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Ca´lculo III Edezio 1
Lista 5 de Ca´lculo III - Prof. Edezio
1. Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine a ordem da equac¸a˜o diferencial e diga se ela e´
linear ou na˜o linear.
1. x2
d2y
dx2
+ x
dy
dx
+ 2y = sen x; 2. (1 + y2)
d2y
dt2
+ t
dy
dt
+ y = et
3.
d4y
dx4
+
d3y
dx3
+
d2y
dx2
+
dy
dx
+ y = 1; 4.
dy
dt
+ ty2 = 0;
5.
d2y
dt2
+ sen(t+ y) = sen t; 6.
d3y
dt3
+ t
dy
dt
+ (cos2t)y = t3.
2. Em cada um dos problemas abaixo, verifique se cada func¸a˜o dada e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o
diferencial.
(a) y′′ − y = 0; y1(t) = et, y2(t) = cosh t.
(b) y′′ + 2y′ − 3y = 0; y1(x) = e−3x, y2(t) = ex.
(c) ty′ − y = t2; y(t) = 3t+ t2;
(d) y(4) + 4y(3) + 3y = t; y1(t) = t/3, y2(t) = e
−t + t/3.
3. Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial dada.
(a) y′ + 3y = t+ e−2t.
(b) y′ − 2y = t2e2t.
(c) y′ + y = tet + 1.
(d) y′ + (1/t)y = 3cos 2t, t > 0.
(e) y′ − 2y = 3et.
(f) ty′ + 2y = sen t, t > 0.
(g) y′ + 2ty = 2te−t
2
.
(h) ty′ − y = t2e−t, t > 0.
(i) 2y′ + y = 5sen 2t.
(j) 2y′ + y = 3t2.
4. Em cada um dos problemas de valor inicial abaixo, encontre a soluc¸a˜o.
(a) y′ − y = 2te2t, y(0) = 1.
(b) y′ + 2y = te−2t, y(1) = 0
(c) ty′ + 2y = t2 − t+ 1, y(1) = 1/2, t > 0.
(d) t3y′ + 4t2y = e−t, y(−1) = 0, t < 0.
5. Resolva a equac¸a˜o diferencial dada:
(a) y′ = x2/y; (b) y′ = x2/y(1 + x3);
(c) y′ + y2sen x = 0; (d) y′ = (3x2 − 1)/(3 + 2y);
(e)
dy
dx
=
x− e−x
y + ey
(f)
dy
dx
=
x2
1 + y2
.
Ca´lculo III Edezio 2
6. Encontre a soluc¸a˜o do poblema de soluc¸a˜o valor inicial.
(a) y′ = (1− 2x)y2, y(0) = −1/6;
(b) y′ = (1− 2x)/y, y(1) = −2;
(c) xdx+ ye−xdy = 0, y(0) = 1;
(d)
dr
dθ
=
r2
θ
, r(1) = 2;
7. A figura mostra um circuito contendo uma forc¸a eletromotriz, um capacitor com capacitaˆncia
de C farads (F) e um resistor com resisteˆncia de R ohms (Ω).
E
C
R
A queda de voltagem no capacitor e´ Q/C, onde Q e´ a carga (em coulombs); neste caso a Lei
de Kirchhoff fornece
RI +
Q
C
= E(t).
Mas I = dQ/dt, assim temos
R
dQ
dt
+
1
C
Q = E(t).
Suponha que a resisteˆncia seja 5Ω e a capacitaˆncia de 0, 05F ; a pilha fornec¸a uma voltagem
constante de 60 V e a carga inicial seja Q(0) = 0C. Encontre a carga e a corrente no tempo t.
8. Refac¸a o exerc´ıcio anterior com R = 2Ω, C = 0, 01F, Q(0) = 0 e E(t) = 10sen(60t).
9. Uma cultura de bacte´ria comec¸a com 1.000 bacte´rias, e a taxa de crescimento e´ proporcional
ao nu´mero de bacte´rias. Depois de duas horas a populac¸a˜o e´ 9.000.
(a) Encontre uma expressa˜o para o nu´mero de bacte´rias depois de t horas.
(b) Calcule o nu´mero de bacte´rias depois de treˆs horas.
(c) Calcule a taxa de crescimento depois treˆs horas.
(d) Quanto tempo leva para o nu´mero de bacte´rias dobrar?
10. Os f´ısicos expressam a taxa de decaimento radioativo em termos de meia-vida, o tempo ne-
cessa´rio para metade de qualquer quantidade decair. A meia-vida do ra´dio-226 (22688 Ra) e´ de
1590 anos.
(a) Uma amostra de ra´dio-226 tem uma massa de 100 mg. Encontre uma fo´rmula para a
massa de 22688 Ra que permanece apo´s t anos.
(b) Calcule a massa depois de 1000 anos, com precisa˜o de 1 miligrama.
Ca´lculo III Edezio 3
(c) Quando a massa sera´ reduzida a 30 mg?
11. Encontre as trajeto´rias ortogonais para a famı´lia de curvas dadas por:
(a) kx2 + y2 = 1;
(b) y = kx2;
(c) y = (x+ k)−1;
(d) x2 + 3y2 = c;
(e) y = cx3;
(f) y2 = 2(x− c) :
(g) y = cx4;
(h) x2 − 2y2 = c;
(i) y = ce2x.
Respostas:
1. (a) segunda ordem, linear; (b) segunda ordem, na˜o linear; (c) quarta ordem, linear; (d) primeira
ordem, na˜o linear; (e) segunda ordem, na˜o linear; (f) terceira ordem, linear.
2. Todas sa˜o soluc¸o˜es.
3. (a) y = ce−3t + t
3
− 1
9
+ e−2t; (b) y = ce2t + t3e2t/3; (c) y = ce−t + 1 + ( t
2
− 1
4
)et;
(d) y = c/t+ (3cos 2t)/4t+ (3sen 2t)/2; (e) y = ce2t − 3et; (f) y = (c− tcos t+ sen t)/t2
(g) y = t2e−t
2
+ ce−t
2
; (h) y = −te−t + ct; (i) y = ce− 12 t + 5
17
(sen 2t− 4cos 2t); (j) y = ce−t/2 +
3t2 − 12t+ 24.
4. (a) y = 3et + 2(t− 1)e2t; (b) y = (t2 − 1)e−2t/2; (c) y = t2
4
− t
3
+ 1
2
+ t
−2
12
.
(d) y = −(1 + t)e−t/t4, t 6= 0.
5. (a) 3y2 − 2x3 = c, y 6= 0; (b) 3y2 − 2 ln |1 + x3| = c; x 6= −1, y 6= 0.
(c) y−1+cosx = c se y 6= 0, tambe´m y = 0, em toda a parte. (d) 3y+ y2−x3+x = c; y 6= −3/2;
(e) y2 − x2 + 2(ey − e−x) = c, y + ey 6= 0; (f) 3y + y3 − x3 = c, em toda parte.
6. (a) y = 1/(x2−x−6); (b) y = −√2x− 2x2 + 4; (c) y = [2(1−x)ex−1]1/2; (d) r = 2/(1− ln θ);
7. Q(t) = 3(1− e−4t), I(t) = 12e−4t.
8.
9. (a) 1000 · 3t; (b) 27.000; (c) 27.000 ln 3 ≈ 29.663 bacte´rias por hora; (d) ln 2
ln 3
≈ 0, 63h.
10. (a) y(t) = 100 · 2−t/1590 (b) 65mg (c) 2762 anos.
11. (a) y2 − 2 ln |y| + x2 = c; (b) x2 + 2y2 = c; (c) y3 = 3(x + c); (d) y = cx3; (e) 3y2 − x2 =
c; (f) y = ce−x; (g) x2 + 4y2 = c; (h) y = c/x2; (i) y2 = −(x− c).