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SME0340
Equações Diferenciais Ordinárias
Aula 3
Maria Luísa Bambozzi de Oliveira
marialuisa @ icmc . usp . br
Sala: 3-241
Página: http://www.tidia-ae.usp.br
24 de fevereiro de 2016
Aula Passada
Preliminares:
… Definições;
… Método de Picard;
… Teorema da Existência e Unicidade.
EDs de Ordem 1:
… Introdução;
… EDs Lineares.
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Aula Passada (cont.)
ED Linear de Ordem 1:
y0 + a(t)y = b(t), a(t), b(t) contínuas para t 2 I.
Definição: Se b(t) ⌘ 0, temos uma ED linear
homogênea associada,
y0 + a(t)y = 0.
Senão, temos uma ED linear não homogênea.
Como determinar todas as soluções y(t) de
y0 + a(t)y = 0,
com a(t) contínua em um intervalo I?
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Aula Passada (cont.)
Para resolver
y0 + a(t)y = 0,
sendo y0 =
dy
dt
, temos
dy
dt
= �a(t)y.
Então, através da propriedade de diferenciais,
dy
y
= �a(t)dt, y 6= 0 (mas y ⌘ 0 é solução da ED).
Integrando dos dois lados, e sabendo queZ du
u
= ln |u|+C1, ln |a| = b , |a| = eb,
determinamos y(t), a solução geral, válida em um
intervalo I.
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ED Linear Homogênea (cont.)
Exemplo 1: Determine a solução geral y(x) de
y0 � 3y = 0.
Solução: Como y0 = dydx , temos
dy
dx
= 3y ) dy = 3ydx ) dy
y
= 3dx, y 6= 0
(y ⌘ 0 também é solução da ED)
)
Z dy
y
=
Z
3dx ) ln |y|+C1 = 3x+C2
) ln |y| = 3x+K, K = C2 � C1 2 R
) |y| = e3x+K = eK e3x ) y(x) = ±eK e3x
p/ todos os K 2 R: �+eK , �eK , 0 = R
© y(x) = Ce3x, x 2 R, C 2 R.
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ED Linear Homogênea (cont.)
Exemplo 2: Determine a solução do PVI®
y0 � 2t y = 0
y(1) = 2
.
Solução: (na lousa)
y(t) = 2 t2, t > 0.
Obs. 1: O intervalo t > 0 foi determinado sabendo-se
que a solução de um PVI deve ser definida em um
intervalo I contínuo de t (sem “buracos”) que contém o
valor inicial t0 = 1.
Obs. 2: O conjunto das soluções de y0 + a(t)y = 0 é um
espaço vetorial com dimensão 1.
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ED Linear Homogênea (cont.)
Outro modo de resolver
y0 + a(t)y = 0 :
reescrever equação tal que temos
d
dt
(g(t,y)) = 0.
Se multiplicarmos toda a ED por uma função u(t) 6⌘ 0,
com u(t) diferenciável em I, a solução não muda. Então
“escolhemos” um u(t) conveniente para multiplicar.
No caso de EDs lineares na forma acima, notamos que
há dois termos no lado esquerdo, um com y0 e outro
com y.
Procuramos um u(t) tal que, multiplicando toda a
equação por u(t), o lado esquerdo se torna uma regra
do produto.
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ED Linear Homogênea (cont.)
Exemplo:
y0 + 3y = 0
Qual é a função u(t) que multiplicamos por toda a ED tal
que o lado esquerdo possa ser escrito como a derivada
em t de função de t e y? [u(t)y0 + 3u(t)y = 0u(t) = 0].
Como
d
dt
�
e3 t
�
= 3
�
e3 t
�
,
então u(t) = e3 t e
e3 t y0 + 3e3 t y = 0 ) d
dt
�
e3 t y
�
= 0
)
Z
d
�
e3 t y
�
=
Z
0dt ) e3 t y = C
© y(t) = Ce�3 t, C 2 R, t 2 R.
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ED Linear Homogênea (cont.)
Exemplo: Resolver
t3 y0 + 3 t2 y = 0
Solução: (na lousa)
y(t) =
C
t3
, C 2 R, t 6= 0.
Obs.: Note que
d
dt
�
t3
�
= 3 t2
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ED Linear Não Homogênea
Vamos agora definir o método para resolver EDs
lineares não homogêneas,
y0 + a(t)y = b(t),
onde a(t),b(t) são contínuas num intervalo I de t.
Como vimos, podemos determinar uma função
contínua u(t) 6⌘ 0 tal que, multiplicando a ED, o lado
esquerdo se transforma no resultado da regra do
produto da derivada em t de y e uma função de t:
d
dt
(p(t)y) = u(t)y0 + u(t)a(t)y = b(t)u(t)
+
p(t) = u(t), p0(t) = a(t)u(t)
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ED Linear Não Homogênea (cont.)
Com p(t) determinado, temos
d
dt
(p(t)y) = b(t)u(t).
Integrando em t os dois lados da equação, podemos
determinar a solução geral da ED não homogênea.
Para PVIs da forma®
y0 + a(t)y = b(t)
y(t0) = y0
,
determinamos primeiro a solução geral da ED e, em
seguida, aplicamos a condição inicial para calcular a
solução única do PVI.
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ED Linear Não Homogênea (cont.)
Exemplo: Determine a solução geral de
y0 + 3y = et.
Solução: Precisamos reescrever o lado esquerdo tal
que esteja na forma da regra do produto de duas
funções. Procuramos p(t),u(t) 6⌘ 0 tal que
d
dt
(p(t)y) = u(t)y0 + 3u(t)y = et u(t),
ou seja,
p0(t) = u0(t) = 3u(t) ) · · · ) p(t) = u(t) = e3 t.
Então,
d
dt
�
e3 t y
�
= et e3 t = e4 t )
Z
d
�
e3 t y
�
=
Z
e4 t dt
) e3 t y = e
4 t
4
+C ) y(t) = e
t
4
+Ce�3 t, t,C 2 R.
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ED Linear Não Homogênea (cont.)
Observação: Mostramos que a solução geral de
y0 + 3y = et
é
y(t) = Ce�3 t +
et
4
, t,C 2 R.
Note que o primeiro termo da solução é a solução geral
da ED linear homogênea correspondente,
y0 + 3y = 0,
enquanto o segundo termo da solução geral depende
da função b(t) aplicada (nesse caso, et).
Toda solução geral de ED linear não homogênea poderá
ser escrita como a soma de duas partes: a solução
geral da ED homogênea correspondente e a solução
particular da ED não homogênea.
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