2014_dependencia_independencia_linear

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Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Definic¸a˜o
Sejam V um espac¸o vetorial e v1, v2, . . . , vn ∈ V. Consideremos
a equac¸a˜o vetorial
a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0.
I Se a u´nica soluc¸a˜o da equac¸a˜o acima for
a1 = a2 = . . . = an = 0
dizemos que v1, v2 . . . , vn sa˜o linearmente independentes (LI).
I Se a equac¸a˜o acima tiver mais que uma soluc¸a˜o, dizemos
que v1, v2, . . . , vn sa˜o linearmente dependentes (LD).
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Definic¸a˜o
Sejam V um espac¸o vetorial e v1, v2, . . . , vn ∈ V. Consideremos
a equac¸a˜o vetorial
a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0.
I Se a u´nica soluc¸a˜o da equac¸a˜o acima for
a1 = a2 = . . . = an = 0
dizemos que v1, v2 . . . , vn sa˜o linearmente independentes (LI).
I Se a equac¸a˜o acima tiver mais que uma soluc¸a˜o, dizemos
que v1, v2, . . . , vn sa˜o linearmente dependentes (LD).
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Definic¸a˜o
Sejam V um espac¸o vetorial e v1, v2, . . . , vn ∈ V. Consideremos
a equac¸a˜o vetorial
a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0.
I Se a u´nica soluc¸a˜o da equac¸a˜o acima for
a1 = a2 = . . . = an = 0
dizemos que v1, v2 . . . , vn sa˜o linearmente independentes (LI).
I Se a equac¸a˜o acima tiver mais que uma soluc¸a˜o, dizemos
que v1, v2, . . . , vn sa˜o linearmente dependentes (LD).
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Exemplo
Os vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (5, 2, 3) de R3 sa˜o
LD, pois 2v1 + 3v2 − v3 = 0.
Exemplo
Sejam n ∈ N e V = P o espac¸o dos polinoˆmios em t. Os vetores
p1 = 1 + t, p2 = t + t
2, . . . , pn = t
n−1 + tn sa˜o LI.
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Exemplo
Os vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (5, 2, 3) de R3 sa˜o
LD, pois 2v1 + 3v2 − v3 = 0.
Exemplo
Sejam n ∈ N e V = P o espac¸o dos polinoˆmios em t. Os vetores
p1 = 1 + t, p2 = t + t
2, . . . , pn = t
n−1 + tn sa˜o LI.
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Ate´ o momento, definimos as noc¸o˜es de dependeˆncia e inde-
pendeˆncia linear para conjuntos finitos. Iremos, agora, estender
tais noc¸o˜es para conjuntos infinitos.
Definic¸a˜o
Seja V um espac¸o vetorial e X ⊂ V na˜o vazio. Dizemos que X e´
linearmente dependente (LD) se existem v1, v2, . . . , vn ∈ X linear-
mente dependentes. Caso contra´rio, dizemos que X e´ linearmente
independente (LI).
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Ate´ o momento, definimos as noc¸o˜es de dependeˆncia e inde-
pendeˆncia linear para conjuntos finitos. Iremos, agora, estender
tais noc¸o˜es para conjuntos infinitos.
Definic¸a˜o
Seja V um espac¸o vetorial e X ⊂ V na˜o vazio. Dizemos que X e´
linearmente dependente (LD) se existem v1, v2, . . . , vn ∈ X linear-
mente dependentes. Caso contra´rio, dizemos que X e´ linearmente
independente (LI).
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Exemplo
Seja X = {v = (x, y) ; x, y ∈ Z} ⊂ R2. Este conjunto e´ LD.
Exemplo
Seja X = {pn = tn ; n ∈ N ∪ {0}} contido no espac¸o P dos
polinoˆmios em t. Enta˜o X e´ LI.
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Exemplo
Seja X = {v = (x, y) ; x, y ∈ Z} ⊂ R2. Este conjunto e´ LD.
Exemplo
Seja X = {pn = tn ; n ∈ N ∪ {0}} contido no espac¸o P dos
polinoˆmios em t. Enta˜o X e´ LI.
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Propriedades
Sejam V um espac¸o vetorial e v1, v2, . . . , vn ∈ V. Sa˜o va´lidas as
seguintes propriedades:
I Qualquer conjunto X que contenha o vetor nulo e´ LD. Em
particular, o conjunto {0} ⊂ V e´ LD.
I v1 e v2 na˜o nulos sa˜o LD se, e so´ se, um e´ mu´ltiplo escalar
do outro.
I Se v1, v2, . . . vn sa˜o LD, enta˜o, qualquer que seja v ∈ V,
v1, v2, . . . , vn, v sa˜o LD.
I Se X e´ LI e Y ⊂ X , enta˜o Y e´ LI.
I Um conjunto {v1, . . . , vn} e´ LD se, e somente se, ao menos
um dos vetores e´ combinac¸a˜o linear dos demais.
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Propriedades
Sejam V um espac¸o vetorial e v1, v2, . . . , vn ∈ V. Sa˜o va´lidas as
seguintes propriedades:
I Qualquer conjunto X que contenha o vetor nulo e´ LD. Em
particular, o conjunto {0} ⊂ V e´ LD.
I v1 e v2 na˜o nulos sa˜o LD se, e so´ se, um e´ mu´ltiplo escalar
do outro.
I Se v1, v2, . . . vn sa˜o LD, enta˜o, qualquer que seja v ∈ V,
v1, v2, . . . , vn, v sa˜o LD.
I Se X e´ LI e Y ⊂ X , enta˜o Y e´ LI.
I Um conjunto {v1, . . . , vn} e´ LD se, e somente se, ao menos
um dos vetores e´ combinac¸a˜o linear dos demais.
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Propriedades
Sejam V um espac¸o vetorial e v1, v2, . . . , vn ∈ V. Sa˜o va´lidas as
seguintes propriedades:
I Qualquer conjunto X que contenha o vetor nulo e´ LD. Em
particular, o conjunto {0} ⊂ V e´ LD.
I v1 e v2 na˜o nulos sa˜o LD se, e so´ se, um e´ mu´ltiplo escalar
do outro.
I Se v1, v2, . . . vn sa˜o LD, enta˜o, qualquer que seja v ∈ V,
v1, v2, . . . , vn, v sa˜o LD.
I Se X e´ LI e Y ⊂ X , enta˜o Y e´ LI.
I Um conjunto {v1, . . . , vn} e´ LD se, e somente se, ao menos
um dos vetores e´ combinac¸a˜o linear dos demais.
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Propriedades
Sejam V um espac¸o vetorial e v1, v2, . . . , vn ∈ V. Sa˜o va´lidas as
seguintes propriedades:
I Qualquer conjunto X que contenha o vetor nulo e´ LD. Em
particular, o conjunto {0} ⊂ V e´ LD.
I v1 e v2 na˜o nulos sa˜o LD se, e so´ se, um e´ mu´ltiplo escalar
do outro.
I Se v1, v2, . . . vn sa˜o LD, enta˜o, qualquer que seja v ∈ V,
v1, v2, . . . , vn, v sa˜o LD.
I Se X e´ LI e Y ⊂ X , enta˜o Y e´ LI.
I Um conjunto {v1, . . . , vn} e´ LD se, e somente se, ao menos
um dos vetores e´ combinac¸a˜o linear dos demais.
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Propriedades
Sejam V um espac¸o vetorial e v1, v2, . . . , vn ∈ V. Sa˜o va´lidas as
seguintes propriedades:
I Qualquer conjunto X que contenha o vetor nulo e´ LD. Em
particular, o conjunto {0} ⊂ V e´ LD.
I v1 e v2 na˜o nulos sa˜o LD se, e so´ se, um e´ mu´ltiplo escalar
do outro.
I Se v1, v2, . . . vn sa˜o LD, enta˜o, qualquer que seja v ∈ V,
v1, v2, . . . , vn, v sa˜o LD.
I Se X e´ LI e Y ⊂ X , enta˜o Y e´ LI.
I Um conjunto {v1, . . . , vn} e´ LD se, e somente se, ao menos
um dos vetores e´ combinac¸a˜o linear dos demais.
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Propriedades
Sejam V um espac¸o vetorial e v1, v2, . . . , vn ∈ V. Sa˜o va´lidas as
seguintes propriedades:
I Qualquer conjunto X que contenha o vetor nulo e´ LD. Em
particular, o conjunto {0} ⊂ V e´ LD.
I v1 e v2 na˜o nulos sa˜o LD se, e so´ se, um e´ mu´ltiplo escalar
do outro.
I Se v1, v2, . . . vn sa˜o LD, enta˜o, qualquer que seja v ∈ V,
v1, v2, . . . , vn, v sa˜o LD.
I Se X e´ LI e Y ⊂ X , enta˜o Y e´ LI.
I Um conjunto {v1, . . . , vn} e´ LD se, e somente se, ao menos
um dos vetores e´ combinac¸a˜o linear dos demais.