18 4 2016 B3 Circunferências e polígonos (1)

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B3 
 
CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS. 
ROTAÇÕES 
 
 
Circunferência 
 
Circunferência é um conjunto de pontos do plano situados à mesma 
distância de um ponto fixo (centro). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corda é um segmento de recta cujos extremos são dois pontos quaisquer 
da circunferência. Por exemplo, [ED], [AD] e [AB]. 
 
Diâmetro é uma corda que contém o centro da circunferência. Por exemplo 
[ED]. 
 
Raio é um segmento de recta cujos os extremos são o centro e um ponto 
qualquer da circunferência. Por exemplo, [CE], [CD] e [CA]. 
 
Arco é um segmento de circunferência compreendida entre dois ppontos 
que lhe pertencem. Existem arcos menores, pois são menores que metade 
da circunferência, e arcos maiores, porque são maiores que metade da 
circunferência. 
 
arco menor AB = arco AB 
arco maior AB = arco ADB = arco AEB 
 
A amplitude do arco AB representa –se AB 
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Ângulo ao centro 
 
Ângulo ao centro é um angulo cujo vértice é o cento da circunferência 
 
 
 
 
Por exemplo, ∠AOB e ∠COD 
 
 
 
 
A cada ângulo ao centro corresponde uma corda e um arco: os que ficam 
compreendidos entre os seus arcos. 
Por exemplo, [AB] é a corda correspondente ao ∠AOB e o arco CD é o 
arco correspondente ao ∠COD. 
 
Propriedade 
 
A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco 
correspondente. Simbolicamente, AÔB = AB e CÔD = CD. 
 
Exemplos: 
 
Considera a circunferência de centro O e determina as amplitudes de 
∠AOB e ∠COD. 
 
Resolução: 
 
Como são ângulos ao centro, a sua amplitude é igual à 
do arco correspondente. Logo, AÔB = AB = 55º e 
CÔD = CD = 60º. 
 
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Ângulo inscrito 
 
Ângulo inscrito é um ângulo cujo o centro é um ponto da circunferência e 
cujos os lados contém cordas. Por exemplo, ∠ABC e ∠DEF. 
 
 
Os lados do ângulo inscrito ABC intersectam a 
circunferência em dois pontos, A e C. Diz-se que o 
arco AC é o seu arco correspondente: arco 
compreendido entre os seus lados. Ao arco ABC 
chama-se arco capaz desse ângulo: arco que contém 
o vértice. 
 
 
Propriedade 
 
A amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do arco 
correspondente. Simbolicamente, ABC = 
2
AC
 e DÊF = 
2
DF
 
 
Exemplos: 
 
1. Considera a circunferência e determina A^BC e DÊF. 
 
 
Resolução: 
∠ABC e ∠DEF são ângulos inscritos. 
ABC = 
2
AB
 = 
2
º50
 = 25º 
DÊF = 
2
DF
 = 
2
º60
 = 30º 
 
 
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2. Determina ABC. 
 
Resolução: 
DAE = 
2
º30
 = 15º, porque é um ângulo 
inscrito. 
AÊC = 
2
º70
 = 35º, porque é um ângulo 
inscrito. 
 
AÊB = 180º - AÊC, isto é, AÊB = 180º - 35º, AÊB = 145º. 
Como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º, 
145º + 15º + ABC = 180º, ou seja, ABC = 20º. 
 
Propriedades dos ângulos, arcos e circunferências. 
 
Numa circunferência ou em circunferências iguais: 
• A ângulos ao centro iguais correspondem arcos iguais e reciprocamente. 
• A ângulos ao centro iguais correspondem cordas iguais e 
reciprocamente. 
• A arcos iguais correspondem cordas iguais e reciprocamente. 
 
 
Simbolicamente: COD = AOB ⇔ CD = AB ⇔ CD 
= AB 
Nota: Deve entender-se iguais como 
geometricamente iguais. 
 
Numa circunferência, ângulos inscritos no mesmo arco 
têm a mesma amplitude. 
ACD = ADB = AÊB = AFB = 
2
AB
 
 
 
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Um ângulo inscrito numa semicircunferência é um 
ângulo recto porque a amplitude do arco 
compreendido entre os seus lados é 180º, logo a 
amplitude do ângulo correspondente é 
2
º180
 = 90º. 
 
 
 
Uma recta tangente a uma circunferência é 
perpendicular ao raio no ponto de tangência, ou 
seja, CTA = 90º. 
 
 
 
 
Uma recta perpendicular ao meio de uma corda 
passa no centro da circunferência e divide ao meio 
os arcos e os ângulos ao centro correspondentes. 
ACD = DCB e AD = DB 
 
 
 
 
Numa circunferência, arcos e cordas 
compreendidas entre cordas paralelas são 
geometricamente iguais. 
AC = BD e AC = BD 
 
Em consequência desta propriedade, qualquer 
trapézio inscrito numa circunferência é isósceles. 
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Qualquer recta que contém o centro da 
circunferência é um eixo de simetria, isto é, ao 
dobrar a figura por essa recta, as duas partes 
coincidem ponto por ponto. 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
Considera a circunferência de centro O da figura. Sabendo que AT é 
tangente à circunferência no ponto T e que BT = 70º, determinar OAT. 
 
Resolução: 
 
É necessário considerar o ∆[OAT] e determinar as amplitudes dos seus 
ângulos internos. 
AOT = BT = 70º porque é um ângulo ao centro. 
OAT = 90º porque a tangente é perpendicular ao raio no ponto de 
tangência. 
Então, OAT = 180º - 70º - 90º = 20º porque a soma das amplitudes dos 
ângulos internos de um triângulo é 180º. 
 
Polígonos 
 
Polígono é uma figura geométrica limitada apenas por segmentos de recta. 
Existem polígonos côncavos e convexos. 
 
 
 
 
 
 
 
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Num polígono podem considerar-se ângulos internos e ângulos externos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades 
 
� A soma das amplitudes dos ângulos externos de um polígono convexo é 
de 360º. 
� 
� A amplitude de um ângulo externo de um polígono convexo regular 
com n lados é 
n
º360
. 
� A amplitude de um `^angulo interno de um polígono convexo regular 
com n lados é 180º - 
n
º360
. 
� A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo 
com n lados é 180ºn – 360º. 
 
� Um polígono diz-se inscrito numa 
circunferência se todos os seus vértices são 
pontos da circunferência que se diz 
circunscrita ao polígono. 
 
� Um polígono regular pode sempre inscrever-se numa circunferência. 
 
� O lado de um hexágono regular inscrito numa 
circunferência é igual ao raio. 
 
 
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Exemplos: 
 
1. Determinar a amplitude de um ângulo interno de um eneágono regular. 
 
Resolução: 
Como um eneágono tem 9 lados, a amplitude do seu ângulo interno é: 
180º - 
9
º360
 = 180º - 40º = 140º. 
 
2. Determinar o perímetro de um hexágono regular inscrito numa 
circunferência com 25,12 cm de perímetro. 
 
Resolução: 
Para determinar o perímetro é necessário conhecer a medida do lado que é 
igual ao raio da circunferência. Ora, PΟ= 2pir 
2pir = 25,12 ⇔ r = 
pi2
12,25
 ⇔ r = 4 
O lado do hexágono mede 4 cm. Então o seu perímetro é 6 x 4 = 24 cm. 
 
 
� A soma das amplitudes dos ângulos opostos de um 
quadrilátero inscrito numa circunferência é 180º. 
â + b = 180º e c + d = 180º 
 
� A área de um sector circular de raio r, cujo arco tem 
amplitude α, é: 
A = 
360
2
rαpi
 
 
� A área de um polígono regular é: 
A = 
2
apótemaPerimetrox
 
 
 
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3. Determina a área de um pentágono regular com 6 cm de lado inscrito 
numa circunferência de raio 6,5 cm. 
 
Resolução: 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, ao triângulo rectângulo assinalado, 
determina-se a apótema do pentágono, 
ap2 + 32 = 6,52 
⇔ ap2 + 9 = 42,25 ⇔ ap2 = 42,25 - 9 ⇔⇔ ap2 = 33,25 ⇔ ap = 25,33 ⇔ 
⇔ ap = 5,8 
 
A = 
2
apP ×
 = 
2
8,556 ××
= 87 cm2 
 
Rotações e isometrias 
 
Ângulo orientado é um ângulo onde está definido um sentido que pode ser 
positivo ou negativo. 
 
Sentido negativo – sentido do movimento dos ponteiros do relógio. 
 
Sentido positivo – sentido contrário ao movimento dos ponteiros do 
relógio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Rotação do centro O e amplitude αααα é uma transformação geométrica que 
a cada ponto A associa um ponto A’ tal que AOA’ = α e AO = AO’. 
 
A rotação de centro O e amplitude 80º, R(O, 80º) transforma o ∆[OAB] no 
∆[OA'B’]. O ∆[OA'B’] diz-se imagem do ∆[OAB]. 
 
 
 
 
 
 
Propriedades 
Numa rotação: 
 
� Um segmento de recta é transformado num segmento de recta 
geometricamente igual. 
� Um ângulo é transformado noutro com o mesmo sentido e 
geometricamente igual. 
 
Exemplos: 
 
Construir a imagem do polígono pela rotação de centro O e amplitude –80º, 
usando o transferidor e o compasso. 
 
Resolução: 
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Isometria é a transformação geométrica que transforma uma figura em 
outra geometricamente igual. 
 
As rotações, as translações e as simetrias são isometrias. 
 
 
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APLICA O QUE APRENDESTE 
 
 
 
 
1. Na circunferência de centro O da figura, [AC] é o lado de um hexágono 
regular nela inscritível. 
 
1.1. Determina AOC, ABC e ACB. 
1.2. Sendo AC = 2 cm, calcula o 
comprimento do arco AC. 
1.3. Classifica o ∆[ABC] quanto aos ângulos. 
 
 
 
 
 
2. Considera o trapézio [ABCD] inscrito na circunferência. Sabendo que 
[AB] é o lado de um pentágono regular 
inscritível na circunferência e que DC = 2AB, 
determina a amplitude dos ângulos internos do 
trapézio. 
 
 
 
 
 
 
3. Na circunferência da figura, DCA = 50º e CAB = 55º. Determina : 
 
 
 
3.1. CFB 
3.2. DÊA 
 
 
 
 
 
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4. Considera a circunferência de centro O da figura. Sabendo que AC = 
80º e DE = 30º, determina. 
 
4.1. DAE 
4.2. DCE 
4.3. ADC 
4.4. AFD 
4.5. DFE 
4.6. ABC 
 
 
5. Na figura, BC é tangente à circunferência 
de centro O no ponto D, AF = 100º e ED = 
2
1 DF. Determina as amplitudes dos 
ângulos internos do ∆[ABC]. 
 
 
 
 
 
6. Considera a circunferência de centro O da figura. Sabendo que AB = 
140º e que AC e BC são tangentes à circunferência em A e B, 
respectivamente. 
 
6.1. Calcula OÂB e ABC. 
6.2. Classifica o ∆[ABC] quanto aos 
lados. 
 
6.3. O gráfico traduz uma situação de 
proporcionalidade. Indica o tipo e a 
constante de proporcionalidade. 
 
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7. Na circunferência de centro O da figura, AD é tangente no ponto A e 
BÂD = 80º. Determina: 
 
 
 
7.1. AOB 
7.2. ACB 
 
 
 
8. Considera a circunferência de centro O da figura. Sabendo que CD = 
100º e que AB é tangente no ponto B, determina: 
 
8.1. DBC 
8.2. BCD 
8.3. ABC 
8.4. ABD 
8.5. BÂC 
8.6. BDO 
 
 
9. Averigua se existe um polígono regular cuja amplitude do ângulo 
interno é 162º. Em caso de existir, indica o número de lados. 
 
10. Quais das afirmações seguintes são verdadeiras? 
 
I) Num triângulo, a amplitude do ângulo externo é igual à soma das 
amplitudes dos ângulos internos não adjacentes. 
II) Num triângulo, a soma das amplitudes dos ângulos internos é 180º. 
III) Num quadrilátero inscrito numa circunferência, os ângulos opostos 
são suplementares. 
IV) Num triângulo rectângulo, a hipotenusa é igual à soma dos catetos. 
 
A) Todas B) I, II e III C) II, III e IV D) I, II e IV 
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11. Considera um hexágono regular com 4 cm de lado inscrito numa 
circunferência de centro O. Determina: 
 
 
11.1. A área da parte colorida da figura; 
11.2. A amplitude do ângulo interno e a amplitude 
do ângulo externo do hexágono. 
 
 
 
12. Num estudo estatístico sobre os níveis de Matemática dos alunos de 
uma turma, elaborou-se um gráfico circular com 2 cm de raio. 
Determina a área do sector circular correspondente ao nível 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Constrói a imagem do ∆[ABC] pela rotação de centro O e amplitude 
45º.