Limites I

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Limites
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Ca´lculo de limites 3
1.1 Ca´lculo de limites por meio de fatorac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 lim
x→a
xm − am
xn − an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 lim
x→a
x
1
m − a 1m
x
1
n − a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 lim
x→∞
(xn +
n−1∑
k=0
akx
k)
1
n − x.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 lim
x→∞
n
√
x+ g(x)− n√x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Limites trigonome´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 O limite fundamental lim
sen(x)
x
= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 lim
x→0
cos(x)− 1
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Limite de func¸a˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Limite e func¸a˜o logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Limites envolvendo integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Ca´lculo de limite por meio de manipulac¸o˜es ba´sicas . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Limites por meio de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2
Cap´ıtulo 1
Ca´lculo de limites
1.1 Ca´lculo de limites por meio de fatorac¸a˜o
1.1.1 lim
x→a
xm − am
xn − an .
Exemplo 1. Calcular o limite
lim
x→a
xm − an
xn − an
com m e n naturais. Usando
(xm − am) = (x− a)
m−1∑
k=0
xkam−1−k
(xn − an) = (x− a)
n−1∑
k=0
xkan−1−k
dividindo ambas segue
(xm − am)
(xn − an) =
(x− a)
m−1∑
k=0
xkam−1−k
(x− a)
n−1∑
k=0
xkan−1−k
=
m−1∑
k=0
xkam−1−k
n−1∑
k=0
xkan−1−k
enta˜o tomando o limite
lim
x→a
xm − am
xn − an = limx→a
m−1∑
k=0
xkam−1−k
n−1∑
k=0
xkan−1−k
=
m−1∑
k=0
akam−1−k
n−1∑
k=0
akan−1−k
=
mam−1
nan−1
.
3
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 4
Exemplo 2 (IME -1963). Calcular o limite
lim
x→a
xm − an
x− a .
Usamos o exemplo anterior com n = 1, logo o resultado e´
lim
x→a
xm − an
x− a = ma
m−1.
Exemplo 3. Suponha conhecido g′(a). Calcular o limite
lim
x→a
g(x)p − g(a)p
xn − an .
lim
x→a
g(x)p − g(a)p
xn − an =
g(x)− g(a)
x− a
p−1∑
k=0
g(x)kg(a)p−1−k
n−1∑
k=0
xkan−1−k
=
g′(a)pg(a)p−1
nan−1
.
Exemplo 4. Calcular o limite
lim
x→r1
n∏
k=1
(x− rk)ak
m∏
k=1
(x− sk)bk
onde apenas r1 = s1, a1 = b1, todo outro sk e´ distinto de a1, para qualquer k > 1.
lim
x→r1
n∏
(x− rk)ak
m∏
(x− sk)bk
= lim
x→r1
(x− r1)a1
n∏
k=2
(x− rk)ak
(x− r1)a1
m∏
k=2
(x− sk)bk
= lim
x→r1
n∏
k=2
(x− rk)ak
m∏
k=2
(x− sk)bk
=
=
n∏
k=2
(r1 − rk)ak
m∏
k=2
(r1 − sk)bk
1.1.2 lim
x→a
x
1
m − a 1m
x
1
n − a 1n .
Exemplo 5. Calcular o limite
lim
x→a
x
1
m − a 1m
x
1
n − a 1n
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 5
com m e n naturais. Sabemos que vale
(ym − bm) = (y − b)
m−1∑
k=0
ykbm−1−k
logo
(ym − bm)
m−1∑
k=0
ykbm−1−k
= (y − b)
da mesma maneira
(zn − cn)
n−1∑
k=0
zkcn−1−k
= (z − c)
da´ı
(y − b)
(z − c) =
(ym − bm)
n−1∑
k=0
zkcn−1−k
(zn − cn)
m−1∑
k=0
ykbm−1−k
fazendo y = x
1
m , b = a
1
m segue ym = x, bm = a e z = x
1
n , c = a
1
n segue zn = x, cn = a,
substituindo na expressa˜o anterior tem-se
x
1
m − a 1m
x
1
n − a 1n =
(x− a)
n−1∑
k=0
x
k
na
n−1−k
n
(x− a)
m−1∑
k=0
x
k
ma
m−1−k
m
=
n−1∑
k=0
x
k
na
n−1−k
n
m−1∑
k=0
x
k
ma
m−1−k
m
x
1
m − a 1m
x
1
n − a 1n =
n−1∑
k=0
x
k
na
n−1−k
n
m−1∑
k=0
x
k
ma
m−1−k
m
aplicando o limite
lim
x→a
x
1
m − a 1m
x
1
n − a 1n = limx→a
n−1∑
k=0
x
k
na
n−1−k
n
m−1∑
k=0
x
k
ma
m−1−k
m
=
n−1∑
k=0
a
k
na
n−1−k
n
m−1∑
k=0
a
k
ma
m−1−k
m
=
na
n−1
n
ma
m−1
m
1.1.3 lim
x→∞(x
n +
n−1∑
k=0
akx
k)
1
n − x..
Exemplo 6. Calcular o limite
lim
x→∞
(xn +
n−1∑
k=0
akx
k)
1
n − x.
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 6
Usamos a identidade (yn − an) = (y − a)
n−1∑
k=0
ykan−1−k
(yn − an)
n−1∑
k=0
ykan−1−k
= y − a
tomando y = (xn +
n−1∑
k=0
akx
k)
1
n e a = x, temos yn − an =
n−1∑
k=0
akx
k e ficamos com
(xn +
n−1∑
k=0
akx
k)
1
n − x =
n−1∑
k=0
akx
k
n−1∑
k=0
ykxn−1−k
=
colocando xn−1 em evideˆncia
=
n−1∑
k=0
ak
xk
xn−1
n−1∑
k=0
( y
x
)k
o limite do numerador e´ an−1, vamos mostrar que o limite no denominador e´ n.
y
x
=
(xn +
n−1∑
k=0
akx
k)
1
n
x
= (
xn +
n−1∑
k=0
akx
k
xn
)
1
n = (1 +
n−1∑
k=0
akx
k
xn
)
1
n → 1
portanto
n−1∑
k=0
(
y
x
)k → n e
lim
x→∞
(xn +
n−1∑
k=0
akx
k)
1
n − x = an−1
n
.
Exemplo 7. Calcular o limite
lim
x→0−
√
1
x
2
+
1
x
+ 1 +
1
x
.
lim
x→0+
√
1
x
2
− 1
x
+ 1− 1
x
= lim
x→∞
√
x2 − x+ 1− x = −1
2
.
Exemplo 8. Calcular o limite
lim
x→−∞
√
x2 + 3x+ 2 + x.
lim
x→−∞
√
x2 + 3x+ 2 + x = lim
x→∞
√
x2 − 3x+ 2− x = −3
2
.
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 7
Exemplo 9. Calcular o limite
lim
x→∞
x(xn(n−1) +
n−2∑
k=0
akx
kn)
1
n − xn.
lim
x→∞
x(xn(n−1) +
n−2∑
k=0
akx
kn)
1
n − xn = lim
x→∞
(xn[xn(n−1) +
n−2∑
k=0
akx
kn])
1
n − xn =
tomamos xn = y da´ı
= lim
y→∞
(y[y(n−1) +
n−2∑
k=0
aky
k])
1
n − y
o resultado cai no exemplo anterior , o resultado do limite e´
an−2
2
.
Exemplo 10. Calcular o limite
lim
x→∞
√
x+ g(x)−√x
onde lim
x→∞
g(x)√
x
= a e lim
x→∞
g(x)
x
= b Usamos a identidade y2 − a2 = (y + a)(y − a)
√
x+ g(x)−√x = g(x)√
x+ g(x) +
√
x
colocamos
√
x em evideˆncia
g(x)√
x
1√
1 + g(x)
x
+ 1
o limite da primeira parcela e´ a o limite da segunda parcela e´
1√
1 + b+ 1
. Enta˜o vale
lim
x→∞
√
x+ g(x)−√x = a√
b+ 1 + 1
.
Exemplo 11. Calcular o limite
lim
x→∞
√
x+
√
a2x+
√
· · ·+√anx−
√
x
onde temos n ra´ızes ”encaixadas”e cada nu´mero ak e´ positivo. Nesse caso temos g(x) =√
a2x+
√
· · ·+√anx, lim
x→∞
g(x)
x
= 0 e lim
x→∞
g(x)√
x
= a2, portanto
lim
x→∞
√
x+
√
a2x+
√
· · ·+√anx−
√
x =
a2
2
.
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 8
1.1.4 lim
x→∞
n
√
x+ g(x)− n√x.
Exemplo 12. Calcular o limite
lim
x→∞
n
√
x+ g(x)− n√x
onde lim
x→∞
g(x)
n
√
xn−1
= c e lim
x→∞
g(x)
x
= b.Usamos a identidade yn−an = (y−a)(
n−1∑
k=0
ykan−1−k),
tomando y = n
√
x+ g(x) e a = n
√
x temos
n
√
x+ g(x)− n√x = g(x)
n−1∑
k=0
(
n
√
x+g(x)
n
√
x
)k
n
√
x
n−1
colocamos n
√
x
n−1
em evideˆncia
n
√
x+ g(x)− n√x = g(x)
n
√
x
n−1
1
n−1∑
k=0
(
n
√
1 + g(x)
x
)k
tomando o limite
lim
x→∞
n
√
x+ g(x)− n√x = c 1
n−1∑
k=0
(
n
√
1 + b
)k = a( n√b+ 1− 1)b
se b 6= 0, se b = 0 temos
lim
x→∞
n
√
x+ g(x)− n√x = c
n
.
Exemplo 13. Calcular o limite
lim
x→∞
n
√
x+ n
√
a2x+
n
√
· · ·+ n√apx− n
√
x
se n > 2. Tomamos g(x) = n
√
a2x+
n
√
· · ·+ n√apx e temos lim
x→∞
g(x)
n
√
xn−1
= 0 e lim
x→∞
g(x)
x
=
1
da´ılim
x→∞
n
√
x+ n
√
a2x+
n
√
· · ·+ n√apx− n
√
x = 0.
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 9
Exemplo 14. Calcular o limite
lim
x→a
√
n1x+ n0 − t1√
d1x+ d0 − t2
onde n1a+ n0 = t
2
1 , d1a+ d0 = t
2
2, n1, d1 > 0 , d2, n2 ≥ 0, t1 6= 0.
Racionalizamos o numerador e o denominador
lim
x→a
√
n1x+ n0 − t1√
d1x+ d0 − t2
= lim
x→a
n1x+ n0 − t21
d1x+ d0 − t22
√
d1x+ d0 + t2√
n1x+ n0 + t1
= lim
x→a
n1(x− a)
d1(x− a)
√
d1x+ d0 + t2√
n1x+ n0 + t1
=
= lim
x→a
n1
d1
√
d1x+ d0 + t2√
n1x+ n0 + t1
=
n1t2
d1t1
onde usamos que −a = n0 − t
2
1
n1
=
d0 − t22
d1
.
Exemplo 15. Calcule o limite
lim
x→1
∏2n
k=1(1− x)k
[
∏n
k=1(1− x)k]2
.
Podemos simplificar os produto´rios e usar fatorac¸a˜o dos polinoˆmios para mostrar que
lim
x→1
∏2n
k=1(1− x)k
[
∏n
k=1(1− x)k]2
=
(
2n
n
)
.
1.1.5
Exemplo 16. Calcula o limite
lim
t→∞
n∑
k=0
akt
k
(aptpu +
m∑
k=0
aktk)
1
p
onde u ≥ n, ap > 0 e up > m.
Colocamos tpu
lim
t→∞
n∑
k=0
akt
k
[tpu(ap +
m∑
k=0
aktk−pu)]
1
p
= lim
t→∞
ant
n +
n−1∑
k=0
akt
k
tu(ap +
m∑
k=0
aktk−pu)
1
p
=
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 10
= lim
t→∞
ant
n−u +
n−1∑
k=0
akt
k−u
(ap +
m∑
k=0
aktk−pu)
1
p
= lim
t→∞
ant
n−u
a
1
p
p
com u ≥ n se u > n enta˜o o limite e´ zero , se n = u resulta em an
a
1
p
p
.
1.2 Limites trigonome´tricos
1.2.1 O limite fundamental lim
sen(x)
x
= 1
Propriedade 1. Vale lim
sen(x)
x
= 1.
Demonstrac¸a˜o. Se 0 < |x| < pi
2
vale sen(x) < x < tg(x) e da´ı
1 <
x
sen(x)
<
1
cos(x)
que implica cos(x) <
sen(x)
x
< 1, por sandu´ıche segue
lim
sen(x)
x
= 1.
Exemplo 17. Calcule o limite
lim
x→1
sen(3x2 − 5x+ 2)
(x2 + x− 2) .
Primeiro fatoramos as expresso˜es polinomiais 3x2−5x+2 = 3(x−1)(x− 2
3
) x2+x−2 =
(x+ 2)(x− 1), da´ı
lim
x→1
sen(3x2 − 5x+ 2)
(x2 + x− 2) = limx→1
sen(3(x− 1)(x− 2
3
))
(x+ 2)(x− 1) =
= lim
x→1
sen(3(x− 1)(x− 2
3
))
3(x− 1)(x− 2
3
)︸ ︷︷ ︸
→1 pelo limite fundamental
3(x− 2
3
)
(x+ 2)︸ ︷︷ ︸
→ 1
3
logo o resultado e´
1
3
.
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 11
Exemplo 18. Calcule
lim
x→0+
(sen(x))x.
Tomamos o logaritmo
lim
x→0+
x ln(sen(x)) = lim
x→0+
→1︷ ︸︸ ︷
x
sen(x)
→0︷ ︸︸ ︷
sen(x) ln(sen(x)) = 0
o logaritmo tendendo a zero implica que lim
x→0+
(sen(x))x = 1.
Exemplo 19. Calcule
lim
x→0
1− cos(xs)
n∏
k=1
senck(xlk)
onde x2s =
n∏
k=1
xlkck .
Multiplicamos por 1+cos(xs) no numerador e no denominador, no numerador ficamos
com sen2(xs)
lim
x→0
x2ssen2(xs)
1 + cos(x2)(xs)2
n∏
k=1
xlkck
n∏
k=1
senck (xlk )
xlkck
=
1
2
.
Exemplo 20. Calcule o limite
lim
x→a
sen(p(x))
g(x)
onde p e g sa˜o polinoˆmios em que a e´ zero de ordem r.
Como a e´ zero de ordem r, enta˜o podemos escrever
p(x) = (x− a)rp1(x) e g(x) = (x− a)rg1(x) onde p1(a), g1(a) 6= 0
logo temos
lim
x→a
sen(p(x))
g(x)
= lim
x→a
sen((x− a)rp1(x))
(x− a)rg1(x) =
= lim
x→a
sen((x− a)rp1(x))
(x− a)rp1(x)︸ ︷︷ ︸
→1
p1(x)
g1(x)
=
p1(a)
g1(a)
.
Nesse caso mostramos que vale
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 12
lim
x→a
sen(p(x))
g(x)
= lim
x→a
p(x)
g(x)
podemos ignorar a func¸a˜o seno e aplicar o limite no quociente dos polinoˆmios.
Exemplo 21. Calcule o limite
lim
x→0
sen(sen(· · · sen(x)))
x
= lim
x→0
sen(p)(x)
x
onde sen(p)(x) e´ a p-e´sima composic¸a˜o de sen(x) com si mesmo.
Vamos provar por induc¸a˜o sobre p que
lim
x→0
sen(p)(x)
x
= 1.
Para p = 0 vale sen(0)(x) = x, por definic¸a˜o, logo vale a identidade, se p = 1 tambe´m
vale pelo limite fundamental. Suponha validade para p, vamos provar para p+ 1
lim
x→0
sen(p+1)(x)
x
= lim
x→0
sen(sen(p)(x))
sen(p)(x)︸ ︷︷ ︸
→1
sen(p)(x)
x︸ ︷︷ ︸
→1
= 1 .
1.2.2 lim
x→0
cos(x)− 1
x
.
Propriedade 2. lim
x→0
cos(x)− 1
x
= 0.
Demonstrac¸a˜o. Da identidade sen2(x) =
1− cos(2x)
2
, tem-se−2sen2(x) = cos(2x)−
1 e da´ı −2sen2(x
2
) = cos(x)− 1 e se x 6= 0,
−2sen
2(x
2
)
x
=
cos(x)− 1
x
lim
x→0
cos(x)− 1
x
= lim
x→0
−2 sen(
x
2
)
2x
2︸ ︷︷ ︸
lim=1
sen(
x
2
)︸ ︷︷ ︸
lim=0
= 0.
Exemplo 22. Calcular o limite
lim
x→0
x− sen(x)
x3
.
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 13
Usamos a identidade sen(3x) = 3sen(x)−4sen3(x) e a transformac¸a˜o 3y = x, o limite
fica como
lim
x→0
x− sen(x)
x3
= lim
y→0
3y − sen(3y)
27y3
= lim
y→0
3y − sen(3y)
27y3
=
= lim
y→0
3y − 3sen(y) + 4sen3(y)
27y3
= 3 lim
y→0
y − sen(y)
27y3
+
4sen3(y)
27y3
=
L
9
+
4
27
enta˜o L =
L
9
+
4
27
o que implica L =
1
6
.
Exemplo 23. Calcule o limite
lim
x→0
senp(ax)
c(bx)p
onde p e´ natural ce b sa˜o diferentes de zero.
senp(ax)
c(bx)p
=
senp(ax)
cbp(xp)
= ap
senp(ax)
cbp(ax)p
da´ı
lim
x→0
senp(ax)
c(bxp)
=
1
c
(
a
b
)p
.
Exemplo 24. Calcular lim
x→0
xp+qg(x)
senp(x)
onde g e´ uma func¸a˜o limitada.
lim
x→0
xp+qg(x)
senp(x)
= lim
x→0
xqg(x)
( sen(x)
x
)p
= 0
pois o numerador tende a zero e o denominador tende a um.
Exemplo 25. Calcular o limite
lim
x→k
sen(pix)
x− k
onde k e´ inteiro .
Fazemos a mudanc¸a x− k = y, x = y + k, da´ı o limite se escreve como
lim
y→0
pisen(piy + pik)
piy
= lim
y→0
pi[sen(piy)cos(pik) + cos(piy)sen(pik)]
piy
= (−1)kpi.
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 14
Exemplo 26. Calcular o limite
lim
x→0
sen(ax)
sen(bx)
.
lim
x→0
sen(ax)
sen(bx)
= lim
x→0
sen(ax)(bx)
(ax)sen(bx)
a
b
=
a
b
.
Exemplo 27. Calcular o limite
lim
x→0
cos(ax)− cos(bx)
x2
.
Vale que cos(x) = 1− 2sen2(x
2
),
cos(ax)− cos(bx) = 1− 2sen2(ax
2
)− 1 + 2sen2(bx
2
) = 2(sen2(
bx
2
)− sen2(ax
2
))
enta˜o o limite fica como
2 lim
x→0
sen2( bx
2
)
x2
− sen
2(ax
2
)
x2
= 2 lim
x→0
b2sen2( bx
2
)
4( bx
2
)2
− a
2sen2(ax
2
)
4(ax
2
)2
= 2(
b2 − a2
4
) =
b2 − a2
2
.
Nos casos de b2 − a2 = 0 a expressa˜o tambe´m vale pois a expressa˜o com cosseno se anula
no numerador.
Caso a = 0 temos o limite
lim
x→0
1− cos(bx)
x2
=
b2
2
em especial
lim
x→0
1− cos(x)
x2
=
1
2
.
Exemplo 28.
lim
x→0
√
1 + tg(x)−√1 + sen(x)
x3
.
Primeiro racionalizamos multiplicando o numerador e o denominador por
√
1 + tg(x)+√
1 + sen(x), chegamos em
lim
x→0
√
1 + tg(x)−√1 + sen(x)
x3
= lim
x→0
tg(x)− sen(x)
x3
1√
1 + tg(x) +
√
1 + sen(x)
=
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 15
usando que tg(x) =
sen(x)
cos(x)
e simplificando tem-se
= lim
x→0
1︷ ︸︸ ︷
sen(x)
x
1− cos(x)
x2︸ ︷︷ ︸
1
2
1︷ ︸︸ ︷
1
cos(x)
1√
1 + tg(x) +
√
1 + sen(x)︸ ︷︷ ︸
1
2
=
1
4
.
Exemplo 29. Calcular o limite
lim
x→0
cos(ax)− cos(bx)
cos(cx)− cos(dx)
onde c2 − d2 6= 0.
lim
x→0
cos(ax)− cos(bx)
cos(cx)− cos(dx) = limx→0
cos(ax)− cos(bx)
x2
x2
cos(cx)− cos(dx) =
b2 − a2
d2 − c2 .
Exemplo 30. Calcular o limite
lim
x→0
cos(2x)− cos(3x)
x2
.
Tomamos no exemplo acima a = 2, b = 3, da´ı o valor do limite e´
5
2
.
Exemplo 31. Calcular o limite
lim
x→0
sec(ax)− sec(bx)
x2
.
lim
x→0
sec(ax)− sec(bx)
x2
= lim
x→0
cos(bx)− cos(ax)
x2cos(ax)cos(bx)
=
a2 − b2
2
.
Exemplo 32. Calcular o limite
lim
x→0
sec(ax)− sec(bx)
sec(cx)− sec(dx) .
lim
x→0
sec(ax)− sec(bx)
sec(cx)− sec(dx) = limx→0
sec(ax)− sec(bx)
x2x2
sec(cx)− sec(dx) =
a2 − b2
c2 − d2
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 16
Exemplo 33. Calcular o limite
lim
x→0
sen(ax)− sen(bx)
x
.
lim
x→0
sen(ax)− sen(bx)
x
= lim
x→0
a
sen(ax)
ax
− bsen(bx)
bx
= a− b.
Exemplo 34. Calcular o limite
lim
x→0
sen(ax)− sen(bx)
sen(cx)− sen(dx) .
lim
x→0
sen(ax)− sen(bx)
sen(cx)− sen(dx) = limx→0
sen(ax)− sen(bx)
x
x
sen(cx)− sen(dx) =
a− b
c− d.
Exemplo 35. Calcular os limites
lim
x→0
tg(ax)− tg(bx)
x
, lim
x→0
tg(ax)− tg(bx)
tg(cx)− tg(dx) .
lim
x→0
tg(ax)− tg(bx)
x
= lim
x→0
a
sen(ax)
axcos(ax)
− b sen(bx)
bxcos(bx)
= a− b
portanto
lim
x→0
tg(ax)− tg(bx)
tg(cx)− tg(dx) =
a− b
c− d.
Exemplo 36. Calcular o limite
lim
x→0
p∑
k=0
(
p
k
)
cosk(x)(−1)p−k
xp
.
Usamos o binoˆmio de Newton
p∑
k=0
(
p
k
)
cosk(x)(−1)p−k = (cos(x) − 1)p, da´ı o limite
fica como
lim
x→0
(cos(x)− 1)p
xp
= 0.
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 17
Exemplo 37. Calcular o limite
lim
x→0
1− 2cos(x) + cos(2x)
x2
.
Usamos que cos(2x) = cos2(x)− sen2(x), da´ı
lim
x→0
1− 2cos(x) + cos(2x)
x2
= lim
x→0
1− 2cos(x) + cos2(x)− sen2(x)
x2
=
lim
x→0
(cos(x)− 1)2
x2
− lim
x→0
sen2(x)
x2
= −1.
Exemplo 38. Calcular o limite
lim
x→0
1− 2cos(x) + cos2(x) + sen2(x)
x2
.
lim
x→0
1− 2cos(x) + cos2(x) + sen2(x)
x2
=
(cos(x)− 1)2
x2
+ lim
x→0
sen2(x)
x2
= 1.
lim
x→0
−2(cos(x)− 1)
x2
= 1.
Exemplo 39. Calcular
lim
x→0
senp(x)
sen(xp)
.
lim
x→0
senp(x)
sen(xp)
= lim
x→0
senp(x)
xp
xp
sen(xp)
= 1.1 = 1.
1.3 Limite de func¸a˜o exponencial
Propriedade 3. Para qualquer polinoˆmio P (x) tem-se
lim
x→∞
P (x)
ex
= 0.
Demonstrac¸a˜o. Consideramos o caso de P (x) = xn, enta˜o escrevendo e
x
n = y tem-se
x = n ln(y), x→∞y →∞ da´ı
lim
x→∞
x
e
x
n
= lim
y→∞
n ln(y)
y
= 0
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 18
logo
lim
x→∞
(
x
e
x
n
)n = lim
x→∞
xn
ex
= 0.
No caso geral
lim
x→∞
∑n
k=0 akx
k
ex
= lim
x→∞
xn
∑n
k=0 akx
k−n
ex
= 0
pois lim
x→∞
n∑
k=0
akx
k−n = an logo o limite do produto e´ o produto dos limites an.0 = 0.
Exemplo 40. Calcular o limite
lim
x→0
ax − 1
x
.
Tomamos ax − 1 = y ⇒ ln(y + 1) = x ln(a) e o limite fica como
lim
y→0
y ln(a)
ln(y + 1)
= lim
y→0
ln(a)
ln(y + 1)
1
y
= ln(a)
1
limy→0 ln(y + 1)
1
y
=
ln(a)
ln(e)
= ln(a).
Como corola´rio temos
lim
x→0
ex − 1
x
= 1.
Exemplo 41. Calcular
lim
x→∞
(1 +
a
x
)cx+b.
Tomamos y =
a
x
, da´ı x =
a
y
e o limite fica como
lim
y→0
(1 + y)
ca
y (1 + y)b = lim
y→0
(1 + y)
ca
y = eca.
Exemplo 42. Calcular o limite
lim
x→∞
(
x+ b
x+ d
)ex+f .
Primeiro colocamos x em evideˆncia no numerador e no denominado dentro da poteˆncia
lim
x→∞
(
1 + b
x
1 + d
x
)ex+f = ec(b−d)
onde usamos o resultado do exemplo anterior.
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 19
Exemplo 43. Calcular
lim
x→∞
(
ax+ b
ax+ d
)ex+f .
Mesmo procedimento do limite anterior
lim
x→∞
(
ax+ b
ax+ d
)ex+f = (
1 + b
ax
1 + d
ax
)ex+f = e
c
a
(b−d).
Propriedade 4. Vale que
lim
x→0
ex −
p−1∑
k=0
xk
k!
xp
=
1
p!
.
Demonstrac¸a˜o.[1-Se´rie]
ex =
∞∑
k=0
xk
k!
=
p−1∑
k=0
xk
k!
+
∞∑
k=p
xk
k!
assim
ex −
p−1∑
k=0
xk
k!
=
∞∑
k=p
xk
k!
dividindo por xp
ex −
p−1∑
k=0
xk
k!
xp
=
∞∑
k=p
xk−p
k!
=
∞∑
k=0
xk
(k + p)!
tomando x = 0
=
∞∑
k=0
0k
(k + p)!
=
00
p!
=
1
p!
.
Caso p = 2 temos
lim
x→0
ex − 1− x
x2
=
1
2
.
Demonstrac¸a˜o.[2-Definic¸a˜o de e]
Vamos tentar demonstrar esse limite sem o uso de se´ries. Usaremos a expressa˜o ex =
lim
n→∞
(1 +
x
n
)n. Iremos trabalhar a expressa˜o
(1 +
x
n
)n −
p−1∑
k=0
xk
k!
=
para n > p, expandindo (1 +
x
n
)n por binoˆmio de Newton tem-se
=
n∑
k=0
(
n
k
)
(
x
n
)k −
p−1∑
k=0
xk
k!
=
p−1∑
k=0
(
n
k
)
(
x
n
)k +
(
n
p
)
(
x
n
)p +
n∑
k=p+1
(
n
k
)
(
x
n
)k︸ ︷︷ ︸
n∑
k=0
(nk)(
x
n
)k
−
p−1∑
k=0
xk
k!
=
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 20
onde abrimos o primeiro somato´rio em treˆs partes, agora colocamos em evideˆncia os
somato´rios que variam de k = 0 ate´ p− 1
=
p−1∑
k=0
xk (
(
n
k
)
1
nk
− 1
k!
)︸ ︷︷ ︸
→0
+
(
n
p
)
(
x
n
)p︸ ︷︷ ︸
→xp
p!
+
n−p−1∑
k=0
(
n
k + p+ 1
)
(x)k+p+1
1
nk+p+1
=
perceba agora que lim
n→∞
(
n
k
)
1
nk
= lim
n→∞
1
k!
(
n
n
) · · · (n− k + 1
n
) =
1
k!
, pois cada fator tende
a` 1, por isso ao tomarmos n→∞ o primeiro somato´rio e´ anulado, dividindo a expressa˜o
por xp e aplicando os limites temos
lim
x→0
lim
n→∞
1
p!
+
n−p−1∑
k=0
(
n
k + p+ 1
)
(x)k+1
1
nk+p+1
=
trocando a ordem dos limites
lim
n→∞
lim
x→0
1
p!
+
n−p−1∑
k=0
(
n
k + p+ 1
)
(x)k+1︸ ︷︷ ︸
→0
1
nk+p+1
=
1
p!
portanto
lim
x→0
ex −
p−1∑
k=0
xk
k!
xp
=
1
p!
.
Exemplo 44. Calcular o limite
lim
x→0
ex
p − 1
x
onde p > 1.
Fazemos a mudanc¸a ex
p − 1 = y da´ı ln(y + 1) = xp ⇒ p
√
ln(y + 1) = x, da´ı o limite
fica como
lim
y→0
y
p
√
ln(y + 1)
= lim
y→0
y
p
√
ln(y + 1)
= lim
y→0
p
√
ln(y + 1)p−1
ln(y + 1)
1
y
= 0
pois o numerador tende a zero e o denominador tende a` 1.
Exemplo 45. Calcular
lim
x→0−
e
1
x .
lim
x→0−
e
1
x = lim
x→−∞
ex = lim
x→∞
1
ex
= 0.
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 21
Exemplo 46. Calcular
lim
x→0
ex − e−x − 2
p−1∑
k=0
x2k+1
(2k+1)!
x2p
.
Escrevemos como
ex −
2p−1∑
k=0
xk
(k)!
+
2p−1∑
k=0
xk
(k)!
− e−x − 2
p−1∑
k=0
x2k+1
(2k+1)!
x2p
=
=
ex −
2p−1∑
k=0
xk
(k)!
x2p︸ ︷︷ ︸
→ 1
(2p)!
+
−e−x +
p∑
k=0
x2k
(2k)!
−
p−1∑
k=0
x2k+1
(2k+1)!
x2p
→
tomando y = −x tem-se na segunda expressa˜o
−(
ey −
p∑
k=0
y2k
(2k)!
−
p−1∑
k=0
y2k+1
(2k+1)!
y2p
)→ − 1
(2p)!
logo a soma tende a zero.
Exemplo 47. Calcular
lim
x→0
ex − e−x − 2
p−1∑
k=0
x2k+1
(2k+1)!
x2p+1
.
Escrevemos como
ex −
2p−1∑
k=0
xk
(k)!
+
2p−1∑
k=0
xk
(k)!
− e−x − 2
p−1∑
k=0
x2k+1
(2k+1)!
x2p+1
=
=
ex −
2p−1∑
k=0
xk
(k)!
x2p︸ ︷︷ ︸
→ 1
(2p)!
+
−e−x +
p∑
k=0
x2k
(2k)!
−
p−1∑
k=0
x2k+1
(2k+1)!
x2p+1
→
tomando y = −x tem-se na segunda expressa˜o
ey −
p∑
k=0
y2k
(2k)!
−
p−1∑
k=0
y2k+1
(2k+1)!
y2p+1
→ 1
(2p)!
logo a soma tende a
2
(2p)!
.
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 22
Exemplo 48. Calcular o limite
lim
h→0
ax − bx
x
.
lim
h→0
ax − bx
x
= lim
h→0
ax − 1
x
− b
x − 1
x
= ln(a)− ln(b) = ln(a
b
).
Exemplo 49. Calcular o limite
lim
h→0
ax − bx
cx − dx .
lim
h→0
ax − bx
cx − dx = limh→0
ax − bx
x
x
cx − dx =
ln(a
b
)
ln( c
d
)
.
Exemplo 50. Calcular o limite
lim
x→∞
ex
xp
onde p ∈ R.
Usamos que ex = lim
n→∞
(1 +
x
n
)n = lim
n→∞
n∑
k=0
(
n
k
)
xk
nk
da´ı
ex
xp
= lim
n→∞
n∑
k=0
(
n
k
)
xk−p
nk
se p ≤ 0 enta˜o −p ≥ 0 e tomando o limite temos
lim
x→∞
ex
xp
= lim
n→∞
n∑
k=0
(
n
k
)
lim
x→∞
xk−p
nk
=∞
se p > 0 existe n0 ∈ N mı´nimo tal que n0> p ≥ n0 − 1 e abrimos a soma
lim
x→∞
ex
xp
=
n0−1∑
k=0
(
n
k
)
lim
x→∞
xk−p
nk
+
n∑
k=n0
(
n
k
)
lim
x→∞
xk−p
nk
=∞
pois a primeira parte da soma e´ limitada e a segunda tende a infinito.
1.4 Limite e func¸a˜o logar´ıtmica
Propriedade 5.
lim
x→∞
lnx
x
= 0
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 23
Demonstrac¸a˜o. Seja f(x) = x− lnx, temos f(1) = 1 e f ′(x) = 1− 1
x
> 0 para x > 1
logo x > lnx para x > 1. Temos 0 < lnx < x para x > 1 da´ı
lnx
1
2 < x
1
2 ,
1
2
lnx < x
1
2 ,
1
4
(lnx)2 < x, 0 <
lnx
x
<
4
lnx
tomando x→∞ segue que lim
x→∞
lnx
x
= 0
Corola´rio 1.
lim
x→0
x lnx = 0
tomando x =
1
y
lim
x→0
x lnx = lim
y→∞
ln 1
y
y
= lim
y→∞
− ln y
y
= 0.
Exemplo 51. Calcular o limite
lim
x→∞
(cx+ f)(ln(1 +
b
x
)− ln(1 + d
x
)).
lim
x→∞
(cx+ f)(ln(1 +
b
x
)− ln(1 + d
x
)) = lim
x→∞
(ln(
x+ b
x+ d
)cx+f ) = ln(ec(b−d)) = c(b− d).
Exemplo 52. Calcular o limite
lim
x→∞
(ax+ b)(ln(e+
c
x
)− 1).
lim
x→∞
(ax+b)(ln(e+
c
x
)−1) = lim
x→∞
(ax+b)(ln(e+
c
x
)−ln(e)) = lim
x→∞
(ax+b) ln(1+
c
ex
)
1
(ax+b) = ln(e
ac
e ) =
ac
e
.
Exemplo 53. Calcular o limite
lim
x→∞
x(ln(e+
1
x
)− 1).
Usando o resultado anterior temos
1
e
.
Exemplo 54. Calcular o limite
lim
y→0
ln(y + a)− ln(a)
y
.
lim
y→0
ln(y + a)− ln(a)
y
= lim
y→0
ln(1 +
y
a
)
1
y = ln(e
1
a ) =
1
a
.
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 24
1.5 Limites envolvendo integrais
Exemplo 55. Calcular o limite
lim
x→pi
∫ x
pi
sen(t)
t
x− pi .
Temos uma indeterminac¸a˜o do tipo
0
0
, logo aplicamos a regra de L’Hospital junto com
o teorema fundamental do ca´lculo
lim
x→pi
∫ x
pi
sen(t)
t
x− pi = limx→pi
sen(x)
x
=
sen(pi)
pi
= 0.
Exemplo 56. Calcular o limite
lim
x→0
∫ x
0
t ln(1+t)
t4+4
dt
x3
.
Aplicamos a regra de L’Hospital
lim
x→0
∫ x
0
t ln(1+t)
t4+4
dt
x3
= lim
x→0
x ln(x+ 1)
(x4 + 4)(3x2)
=
simplificando e aplicando novamente tem-se
= lim
x→0
1
(x+ 1)(3x5 + 12x)
= lim
x→0
1
(x+ 1)(15x4 + 12)
=
1
12
.
1.6 Ca´lculo de limite por meio de manipulac¸o˜es ba´sicas
Exemplo 57. Seja lim
x→0
g(x)
xp
= a calcular o limite
lim
x→0
g(cx)
dxp
.
onde c, d 6= 0.
lim
x→0
g(cx)
dxp
=
1
d
lim
x→0
cp
g(cx)
(cx)p
=
1
d
lim
y→0
cp
g(y)
(y)p
=
cp.a
d
.
Se lim
x→0
g(x)
xp
= a enta˜o lim
x→0
xp
g(x)
xp
= 0 = lim
x→0
g(x), portanto lim
x→0
|g(x)− x| = 0.
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 25
Exemplo 58. Calcular o limite
lim
x→a
1
f(x)
− 1
f(a)
onde f e´ cont´ınua.
lim
x→a
1
f(x)
− 1
f(a)
= lim
x→a
f(a)− f(x)
f(a)f(x)
= 0
pois o numerador tende a zero.
1.7 Limites por meio de L’Hospital
Exemplo 59. Calcular o limite
lim
x→0
ln( x
sen(x)
)
x2
.
Aplicamos L’Hospital que implica no limite
lim
x→0
ln( x
sen(x)
)
x2
=
sen(x)− cos(x).x
2x2sen(x)
=
aplicando novamente L’Hospital
= lim
x→0
sen(x)
4sen(x) + 2xcos(x)
=
e uma u´ltima vez
= lim
x→0
cos(x)
6cos(x)− 2xsen(x)
que e´ cont´ınua resultando em
1
6
o valor do limite.
Podemos calcular lim
x→0
sen(x)
4sen(x) + 2xcos(x)
sem usar L’Hospital
lim
x→0
sen(x)
4sen(x) + 2xcos(x)
= lim
x→0
sen(x)
x
4 sen(x)
x
+ 2cos(x)
=
1
6
.
Corola´rio 2. O exemplo anterior implica que
lim
x→0
(
x
sen(x)
)
1
x2 = e
1
6 .
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 26
Propriedade 6. Vale que
lim
x→0
1−
n∏
k=1
cosαk(βk)
x2
=
n∑
k=1
αkβ
2
k
2
.
Demonstrac¸a˜o. Usaremos a seguinte identidade, se f(x) =
n∏
k=1
[gk(x)]
αk enta˜o
f ′(x) = f(x)
n∑
k=1
αkg
′
k(x)
gk(x)
.
Tomando f(x) = −
n∏
k=1
[cos(βk)]
αk temos
f ′(x) = f(x)
n∑
k=1
αkβksen(βkx)
cos(βk)
= f(x)
n∑
k=1
αkβktg(βkx)
Aplicamos a regra de L’Hospital uma vez
lim
x→0
1−
n∏
k=1
cosαk(βk)
x2
= lim
x→0
f(x)
n∑
k=1
αkβktg(βkx)
2x
=
em 0 a func¸a˜o ainda se anula pela presenc¸a do termo sen(βkx), enta˜o aplicamos a regra
de L’Hospital mais uma vez
= lim
x→0
f ′(x)
n∑
k=1
αkβktg(βkx) +
n∑
k=1
αkβ
2
ksec
2(βkx)
2
pore´m f ′(x) e´ cont´ınua se anula em x = 0 e sec2(βkx) =
1
cos2(βkx)
e´ cont´ınua com valor
1 em x = 0, enta˜o resulta que
lim
x→0
1−
n∏
k=1
cosαk(βk)
x2
=
n∑
k=1
αkβ
2
k
2
.
1.8 Continuidade
Exemplo 60. Seja a func¸a˜o f : R \ {b} → R com f(x) = (x− a)(x− c)
(x− b) . Mostre que a
imagem de f e´ R supondo a < b < c .
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 27
Considere a func¸a˜o no intervalo (b,∞), tomamos o limite x→ b+
lim
x→b+
(x− a)(x− c)
(x− b) = −∞
pois (b− a) > 0 e b− c < 0 da mesma maneira
lim
x→∞
(x− a)(x− c)
(x− b) =∞
como f e´ cont´ınua enta˜o f assume todos valores em R no intervalo (b,∞) .
1.9 Limites infinitos
Exemplo 61. Calcule o limite
lim
x→∞
√
a1x+
√
a2x+
√
a3x+
√· · ·+√apx√
b1x+
√
b2x+
√
b3x+
√
· · ·+√bmx
onde no numerador temos p ra´ızes encaixadas e no numerador temos m ra´ızes encaixadas,
sendo ainda b1 6= 0 e todo outro bk e ak na˜o negativos.
Colocamos
√
x em evideˆncia no numerador e no denominador
lim
x→∞
√
x
√
a1 +
1
x
√
a2x+
√
a3x+
√· · ·+√apx
√
x
√
b1 +
1
x
√
b2x+
√
b3x+
√
· · ·+√bmx
=
= lim
x→∞
√
a1 +
1
x
√
a2x+
√
a3x+
√· · ·+√apx√
b1 +
1
x
√
b2x+
√
b3x+
√
· · ·+√bmx
pore´m temos que lim
x→∞
1
x
√
a2x+
√
a3x+
√
· · ·+√apx = 0 e o mesmo no denominador,
CAPI´TULO 1. CA´LCULO DE LIMITES 28
pois podemos colocar o fator
1
x
para dentro das ra´ızes
lim
x→∞
√√√√√a2 x
x2
+
√√√√
a3
x
x4
+
√
· · ·+
√
ap
x
x2p−1
= 0
logo o limite resulta em
=
√
a1√
b1
.
Exemplo 62. Calcule
lim
x→∞
√
x√
x+
√
x+
√
x
.
Pelo que vimos no resultado anterior esse limite converge para
√
1√
1
= 1.