Modelagem de Sistemas Eletrônicos

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Modelagem 
 
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4 Sistemas Elétricos e Eletrônicos 
Modelagem 
 
 30 
 
Sistemas elétricos, eletrônicos são sistemas extremamente utilizados e essenciais na maioria dos sistemas 
dinâmicos. Modelaremos aqui sistemas RLC, através das leis de Kirchhoff de malhas e nós. Amplificadores 
operacionais, importantes em sistemas de controle, filtros e de potência também serão abordados. 
4.1 Elementos Elétricos 
Nesta seção, será abordada a modelagem de elementos que compõem um circuito elétrico. 
4.1.1 Resistor (R) 
Elemento que reage com uma tensão proporcianal a corrente que por ele é conduzida. 
 
4.1.2 Indutor (L) 
Elemento que reage com uma tensão em seus terminais proporcional a derivada da corrente que por ele é 
conduzida. 
 
4.1.3 Capacitor (C) 
Elemento que reage com uma tensão em seus terminais proporcional a integral da corrente que por ele é 
conduzida. 
 
 
Para modelagem destes elementos, utiliza-se as leis de Kirchhoff: 
 
Leis dos Nós de Kirchhoff 
A soma das correntes num nó de um circuito elétrico é igual a zero. Ou também, a soma das correntes 
que chegam num nó é igual a soma das correntes que saem. 
 
Leis das Malhas de Kirchhoff 
A soma de todas as quedas de tensões nos elementos que compõem uma malha elétrica é igual a zero. 
 
 
Exemplo 1 
 
No sistema elétrico abaixo, o equacionamento pode ser realizado pela lei das malhas. 
Modelagem 
 
 31 
 
 
)()()()( tVtVtVtV CRLa ++= 
ou 
ò++= dttiCtiRdt
tdi
LtVa ).(
1
)(.
)(
.)( 
 
Realizando a Transformada de Laplace, pode-se representar o sistema 
dinâmico como: 
)(
.
1
)(.)(..)( sI
sC
sIRsIsLsVa ++= 
)(.
.
1
.)( sI
sC
RsLsVa ÷
ø
ö
ç
è
æ ++= 
 
Exemplo 2 
 
No sistema elétrico abaixo, o equacionamento envolve a lei das malhas e a lei dos nós. 
 
 
Malhas: 
î
í
ì
=
+=
)()(
)()()(
tVtV
tVtVtV
CL
RLa 
 
Nó: 
)()()( tititi CL += 
 
ou 
ï
î
ï
í
ì
=
+=
ò dttiCdt
tdi
L
tiR
dt
tdi
LtV
C
L
L
a
).(
1)(
.
)(.
)(
.)(
 
)()()( tititi CL += 
 
Realizando a Transformada de Laplace, pode-se representar o sistema dinâmico como: 
)(.)(..)( sIRsIsLsV La += 
)(.
.
1
)(.. sI
sC
sIsL CL = 
)()()( sIsIsI CL += 
 
Uma representação do sistema pode ser feita através de diagrama de blocos. 
 
Modelagem 
 
 32 
 
Métodos de Impedâncias 
 
O método de impedâncias é uma alternativa para simplificar o modelamento de um sistema elétrico. 
Também pode ser utilizado em modelos mecânicos. 
Em sistemas elétricos uma impedância Z(s) é definida como: 
)(
)(
)(
sI
sV
sZ = 
No exemplo abaixo, podemos simplificar os três elementos em série. 
 
 
 
ò++= dttiCtiRdt
tdi
Lte ).(
1
)(.
)(
)( 
A função de transferência é 
)().()(
)(
.
1
.)(
.
1
)(.)(..)(
sIsZsE
sI
sC
RsLsI
sC
sIRsIsLsE
=
÷
ø
ö
ç
è
æ ++=++=
 
 
 
 
 
Impedâncias em série: )(......)()()()( 321 sZsZsZsZsZ neq ++++= 
Impedâncias em paralelo: 
)(
1
....
)(
1
)(
1
)(
1
21 sZsZsZsZ neq
+++= 
 
 
Exemplo 3: 
 
Equacionar as impedâncias: 
)(
1
)(
1
11 sZ
RsZ
eq
+= 
2
2
121
..1
)(
11
)(
1
R
sCR
sZ
Cs
RsZ eqeq
+
=Û+= 
 
ïî
ï
í
ì
=
++
=
+
+=
32
2
221
2
2
11
)(
..1..1
)(
RsZ
R
sCRRR
R
sCR
RsZ
 
 
Modelamento do sistema: 
 
( )
)().()(
)(.)()()(
20
21
sIsZsE
sIsZsZsEi
=
+=
 
 
 
 
Z(s) 
Modelagem 
 
 33 
 
4.2 Amplificadores operacionais 
Os amplificadores operacionais, também chamados de amp-ops, são importantes componentes de 
sistemas eletrônicos. Eles são muito utilizados em filtros, sistemas de controle e amplificação de sinais de sensores. 
Observando a figura abaixo, o amp-op possui dois terminais, um positivo (entrada não inversora) e um 
negativo (entrada inversora). O amp-op amplifica a diferença entre os dois terminais na ordem de 105 a 106 vezes. 
Devido ao alto ganho, ele apresenta uma condição de instabilidade muito alta, sendo então utilizado sempre 
realimentado, como exemplo na configuração abaixo, para que apresente uma condição estável. 
 
 
Desta forma, podemos analisar o circuito da seguinte maneira: 
Idealmente, o amp-op não drena corrente em seus terminais de entrada e a tensão de saída ( 0e ) não é 
alterada devido a carga nela conectada. Em outras palavras, a entrada tem impedância infinita e a saída tem 
impedância zero. Nos terminais de entrada consideramos ainda como um curto-circuito virtual. As tensões entre os 
terminais são iguias. 
 
Observando o circuito com amp-op acima, podemos equacioná-lo da seguinte forma: 
· )´()(.)( 11 tetiRtei += 
· )()(.)´( 022 tetiRte += 
Devido a impedância de entrada infinita, nenhuma corrente flui nos terminais, logo: 
· )()( 21 titi = 
Devido ao curto-circuito virtual: 
· 0)´( =te 
Assim, 
î
í
ì
-=
=
)()(.
)(.)(
022
11
tetiR
tiRtei 
ou 
ï
ï
î
ïï
í
ì
-=
=
2
0
2
1
1
)(
)(
)(
)(
R
te
ti
R
te
ti i
 
A relação entrada/saída é definida então como: 
12
0 )()(
R
te
R
te i=- 
ou 
1
20
)(
)(
R
R
te
te
i
-= 
Note que a amplificação do sistema é a relação entre a impedância de saída e a entrada, porém com 
inversão de sinal. 
 
 
 
 
Modelagem 
 
 34 
 
Exemplo 4: 
 
No amplificador abaixo, pode-se equacionar da mesma maneira que a apresentada anteriormente, 
considerando Z1 como impedância de entrada e Z2 como impedância de saída. 
 
Assim, 
1
20
)(
)(
Z
Z
te
te
i
-= 
 
11 )( RsZ = 
Cs
RZ eq
+=
22
11
, ou ainda: 
1.
)(
2
2
2 +
=
sCR
R
sZ 
Logo, 
1.
1
.
)(
)(
21
20
+
-=
sCRR
R
te
te
i
 
 
Complementando o exemplo, abaixo é mostrado uma simulação do circuito acima, considerando a 
aplicação de uma tensão constante na entrada de 1V (ou seja, degrau unitário). 
É observada a tensão resultante de saída. 
 
 
 
Note a influência da resposta ao degrau do sistema de primeira ordem e o ganho negativo. 
Modelagem 
 
 35 
 
4.3 Problemas 
Modele os sistemas dinâmicos abaixo e encontre suas equações diferencias. 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
Equacione os sistemas considerando primeiramente a chave ‘S’ aberta e depois equacione considerando 
também a chave fechada. 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
Modelagem 
 
 36 
 
f) 
 
 
Encontre a relação 
)(
)(0
se
se
i
 dos amp-ops abaixo: 
 
g) 
 
 
 
h) 
 
 
 
i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modelagem 
 
 37 
 
j) 
 
 
 
 
k) 
 
 
 
l) 
 
 
 
 
Modelagem 
 
 38 
 
Soluções: 
 
a) 
ò++= dttiCtiRdt
tdi
LtVa ).(
1
)(.
)(
.)( 
 
 
b) 
)()()(
).(
1)(
.)(
)()(.)(
0
0
tititi
dtti
Cdt
tdi
Lte
tetiRte
CLR
C
L
Ri
+=
+=
+=
ò 
 
 
c) 
( )
( ) ò+=-
-++=
dtti
C
tiRtitiR
titiRtiR
dt
tdi
Lte
).(
1
)(.)()(.
)()(.)(.
)(
.)(
223212
21211
1
 
 
d) 
chave aberta : ( ) )(.2)( tiRRtV ia += 
 
chave fechada: 
( )
)()()(
)(
1
)(.
)(.)(.)(
21
2
2
tititi
dtti
C
tiR
tiRtiRRtV
C
C
ia
+=
=
++=
ò 
 
e) 
chave aberta : 
dt
tdi
LtiRtVa
)(
)(.2)( += 
 
chave fechada: 
)()()(
)(
1
)(.
)(.)(.
)(
.)(
21
2
21
1
tititi
dtti
C
tiR
tiRtiR
dt
tdi
LtVC
C
ia
+=
=
++=
ò 
 
 
f) 
chave aberta : ò+= dttiCtiRtE )(
1
)(.)( 1 
chave fechada: 
( )
( ) )(.)()(1
)()(
1
)(.)(
22
21
tiRdttiti
C
dttiti
C
tiRtE
=-
-+=
ò
ò
 
Modelagem 
 
 39 
 
 
g) 
1.
1
.
)(
)(
21
20
+
-=
sCRR
R
se
se
i
 
 
 
h) 
1
210
)(
)(
R
RR
se
se
i
+
= 
 
i) 
1.
.
.
)(
)(
1
1
3
320
+
+
-=
sCR
sCR
R
RR
se
se
i
 
 
 
j) 
1.
1
.
)(
)(
13
320
+
+
-=
sCRR
RR
se
se
i
 
 
 
k) 
1.
1.
)(
)(
2
20
+
-
-=
sCR
sCR
se
se
i
 
 
 
l) 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+++
-=
3
1
22
3
1
2122
2
2211
0
...
1
)(
)(
R
R
sCR
R
R
CRCRsCRCR
se
se
i