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Curso Licenciatura em Matemática – Probabilidade e Estatística Página 1 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
Variável Aleatória (va) é uma função que associa números reais aos pontos de um espaço amostral. Ou seja, 
os resultados do experimento aleatório são associados numericamente. Geralmente usamos letras maiúsculas 
(X, Y, Z...) para designar as variáveis aleatórias, e minúsculas (x, y, z...) para indicar particulares valores 
dessas variáveis. O comportamento de uma variável aleatória é descrito por sua Distribuição de 
Probabilidade. 
 
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA: quando, entre dois valores sequenciais não se pode ter outro valor. As 
variáveis discretas assumem somente um número finito de valores e tais valores são expressos por números 
inteiros. Exemplo: Considere um experimento de um contator que presta o exame público para perito-
contador (certified public accountant – CPA). O exame é composto de quatro etapas. Podemos definir uma 
variável aleatória como x = o número de etapas em que ele foi aprovado no exame CPA. Trata-se de uma 
variável discreta porque ela pode assumir o número finito de valores 0, 1, 2, 3 e 4. Os específicos modelos 
discretos de probabilidade são as distribuições de probabilidade Binomial, a de Poisson. 
Tabela de exemplo de variáveis aleatórias discretas. 
Experimento Variável aleatória(x) Valores possíveis para a va. 
Contatar cinco clientes Número de clientes que 
realizam um pedido de compra 
0, 1, 2, 3, 4, 5. 
Inspecionar uma remessa de 
50 rádios 
Número de rádios defeituosos 0, 1, 2, 3,... 49, 50. 
Operar um restaurante 
durante um dia 
Número de clientes 0, 1, 2, 3, ... 
Vender um automóvel Gênero do Cliente 0 se for masculino e 1 se for feminino. 
 
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTINUA: quando se pode atribuir qualquer valor dentro de um determinado 
intervalo. Resultados que se baseiam em escalas de medidas de tempo, temperatura, peso de caixa de uva, 
duração de uma conversa ao telefone, velocidade, altura. Por exemplo, considere o experimento de 
monitoração das chamadas telefônicas feitas ao escritório de reclamação de seguros de uma companhia de 
seguros. Suponha que a variável aleatória de interesse seja x = o tempo em minutos entre as chamadas 
consecutivas. Essa variável pode assumir qualquer valor no intervalo x ≥ 0. Elas são retratadas por uma curva 
de probabilidade (distribuição Normal). 
Tabela de exemplo de variáveis aleatórias contínuas. 
Experimento Variável aleatória(x) Valores possíveis para a va. 
Operador de um banco Tempo em minutos entre as chegadas 
dos clientes 
x ≥ 0 
Encher uma lata de refrigerante (Max. 
357 ml) 
Quantidade em ml 0 ≤ x ≤ 357 
Construir uma nova biblioteca % de conclusão do projeto depois de 
seis meses 
0 ≤ x ≤ 100 
Testar um novo processo químico A temperatura quando ocorre a reação 
desejada( mín. 65ºC ; Max. 100ºC 
65 ≤ x ≤ 100 
 
Resumidamente, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
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DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE 
 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 
 
Na prática, é mais interessante associar um número a um evento aleatório e calcularmos a probabilidade da 
ocorrência desse número, do que a probabilidade do evento. 
Vamos voltar ao exemplo do lançamento de três moedas. Seja X: número de ocorrências da face cara. 
Determinar a distribuição de probabilidade de X. 
O espaço amostral do experimento é: 
 = {(C, C, C); (C, C, K); (C, K, C); (C, K, K); (K, C, C); (K, C, K); (K, K, C); (K, K, K)} 
 
Se X é o número de caras, X assume os valores 0, 1, 2 e 3. Podemos associar a esses números eventos que 
correspondem à ocorrência de nenhuma, uma, duas ou três caras respectivamente, como segue: 
X Evento correspondente 
0 A1 = {( K, K, K)} 
1 A2 = {(C, K, K); (K, C, K); (K, K, C)} 
2 A3= {(C, C, K); (C, K, C); (K, C, C)} 
3 A4= {(C, C, C)} 
Tabela 01 
Podemos também associar às probabilidades de X assumir um dos valores, as probabilidades dos eventos 
correspondentes: 
P(X = 0) = P(A1) = 
1
8
; P(X = 1) = P(A2) = 
3
8
; P(X = 2) = P(A3) = 
3
8
; P(X = 3) = P(A4) = 
1
8
 
 
Esquematicamente Graficamente 
X P(X) 
0 1/8 
1 3/8 
2 3/8 
3 1/8 
 Tabela 02 
 
 
 Gráfico 01: Gráfico em hastes. 
 
Da tabela 01, fizemos a seguinte associação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
Logo podemos dar a seguinte definição: Variável Aleatória é a função que associa a todo evento pertencente 
a uma partição do espaço amostral um único número real. 
A variável aleatória para ser discreta deve assumir valores em um conjunto finito ou em um conjunto 
infinito, porém enumerável. 
Uma variável para a qual os valores não são conhecidos até que um experimento seja realizado é chamada de 
Variável Aleatória. 
Vamos supor que eu estou interessada em atribuir uma descrição numérica aos resultados dos experimentos 
que estão apresentados dentro de um espaço. 
 
 
A2 
 0 1 2 3 x 
3
8
 
1
8
 
P(x) 
 
A1 
A3 
A4 
1 
2 
3 
4 
A2 
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0
0,2
0,4
0,6
0 1 2
P
(x
) 
Variável X 
Histograma 
Exemplo: Dado duas moedas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O próximo passo é associar uma Função que vai descrever o comportamento desta variável aleatória aos 
possíveis resultados. 
Aqui estou interessada em encontrar a função que descreve a probabilidade de sair cara. 
Vamos definir esta variável aleatória; 
 X: como número de caras. 
 x : 0,1,2. 
Vamos analisar qual a probabilidade de ocorrência de cada um destes eventos. 
A tabela abaixo apresenta os valores da minha variável X e a probabilidade de ocorrência de cada um dos 
eventos. Podemos apresentar estes resultados na forma de um gráfico. 
 
 
x P(x) 
0 0,25 
1 0,50 
2 0,25 
 1 
 
 
 
 
 
Qual a função capaz de descrever a probabilidade de termos x: número de caras, em dois lances de uma 
moeda equilibrada, onde k varia de 0 a 2. 
 
 
 
Esta função descreve a probabilidade associada aos diferentes valores da variável aleatória x. A função de 
probabilidade esta associada a uma variável aleatória. 
 
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE 
 
É a função que associa a cada ponto do espaço amostral de uma variável aleatória, a probabilidade de 
ocorrência de tais pontos. Ao definir a função de probabilidade, estabelecemos uma correspondência unívoca 
entre os valores que a variável aleatória X assume (x1, x2, ..., xn) , e os valores da variável P (p1, p2, ..., pn). 
Observe que sempre teremos ∑ fi = 1 no caso de variável aleatória discreta. 
Uma função de probabilidade deve satisfazer: 
 a) f(x) ≥ 0; 
 b) 



b
ax
xf 1)(
 
Podem-se representar as funções de probabilidade através de gráficos. 
Temos como exemplo a tabela 02 e o gráfico 01. 
V. A Probabilidade 
X = 0 P(k,k) = 1/4 
X = 1 P(c,k) = 1/2 
X = 2 P(c,c) = 1/4 
A ideia é associar uma v.a. a cada uma das probabilidades associadas aos 
eventos. 
k2k.0,5.0,5
k
2
k)P(X 






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FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA 
 
Outra forma de representar uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória é através de sua 
função de distribuição acumulada, que é definida por: 
F(X) = P(X ≤ x), ∀ x 𝜖 , 
 
Assim, para todo x e R a função de distribuição acumulada descreve aprobabilidade de ocorrer um valor até 
x. 
A variável aleatória X = número obtido no lançamento de um dado comum tem a seguinte função de 
distribuição acumulada: 
 
Observe que os pontos em que a função de probabilidade descreve probabilidades não nulas correspondem a 
saltos na função de distribuição acumulada e, também, que a altura ao valor da probabilidade naquele ponto. 
Assim, para todo x e R, há uma relação direta entre p(x) e F(x). 
Quando aplicamos a Estatística na resolução de problemas, verificamos que muitos apresentam as mesmas 
características o que nos permite estabelecer um modelo teórico para determinação da solução de problemas. 
Os componentes principais de um modelo estatístico teórico são: 
 Os possíveis valores que a variável aleatória X pode assumir; 
 A função de probabilidade associada à variável aleatória X; 
 A esperança matemática da variável aleatória X; 
 A variância e o desvio-padrão da variável aleatória X. 
 
Com o objetivo de sintetizar características relevantes de uma distribuição de probabilidades, podemos 
calcular algumas características da distribuição. 
 
ESPERANÇA MATEMÁTICA (VALOR ESPERADO) E VARIÂNCIA 
Algumas medidas discutidas anteriormente (média, variância e o desvio padrão), também podem ser 
definidas para as variáveis aleatórias, com o objetivo de sintetizar características relevantes de uma 
distribuição de probabilidades. 
 
ESPERANÇA MATEMÁTICA de uma variável aleatória é a média aritmética ponderada, dado por: 
 
 
 
Uma das aplicações de E(X) é na tomada de decisão no risco. A decisão em situação de risco envolve os 
seguintes elementos: 
- Um número finito de alternativas, entre os quais uma decisão deve ser tomada. 
- Um certo número de estados da natureza, cujas probabilidades de ocorrência podem ser previstas. 
- Um certo número de consequências, resultando da influência de cada estado da natureza sobre cada 
alternativa. O risco da alternativa é medido pela diferença entre os estados mais favorável e desfavorável 
da natureza. 
 
Variância nos dá o grau de dispersão (ou concentração) de probabilidades em torno da média. Representada 
por: 
 



k
j
jj pxxE
1
.)(
 


k
j
jj pxxV
1
22 .)( 
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Desvio padrão é a raiz quadrada da variância, dado por: 
 
 
Exemplo: Uma empresa, vende três produtos, cujos lucros e probabilidades de venda estão anotados na 
tabela a seguir: 
 
Produto A B C 
Lucro Unitário ($) 15 20 10 
Probabilidade de Venda (%) 20 30 50 
 
Pede-se: 
O Lucro médio por unidade vendida e o desvio padrão. 
 
Exercícios 
1- Suponhamos que um número seja sorteado de 1 a 10, inteiros positivos. Seja X: números de divisores do 
número sorteado. Calcular o número médio de divisores do número sorteado e o desvio padrão. 
 
2- Dado o gráfico abaixo, calcule o desvio padrão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- A transportadora URBI Ltda possui um a frota de quatro caminhões de aluguel. Sabe-se que o aluguel é 
feito por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados é a seguinte: 
X 0 1 2 3 4 
P(X) 10 20 30 30 10 
 
onde X representa o número de caminhões alugados/dia e P(X) a probabilidade de alugar caminhões em (%). 
Pede-se o número médio diário de caminhões alugados, bem como o desvio padrão. 
 
4- Os empregados A, B, C e D ganham 1, 2, 2 e 4 salários mínimos, respectivamente. Retiram-se amostras 
com reposição de 2 indivíduos e mede-se o salário médio da amostra retirada. Qual a média e o desvio 
padrão do salário médio amostral? 
 
5- Uma urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e uma urna B contém 2 vermelhas e 8 azuis. Joga-se 
uma moeda “honesta”. Se a moeda der cara, extrai-se uma ficha da urna A; se der coroa, extrai uma ficha 
da urna B. Uma ficha vermelha é extraída. Qual a probabilidade de ter saído cara no lançamento da 
moeda? (75%) 
 
6- Uma caixa A, tem 9 cartas numeradas de 1 a 9. E uma caixa B tem 5 cartas numeradas de 1 a 5. Uma 
caixa é escolhida ao acaso e uma carta é retirada. Se o número é par, qual a probabilidade de que a carta 
sorteada tenha vindo da caixa A? (52,63%) 
 
7- A seguradora MAFRE oferece um seguro de vida para pessoas com menos de 45 anos de 
R$ 200.000,00, devendo-se pagar R$ 600,00 por ano. Se a probabilidade de uma pessoa com menos de 
45 anos morrer no próximo ano for de 0,1%, qual a expectativa do lucro anual da seguradora?(R$400,00) 
 
2)(   xDP
 0 1 2 x 
6
8
 
1
8
 
1
8
P(x) 
 
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8- O lucro líquido estimado (em milhões) da empresa para o próximo ano e suas respectivas probabilidades 
considerando quatro cenários estão registrados na tabela abaixo. Calcule o valor esperado e o desvio 
padrão. (R$ 3,65 e R$ 4,40) 
 
Cenários Lucro líquido Probabilidade 
Excelente 10 20% 
Bom 5 40% 
Sofrível 1 25% 
Ruim -4 15% 
 
9- Calcular o número esperado em ponto, quando se lança um dado perfeito. (3,5 pontos) 
 
10- Uma instituição vende bilhetes de rifas por R$ 5,00 cada um. Há 10 prêmios no valor de R$ 25,00 e um 
prêmio maior no valor de R$ 100,00. Se forem vendidos 200 bilhetes e você comprar um deles qual a sua 
expectativa em relação ao sorteio? (R$ 1,75) 
 
11- Um jogo consiste no lançamento de 3 moedas (a moeda não é viciada). Se der tudo cara ou tudo coroa, o 
ganho é de R$ 5,00; mas, dando uma ou duas caras, a perda é de R$ 3,00. Qual o resultado esperado para 
o jogo, em reais? (perca de R$ 1,00) 
 
PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
Trata-se de uma distribuição de probabilidade adequada aos experimentos que apresentam apenas dois 
resultados possíveis: sucesso ou fracasso. Quando um jogador de basquete tenta um lance livre, por 
exemplo, das duas, uma: ou ele faz a cesta ou não. 
 
HIPÓTESES DO MODELO BINOMIAL 
1. O experimento é repetido n vezes nas mesmas condições. 
2. Os resultados das repetições são independentes, ou seja, uma repetição não interfere nas subsequentes. 
3. Cada repetição admite apenas dois resultados: sucesso ou fracasso. 
4. As probabilidades de sucesso “p” e de insucesso “q” (q=1-p) se mantêm constantes durante as repetições. 
 
Por exemplo: 
a) Uma semente é colocada para germinar. 
b) Nascimento de um bovino. 
c) Uma lâmpada é colocada numa luminária. 
 
Define-se a VARIÁVEL BINOMIAL X como o número de sucessos em n repetições do experimento. 
 
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL 
 
 
Sendo: 
p = a probabilidade de “sucesso”; 
q = a probabilidade de “fracasso” → q = 1 – p; 
n = número total de tentativas independentes; 
f(x) = a probabilidade de x sucessos em n ensaios. 
 
 
 
 
NOTAS: 
1. O nome BINOMIAL se deve ao fato da expressão acima corresponder ao termo geral do desenvolvimento 
do BINÔMIO DE NEWTON. 
xnx .q.p
x
n
x)P(X 






 !!
!
xnx
n
x
n







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2. Para p=0,5 a distribuição é simétrica. Para P < 0,5, a distribuição tem inclinação para a direita. 
3. No caso de n grande (n  30) e p não muito pequena nem muito grande (valores centrais, com alguns 
autores recomendando Np > 5 e nq > 5), a DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL pode ser aproximada pela 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL, que será vista adiante. 
 
 
PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
Média μx = E{X} = np e Variância 
2
x = V{X} = npq. 
 
Exemplo: 1-Numa agência de viagens,de cada 100 passagens vendidas, 30 são para o Rio de Janeiro. Na 
venda de seis passagens, calcule: 
a) Qual a probabilidade de que quatro sejam para o Rio de Janeiro? 
b) Qual a probabilidade de que quatro ou mais sejam para o Rio de Janeiro? 
c) Qual a probabilidade de que nenhuma seja para o Rio de Janeiro? 
d) Qual a probabilidade de que no máximo duas sejam para o Rio de Janeiro? 
e) Calcular a média e o desvio padrão. 
 
2- Dois dados são lançados simultaneamente 5 vezes qual a probabilidade de ocorrer 9 pontos em 2 
lançamentos? 
 
3- Uma pesquisa indica que 41% das mulheres dos EUA consideram a leitura sua atividade favorita de lazer. 
Você seleciona ao acaso quatro mulheres e pergunta a elas se a leitura é sua atividade favorita de lazer. 
Obtenha a probabilidade de que: 
a) Exatamente duas delas respondam “sim”. 
b) Pelo menos duas delas respondam “sim”. 
c) Menos do que duas respondam “sim”. 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
Considere as situações em que se avalia o número de ocorrências de um determinado evento por unidade de 
tempo, de comprimento, de área ou de volume. Em muitos casos, conhece-se o número de sucessos, mas às 
vezes é muito difícil ou até mesmo impossível determinar o número de fracassos. Imagine o número de 
automóveis que passam por uma esquina: pode-se anotar o número de veículos que passaram num 
determinado intervalo de tempo, mas não se pode determinar quantos deixaram de passar. 
 
A distribuição de Poisson é aplicada nos tipos de situações em que nos interessa o número de vezes em que 
um evento pode ocorrer durante um intervalo de tempo ou em determinado ambiente físico. Como por 
exemplo: defeitos por unidade, colônia de bactérias, mortes por ataque de coração por ano, erros 
tipográficos, número de clientes que chegam numa loja durante uma hora de promoção relâmpago, etc. 
A distribuição de Poisson é caracterizada apenas pelo parâmetro λ, que representa o valor esperado ou 
média, do número de sucessos por intervalo t. Em outras palavras, λ é a taxa de ocorrência dos eventos no 
intervalo de tempo. 
 
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE POISSON 
 
 
 
Onde: 
e = é uma constante (base do logarítmo neperiano) valendo aproximadamente 2,718... 
λ = é o número esperado de sucessos no intervalo considerado 
x = é o número de sucessos (x = 0, 1, 2, ...,∞.) 
 
PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
Média μx = E{X} = λ e Variância 
2
x = V{X} = λ. 
x!
λe
x)P(X
xλ

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Exemplo: 1- Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade de que uma página 
contenha pelo menos 3 erros? 
 
2- A média das chegadas de clientes a um posto de serviço é de 3 a cada minuto. Qual a probabilidade de 
que no próximo minuto cheguem: 
a) 1 cliente; 
b) 5 clientes. 
 
APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PELA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
Muitas vezes no uso da distribuição binomial, acontece que n é muito grande e p muito pequeno, nesses 
casos, o cálculo se torna muito difícil, sendo necessário o uso de máquinas de calcular sofisticadíssimas. 
Podemos então fazer uma aproximação da Binomial pela distribuição de Poisson. 
Consideremos {
𝑛 → ∞
𝑝 → 0 (𝑝 < 0,1)
0 < 𝜇 ≤ 10
 
 
Quando isso ocorre, a média  = n.p será tomada como n.p = . 
 
Exemplo: 
1- Considere 10 tentativas independentes de um experimento. Cada tentativa admite sucesso com 
probabilidade de 0,05. Seja X o número de sucessos: 
a) Calcular P(1< x ≤ 4); 
b) Considera 100 tentativas independentes. Calcular P(x ≤ 2). (Use aproximação da binomial pela 
Poisson). 
 
Exercícios 
1-A média das chegadas de clientes a um posto de serviço é de 3 a cada minuto. Qual a probabilidade de que 
no próximo minuto cheguem: 
a) Um cliente. (14,94%) 
b) Cinco clientes (10,08%) 
 
2-Numa estrada há 2 acidentes para cada 100 km. Qual a probabilidade de que em: 
a) 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes? (87,52%) 
b) 300 km ocorram 5 acidentes? (16,07%) 
 
3-Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade de que uma página contenha 
pelo menos 3 erros? (8,03%) 
 
4-Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Encontre a probabilidade de: 
a) Dar 5 caras; (22%) 
b) Pelo menos uma cara; (99,6%) 
c) No máximo 2 caras; (14,45%) 
d) Calcular a média e a variância da distribuição. ( média= 4; Var.= 2) 
 
5-Uma moeda é lançada seis vezes. Encontre a probabilidade de: 
a) Ocorrer quatro coroas; (23,43%) 
b) Ocorrer pelo menos duas coroas; (89,06%) 
c) Ocorrer no máximo três coroas. (64%) 
 
6-Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras 
nessas 5 provas.(31,25%) 
 
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7-Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 partidas. Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4 
jogos. Calcular a média e a variância da distribuição. (8,23%,  =2, var. 1,33) 
 
8-Supondo que as consultas num banco de dados ocorrem de forma independente e aleatória, com uma taxa 
média de três consultas por minuto, calcule a probabilidade de que no próximo minuto ocorram menos do 
que três consultas. (0,4232) 
 
9-Uma loja atende em média 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de em uma hora: 
a) Atender exatamente 2 clientes; (27,07%) 
b) Atender 3 clientes.(18,04%) 
 
10-Sabendo-se que os clientes chegam a uma loja à razão de 6 por hora, determine a probabilidade de que 
durante uma hora qualquer: 
a) Não chegar nenhum cliente; (0,2479%) 
b) Chegar ao menos um cliente. (99,75%) 
 
11-Uma pesquisa indica que 41% das mulheres dos EUA consideram a leitura sua atividade favorita de 
lazer. Você seleciona ao acaso quatro mulheres e pergunta a elas se a leitura é sua atividade favorita de lazer. 
Obtenha a probabilidade de que: 
a) Exatamente duas delas respondam “sim”; (35,11%) 
b) Pelo menos duas delas respondam “sim”; (54,20%) 
c) Menos do que duas respondam “sim”.(45,79%) 
 
12- Um exame do tipo teste é constituído de 20 questões cada uma delas com cinco respostas alternativas, 
das quais apenas uma é correta. Se um estudante responde as questões ao acaso, qual é a probabilidade que 
consiga acertar exatamente 10 questões? (0,20%) 
 
13- Uma urna contém 20 bolas pretas e 30 brancas. Retiram-se 25 bolas com reposição. Qual a probabilidade 
de que: 
a) Duas sejam pretas? (0,038%) 
b) Pelo menos 3 sejam pretas? (99,95%) 
 
14- Cientistas verificaram que no estudo de átomos de Césio durante 365 dias, 1.000.000 átomos (um milhão 
de átomos) deterioram-se para 977.287 átomos. 
a) Determine o número de átomos médio que se deterioram por dia; (66,22 átomos /dia) 
b) Qual a probabilidade de, que em qualquer dia, 50 átomos se deteriorem? (1,56%) 
 
15- O governo de São Paulo informou que durante um período de 20 anos, 196 pessoas faleceram em 
acidentes domésticos. 
a) Qual a média do número de pessoas que faleceram por ano?(9,8 pessoas por ano) 
b) Qual a probabilidade de nenhuma pessoa falecer no próximo ano?(0,0056%) 
c) Qual a probabilidade de que quatro pessoas faleçam no próximo ano? (2,13%) 
 
16- Uma pesquisa realizada pelo INMETRO verificou que 5 % dos televisores fabricados têm defeitos. 
Pergunta-se: 
a) Qual a probabilidade de que dois em cem televisores sejam defeituosos? (8,12%) 
b) Qual a probabilidade de dois em cem televisores sejam defeituosos, utilizando a aproximação da 
distribuição de Poisson. (8,42%) 
 
17- Um jogador joga na roleta duzentas vezes e aposta sempre no número sete. A probabilidade de ganhar 
em cada jogada é 1/38. Qual a probabilidade de perder nas duzentas vezes medianteo emprego da: 
a) Distribuição Binomial; (0,48%) 
b) Distribuição de Poisson. (0,52%) 
 
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18- Um departamento recebe 8 chamadas por hora. Qual a probabilidade de que: 
a) Em uma hora ocorram três chamadas?(2,86%) 
b) Em 30 minutos ocorram pelo menos duas chamadas? (90,83%) 
c) Em 15 minutos não ocorra nenhuma chamada? (13,53%) 
19- Sejam as urnas: 
 1ª Urna 2 ª Urna 3ª Urna 
Pretas 3 4 2 
Brancas 1 3 3 
Vermelhas 5 2 3 
Escolhem-se uma urna ao acaso e dela extrai-se uma bola ao acaso, verificando-se que ela é branca. Qual a 
probabilidade da bola ter vindo da urna 2 ? e da urna 3? (40,676%; 45,76%) 
 
20- Suponha que os navios cheguem a um porto a razão de 2 navios/hora, e que essa razão seja bem 
aproximada por um processo de Poisson. Observando o processo por um período de meia hora, determine a 
probabilidade de: 
a) Não chegar nenhum navio; (36,8%) 
b) Chegarem 3 navios.(6,13%) 
 
21- Se a probabilidade de um estabelecimento possuir trator é de 0,4 e se pesquisarmos 5 estabelecimentos, 
qual a probabilidade de: 
a) Exatamente dois possuírem trator? (34,56%) 
b) No máximo dois possuírem trator? (68,26%) 
c) No mínimo três possuírem trator? (31,74%) 
Calcular a média e a variância e o desvio padrão de estabelecimentos agrícolas. (  =2, var. 1,2; DV= 
1,0954) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso Licenciatura em Matemática – Probabilidade e Estatística Página 11 
 
OBTENDO UMA PROBABILIDADE BINOMIAL USANDO UMA TABELA. 
 
Metade dos trabalhadores adultos gasta menos de 20 minutos no percurso entre a casa e o trabalho. Se 
selecionarmos ao acaso seis trabalhadores adultos, qual a probabilidade de exatamente três deles gastarem 
menos de 20 minutos nesse percurso? 
 
 
Utilizando a fórmula: 
 
 
 
 
 
OBTENDO UMA PROBABILIDADE POISSON USANDO UMA TABELA. 
 
Uma contagem populacional revela a existência de uma média de 3,6 coelhos por acre em um determinado 
campo. Use uma tabela para determinar a probabilidade de que sejam encontrados dois coelhos em qualquer 
acre determinado desse campo. 
 
 
Utilizando a fórmula: 
 
 
 
 
3125,0.(0,5).(0,5)
3
6
3}P{X 3363 





 
1771,0
2!
.3,6e
2}P{X
26,3

