MICRO I 2017 2 (Aula 05 Escolha)

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UFC/FEAAC/DTE Microeconomia I Prof. Henrique Félix Aula 05 
 
 
ESCOLHA DO CONSUMIDOR 
 
Seja um consumidor com preferências definidas no seu conjunto de consumo e 
representadas por uma função utilidade. Então, conhecidos os preços dos bens e sua renda, 
o problema deste consumidor individual será determinar as quantidades dos bens que 
compõem a cesta de consumo mais preferida de forma a maximizar a sua utilidade, 
tendo como restrição o seu orçamento. 
 
O Problema de Maximização de Utilidade (PMU) 
 
Supondo-se um consumidor com preferencias definidas no 𝑋 = 𝑅+ 
𝑛 , então, o problema do 
consumidor pode ser especificado como: 
𝑴𝒂𝒙 𝑼(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, … , 𝒙𝒏) 
sujeito a ∑ 𝒑𝒊𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 ≤ 𝑴. 
Onde, 
𝑈(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) é a função utilidade (função objetivo) 
𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝑅+
𝑛 é uma cesta de consumo, 
𝑥 ∈ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑅+ 
𝑛 , ∑ 𝑝𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ≤ 𝑀 } é o conjunto orçamentário ( (função de restrição) 
𝑝 = (𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, … , 𝑝𝑛) são os preços praticados na venda dos bens (p>>0) 
M é a disponibilidade de renda (ou riqueza) para consumo (M>0) 
 
Este é um problema de otimização condicionada cuja solução resulta nas quantidades 
ótimas de cada um dos bens que compõem a cesta mais preferida, respeitada a restrição 
orçamentária do consumidor. 
Estas quantidades ótimas são denominadas de demandas marshallianas (ou walrasianas1) 
ou ordinárias. São na realidade, funções demandas cujos argumentos são os preços e a 
renda. Assim, tem-se, 
𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, 𝑀), demanda marshalliana ou ordinária pelo bem 1; 
𝑥2
∗(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, 𝑀), demanda marshalliana ou ordinária pelo bem 2; 
𝑥3
∗(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, 𝑀), demanda marshalliana ou ordinária pelo bem 3; 
⋮ 
𝑥𝑛
∗(𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛, 𝑀), demanda marshalliana ou ordinária pelo bem n; 
 
 
1 Mas-Colell/Whinston/Green (1995) Advanced Microeconomic Theory, Chapter 3, page 51, feet 
note 7. 
Existência da Solução 
 
Pelo Teorema de Weierstrass, “toda função contínua definida em um conjunto compacto 
alcança um máximo ou um mínimo”. 
A existência da solução do PMU é assegurada, pois 𝑈(𝑥) é uma função contínua e o 
conjunto orçamentário é não-vazio, fechado e limitado e, portanto, compacto. 
 
O PMU para o caso de dois bens (𝑿 = 𝑹+
𝟐 ) 
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑈(𝑥1, 𝑥2) 
(𝑥1, 𝑥2 ) ∈ 𝑅+
2 
sujeito a 𝑝1. 𝑥1 + 𝑝2. 𝑥2 = 𝑀 
 
Solução Gráfica 
Supondo-se preferências definidas no espaço bidimensional de consumo, a cesta com as 
quantidades ótimas (𝒙𝟏
∗ (𝒑𝟏, 𝒑𝟐,𝑴), 𝒙𝟐
∗ (𝒑𝟏, 𝒑𝟐,𝑴)) se situa no ponto de tangência entre a reta 
orçamentária e a curva de indiferença mais alta possível. Ou seja, onde a inclinação da reta 
orçamentária (razão entre os preços) se iguala à inclinação da curva de indiferença (TMS). 
 
 
 
Solução Algébrica 
 
(1) Função Lagrangeana: 
ℒ(𝑥1, 𝑥2, 𝜆) = 𝑈(𝑥1, 𝑥2) + 𝜆(𝑀 − 𝑝1. 𝑥1 − 𝑝2. 𝑥2) 
 
(2) Condições de Primeira Ordem (CPO) 
𝜕ℒ(. )
𝜕𝑥1
=
𝜕ℒ(. )
𝜕𝑥2
=
𝜕ℒ(. )
𝜕𝜆
= 0 
 
(3) Trabalhando-se algebricamente as CPO resulta, 
 
𝑈𝑀𝑔1
𝑝1
=
𝑈𝑀𝑔2
𝑝2
 ⇒
𝑈𝑀𝑔1
𝑈𝑀𝑔2
=
𝑝1
𝑝2
 
 
Esta expressão, chamada de condição de equilíbrio do consumidor, expressa o ponto 
(ou cesta) onde a mais alta curva de indiferença tangencia a reta orçamentária do 
consumidor, ou ainda, onde a inclinação da curva de indiferença (TMS) se iguala à 
inclinação da reta orçamentária (razão entre os preços). 
 
(4) Substitutindo-se a condição de equilíbrio na função de restrição resultam as 
quantidades ótimas ou demandas marshallianas ou ordinárias como funções dos 
preços e da renda, 
 
𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) Demanda Marshalliana pelo bem 1 
𝑥2
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) Demanda Marshalliana pelo bem 2 
 
 
Condições de Segunda Ordem (CSO) para restrições de igualdade2 
 
O determinante da Matriz Hessiana Orlada, |�̂�| , deverá ter sinal positivo se a Matriz 
Hessiana, H, for de ordem par e, sinal negativo, se se a Matriz Hessiana, H, for de ordem 
ímpar. 
|�̂�| =
|
|
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝜆2
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝜆𝜕𝑥1
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝜆𝜕𝑥2
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝑥1𝜕𝜆
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝑥1
2
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝑥1𝜕𝑥2
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝑥2𝜕𝜆
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝑥2𝜕𝑥1
𝜕²ℒ(.)
𝜕𝑥2
2
|
|
= |
0 −𝑝1 −𝑝2
−𝑝1 𝑈11 𝑈12
−𝑝2 𝑈21 𝑈22
| > 0 
 
 
 
 
 
2 Para maiores detalhes, veja CHIANG, A. C. e WAINWRIGHT, K. – Matemática para Economistas. Tradução da 4ª Edição. 
Rio de Janeiro: Campus/Elsevier, 2006. Cap. 12, pág. 337 a 345. 
Solução Única e Soluções Múltiplas 
(a) Curva de indiferença estritamente convexa (solução única) 
(b) Curva de indiferença convexa (múltiplas soluções) 
 
Propriedades da Função Demanda Marshalliana: 
 
(i) Homogeneidade de Grau Zero em p e M: 
Se todos os preços e a renda forem multiplicados pela mesma proporção, 𝜶 > 𝟎, a 
demanda (escolha ótima) do consumidor não se altera. 
𝒙𝒊
∗(𝜶𝒑, 𝜶𝑴) = 𝒙𝒊
∗(𝒑,𝑴) 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒑,𝑴, 𝜶 > 𝟎 𝒆 𝒊 = 𝟏,… , 𝒏 
 
(ii) Lei de Walras 
 
O consumidor esgota sua renda na aquisição da cesta ótima. 
∑𝑝𝑖𝑥𝑖
∗(𝑝,𝑀)
𝑛
𝑖=1
= 𝑀 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥𝑖 ∈ 𝑥
∗(𝑝,𝑀) 
Assumindo-se a diferenciabilidade das demandas, 𝒙𝒊
∗(𝒑,𝑴), 𝒊 = 𝟏,… , 𝒏, adicionam-
se as seguintes propriedades: 
∑ 𝑝𝑖 [
𝜕𝑥𝑖
∗(𝑝,𝑀)
𝜕𝑀
]𝑛𝑖=1 = 1 (Agregação de Engel) 
∑ 𝑝𝑖 [
𝜕𝑥𝑖
∗(𝑝,𝑀)
𝜕𝑝𝑖
]𝑛𝑖=1 + ∑ 𝑥𝑖
∗
(𝑝, 𝑀)
𝑛
𝑖=1 = 0 (Agregação de Cournot) 
 
 
Exemplos de Soluções Gráficas Interiores e de Fronteira (Canto) 
 
(1) Preferências de Bens Substitutos Perfeitos: 
 
𝑥1=
{
 
 
 
 
𝑀
𝑝1
 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝1 < 𝑝2
(0,
𝑀
𝑝1
) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝1 = 𝑝2
0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝1 > 𝑝2
 
 
 
(2) Preferências de Bens Complementares Perfeitos: 
 
𝑥1 = 𝑥2 =
𝑀
𝑝1 + 𝑝2
 
 
(3) Preferências Quase-lineares: 
 
 
 
(4) Preferências Côncavas: 
 
 
O consumidor de especializará no consumo de apenas um dos bens. 
 
Mais de uma solução 
 
Exemplos de Solução Interior sem ponto de tangência 
 
 
Função Utilidade Indireta 
É a função 𝒗(𝒑,𝑴) obtida pela substituição das quantidades ótimas (demandas 
marshallianas) resultantes da solução do PMU na função utilidade. É função dos preços e 
da renda e representa a utilidade máxima obtida pelo consumidor. Para as preferências 
definidas no 𝑅+ 
2 (apenas dois bens compõem a cesta), tem-se que: 
𝒗(𝒑𝟏, 𝒑𝟐,𝑴) = 𝑼[𝒙𝟏
∗ (𝒑𝟏, 𝒑𝟐,𝑴), 𝒙𝟐
∗ (𝒑𝟏, 𝒑𝟐,𝑴)] 
Propriedades da Função Utilidade Indireta: 
(i) 𝑣(𝑝,𝑀) é Homogêna de Grau Zero nos preços e na renda. 
𝑣(∝ 𝑝, ∝ 𝑀) = 𝑣(𝑝,𝑀) ∀∝> 0 
(ii) 𝑣(𝑝,𝑀) é estritamente crescente na renda. 
Se 𝑀′ > 𝑀 ⇒ 𝑣(𝑝,𝑀′) > 𝑣(𝑝,𝑀) 𝑜𝑢 
𝜕𝑣(𝑝,𝑀)
𝜕𝑀
> 0 
(iii) 𝑣(𝑝,𝑀) é não-crescente nos preços: 
Se 𝑝′ ≥ 𝑝 ⇒ 𝑣(𝑝′, 𝑀) ≤ 𝑣(𝑝,𝑀) 𝑜𝑢 
𝜕𝑣(𝑝,𝑀)
𝜕𝑝
≤ 0 
 
Identidade de Roy 
A demanda Marshalliana pelo bem i é igual à razão negativa entre as derivadas parciais 
da função utilidade indireta em relação ao preço do bem i e em relação à renda M. 
−
𝜕𝑣(𝑝,𝑀)
𝜕𝑝𝑖
𝜕𝑣(𝑝,𝑀)
𝜕𝑀
= 𝑥𝑖(𝑝,𝑀) 
 
Literatura: 
VARIAN, Hal R. (2016) Cap. 5 
VASCONCELLOS (2011) Cap. 5 
RESENDE, José G. de L. (Notas de Aula 4, 5) 
JEHLE & RENY (2001) 
MAS-COLELL/WHINSTON (1995) 
 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
 
 
1. Resolva as “Questões de Revisão” do final do Capítulo 5 do Varian. 
 
2. A função utilidadede certo consumidor é U(x,y)=(x+2)(y+1), onde x e y são as 
quantidades consumidas dos bens. Pede-se: 
(a) Defina a equação para a curva de indiferença desse consumidor que passa pelo ponto 
(2,8); 
(b) Supondo que os preços de ambos os bens sejam iguais a $1 e que o consumidor 
tenha renda $11, determine as demandas ótimas dos bens; 
(c) Qual o valor da TMS no ponto de equilíbrio do consumidor? 
(d) Examine as Condições de Segunda Ordem (CSO) para a existência da utilidade 
máxima. 
 
3. Avalie as seguintes proposições: 
(a) Um consumidor de dois bens não estaria disposto a efetuar trocas entre estes bens 
em trechos horizontais de uma curva de indiferença. 
(b) O nível de utilidade do consumidor não varia ao longo de uma curva de demanda 
Marshalliana. 
 
4. Determine as funções demanda Marshallianas para um consumidor de dois bens que 
encara uma função utilidade U(x,y)=x, com preços e renda positivos. 
 
5. Encontre as demandas marshallianas de um consumidor que encara preços px>0 e py>0 
e a renda m>0 e cuja função utilidade é dada por U(x,y)=máx {ax,ay} + mín {x,y}.onde 
0<a<1. 
 
6. Um consumidor encara uma função utilidade Cobb-Douglas dada por: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏, com 𝑎 > 0 e 𝑏 > 0, preços 𝑝1, 𝑝2 >> 0 e renda 𝑀 > 0. 
Pede-se: 
(a) As demandas marshallianas 𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) e 𝑥2
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(b) Prove as propriedades da demanda pelo bem 1, 𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(c) A função-utilidade indireta, 𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) 
(d) Prove as propriedades da função-utilidade indireta, 𝑣(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(e) Prove a Identidade de Roy para a demanda pelo bem 1. 
 
 
 
7. Um consumidor encara uma função utilidade CES dada por: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = [𝑥1
𝑎 + 𝑥2
𝑎]1/𝑎, com 𝑎 ≠ 0, 𝑎 > 1, preços 𝑝1, 𝑝2 >> 0 e renda 𝑀 > 0. 
Pede-se: 
(a) As demandas marshallianas 𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) e 𝑥2
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(b) Prove as propriedades da demanda pelo bem 1, 𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(c) A função-utilidade indireta, 𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) 
(d) Prove as propriedades da função-utilidade indireta, 𝑣(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(e) Prove a Identidade de Roy para a demanda pelo bem 1. 
 
8. Um consumidor encara uma função utilidade Quase-Linear dada por: 
𝑈(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 + √𝑥2, paga preços 𝑝1, 𝑝2 >> 0 e possui renda 𝑀 > 0. 
Pede-se: 
(a) As demandas marshallianas 𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) e 𝑥2
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(b) Prove as propriedades da demanda pelo bem 1, 𝑥1
∗(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(c) A função-utilidade indireta, 𝑣(𝑝1, 𝑝2, 𝑀) 
(d) Prove as propriedades da função-utilidade indireta, 𝑣(𝑝1, 𝑝2,𝑀); 
(e) Prove a Identidade de Roy para a demanda pelo bem 1.