ordem n: 
AB = BA = In 
 Assim, a matriz B é inversa de A, sendo denotado por: B = A-1 
 
 
 
Calculando isto através de substituição de variável, temos que: 
A−1 = 
1
det (A)
∗ 
d -b
-c a
 
 
 
 
 
 A matriz de cofatores de A, denotada por A , é formada calculando-se 
todos os cofatores de A, isto é: A = ∆ij 
* = = 
a b 
c d 
x y 
z w 
1 0 
0 1 
ax+bz ay+bw 
cx+dz cy+dw 
1 0 
0 1 
AB= 
Atenção: Uma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente 
se, o seu determinante for diferente de zero. 
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 Matriz Adjunta de A: é definida como a transposta da matriz dos 
cofatores de A, ou seja: Adj (A) = (A )
t
 
 Então a temos que a matriz inversa de A, pode ser encontrada por: 
A-1= 
1
det (A)
* adj (A) 
 Propriedades da inversa 
 Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n inversíveis. 
 A inversa da matriz identidade é a matriz identidade 
 (A-1)-1 = A 
 (k * A)-1 = 
1
k
 * A-1 
 (At)-1 = (A-1)t 
 (A * B)-1 = B-1 * A-1 
 det (A-1) = 
1
det (A)
 
 Operações elementares com as linhas de uma matriz 
 Troca de linhas: é a troca de uma linha i por uma linha j 
Li Lj 
 
 Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo: onde todos os 
elementos de uma linha são multiplicados por um escalar 
Li k*Lj 
 Substituição de uma linha multiplicada por ela própria adicionada a 
outra linha multiplicada por um escalar 
(Li Li + k * Lj) 
 Matrizes linhas equivalentes: Uma matriz B é linha equivalente a uma 
matriz A se B for obtida de A por um número finito de operações 
elementares: 
 Uma matriz A é considera escalonada se: 
 O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula for um. 
 Cada coluna que contiver o primeiro elemento não nulo de uma 
linha deve ter todos os outros elementos iguais a zero. 
 O número de zeros que precede o primeiro elemento não nulo de 
cada linha deve crescer linha após linha. 
 Toda linha nula deve vir abaixo de todas as linhas não nulas. 
 Posto de uma matriz: Seja B a matriz escalonada da matriz A. Definimos 
o posto de A como sendo o número de linhas não nulas da matriz B. 
 Outras maneiras de calcular a inversa de uma matriz: 
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Operações elementares 
x 
y ax + by = c 
fig. 1 
 A forma escalonada de uma matriz quadrada inversível é sempre a 
matriz identidade. 
 A mesma sequência de operações elementares que transforma a 
matriz A na matriz identidade transforma a matriz identidade na 
matriz inversa de A. 
( A │ ln ) ( ln │ A
-1
) 
 
Aula 3 – Sistemas de Equações Lineares 
 
 Toda equação linear nas variáveis x e y no plano cartesiano é da forma 
ax + by = c, para a, b e c são constantes, representados pela reta da fig1 
 Já no espaço R3 é acrescentada a variável z, dando a equação ax + 
by + cz = d, sendo a, b, c e d números reais, o gráficoé mostrado na 
fig2 
 
 
 
 
 Um sistema linear com m equações e n variáveis é um conjunto 
representado por: 
 
a11*x1+a12*x2+…+ a1n*xn=b1 
a21*x1+a22*x2+…+ a2n*xn=b2
……………………………………..
am1*x1+am2*x2+…+ amn*xn=bm
 
 Então um sistema linear com m equações e n variáveis fica 
representado pela equação matricial AX = b. Onde A é a matriz dos 
coeficientes, X é o vetor da incógnitas e B o vetor dos termos 
independentes. 
 Matriz Ampliada do sistema é obtida acrescentando-se a matriz dos 
coeficientes uma coluna com os termos independentes. 
 Um sistema de equações lineares pode ser classificado como: 
x 
y 
z 
ax + by + cz = d 
fig. 2 
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 Sistema Possível e Determinado (SPD): possui apenas uma única 
solução 
 Sistema Possível e Indeterminado (SID): possui infinitas soluções 
 Sistema Impossível (SI): não possui solução. 
 Teorema de Rouché-Capelli 
 Um sistema linear com m equações e n variáveis possui solução se e 
somente se o posto da matriz ampliada (pa) for igual a posto da 
matriz de coeficientes (pc), ou seja. 
pa = pc = p 
 Se p = n então, o sistema terá solução única (SPD) 
 Se p < n então, o sistema terá infinitas soluções (SPI). Neste caso, 
para resolvê-lo, basta escolher (n – p) variáveis e obter as outras 
p variáveis em função desta. 
 Se pa ≠ pc o sistema não possui soluções (SI). 
 Método de Eliminação de Gauss: consiste em reduzir a matriz ampliada 
do sistema, por operações elementares, a uma matriz que só difere da 
forma escalonada quando: 
 “Toda coluna que tiver o primeiro elemento não nulo de uma linha 
deve ter todos abaixo deste iguais a zero.” Após a redução da matriz 
ampliada a esta forma, a solução final do sistema é obtida por 
substituição 
 Sistema Linear Homogêneo: é um sistema de equações lineares onde 
todos os termos independentes são iguais a zero. Descrito como: AX = 
0, onde 0 é o valor de b. 
 Quando este sistema é SPD, ele admite a solução mais trivial, no 
caso 
X1, X2,..., Xn = (0, 0, 0) 
 Resolução de Sistemas utilizando inversão de matrizes 
 Um sistema linear com m equações e n variáveis, com m = n, pode ser 
apresentado pela equação matricial AX = b, sendo A a matriz dos 
coeficientes (quadrada de ordem n). 
 Se a matriz A for inversível, então o sistema é possível e 
determinado. 
A * X = b X = A-1 * b 
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Aula 4 – Visão geométrica das soluções de um sistema linear e regra de 
Cramer 
 
 Interpretação geométrica da solução de um sistema linear no plano 
cartesiano (R2) 
R2= x, y x, y ϵ Reais 
 O sistema linear de duas incógnitas pode ser classificado como: 
 SPD – Retas Concorrentes (Interceptam-se em um único ponto) 
Ex: 
x + y = 1
2x + 3y = 7
 
 SPI – Retas Coincidentes (Interceptam-se em infinitos pontos) 
Ex: 
x - 2y = 2
2x - 4y = -4
 
 SI – Retas Paralelas (Não se interceptam ou interceptam-se no 
infinito) 
Ex: 
x + y = 2
x + y = -3
 
 No R3 o sistema é representado por: 
R3= x, y, z x, y, z ϵ Reais 
 A regra de Cramer: só pode ser usada para resolver sistemas em que o 
número de equações é igual ao número de incógnitas. E o det A ≠0 
 
a11x1+ a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1+ a22x2 + … + a2nxn = b2
an1x1+ an2x2 + … + annxn = bn
 
Onde, A = 
a11 ⋯ a1n
⋮ ⋱ ⋮
an1 ⋯ ann
 é a matriz dos coeficientes; 
 X = 
X1
⋮
Xn
 É a matriz das incógnitas e 
b = 
b1
⋮
bn
 é a matriz dos termos independentes. 
 A matriz A deve ser inversível, então: 
X = A-1* b 
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 Para resolução de um sistema usando a regra de Cramer, será 
calculado o determinante da matriz substituindo cada matriz das 
incógnitas pela dos termos independentes, sendo uma por vez. E este 
valor ser divido pelo determinante da matriz dos coeficientes. 
Aula 5 – Espaços Vetoriais 
 
 Os vetores no plano R2 e R3 são representados por (u1, u2, ... , un). 
 O espaço Rn ou espaço real de dimensão n é definido como sendo o 
conjunto de todos os vetores de dimensão n. 
 Operações em Rn 
 u + v = (u1+v1, u2+v2, ..., un=vn) 
 α*u = (α*u1, α*u2, ..., α*un) sendo α um escalar real. 
 Propriedades 
 (u + v) + w = u + (v + w) propriedade associativa 
 u + v = v + u propriedade comutativa 
 u + 0 = u onde 0 é o vetor nulo, ou seja, 0 = (0, 0, ..., 
0) 
 u + (-u) = 0 propriedade de existência do vetor simétrico de u 
 α * (u + v) = α*u + α*v 
 (α + β)*u = α*u + β*u 
 (α *β)*u = α *(β*u) 
 1*u = u 
 Subespaço vetorial 
 Um subespaço do espaço vetorial V é um espaço vetorial de 
tamanho “menor” dentro de V. 
 Se W é um subespaço de V então o elemento nulo de V pertence a 
W obrigatoriamente. 
Aula 6 – Dependência e independência linear 
 
 Combinação linear: Sejam os n vetores {v1, v2, ..., vn} pertencentes ao 
espaço vetorial real V. Uma combinação linear entre estes vetores é 
um vetor w. Também pertencente ao V, tal que: 
 w = a1v1 + a2v2 + ... + anvn onde a1, a2, ..., an são escalares reais 
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 A combinação linear entre os vetores só será possível se um sistema 
linear gerado possuir solução. 
 Os vetores fixos v1, v2, ..., vn em um espaço vetorial V geram V se todo 
vetor V for uma combinação linear de v1, v2, ..., vn, ou seja: 
 V = v1, v2, ..., vn. 
 Os passos para verificar se os vetores v1, v2, ..., vn geram o vetor V, são: 
 Escolher um vetor v qualquer em V. 
 Verifique se v é uma combinação linear dos vetores dados. Se for, 
então os vetores dados geram V. Se não, eles não geram V. 
 Independência Linear: Seja β = {v1, v2, ..., vn} um conjunto de n vetores 
em um espaço vetorial V. Dizemos que o conjunto β é linearmente 
dependente (LI), ou os vetores v1, v2, ..., vn são LI, se a combinação 
linear nula a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0, onde todos os escalares são iguais 
a zero. 
 Dependência Linear: o conjunto ou os vetores são considerados 
linearmente dependentes (LD) caso na combinação linear nula exista 
ao menos um escalar diferente de 0. 
Aula 7 –Base e Dimensão de um espaço vetorial 
 
 Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Dizemos que o conjunto 
𝛽 = u1, u2, . . . , un , contido em V é uma base de V se: 
 𝛽 = u1 , u2, . . . , un , é um conjunto linearmente independente. 
 [β] = V, ou seja, o subespaço gerado por B é V. 
 Em outras palavras, podemos dizer que o conjunto formado por 
todas as combinações lineares de u é igual ao conjunto V. Esse 
conjunto deve ser linearmente independente. 
 Seja 𝛽 = u1, u2, . . . , un um conjunto gerador do espaço vetorial V. 
Então, sempre podemos extrair de β uma base para V. 
 Seja V um espaço vetorial gerado por um conjunto finito de vetores 
 u1, u2, . . . , un . Então qualquer conjunto com mais de n vetores é LD. 
 Os vetores de um espaço vetorial são sempre representados em 
termos de suas coordenadas. Entretanto, essas coordenadas 
dependem da base ou referencial estabelecido para o espaço, isto 
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significa que, quando alteramos o referencial do espaço as 
coordenadas dos vetores também se alteram. 
Aula 8 – Transformações Lineares 
 
 Uma Transformação Linear será uma funçãoque leva vetores do 
espaço vetorial U em vetores do espaço vetorial V que poderá ser 
descrita na forma: 
T u = A.u Sendo u um vetor do espaço vetorial U e A uma matriz. 
 T(k *u) = k*T(u), para todo escalar k 
 T(u + v) = T(u) + T(v), para todo vetor u e v em V 
 Se T(0) ≠ 0 então a Transformação T não é uma Transformação 
Linear 
 A imagem de T Im(T), é o conjunto de todos os vetores v do espaço 
vetorial V de modo que v = T(u) para algum u do espaço vetorial U 
 O núcleo T N(T), é o conjunto de vetores de U que são levados por T no 
elemento nulo de V. 
 Se T: Rn → Rm é linear, T(X) = AX, e a matriz A é chamada de matriz 
canônica para a transformada linear T. 
Aula 9 – Autovalores e Autovetores 
 
 Operador linear: é uma Transformação linear de um espaço vetorial V 
nele próprio, T: V→V . Então toda matriz que representa um 
Operador Linear em relação a uma base de V é sempre quadrada e de 
ordem (dim V x dim V) 
 Seja A uma matriz n x n. Um vetor não nulo V ∈ Rn é um autovetor da 
matriz A se AV = λV, para algum escalar λ. O escalar λ é chamado de 
autovalor para A se existe solução não trivial X, para AV = λV. Este X é 
chamado de autovetor associado ao autovalor λ. 
 Seja A uma matriz da ordem (n x n) que representa o operador linear T 
em uma base de espaço Rn. Então os autovalores e autovetores da 
matriz A são obtidos por: 
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 Av = λv Para o número real λ e para v ≠ 0 ∈ Rn. 
 Os autovalores da matriz A serão dados pelas raízes reais de um 
polinômio em λ do grau n, denotado por p(λ), que se chama 
polinômio característico. 
 Os autovetores serão dados pela resolução de um sistema linear 
homogêneo de equações do tipo indeterminado. 
 Método do polinômio característico, para quando A é uma matriz de 
ordem (n x n): 
 Escrever a matriz (A – λln), ln = matriz identidade de mesma ordem 
da matriz A 
 Obter o polinômio característico da matriz A, dado por: 
p λ = det A – λln =0 
 Achar as raízes do polinômio característico p(λ), os autovalores. 
 Para cada autovalor λ encontrado, resolver o sistema homogêneo 
dado por A – λln ∗ v = 0 Para v ≠ 0. 
Aula 10 – Diagonalização de Operadores Lineares – Aplicações de 
Autovalores e Autovetores 
 
 Polinômio da matriz: seja p x = a0+a1x+ a2x
n um polinômio de x de 
grau n, e seja A uma matriz quadrada. Então, p(A) é a matriz 
p A = a0ln+a1A+ ⋯+anA 
 Dada uma matriz quadrada A, definimos o polinômio minimal da matriz 
A como: 
 m x = xk + ak-1x
k-1 + ⋯ + a1x + a0 
De modo que: 
 O polinômio m(x) anula A, ou seja, m(A) = 0. 
 m(x) é o polinômio de menor grau dentre todos aqueles que anulam 
a matriz A 
 Sejam T: V→V um operador linear e α uma base qualquer do espaço 
vetorial V. Então, T é diagonalizável se e somente se o polinômio 
minimal da matriz A que representa o operador na base α for da forma 
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m x = x-λ1 x-λ2 ⋯ x-λn , em que os números reais 𝜆1, λ2,… , λn 
são todos distintos. 
 Diagonalizando o operador linear T pelo método do polinômio minimal. 
Seja A uma matriz que representa o operador linear T em uma base de 
espaço vetorial V: 
 Achar o polinômio característico de A. 
 Encontrar o polinômio minimal de A. 
 Verificar se o polinômio minimal d A é da forma 
 x-λ1 x-λ2 ⋯ x-λn , com 𝜆1, λ2,… , λn distintos.