Trigonometria Texto Complementar 1

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TRIGONOMETRIA 
 
TEXTO COMPLEMENTAR 
 
 
1) COMPRIMENTO OU PERÍMETRO DO CÍRCULO. 
 
Para determinarmos o comprimento do círculo, ou seja, de seu perímetro, utilizamos 
uma expressão única, sempre dependendo do comprimento do raio: 
 
C = 2 • π • r 
 
onde: C = raio da circunferência (medida do centro à extremidade) 
π = 3,14 (aproximadamente) e r = raio 
 
Exemplo 1 
 
Calcule o comprimento do círculo cujo raio mede 5 unidades de medida. 
 
Resolução: 
Como C = 2 • π • r, substituindo r por 5 e π por 3,14, temos: C = 2 • 3,14 • 5. 
Portanto, o comprimento do círculo é igual a C  31,4. 
 
Exemplo 2 
 
Determine quantos metros, aproximadamente, uma pessoa percorrerá se fizer 
5 voltas completas em torno de um canteiro circular de 3m de raio. 
 
Resolução: 
Calcular quantos metros essa pessoa percorre em uma volta e depois 
multiplicar por 5. 
 
C = 2 • π • r 
C = 2 • 3,14 • 3 
C  18,84metros 
 
Comprimento do percurso 
C = 18,84 • 5 
C = 94,20m 
 
Exemplo 3 
 
O pneu de um veículo, com 500 mm de raio, ao dar duas voltas completas, 
percorre quantos metros aproximadamente? 
 
Resolução: 
 
Precisamos transformar 500 mm em metros. Para isso temos que dividir 500 
por 1000. Obtemos 0,5m. Em seguida, calculamos o comprimento do uma 
Círculo: 
 
C = 2 • π • r 
C = 2 • 3,14 • 0,5 
C = 3,14 metros 
 
O pneu percorre aproximadamente 3,14 m ao final de uma volta. Logo, ao final 
de 2 voltas, ele percorrerá 3,14 x 2 = 6,28 m. 
 
Exemplo 4 
 
Um ciclista deseja percorrer 200 km sobre uma pista circular cujo raio mede 
100 m. Qual é o número aproximado de voltas que ele dará? 
 
Resolução: 
 
Em primeiro lugar, deve-se calcular o comprimento da pista: 
 
C = 2 • π • r 
C = 2 • 3,14 • 100 
C = 628 metros 
 
Em seguida, converter 200 km em metros 
Como 1 km possui 1000 metros, então 200 • 1000 = 200 000 metros 
 
Ao final, calcular o número aproximado de voltas. 
Basta dividir o percurso pelo comprimento da pista: 
200 000 ÷ 628  318 (aproximadamente) 
 
Portanto, o ciclista deverá dar aproximadamente 318 voltas. 
 
B) CÍRCULO NO PLANO CARTESIANO 
 
O Plano Cartesiano Ortogonal foi criado por René Descartes com o objetivo de 
localizar pontos. Ele é formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e 
outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O eixo horizontal é 
chamado de abscissa (X) e o vertical de ordenada (Y). Os eixos são 
enumerados compreendendo o conjunto dos números reais. Observe a seguir 
uma figura representativa do plano cartesiano ortogonal 
 
eixo X
2
4
5
eixo Y
-2
 
-4
-2-4- 5 21-1-3 3
1
3
 0
-1
-3
-5
4 5
 
No plano cartesiano, podemos desenhar figuras planas como triângulos, 
quadriláteros, pentágonos, círculos, retas, etc. 
 
eixo X
2
4
5
eixo Y
-2
 
-4
-2-4- 5 21-1-3 3
1
3
 0
-1
-3
-5
4 5
 
 
 
Neste plano, podemos continuar interessados em calcular os perímetros das 
figuras. Mas podemos, também, fazer outros estudos como localizar seus 
vértices e calcular o comprimento entre dois deles. Em especial, podemos 
estudar os círculos com centros na interseção dos eixos X e Y. 
 
eixo X
2
4
5
eixo Y
-2
 
-4
-2-4- 5 21-1-3 3
1
3
 0
-1
-3
-5
4 5
A
B
Cc
b
a
 
 
Vamos, então, considerar os círculos A, B e C com centros na interseção dos 
eixos X e Y. 
 
O comprimento ou medida do raio do Círculo C é igual a 5 unidades de 
medida. Para simplificar, dizemos que r é igual a 5, ou r = 5. 
 
Por sua vez, a medida do raio do círculo B é igual a 3, ou seja, r = 3. 
 
A medida do raio do círculo A é igual a 1, ou seja, r = 1. Este círculo é 
chamado unitário, pois seu raio é igual a 1. 
 
Observemos que, na figura: 
 
 - o ponto c pertence ao círculo C, mas ele não pertence nem ao círculo A, 
nem ao círculo B; 
 
- o ponto b pertence somente ao círculo B; 
 
- o ponto a pertence somente ao círculo A. 
 
Os pontos a, b e c são representados neste plano por pares ordenados do tipo 
(x,y) , nos quais o primeiro elemento (x) é a abscissa e o segundo (y) é a 
ordenada. Ou seja: 
 
 a = (0, 1) b = (-3, 0) c = (-3, 4) 
 
 
Ora, no Fascículo Trigonometria – Parte 1, foi dada a definição do círculo como 
sendo: 
C = {(x, y): x2 + y2 = r2} 
 
 
Isso significa que um ponto pertence a um círculo se a soma dos quadrados de 
suas coordenadas é igual ao quadrado de seu raio. De fato, como: 
 
 a = (0, 1) e o raio do círculo A é igual a 1, então a pertence ao círculo 
A, pois 02 + 12 = 12; 
 
 b = (-3, 0) e o raio do círculo B é igual a 3, então b pertence ao círculo 
B, pois (-3)2 + (0)2 = 32; 
 
 c = (-3, 4) e o raio do círculo C é igual a 5, então c pertence ao círculo 
C, pois (-3)2 + (4)2 = 52; 
 
Exemplo 1 
Verificar se o ponto (-3, 4) pertence ao círculo A. 
 
Resolução: 
 
O raio do círculo A é igual a 1 e (-3)2 + (4)2 ≠ 12 . Logo, o ponto (-3, 4) não 
pertence ao círculo A. 
 
Exemplo 2 
Verificar se o ponto (4, -3) pertence ao círculo C. 
 
Resolução: 
 
O raio do círculo C é igual a 5 e (4)2 + (-3)2 = 52 . Logo, o ponto (4, -3) 
pertence ao círculo C. 
 
Exemplo 3 
Verificar se o ponto (1, ) pertence ao círculo B. 
 
Resolução: 
 
O raio do círculo B é igual a 3 e (1)2 + ( )2 = 32 . Logo, o ponto (1, ) 
pertence ao círculo B. 
 
 
 
 
C) COMPRIMENTO DO ARCO DE UM CÍRCULO 
 
 
Vamos imaginar uma roda gigante que gira em sentido contrário aos ponteiros 
de um relógio e uma pessoa sentada em uma de suas cadeiras. Considere que 
o raio do círculo é igual a 1 unidade de medida. 
O
m
n
p
so
 
Vamos buscar responder as questões seguintes. 
 
Questão 1: Que distância a cadeira percorrerá ao partir da origem o e chegar 
ao ponto n? 
 
Resolução: 
 
Sabemos que o comprimento de um círculo é C = 2 • π • r . Como o círculo em 
questão tem raio igual a 1, temos que C = 2π. 
 
Ora, a cadeira percorreu a metade do círculo; logo, a cadeira percorreu a 
distância de 
 π
 
 . Simplificando: π ou  unidades de 
comprimento. 
 
O ponto n tem coordenadas – 1 e 0; ou seja n = (-1,0). Assim, podemos 
associar tal ponto com o comprimento do arco por ele determinado, do seguinte 
modo. 
 
p (-1, 0)
 
 
Questão 2: Agora, considere a seguinte questão: Que distância a cadeira 
percorrerá partindo da origem o e chegando ao ponto m? 
 
Resolução: 
 
Sabemos que o comprimento do círculo em questão é C = 2π, pois ele é 
unitário. 
 
Ora, a cadeira percorreu um quarto do círculo; logo, a cadeira percorreu a 
distância de 
 π
 
 . Simplificando: 
π
 
 ou  unidades de 
comprimento. 
 
O ponto m tem coordenadas 0 e 1; ou seja n = (0,1). Assim, podemos associar 
tal ponto com o comprimento do arco por ele determinado, do seguinte modo. 
 
p (-1, 0)
2
p (0, 1)
 
 
Questão 3: Que distância a cadeira percorrerá partindo da origem o e 
chegando ao ponto p? 
 
Resolução: 
 
Sabemos que o comprimento do círculo em questão é C = 2π, pois ele é 
unitário. 
 
Ora, a cadeira percorreu três quarto do círculo; logo, a cadeira percorreu a 
distância D = 
 
 
 (2 π . Simplificando: D = 
 π
 
 ou D .4,71 unidades de 
comprimento. 
 
O ponto p tem coordenadas 0 e -1; ou seja p = (0,-1). Assim, podemos 
associar tal ponto com o comprimento do arco por ele determinado, do seguinte 
modo. 
 
p (-1, 0)
2
p (0, 1)
2
3p (0, -1)
 
 
Questão 4: Que distância a cadeira percorrerá se não fizer nenhum movimento 
e permanecer no ponto o? 
 
Resolução: 
 
A cadeira percorrerá a distância zero e o ponto o é representado por (1,0). 
Assim sendo, podemos fazer umaassociação entre a medida 0 e o ponto (1,0). 
 
p (-1, 0)
2
p (0, 1)
2
3p (0, -1)
0 (1,0)
 
 
Questão 5: Que distância a cadeira percorrerá partindo da origem o e 
chegando ao ponto r? 
O
m
n
p
so
r
 
Resolução: 
 
A distância do ponto o ao ponto r é a metade da distância de o a m. Como a 
distância de o a m é igual a 
π
 
 , então D = 
π
 
 
 . Simplificando, temos: D = 
π
 
 
unidades de comprimento. 
 
Conforme demonstrado na Ficha 14, do Fascículo Trigonometria - Parte 1, as 
coordenadas do ponto r são 
 
 
 e 
 
 
 , isto é, r = 
 
 
 
 
 
 . 
Daí, a associação: 
 
p (-1, 0)
2
p (0, 1)
2
3p (0, -1)
0 (1, 0)
4
p
)
2
2
,
2
2
(
 
 
Continuando este raciocínio, vamos obtendo outras distâncias percorridas pela 
cadeira, bem como os pontos associados: 
 
 
 
Questão 6: Imagine agora que a cadeira, após dar uma volta completa, 
continuou a girar até parar em 
 
 
 . Que distância a cadeira percorreu? 
 
Resolução: 
 
A cadeira percorreu 2 π mais 
π
 
 Como 2 π + 
π
 
 = 
 π
 
 então a cadeira 
percorreu D = 
 π
 
 unidades de comprimento. 
 
Questão 7: A cadeira, após dar uma volta completa, continuou a girar até 
parar em 
 
 
 . Que distância a cadeira percorreu? 
 
Resolução: 
 
A cadeira percorreu 2 π mais 
 
 
 Como 2 π + 
 
 
 = 
 π
 
 então a cadeira 
percorreu D = 
 π
 
 unidades de comprimento. 
 
Vamos, agora, imaginar uma roda gigante que gira no sentido dos ponteiros de 
um relógio e uma pessoa sentada em uma de suas cadeiras. 
 
Mas, antes, temos que relembrar que imaginamos enrolar uma reta real no 
círculo. Assim sendo cada ponto final de um arco está associado a um número 
real negativo. 
0
6
p
-
4
p
-
3
p
-
2
p
-
3
2p
-
4
3p
-
6
5p
-
6
7p
-
4
5p
-
3
4p
-
2
3p
-
3
5p
-
4
7p
-
6
11p
-
p-
 
 
Digamos que a roda girou no sentido anti-horário e parou no ponto s. Neste 
caso, as coordenadas do ponto s são 
 
 
 e 
 
 
 , isto é, s = 
 
 
 
 
 
 . A 
distância percorrida pela cadeira é dada pelo módulo de 
 
 
. Isto é, 
 
 
. 
 
O
m
n
p
so
s
 
Assim sendo, vamos associar 
 
 
 ao ponto s = 
 
 
 
 
 
. 
 
p (-1, 0)
2
p (0, 1)
2
3p (0, -1)
0 (1, 0)
4
p
)
2
2
,
2
2
(
4
p
-
)
2
2
,
2
2
( 
 
 
Observações: 
 
a) A cadeira poderá dar duas, três, ...., cinco, .... dez voltas, ..... e parar num 
determinado ponto do círculo. Logo, para encontrar a distância por ela 
percorrida, basta somar 2 π, 4 π, 6 π, .... ao comprimento do arco onde ela 
parou. 
 
c) A cadeira pode girar no sentido dos contrário aos ponteiros de um relógio, ou 
ao contrário. 
 
b) Os arcos cujas medidas (ou comprimentos) estão indicadas nos desenhos 
anteriores são denominados arcos notáveis. Conforme vimos, seus 
comprimentos podem ser calculados de forma aproximada sem lançar mão de 
uma calculadora. Os demais arcos necessitam de uma calculadora para 
encontrar suas medidas. 
 
As associações anteriores são prorrogadas indefinidamente. Ao invés de usar 
diagrama de Venn, podemos apresenta estes resultados em uma tabela, 
conforme apresentada na Ficha 21. 
 
Domínio Imagem Domínio Imagem Domínio Imagem Domínio Imagem 
0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A associação entre os comprimentos dos arcos de um círculo unitário e seus 
respectivos pontos finais é uma função. Tal função é denominada Função de 
Euler. 
 
 
A FUNÇÃO DE EULER E A MEDIDA DE ÂNGULOS EM RADIANOS 
 
Sejam IR o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem: C = 
{(x, y) em IR2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E: IR → C faz corresponder a cada 
número real t o ponto E(t) = (x, y) de C do seguinte modo: 
E(0) = (1, 0). 
 
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um caminho de 
comprimento t, sempre andando no sentido positivo (contrário ao movimento dos 
ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva de (1, 0) para (0, 1) 
pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho será chamado E(t). 
 
Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento |t|, que 
parte do ponto (1, 0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no sentido do 
movimento dos ponteiros de um relógio usual). 
 
A função de Euler E: IR → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta, 
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel) de 
modo que o ponto 0 em IR caia sobre o ponto (1, 0) em C. 
Fonte: [Lima, Carvalho, Wagner e Morgado, 2003]. 
 
 
A Função de Euler é muito importante, pois ela nos permitirá definir duas outras 
importantes funções matemáticas: seno e cosseno, que estudaremos no 
próximo Módulo.