Dependência e Independência Linear

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Dependência e Independência Linear 
Definição: Diz-se que um conjunto de vetores {𝐯𝟏, 𝐯𝟐, . . . , 𝐯𝐧 } é linearmente independente (L.I.) se a 
igualdade 
 𝑎1𝐯𝟏 + 𝑎2𝐯𝟐 + . . . + 𝑎𝑛𝐯𝐧 = 0 
só é possível se 𝑎1 = 𝑎2 = . . . = 𝑎𝑛 = 0. 
 O conjunto é linearmente dependente (L.D.) se ele não é linearmente dependente. 
 
Exemplo: 𝐯𝟏 = (1,2) e 𝐯𝟐 = (2,4) são linearmente dependentes. 
Solução: 𝐯𝟏 = 𝑎𝐯𝟐 ⇒ (1,2) = (2𝑎, 4𝑎) ⇒ 2𝑎 = 1 e 4𝑎 = 2 ⇒ 𝑎 = 1/2. 
 
Exemplo: 𝐯𝟏 = (1,0) e 𝐯𝟐 = (0,1) são linearmente independentes. 
Solução: Se 𝐯𝟏 e 𝐯𝟐 são L.D., então existe 𝑎 tal que 𝐯𝟏 = 𝑎. 𝐯𝟐 ⇒ (1,0) = 𝑎(0,1) = (0, 𝑎) 
Não existe 𝑎 para o qual a igualdade possa ser verdadeira. 
 
Exemplo: 𝐯𝟏 = (1,0), 𝐯𝟐 = (0,1) e 𝐯𝟑 = (1,2) são linearmente dependentes. 
Solução: 𝑎𝐯𝟏 + 𝑏𝐯𝟐 + 𝑐𝐯𝟑 = 0 
 𝑎(1,0) + 𝑏(0,1) + 𝑐(1,2) = (0,0) 
⇒ (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 2𝑐) = (0,0) ⇒ {
𝑎 + 𝑐 = 0
 𝑏 + 2𝑐 = 0
 
O sistema tem infinitas soluções. Uma delas: 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 e 𝑐 = −1. 
 
Exemplo: 𝐯𝟏 = (−1,2,0,2), 𝐯𝟐 = (5,0,1,1), 𝐯𝟑 = (8, −6,1, −5) são L.I ou L.D? 
Solução: 𝑎𝐯𝟏 + 𝑏𝐯𝟐 + 𝑐𝐯𝟑 = 0 
𝑎(−1,2,0,2) + 𝑏(5,0,1,1) + 𝑐(8, −6,1, −5) = (0,0,0,0) ⇒ {
−𝑎 + 5𝑏 + 8𝑐 = 0
2𝑎 − 6𝑐 = 0
 𝑏 + 𝑐 = 0
 2𝑎 + 𝑏 − 5𝑐 = 0
 
 
 
 
 
O sistema tem infinitas soluções (ex: 𝑐 = 1, 𝑎 = 3 𝑒 𝑏 = −1). Logo, os vetores são L.D. 
 
Exemplo: 𝐯𝟏 = (−1,0,1), 𝐯𝟐 = (0,2,1), 𝐯𝟑 = (6,1,0) são L.I ou L.D? 
Solução: 𝑎𝐯𝟏 + 𝑏𝐯𝟐 + 𝑐𝐯𝟑 = 0 
cbeca 




 












 












 
3
0110
0301
0000
0000
0110
0851
011110
0110
010100
0851
𝑎(−1,0,1) + 𝑏(0,2,1) + 𝑐(6,1,0) = (0,0,0,0) ⇒ {
−𝑎 + 6𝑐 = 0
 2𝑏 − 6𝑐 = 0
 𝑎 + 𝑏 = 0
 
Matriz dos coeficientes: 
𝐴 = [
−1 0 6
0 2 −6
1 1 0
] ⇒ det 𝐴 = −12 − 6 = −18 ≠ 0 
O sistema tem uma única solução (a solução nula). Logo, os vetores são L.I.. 
 
Teorema: {𝐯𝟏, 𝐯𝟐, . . . , 𝐯𝐧} ⊂ 𝑉 é L.D. ⇔ um dos vetores é combinação linear dos outros. 
 
Exemplo: 𝐯𝟏 = (−1,2,0,2), 𝐯𝟐 = (5,0,1,1), 𝐯𝟑 = (8, −6,1, −5) são L.D. 
3(−1,2,0,2) − (5,0,1,1) + (8, −6,1, −5) = (0,0,0,0) 
Reescrevendo: 
(8, −6,1, −5) = (5,0,1,1) − 3(−1,2,0,2) 
 
Base de um espaço vetorial 
Definição: Sejam 𝑉 um espaço vetorial e 𝑆 = {𝐯𝟏, 𝐯𝟐, . . . , 𝐯𝐧} ⊂ 𝑉. Dizemos que 𝑆 é uma base de 𝑉 se: 
i. 𝑉 = [𝑆] 
ii. 𝑆 é L.I. 
 
Exemplos: 
a) {(1,0), (0,1)} é uma base de ℝ2. 
b) {(1,1), (0,1)} é uma base de ℝ2. 
c) {(1,2), (1,1)} é uma base de ℝ2. 
d) {(1,0,0), (2,1,0), (3,1,3)} é uma base de ℝ3: 
Solução: 
i. [(1,0,0), (2,1,0), (3,1,3)] = ℝ3 
𝑎(1,0,0) + 𝑏 (2,1,0) + (3,1,3) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ⇒ {
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 𝑥
 𝑏 + 𝑐 = 𝑦
 3𝑐 = 𝑧
 
O sistema possui uma única solução para cada (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3. 
ii. {(1,0,0), (2,1,0), (3,1,3)} é L.I. 
𝑎(1,0,0) + 𝑏 (2,1,0) + (3,1,3) = (0,0,0) ⇒ {
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 0
 𝑏 + 𝑐 = 0
 3𝑐 = 0
 
O sistema possui uma única solução, a solução nula. 
 
Obs: 
 Se 𝐯𝟏, 𝐯𝟐, . . . , 𝐯𝐧 são vetores não-nulos que geram um espaço vetorial 𝑉, podemos extrair uma 
base dentre esses vetores, retirando os vetores que são combinação linear dos outros. 
 Se um conjunto com n vetores gera 𝑉, então qualquer conjunto com mais de n vetores é L.D. 
 
Teorema da Invariância: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de 
elementos. 
 
Definição: O número de elementos de uma base de um espaço vetorial 𝑉 é chamada de dimensão de 𝑉 
e denotado por dim 𝑉. 
 
Exemplos: 
a) dim ℝ2 = 2 b) dim ℝ3 = 3 c) dim ℝ𝑛 = 𝑛 
 
Exemplo: Mostre que 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3|𝑥 − 3𝑧 = 0} é um subespaço vetorial de ℝ3. Determine 
uma base de 𝑊 e dim 𝑊. 
Solução: 𝑊 = {(3𝑧, 𝑦, 𝑧)|𝑦, 𝑧 ∈ ℝ} 
Note que 𝑊 é não-vazio: (3,1,1) ∈ 𝑊 
ii. 𝐮, 𝐯 ∈ 𝑊 ⇒ 𝐮 + 𝐯 ∈ 𝑊; 
 𝐮 = (3𝑎, 𝑏, 𝑎), 𝐯 = (3𝑐, 𝑑, 𝑐) ∈ 𝑊 ⇒ 𝐮 + 𝐯 = (3(𝑎 + 𝑐), (𝑏 + 𝑑), 𝑎 + 𝑐) ∈ 𝑊 
ii. 𝐮 ∈ 𝑊 𝑒 𝑘 ∈ ℝ ⇒ 𝑘𝐮 ∈ 𝑊 
 𝐮 = (3𝑎, 𝑏, 𝑎) ∈ 𝑊 ⇒ 𝑘𝐮 = (3𝑘𝑎, 𝑘𝑏, 𝑘𝑎) ∈ 𝑊 
Logo, W é subespaço vetorial de ℝ3 
Além disso: 
𝑊 = {(3𝑧, 𝑦, 𝑧)|𝑦, 𝑧 ∈ ℝ} = {(0, 𝑦, 0) + (3𝑧, 0, 𝑧)|𝑦, 𝑧 ∈ ℝ} 
= {𝑦(0,1,0) + 𝑧(3,0,1)|𝑦, 𝑧 ∈ ℝ} = [(0,1,0), (3,0,1)] 
Como {(0,1,0), (3,0,1)} é L.I., temos que {(0,1,0), (3,0,1)} é uma base de 𝑊 e, portanto, 
dim 𝑊 = 2. 
Obs: Qualquer conjunto L.I. de um espaço vetorial 𝑉 pode ser completado para formar uma base de 𝑉. 
Basta acrescentar vetores de 𝑉 que não estão no subespaço gerado pelo conjunto. 
Teorema: 
a) Se dim 𝑉 = 𝑛, então quelquer conjunto de 𝑉 com n vetores L.I.é uma base de 𝑉. 
b) Se 𝑈 ⊆ 𝑉 é um subespaço, então dim 𝑈 ≤ dim 𝑉. 
c) Se 𝑈 ⊆ 𝑉 é um subespaço tal que dim 𝑈 = dim 𝑉, então 𝑈 = 𝑉.