relatorio regrssão

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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Engenharia Elétrica e Informática
Departamento de Sistemas e Computação
Relatório de Seminário de Pesquisa
Ajuste de curvas por regressão
e ajuste sigmoidal de curvas
Disciplina
Cálculo Numérico
Professor
José Eustáquio Rangel de Queiroz
rangel@dsc.ufcg.edu.br, rangeldequeiroz@gmail.com
Equipe
Lucas Amorim
Lucas.amorim@ee.ufcg.edu.br
Campina Grande - PB
Abril de 2013
_____________________________
José Eustáquio Rangel de Queiroz
Professor
_____________________________
Lucas Amorim
Equipe
ÍNDICE
1	Introdução	4
2	Objetivos	4
3	Fundamentação Teórica	5
4 Conciderações Finais ....................................................13
Introdução
Neste relatório, são apresentados e descritos os modelos de ajuste de curvas por regressão e ajuste sigmoidal de curvas, bem como importantes conceitos para compreensão destes modelos.
Também é apresentado a importâncianumérica dos modelos de ajuste de curvas por regressão e ajuste sigmoidal de curvas, o seu desenvolvimento e suas aplicações, no caso de aplicações as mesmas é ilustrada por meio de exemplos. 
Este documento foi estruturado como segue. Nesta seção foi apresentado o tema que é foco desse documento, além de resumo do que é apresentado nas próximas seções. Na seção 2 é descrito o objetivo dos métodos de ajuste de curvas por regressão e a juste sigmoidal de curvas. Na seção 3 é apresentado os métodos, modelagens, e exemplos de aplicação dos mesmos. Na seção 4 é feito as considerações finais do tema central desse documento.
Objetivos
A pesquisa ora documentada teve como objetivo geral apresentar os métodos de ajuste de curvas por regressão e ajuste sigmoidal de curvas, bem com servir de fonte de pesquisa dos temas discutidos aqui. 
Fundamentação teórica 
Ajuste de curvas por regressão
Ajuste de curvas por regressão é um processo que consiste em determinar a função que melhor se ajusta e representa um determinado conjunto de pontos. Para saber qual é a função a ser ajuste de um dado conjunto de postos, é necessário conhecer ao menos uma das duas informações abaixo:
Conhecimento prévio e da teoria que envolve opostos tabelados.
O diagrama de dispersão dos pontos tabelado.
Para aplicar o método de ajuste de curva por regressão, é necessário conhecer o método de mínimos quadrados, que é descrito a seguir.
Ajuste de Curvas por Regressão cosa discreto 
Regressão Linear Simples Consiste em n pontos de um diagrama de dispersão a serem ajustados a uma reta. Para que isso possa ser feito e necessário aplica método de mínimos quadrados, o método consiste em determinar os coeficientes da reta + que melhor representa pontos tabelados dados.
Para melhor ajuste, minimiza-se o valor absoluto em módulo da soma dos erros residuais para todos os pontos.
 Sr==x (1)
Deriva-se a Eq. 1 em relação a cada coeficiente e iguala-se a zero.
x=0 (2)
x=0 (3)
 Desenvolvendo as Eq. 2 e Eq. 3 chaga-se ao sistema da Fig. 1. 
Fig. 1-Siatema do caso de regressão simples
Resolvendo o sistema, encontra-se e , e assim tem-se a reta que melhor representa os pontos tabelados.
Exemplo 01: A partir do método de regressão por mínimos quadrados (caso discreto) ajuste uma reta aos pontos do Quadro 1.
Quadro 1-pontos de exemplo 1
	x
	1,3
	3,4
	5,1
	6,8
	8
	Y(x)
	2,9
	5,2
	3,8
	6,1
	6,8
Resolução:
1º passo - Cálculo dos coeficientes da matriz da Fig. 1. 
n=5 
2º passo– Substituir os valores encontrados no sistema da figura 1, e resolvê-lo. 
Resolvendo o sistema linear encontra-se e =0,522, é a reta que melhor representa pontos tabelados dados. A Fig. 2 representa o gráfico dos pontos ajustados.
Fig. 2-Ajuste dos pontos do exemplo 1.
Regressão Linear múltipla
Em alguns casos, a aproximação por uma reta não é satisfatória, uma alternativa para solucionar o problema seria ajustar polinômios aos dados através da regressão múltipla. A ideia é aplica novamente o método de mínimos quadrados, a regressão simples é um caso particular da regressão múltipla fazendo os mesmo passos do método de mínimos quadrados , mas agora para um polinômio de grau n. O sistema encontrado nesse caso é representado na Fig. 3.
Fig. 3-Sistamo linear, regressão múltipla.
Exemplo 02: Ajuste aos pontos da tabela ao polinômio y=b0+b1x+b2x2
Quadro 2-Pontos do exemplo2 
	x
	-2
	-1,5
	0,0
	1,0
	2,2
	3,1
	Y(x)
	-30,5
	-20,2
	-3,3
	1,9
	16,8
	25,4
Resolução: Para o conjuntos de pontos dados tem-se o sistema linear :
 
Deve-se resolver os somatórios e substitui-los na sistema, n é quantidade de pontos da tabela, nesse caso n=6.
 
 
Substituindo os valores teremos o sistema linear abaixo.
Resolvendo o sistema têm-se os valores =11,33 =-1,222. A parábola que melhor representa os pontos da tabela é +.
Regressão Linear caso contínuo
Seja a função f(x) dada no intervalo [a, b],aplicando o modelo de mínimos quadrados novamente chegamos a um sistema que resolvido nos dá os valores dos coeficientes da função de ajuste.
Fig. 4-Sistema linear, Regressão caso contínuo.
Os elementos αij serão determinados a partir do produto interno entre as funções gi(x) e gj(x):
= (4)
Os elementos bi serão determinados a partir do produto interno entre as funções f(x) e gi(x):
= (5)
Exemplo 03: Determinar a parábola que melhor se ajuste a função f(x)=sen(πx) no intervalo [0,1].
Nesse caso tem-se a função de ajuste , como g1(x)=1, g2(x)=x, g3(x)=.
Cálculo dos coeficientes das matrizes a partir das Eq. 4 e Eq. 5, resulta em:
 . = 
Resolvendo o sistema, têm-se os seguintes valores,-0,054 4,14 -4,14. 
A aproximação de f(x)=sen(πx) no intervalo [0,1] é x-4,14.
Fig. 5-Ajuste da função d0 exemplo 2.
Qualidade do ajuste 
Tanto no caso discreto como no continuo a qualidade do ajuste é indicada por , coeficiente de determinação, cujo valor estar no intervalo [0,1]. O ajuste é melhor quanto mais próximo de 1 ele estiver. A Eq. 6 determina o coeficiente de determinação.
 (6)
Ajuste Sigmoidal de Curvas
 sigmóides são curvas que descrevem processos de crescimento natural de qualquer sistema. Processo de crescimento natural, Consiste em preencher determinado nicho desde o início até a saturação. Sigmoides são curvas não-lineares e portanto os método de ajustes de curvas por regressão linear não pode ser aplicado deforma direta, o que se deve fazer é linearizar a curva sigmoide e com isso aplica o método citado anteriormente.
Como exemplo vamos citar a linearização da função sigmoide da Eq. 7.
y= (7)
Linearizando a Eq. 7:
y= == + = + tanh( 
Com o fim da linearização pode-se aplicar o método de ajuste de curva por regressão para a função linearizada, como foi demostrado anteriormente . 
Modelo Logístico 
y= (7)
Fig. 6-Função do Modelo Logístico
Modelo de Gompertz 
y= (8)
Fig. 7-Função do Modelo Gompertz
Fig. 8-Gráfico quando os parâmetros de Gompertz variam.
Modelo de Richards 
y= (9)
Fig. 9-Função do Modelo GompertzFig. 10-Gráfico quando o parâmetro de Richards varia
Considerações Finais
A aplicabilidade numérica do ajuste de curvas por regressão, é importante quando há necessidade de se fazer extrapolação de pontos, ou seja ,quando se deseja conhecer pontos fora do intervalo de tabelamento. Também podemos citar sua aplicação em casos em que os pontos são obtidos com erros inerentes, pois nesse caso deve-se utilizar barras de erro para representar os pontos dados.
O ajuste sigmoidal de curvas é um caso especial do ajuste de curvas por regressão, por se trata de uma função não-linear, funções sigmoides tem ampla aplicações nos diversos campos do conhecimento, e em especial na biologia. E em geral por se tratar de um função não-linear tem maior esforço computacional quando comparado com ajuste de curvas por regressão caso linear.
Referências Bibliográficas
RUGGIERO, M. A. GOMES & LOPES, V. L. da R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionais. MAKRON Books, 1996, 2ª ed. 
JONILDO,J.L & DIOGO, L. F. Métodos Numérico, Universidade Federal do Paraná, Departamento de informática,CI-202.
BARROSO, L. A. BARROSO, A. M. M., CAMPOS, F. F., CARVALHO, B. L. M., MAIA, L. M. Cálculo Numérico (com aplicações), 1987, 2ª ed.