12 flexao simples

Prévia do material em texto

Flex€o Simples
 
 
DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES 
 
 
 
1) HIPÓTESE DE CÁLCULO: 
 
1. As seções transversais se conservam planas até a ruptura. 
 
2. Despreza-se a resistência do concreto à tração 
 
3. O encurtamento de ruptura do concreto nas seções não inteiramente 
comprimidas é de 3,5‰ (Domínios 3 a 4a). 
 
Nas seções inteiramente comprimidas (Domínio 5) o encurtamento no bordo 
mais comprimido admite-se que varie de 2‰ a 3,5‰. 
 
Mantêm-se inalterada e igual a 2‰ a deformação de uma distância igual a 3/7 
da altura total da seção. 
 
4. O alongamento máximo permitido ao longo da armadura tracionada (Domínios 
1 e 2) é de 10‰, a fim de se evitar deformações plásticas excessivas. 
 
5. A distribuição das tensões do concreto na seção se faz de acordo com o 
diagrama parábola x retângulo. Permite-se substituir este diagrama por outro 
retangular com altura 0,8 vezes à distância da linha neutra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
 
 
 
 
 
 
 
 Para evitar o efeito “RUSCH” (tendência de perda da resistência com a 
ação da carga permanente) a tensão máxima na fibra mais comprimida é 
multiplicada por: 
 
a) 0,85................................................para as seções retangulares 
 e para aquelas em que a largura 
 decresce a medida que se 
 aproxima da LN. 
 
 
 
 
b) 0,80................................................para as seções em que a largura 
 cresce ao se aproximar da linha 
 neutra (LN). 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. A tensão na armadura é a correspondente a deformação determinada de 
acordo com os diagramas tensão x deformação simplificados. Permite a NB1 
para o aço classe “B” , fazer o cálculo com o diagrama do aço classe “A” de 
mesmo fyd , dividindo por um dos seguintes valores a área calculada da seção 
da armadura. 
 
s
yd
sd
s
yd
s
yd
sd
E
f
se....85,0
E
f
002,0
E
f
7,0se........1
=ε
+≥ε≤ε
 
 ou sd
 
 
Interpolando linearmente nos casos intermediários 
 
 
3
 
2) Dimensionamento à Flexão Simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Cálculo da Posição da LN ( x e y) 
x
sdcd
cd
sdcd
cd
xx
sdcd
cd
sdcdcdsdcd
ddxy
kdkxdx
dx 
ε
xd
ε
x
K8.08,0 Ksendo k y 0,8k y 8,0
 sendo . .
 
yyx ×=+==∴=∴=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+==∴+=
+=→
−=
εε
ε
εε
ε
εε
ε
εεε
 
b) Cálculo do Braço de Alavanca 
2
8.01
2
1 sendo ..
2
1
2
.
2
Xy
zz
yy kkkdkd
kdk
dydz ×−=−==⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−=−= 
c) Cálculo da Altura Útil (d) 
cdmd
d
cdmdd
ymdcd
k
zycdzycdd
sdcd
sddcdd
ydssd
cdcd
fbk
MdEntão
fdbkMseTem
kkfdbkkfdkdkbfzybM
R R .F
zR Mz e R M .M
fAR
ybfR
md
.
:
...:
k .85,0 sendo .....85,0. ..85,0...85,0
 0
0
Equilíbrio de Equações
.
...85,0
2
z
2
=
=−
=∴===
=→=∑
==→=∑
=
=
43421
 
 
4
 
 
d) Cálculo da Área da Seção da Armadura (As) 
 
ydz
d
s
yd
d
ydsd
ydssd
sdd
fdk
M
A
fz
M
zfAM
fAR
zRM
 
 ou 
 
A s ==∴=
=
=
 
 
e) Deformações 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<≤=
≤≤=
=<≤
ydsd
sdyd
sd
εεε
εεε
εε
0,‰5,3: 4 Domínio
‰10‰,5,3:3 Domínio
‰10‰,5,30:2 Domínio
cd
cd
cd
 
 
Observações: 
 
1) A situação ideal de dimensionamento corresponde a peça trabalhando com o 
máximo de aproveitamento da capacidade dos materiais (aço e concreto), ou 
seja, eles atingem simultaneamente o estado limite último. 
 
26,0
105,3
5,3k
‰10
‰5,3
x
sd
cd
=+=
=ε
=ε
 
 
Neste caso, a peça se encontra no limite dos domínios 2 e 3. 
 
1. Para kx ≤ 0,26 e kmd ≤ 0,158 (peças subarmadas) a ruptura se iniciará pelo 
aço (Domínio 2) 
2. Para (0,26≤ kx≤0,63 e 0,158≤ kmd≤0,32- CA50A) a peça será normalmente 
armada (Domínio 3). 
3. O Domínio 4 (peças superarmadas) corresponde a ruptura sem aviso prévio 
(ruptura pelo concreto) e temos neste caso um dimensionamento bastante 
antieconômico, uma vez que o aço estará trabalhando aquém de seu limite de 
cálculo (fyd) 
Obs.: 
Nestes casos, é muito mais conveniente, não somente sob o prisma teórico 
como pelo prático adotar uma armadura na zona comprimida e passar a 
trabalhar no domínio 3. 
 
 
 
 
5
 
4. Em qualquer hipótese a linha neutra não deve ultrapassar Kx=0,66, Kmd 
= 0,33 uma vez que corresponde a valores próximo à ruptura frágil no concreto 
aliado a um dimensionamento altamente antieconômico 
 
f) Diagramas Tensão x Deformação – Aços 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valores de sdε Aços Tipo A 
sdσ 
Aços Tipo B 
sdf1sd k σ=σ 
ydsd 7,0 ε≤ε ssd E ε 1kf = 
 
ydsdyd7,0 ε≤ε≤ε ssd E ε 
yd
sd
f 2
35,1k ε
ε−= 
ydsdyd 2 ε+≤ε≤ε ydf )(075,085,0k ydsdf ε−ε−= 
 
ydsd 2 ε+>ε ydf 1kf = 
 
 
Aços Tipo “A” - Aços Tipo “B” - sdσ sdf1sd k σ=σ 
 
Deformação Correspondente ao Limite de Escoamento : 
s
yd
yd E
f=ε 
 
 
 
 
 
6
1- Aplicações: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=σ
=ε
?
‰75,1
B50CA
sd
sd 
 
2
sd /407.3000.100.2000.1
75,1927,0 Logo
927,0
07,22
75,135,1
‰07,2)75,1()45,17,0( Como
‰07,2
000.100.2
000.115,1
5000
cmKgfEK
k
ssdf
f
ydsdyd
yd
=××==
=×−=
=<=<=
=
×
=
εσ
εεε
ε
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=σ
=ε
?
‰4,3
B50CA
sd
sd 
 
2
ydfsd
f
ydsdyd
cm/Kgf130.4
15,1
500095,0fk
95,0)07,24,3(075,085,0k
‰07,4)2()4,3(‰07,2
==×=σ
=−+=
=+ε<=ε<=ε como
 
 
g) Armadura Mínima de Flexão 
 
Segundo a NB1/78 (63.1) 
 
 “A área da seção transversal da armadura longitudinal de tração não deve 
ser inferior aquela com a qual o momento de ruptura calculado sem considerar a 
resistência à tração do concreto é igual ao momento de ruptura da seção sem 
armadura” 
 
 
σ=
σ=
=σ
.
y
IM
WM
W
M
 
 
 
 
 
7
 
 
cdd f M 
2
d
cd
2
ckcd
ctd
ctd
2
d
bd18,0M
10
f
.
6
)d05,1.(b.)MPa18f(
10
f
f
d05,1h
Para
f.
6
h.bM
=→≤
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
 
 
ctdydctdydctd
yds
fdbfzfhbfzfhb
fzA
...18,0..A.
6
...A 
6
. M
.. MLogo
2
s
2
s
2
d
d
minmin
min
=∴=∴×=
=
 
Tomando 
 
d.b%15,0d.b.
10,1
000.4
4,1
260
.21,0A
MPa26
d05,1h
d.b.
f
f
.21,0Ad.b.
f
f
021,0Ad87,0z
wws
yd
ctd
s
ydf
cd
s
min
minmin
==
⎩⎨
⎧
=
=
===
cdf
CA60CA40/CA50/
 Para
 ou 
 
Pela NB1/78, devemos ter: 
 
d.b%25,0.A..........CA32......-CA25Para 
ws
ws
min
min
=−− d.b%15,0A....60CA50CA40CAPara 
=
 
) Armadura Máxima de Flexão
 
h 
erar que a área total da armadura numa seção de concreto 
ltrapasse 4% desta. 
 
wwdsmax
=≤ 
 
 Não se deve tol
u
A db04,0b%4
 
 
 
 
 
8
 
 
2.1) Dimensionamento no Domínio 3 com Armadura de Compressão: 
 (Dimensiona
a) Encurtamento Relativo na Armadura Comp imida 
 mento com Armadura Dupla) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cdscd
cd
scd
x
dx
x
dx εεε
ε ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯−=⇒−= defomaçãox tensãoDiag..''
 
b) Posição da LN 
 
44 344 21
4 e 3 dom. dos limite ao entecorrespond
k Tabela md1 1z1y1x k,k,k,
) Momentos 
ogo, Md2=Md - Md1→ momento que exige a introd
 
 
c
 
Md1 = Kmd1.b.d².fcd → momento máximo que a peç
L
"
'
 '
.' .
Comprimida Armadura
2
2
2
ddc
c
MA
cAM
A RcomocRM
scd
d
s
scdsd
scdsscdscdd
−=
=
=
==
σ
σ
σ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r
r
scdσ⎯⎯⎯⎯ → 
 
=
=
d
d
d
z1
y1
x1
kz 
ky 
k x :logo =
 
ples. 
ução de armadura dupla. 
a resiste com armadura sim
yd
d
ydz
d
s
d
z
d
yds
scdcdsd
fc
M
fdK
MA
c
M
dk
MfA
RRR
 
Tracionada Armadura
2
1
1
2
1
1
+=
+=
+=
 
9
 
 
2- Aplicação: Determinar a altura correspondente ao limite dos domínios (3) e (4) 
 = ?, x = ?, y = ?, z = ?, As= ? 
Utilizando a tabela de flexão (Domínios (3) / (4)). 
Pela Tabela 
Dados: 
Aço : CA50A 
fck : 15MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d
 
75,0
50,0
63,0
32,0
=
=
=
=
z
y
x
md
k
k
k
k
 
 
• Altura Útil 
 d
M
k b f
m
h cm
d
md cd
= = ×
× ×
=
= + =
. .
, . ,
, ,
,
,
2 5 1 4
0 32 0 15
1500
1 4
0 26
26 4 30
 
 de alavanca
 
• Posição da LN/Braço 
 = 0,75 x 26 = 19,5cm → braço de alavanca 
 Área da Seção Transversal
x = 0,63 x 26 = 16,4cm 
y = 0,50 x 26 = 13,0cm 
z
 
• 
 
A
M
k d f
cms
d
z yd
= × × =
×
× ×
=2 5 1 4
0 75 0 26
5 0
115
4 1 2
, ,
, ,
,
,
, 
 
10
 
3 - Aplicação: Dimensionar a peça trabalhando nos limites dos domínios (2) / (3). 
Dados: 
Aço : CA50A 
fck : 15MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínios (2)/(3) 
Pela tabela Kmd = 0,158 
 Kx = 0,26 
 Ky = 0,207 
 Kz = 0,896 
 
 
cmddh
m
fbK
M
d
cdmd
d
42537'
37,0
150015,0158,0
4,14,15,2
 
=+=+=
=××
××==
 
 
• Posição da LN/Braço de Alavanca 
x = kxd = 0,26 x 37 = 9,6cm 
y = kyd = 0,207 x 37 = 7,7cm 
z = kzd = 0,896 x 37 = 33,2cm (braço de alavanca) 
 
• Área da Seção Transversal 
24,2
35,437,0896,0
4,15,2 cm
dfK
MA
ydz
d
s =××
×== 
 
 
 
 
 
11
4 - Aplicação: Dimensionar a peça com as características abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: 
Aço: CA50A 
fck=15 MPa 
d’= 4cm 
fcd = 2/14,1074,1
150 cmkgf= 
d=h-d’= 36-4=32cm 
 
• Utilizando Tabela de Flexão 
 
Altura Útil/Posição da LN/Área Armadura 
 
2
y
2
9,2
35,4275,0
4,15,2
5,273286,0
0,93228,0
 2,113235,0
 
 0,860,28;0,35;k
Dom.3
Tab
(Domínio3) 21,0
4,1
150032,015,0
4,15,2
cmA
cmz
cmy
cmx
kk
K
s
zx
md
=×
×=
=×=
=×=
=×=
⎩⎨
⎧
===
=
××
×=
o 
 
Deformações: 
 
Domínio 3 cdε→ =3,5‰ 
.
Satisfaz 10‰ ‰5,6
2,11
5,3
2,1132
<=∴=− sd
sd εε 
 
 
 
 
12
 
 
• Sem Utilização de tabelas 
 
Posição da LN 
 
2
s
2
2
2
9,2
35,4
8,12 A 
8,12094,061,136 61,136 como
8,11
8,0
4,9
8,0
094,0
36,055,0
2
051,0 . 464,064,0 0051,064,0y
 05,372,4331,68 
2
32,01,42,5 
61,136.15,0.
4,1
1500.85,0
cm
f
R
tyR R
fAR
cmyx
my
mm
yy
yyyRzRM
yyR
yd
sd
cdsd
ydssd
cdcdd
cd
===
=×===
=
===
⎩⎨
⎧
=
>=−+=∴=+−
=+−∴⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=×∴=
==
 
 
 
Deformações 
 
 
 
Satisfaz ‰10‰0,65,3
8,11
8,1132%5,3Para 
Incoerente ‰5,3‰8,5
8,1132
108,11 %10 Supondo 
cd
cdsd
<=−=→=
>=−
×=∴−=→=
x
xd
x
sd
sd
cd
εε
εε
εε
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13
 
5 - Aplicação: Determinar a altura da peça com características abaixo e 
dimensioná-la: 
• No limite dos domínios 2 e 3; 
• No limite dos domínios 3 e 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Materiais: 
 CA50A 
 fck 18MPa 
 
 
 
 
Solução 1: 
Utilizando o limite do DOM (2)/(3) 
εcd = 3,5% 
εsd = 10% 
 
Tabela: Kx = 0,26 
 Ky = 0,207 
 Kz = 0,896 
 Kmd = 0,158 
 
• Altura Útil 
 d = 
M
K
d
md × × =
× ×
× × =b f mcd
4 9 1 4 1 4
0 158 0 15 1800
0 47
, , ,
, ,
, 
Adotando h = 47 + 4 = 51cm 
 
• Posição da LN/Braço Alavanca 
x = 0,26 x 47 = 12,2cm 
y = 0,207 x 47 = 9,7cm 
z = 0,896 x 47 = 42cm (Braço de alavanca) 
 
• Área da armadura 
 
2
15,1
0,5
yd
d cm8,3
42,0
4,19,4
fZ
M =×
×=×=sA 
 
14
Solução 2: 
 
Utilizando o limite Dom. (3) e (4) 
 
Tabela: Kx = 0,63 
 Ky = 0,50 
 Kz = 0,75 
 Kmd = 0,32 
 
‰07,2
2100
‰5,3
15,1
5000
==
=
sd
cd
ε
ε 
 
• Altura Útil 
 
cmd 33,0
180015,032,0
4,14,19,4 =××
××= 
 
• Posição da LN/Braço Alavanca 
 
x = 0,63 x 33 = 20,8cm 
y = 0,50 x 33 = 16,5 cm 
z = 0,75 x 33 = 24,8 cm 
Logo : h = 33 + 4 = 37cm 
 
• Área da Armadura 
2
15,1
0,5 4,6248,0
4,19,4 cmAs =×
×=
 
15
6 - Aplicação: Dimensionar a peça com as características abaixo: 
 
 
 CA50A 
 fck = 18MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 K md = × ×× × = > →
9 0 1 4 1 4
0 20 0 35 1800
0 40 0 32 42
, , ,
, ,
, , DOM . 
 
• Adotando dimensionamento no limite dos domínios (3) e (4) com armadura 
de compressão: 
 
logo εcd = 3,5‰ e kmd = 0,32 
 εsd = 2,07‰ kx = 0,63 → x = 22,1cm 
 ky = 0,50 → y = 17,5cm 
 kz = 0,75 → z = 26,3cm 
 c = 35 – 3 = 32 
 
mt5,21,104,10,9M
mt1,10
4,1
180035,020,032,0M
2d
2
1d
=−×=
=×××=
 
 
• Armadura de Compressão 
2
scd
2 /35,4
15,1
0,5CA50A..... 8,1
35,432,0
5,2' cmtfcmA ycds ====×= σ 
 
 
• Armadura de Tração 
2
s cm6,1035,432,0
5,2
35,4263,0
1,10A =×+×= 
 
 
 
 
 
 
16
2.2) VIGAS “T”
 
a) Largura da mesa (Ref. NB1/78-32.2.2) 
 
- Continuas
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Isoladas 
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
2
1
b5,0
b f8h
0,10a
 
 
 
 
 
 
 
⎩⎨
⎧≤
f
3 h6
a10,0
b
bf - Largura efetiva da mesa 
bw - Largura real da nervura 
ba - Largura da nervura fictícia 
b2 - Distância entre as faces da nervura fictícias 
b3 - Distância da face da nervura à face externa do balanço 
 
 
 - Valores de a: 
 
l=a 
 
 
 l4
3=a 
 
 l5
3=a 
 
 
l2=a 
17
b) Influência da Mesa: 
 
 
 
 As experiências têm demonstrado que as vigas ao se deformarem , o fazem 
levando consigo um trecho da laje de largura “bf” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Momentos negativos (superiores) 
 
 
 
Como a mesa está tracionada e não se 
considera no dimensionamento a 
resistência à tração do concreto, não se 
leva em conta a colaboração da mesa e 
calcula-se a viga como retangular de 
largura “bw” e altura “h”. 
 
 
 
 
• Momentos positivos (inferiores) 
 
A LN situa-se na mesa y ≤ hf
 
 
 A viga será calculada como 
retangular de largura “bf” e altura “h” já que 
não se considera a resistência à tração do 
concreto. 
 
 
 
 
 
18
A LN situa-se na nervuray > hf
 
 
 A viga será calculada como “T”ou “L” 
levando em conta a compressão na mesa e a 
altura. 
 
 
 
 
 
• LN no limite mesa/nervura (y=hf) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y>hf
Cálculo da altura útil 
 
285,0
d
)
2
h
-(db 0,85f= MM
 
22
d = z
85,0R
o
f
ofcddd
0o
cd
f
ffcd
d
fcd
f
ffed
h
hbf
M
hzR
h
dy
hbf
+××=
×××⇔×=
−=−
×××=
 
Área da armadura 
yd
f
o
d
sd
yds
f
h
d
M
zR
fA
×−
=
×⇔×=
×=
)
2
(
A
)
2
h- (df A= MM
R
s
f
oydsdd
sd
 
 
19
• LN na mesa (y < hf , d >do) 
 
 
 
 
 
 
 
Como y < hf → LN na mesa 
Dimensionamento como seção retangular de largura “bf”e altura “h” 
 Identificação Domínio 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎯⎯ →⎯××=
z
y
x
cdf
d
k
k
k
fdb
M Tab K 2md 
Posição da LN 
⎩⎨
⎧→>
→≤=
compressão de armadura com 3 DOM.
ou 
k dk = y 
3 e K Para dk 
mdy
mdx
4.DOM
k
2.DOMKx
1md
1md
 
Armadura: 
 As = × ×
M
k d
d
z sdσ (Domínios 2, 3 e 4) 
Domínios 2 e 3: ydsd f=σ 
Domínio 4: s Esdsd εσ = 
 
 
 
 
20
• LN na nervura (y>hf , d<do) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mesa [Viga Retangular (bf - bw)h] 
 Rcmd = 0,85fcd x (bf - bw)hf 
 Z
 M
 
m
cmd
= −
= × = − × −
d
h
R z f b b h d
h
f
cmd m cd f w f
f
2
0 85
2
, ( ) ( ) 
 Nervura (viga retangular→bw x h) 
cmddcndcndcmdd MMMMMM −=→+= 
n
cnd
z
y
x
mdmd
cdw
cnd
md
z
M
dkz
dky
dkx
kkpara
fdb
Mk
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
<
⎯⎯ →⎯××=
cnd
2
R :logo
.
.
.
 
Tab 
1
 
Seção da armadura 
( )
yd
cndcmd
s
yd
cd
s
ydscdsdcndcmdcd
f
RR A
f
R A
f AFRRRRR
+=⇔=
×==∑=⇔+= 0 
 
21
7 - Aplicação:Dimensionar a peça com as características abaixo: 
 
 Materiais: 
 CA25 
 fck = 20MPa 
 d’=3cm 
 
• Altura útil da peça correspondente a LN no limite mesa/nervura 
)hycm23dcm57d
m23,0
2
15,0
15,05,0200085,0
4,14,110d
fo
o
fb largura com retangular (Viga =<→=>=
=+×××
××=
 
 
2
96,0
08,0
10,0
 Tabela 060,0
200057,050,0
4,14,110
2 Domínio
k
k
k
k
z
y
x
md ↔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
⎯⎯⎯ →⎯=××
××= 
2
s
2
s
cm5,46050
100
15,0A
cm8,11
5,257,096,0
15,14,110A
cm555796,0z
cm6,45708,0y
cm7,55710,0x
min
=××=
=××
××=
=×=
=×=
=×=
 
• Deformações 
‰10=sdε 
‰5,3%11,1
7,557
7,5
10
 cd <=∴−= ocdε
ε 
 
22
8 - Aplicação: Dimensionar a peça com as características abaixo: 
 Materiais:
 CA50A
 fck = 
14MPa 
 
 
 
 
 
T"" 47d<45=d 
47,0
2
08,0
08,02,1140085,0
4,14,125d 
o
o
VIGA
m
→=
=+×××
××=
 
• Mesa 
mt2541,02,61M
m41,0z
zRM
t2,61
4,1
140008,0)3,02,1(85,0R
cmd
m
mcmdcmd
cmd
=×=
==
×=
=××−=
2
0,08-0,45 
 
• Nervura 
165,0
45,03,0
10k
mt10254,125MMMMMMM
4,1
14002md
cndcmddcndcndcmdd
=××=
=−×=→−=∴+= 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
89,0k
22,0k
275,0k
z
y
x
 
2
s
sdcdcnd
cm8,19
35,4
2,86A
t2,86252,61RRt25
45,089,0
10R
==
=+==⇒=×= 
 
 
 
23
9 - Aplicação: Dimensionar a peça com as características abaixo, sem utilização de tabela 
 Materiais: 
 CA25 
 fck = 15MPa 
 
 
 
 
Supondo a LN situada na mesa 
⎩⎨
⎧×−±
=+−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=×∴⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
=×××=××=
atisfaz0,03m....s=y
satisfaz 0,75...não>1,47=y
 
1,51,5
=y 
y 
546,43y-819,65y=23,8 
 M 
R 
2
2
2
d
cd
2
0436,04
00436,0y5,1
2
y75,0y86,10924,117
2
ydR
y86,1092y120
4,1
150085,0ybf85,0
cd
fcd
 
com y =3cm < hf = 10cm→a hipótese adotada da LN na mesa é coerente 
• Braço Alavanca 
 z = d -
y
2
= − =0 75 0 03
2
0 735,
,
, m 
• Área Armadura 
2
15,1
5,2
cd
cm1,158,32
t8,3203,086,1092y86,1092R
==
=×===
s
sd
A 
R 
 
• Deformações 
 0375,0
8,0
03,0
8,0
myx === Para: (DOM(2)) satisfaz logo, %5,3%52,0 0375,075,0
0375,0
10
 %10
oo
o
<= −
=→=
cd
cd
sd
ε
εε
 
 
24
3.1) Viga T com armadura de compressão: 
 
 
 
 
 
 
( )
 
dupla armadura k K
M
Nervura
2
M
85,0R 
 Mesa
md12md
cnd
cmd
cmd
→>×=
−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −×=
−=
cdw
cnd
cmdd
f
cmd
fwfcd
fdb
M
MM
h
dR
hbbf
 
Utilizando Domínio (3) com introdução de armadura comprimida, temos: 
( )comprimida Armadura 
 
' :logo 22
1
1
12
2
11
1
yd
d
yd
scd
s
d
scd
z
cnd
cmdd
ddd
cdwmdcmdd
cndcmdd
fc
M
f
RA
c
MR
dk
MRR
MMM
fdbkMM
MMM
===
×+=
−=
×××+=
+=
L
 
( )Tracionada Armadura 
 :Como
: temos, 0 Como
2
1
yd
d
ydn
cnd
yd
cmd
s
yd
sd
s
scdcndcmdscddsd
cf
M
fz
M
f
RA
f
R
A
RRRRRR
F
++=
=
++=+=
=∑
 
 
25
 
10- Aplicação: Dimensionar a peça com as características abaixo. 
 
Materiais 
CA25 
fck = 15Mpa 
d’= 3cm 
d”= 2cm 
 
 
 
 
d = 28 – 3 = 25cm c = 28 – 3 – 2 = 23cm 
 
( )( )4 DOM dupla Armadura 363,047,0
4,1
150025,035,0
1,111,115,154,119
5,15
2
10,025,04,774,77
4,1
150010,0)35,02,1(85,0R
T Viga 25,0 29,0 
2
10,0
10,02,1150085,0
4,14,119
2
cmd
>=
××
=→=−×=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=→=××−=
→=>=+×××
××=
mdcnd
cmd
oo
KmtM
mtMt
mdmdd
 
Será adotado o limite dos Dom. (3) e (4) com armadura comprimida 
)Compressão de (Arm.2,53,11A
Tração) de (Arm. 638,137
8,1373,115,126
 3,11
23,0
6,2 5,1261,494,77
25,0691,0
5,84,77
 logo 6,2244,119
245,85,15
4,1
150025,035,0363,05,15
173,025,0691,0691,0k
154,025,0617,0617,0k
193,025,077,077,0k
5,8
4,1
150025,035,0363,0363,0k
Tabela Pela
2
15,1
5,2
21
s
2
15,1
5,2
2121
12
2
1
11
1z1
1y1
1x1
22
11md1
cmR
cm
f
RA
tRR
RRRtRtR
RRRmtM
mtM
MMM
mz
my
mx
mtfbdkM
scd
d
yd
sd
s
cdsd
ddcddd
cndcmddd
d
cndcmdd
cdmdcnd
===
===
++==
+====+=×+=
+==−×=
=+=×××+=
+=
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=×=→=
=×=→=
=×=→=
=×××==→=
σ
 
26
Aplicações Propostas: 
 
1 – Dada uma seção retangular de 50x140 cm2 e armadura de tração 45 cm², 
pede-se calcular o momento fletor que a peça resiste, sem utilização de 
tabela: 
 
Dados: 
Aço CA50A 
fck = 18MPa 
 
 
 
 
 
2 – Para a peça com as características abaixo, determinar: x, y, z, As, sdcd ,εε
 
Dados: 
Aço CA50A 
fck = 18MPa 
 
 
 
 
 
 
3 – Verificar o momento que a peça com características abaixo resiste (sem 
utilização de tabelas) 
 
 
Dados: 
Aço CA50A 
fck = 16MPa 
 
 
 
 
4 – Para a seção com características abaixo, determinar o maior momento 
característico que ela resiste 
 
Dados: 
Aço CA50B 
fck = 18MPa 
 
Nota: Dimensões em centímetro 
 
27
	DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES
	1\) HIPÓTESE DE CÁLCULO:
	2\) Dimensionamento à Flexão SimplesCálculo do Braço de Alavanca
	Cálculo da Área da Seção da Armadura (As)
	Deformações
	Observações:
	Diagramas Tensão x Deformação – Aços
	1- Aplicações:
	Armadura Mínima de Flexão
	Armadura Máxima de Flexão
	2- Aplicação: Determinar a altura correspondente ao limite d
	Utilizando a tabela de flexão (Domínios (3) / (4)).
	3 - Aplicação: Dimensionar a peça trabalhando nos limites do
	4 - Aplicação: Dimensionar a peça com as características aba
	Altura Útil/Posição da LN/Área Armadura
	Posição da LN
	Deformações
	5 - Aplicação: Determinar a altura da peça com característic
	Influência da Mesa:
	Altura útil da peça correspondente a LN no limite mesa/nervu
	3.1\) Viga T com armadura de compressão
	Aço CA50A
	Aço CA50A
	Aço CA50A
	Aço CA50B
	Nota: Dimensões em centímetro