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Resistência dos Materiais
5 - Torção
5 - Torção
Tópicos a serem abordado conforme o plano de aula
Torção
• Momento Torçor ou Torque
• Tensão de cisalhamento na torção
• Distorção
• Ângulo de torção (eixos circulares);
• Dimensionamento de eixos submetidos à torção;
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10.1 – Momento Torçor ou Torque
Uma peça submete-se a esforço de torção, quando atua um
torque em uma das extremidades e um contra-torque na
extremidade oposta.
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MT'
MT
S S
F
F
d
l
Pólo

a
a'
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O torque atuante na peça representada na figura é definido através
do produto entre a intensidade da carga aplicada e a distância
entre o ponto de aplicação da carga e o centro da secção
transversal (pólo).
Mt = 2 .F. s ou Mt = Ft . r
onde:
Mt = Momento torçor ou torque (Nm, Nmm)
F = Carga aplicada (kN, N)
s = Distância entre o ponto de aplicação da carga e o pólo (m, mm)
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Exercício 1. Determinar o torque de aperto na chave que movimenta as
castanhas do torno. A carga aplicada nas extremidades da haste é de F = 80N.
O comprimento da haste é l= 200 mm.
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Exercício 2. A transmissão por correias é composta pela polia motora (1) que
possui diâmetro d1 = 100 mm e a polia movida (2) que possui diâmetro d2 =240
mm. A transmissão é acionada por uma força tangencial Ft = 600N.
Determinar
a) Torque na polia (1)
b) Torque na polia (2)
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10.2 – Tensão de cisalhamento na torção
A tensão de cisalhamento atuante na secção transversal da peça
da figura abaixo é definida através da expressão:
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máx 
r


=
Jp
Mt 
para  = 0 ---------> = 0
para = r ----------> máx = Mt . r
 Jp
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Conclui-se que no centro da secção transversal, a tensão é nula. A
tensão aumenta, a medida que o ponto estudado se afasta do núcleo e
aproxima-se da periferia. A tensão máxima na secção ocorrerá na
distância máxima entre o núcleo e a periferia, ou seja, quando  = r .
Pela definição de módulo de resistência polar, sabe-se que :
onde:
máx = Tensão máxima de cisalhamento na torção (MPa, N/mm
2)
M = Momento torçor ou torque (Nm, Nmm)
Jp = Momento polar de inércia (m4, mm4)
r = Raio da secção transversal (m, mm)
Wp = Módulo de resistência polar da seção transversal (m3, mm3)
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Wp =
Jp
r
e temos máx =
Mt
Wp
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10.3 – Distorção 
O torque atuante na peça provoca na seção transversal desta o
deslocamento do ponto a da periferia ao ponto a'. Na longitude
do eixo origina-se uma deformação de cisalhamento denominada
distorção , que é determinada em radianos, através da tensão de
cisalhamento atuante e o módulo de elasticidade transversal do
material.
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

G
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onde: 
 = Ângulo de torção (radianos) 
Mt = Momento torçor ou torque (Nm, Nmm)
l = Comprimento da peça ( m, mm)
Jp = Momento polar de inércia (m4, mm4)
G = Módulo de elasticidade transversal do material (GPa)
10.4 – Ângulo de Torção 
O deslocamento do ponto a ao ponto a', descrito na
distorção, gera na secção transversal

Jp G
Mt l
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10.5 – Dimensionamento de Eixos submetidos a Torção
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N = Potência (Nm/s, J/s, W)
F = Força (N)
Ft = Força tangencial (N)
v = Velocidade (m/s)
vp = Velocidade periférica (m/s)
Mt = Momento Torçor (Nm)
r = raio do eixo
 = Constante trigonométrica (3,1415)
n = nº de rotações por minuto (rpm)
 = Velocidade angular (rad/s)
f = Frequência (Hz)
 = Tensão de cisalhamento (MPa)
Wp = Modulo de resistência polar
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Exercício 3: Para a figura abaixo,
a) calcule o torque provocado pela manivela (comprimento = 300 mm)
b) a tensão de torção sobre o eixo (diâmetro = 24 mm).
Considere a carga de acionamento igual a 500N.
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Exemplo 4. O elevadora encontra-se projetado para transportar carga máxima
de Cmáx = 7000N (10 Pessoas). O peso do elevador é Pe = 1 kN e o contrapeso
possui a mesma carga Cp = 1 kN. Determine a potência do motor M para que o
elevador se desloque com velocidade constante v =1 m/s.
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Exemplo 5. A figura dada representa um pedreiro erguendo uma lata de
concreto com peso Pc = 200N. A corda e a polia são ideais. A altura da laje é h =
8m, o tempo de subida é t = 20s. Determinar a potência útil do trabalho do
operador. Caso substituir por um motor elétrico de N = 0,25 Cv, qual será a
velocidade de deslocamento
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Exercício 6 – O eixo sólido é fixado ao suporte em C e submetidos à cargas de
torção mostrado. Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B e
esboce a tensão de cisalhamento em elementos de volume localizados nesses
pontos.
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𝑇𝐴 = 𝑇𝐷 + 𝑇𝐵
𝜏𝐴 =
𝑇𝐴 . 𝜌𝐴
𝐽𝑝
𝜏𝐴 =
800.000 − 300.000 . 35
𝜋 . 354
2
𝜏𝐴 = 7,42 MPa
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𝑇𝐵 = 𝑇𝐷
𝜏𝐵 =
𝑇𝐵 . 𝜌𝐵
𝐽𝑝
𝜏𝐵 =
800.000 . 20
𝜋 . 354
2
𝜏𝐵 = 6,79 MPa
Resposta:
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Exercício 6. Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do
motor M ao qual está acoplado. Se o eixo girar a n = 175 rpm e o aço tiver uma
tensão de cisalhamento admissível adm = 100 MPa, determine o diâmetro
exigido para o eixo com precisão de mm.
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Resposta:
O torque no eixo é
𝑷 = 𝑴𝒕 .𝝎 ou 𝑴𝒕 =
𝑷
𝝎
, sendo  = 2 𝝅 𝒇 e 𝒇 =
𝒏
𝟔𝟎
então
𝑀𝑡 =
𝑃
2 . 𝜋 . 𝑓
=
3750 . 60
175 . 2 𝜋
= 204,628 𝑁𝑚
𝑊𝑝 =
𝑀𝑡
𝜏𝑚á𝑥
=
204.628 𝑁𝑚𝑚
100 𝑁/𝑚𝑚2
= 2046,3 𝑚𝑚3
𝑊𝑝 =
𝜋 𝑑3
16
𝑑 =
3 2046,3 .16
3,1415
= 21,84 𝑚𝑚
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Exercício 7. Os dois eixos maciços de aço estão interligados por meio das
engrenagens. Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB
quando é aplicado o torque 45 Nm. Considere G = 80 GPa. O eixo AB é livre
para girar dentro dos mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo
tem diâmetro de 20 mm.
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Resposta:
𝐹 =
𝑀𝑡1
𝑟1
=
45000 𝑁𝑚𝑚
150 𝑚𝑚
= 300 𝑁
𝑀𝑡2 = 𝐹 . 𝑟2 = 300 . 75 = 22500 𝑁𝑚𝑚
𝐽𝑝 =
𝜋 . 𝑟4
2
=
3,1415 . 104
2
= 15707 𝑚𝑚4
𝜃𝐶 =
𝑀𝑡2 . ℓ
𝐽𝑝. 𝐺
=
22500 𝑁𝑚𝑚 . 1500 𝑚𝑚
15707 𝑚𝑚4 . 80000 𝑁 𝑚𝑚2
= 0,0269 𝑟𝑎𝑑
𝜃𝐵 . 𝑟1 = 𝜃𝐶 . 𝑟2 =≫ 𝜃𝐵 =
𝜃𝐶 . 𝑟2
𝑟1
=
0,0269 . 75
150
= 0,0134 𝑟𝑎𝑑
𝜃𝐴𝐵 =
𝑀𝑡1 . ℓ
𝐽𝑝. 𝐺
=
45000 𝑁𝑚𝑚 . 2000 𝑚𝑚
15707 𝑚𝑚4 . 80000 𝑁 𝑚𝑚2
= 0,0716 𝑟𝑎𝑑
𝜃𝐴 = 0,0134 + 0,0716 = 0,0850 𝑟𝑎𝑑
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