Nota De Aula 5 Multiplicadores De Lagrange

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CÁLCULO 3 - ENGENHARIAS 
 Professora: Amanda Oliveira Dias Batista 
 
 
 
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Nota de Aula 5 
 
 
 
Multiplicadores de Lagrange 
 
 
Cálculo Diferencial e 
Integral II 
 
 
 
O conteúdo aqui apresentado deverá ser 
acompanhado com o uso dos livros indicados 
para um melhor aproveitamento das aulas. 
 
 
 
 
 
Universidade de Uberaba ‐ UNIUBE 
 
Amanda Oliveira Dias Batista 
 
 
 
 CÁLCULO 3 - ENGENHARIAS 
 Professora: Amanda Oliveira Dias Batista 
 
 
 
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1. Introdução 
 
Na maior parte dos casos, os problemas de otimização possuem algumas restrições, ou vínculos, e tais 
restrições tendem a complicar o problema. Surge aí à necessidade de uma nova técnica de resolução de 
problemas de otimização que veremos a seguir, mas antes como ilustração dessa situação imagine que você 
deseje construir uma caixa e possua uma quantidade limitada de material para construí-la, e mesmo assim 
necessita de um volume máximo para a mesma. Ou seja, um problema onde temos que maximizar o volume 
com a restrição de quantidade de material! Poderíamos aplicar, neste caso, a teoria de máximos e mínimos 
já estudada anteriormente, mas existe uma ferramenta que facilita bastante o cálculo deste tipo de problema: 
Multiplicadores de Lagrange. Lagrange criou este método para calcular extremos de problemas ligados à 
geometria, mas hoje o seu método é muito usado em várias áreas da ciência, como na economia, 
engenharia, entre outras. 
 
No exemplo a seguir iremos demonstrar através da matéria anterior sobre máximos e mínimos: 
 
 
 
Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m² de papelão. Determine o volume máximo de 
tal caixa. 
 
Resolução: 
Seja o comprimento, a largura e a altura da caixa (em metros) x, y e z, como mostrado na figura, o volume da 
caixa é V xyz= : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos expressar V como uma função só de x e y usando o fato de que a área dos quatro lados e do 
fundo da caixa é 2 2 12xz yz xy+ + = . 
Resolvendo essa equação para z, obtemos 12
2( )
xy
z
x y
−
=
+
, desta forma o volume será: 
Nota de Aula 5 – Multiplicadores de Lagrange 
 
Exemplo 1 
x 
y 
z 
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3 
 
2 212 12
(2 2 ) (2 2 )
xy xy x yV xy
x y x y
− −
= =
+ +
 
 
Se calcularmos as derivadas parciais: 
2 2
2
2 2
2
(24 4 )
(2 2 )
(24 4 2 )
(2 2 )
V y xy x
x x y
V x xy y
y x y
∂ − −
=
∂ +
∂ − −
=
∂ +
 
 
Se V é um máximo, então 0x yf f= = , mas x = 0 ou y = 0 fornecerá um volume igual a zero, dessa forma, 
precisamos resolver as equações: 
2
2
24 4 2 0
24 4 2 0
xy x
xy y
− − =
− − =
 
Isso leva a 2 2x y= e, portanto x = y (Note que x e y precisam ser positivos no problema). Se substituirmos 
x= y em uma das equações, obteremos: x = 2; y = 2 e z = 1. 
 
 
2. Método dos Multiplicadores de Lagrange 
 
Se quisermos encontrar os extremos de uma função ( ),f x y com a restrição ( ),g x y k= proceda da 
seguinte forma: 
Primeiro crie um sistema com três incógnitas e três equações respeitando a igualdade abaixo, criada por 
Lagrange: 
 
( ; ) ( ; )∇ = ∇f x y g x yλ
 
 
E considerando a condição 
( ; ) =g x y k
 
 
Onde a letra λ (lambda) é uma constante chamada de multiplicador de Lagrange. 
 
Calculando os gradientes da primeira igualdade você obterá: 
 
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( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , )
x x
y y
f x y g x y
f x y g x y
g x y k
λ
λ
=
=
=
 
 
Agora encontre os valores de x, y e λ que satisfazem o sistema. Estes valores produzem os extremos da 
função f(x, y) com a condição g(x, y)=k. 
 
 
E como determino o ponto máximo ou o ponto mínimo? 
 
Substituindo todos os pontos na função ( ),f x y . O ponto que obtiver o maior resultado é o máximo, e o que 
obtiver o menor resultado é o mínimo. 
 
Atenção! Para funções com três variáveis, o processo é o mesmo, sendo: 
 
( ; ; ) ( ; ; )∇ = ∇f x y z g x y zλ
 
e 
( ; ; ) =g x y z k
 
 
E as equações são: 
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
( , , )
x x
y y
z z
f x y z g x y z
f x y z g x y z
f x y z g x y z
g x y z k
λ
λ
λ
=
=
=
=
 
Voltando ao exemplo 1, vamos resolvê-lo utilizando o método dos Multiplicadores de Lagrange: 
 
Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 212 m de papelão. Determine o volume máximo desta 
caixa: 
 
 
 
 
 
Determine os valores extremos da função ( ; ) 2= +f x y x y no círculo 2 2 1+ =x y 
Exemplo 2 
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Para exercitar os conceitos abordados faça as atividades indicadas abaixo: 
 
Atividade 1: 
Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximos e mínimos de f sujeita à restrição dada. 
Além disso, encontre os pontos no quais esses valores extremos ocorrem. 
a) 2 2
( , )
4 8 16
f x y xy
x y
=
+ = 
 
b) 2 2 2
( , , ) 3 6 2
2 4 70
f x y z x y z
x y z
= + +
+ + =
 
 
Atividade 2: 
Determine três números positivos cuja soma seja 27 e tais que seu produto seja o maior possível, 
utilizando lagrange. 
 
Atividade 3: 
Um contêiner em forma de paralelepípedo deve ter um volume de 480 metros cúbicos. Use 
multiplicadores de lagrange para determinar as dimensões do contêiner para que o custo de material 
seja mínimo, supondo que o material da base custe R$ 5,00 o metro quadrado e o material das paredes 
e do teto custem R$ 3,00 o metro quadrado. 
 
Atividade 4: 
Uma sonda espacial no formato de um elipsóide 2 2 24 4 16x y z+ + = penetra na atmosfera da Terra e 
sua superfície começa a se aquecer. 
Depois de 1h, a temperatura no ponto ( , , )x y z sobre a superfície da sonda é: 
2( , , ) 8 4 16 600T x y z x yz z= + − + . Encontre o ponto mais quente sobre a superfície da sonda. 
 
Atividade 5: 
Pretende-se construir uma caixa com materiais que custam R$ 1,00 por centímetro quadrado para 
o fundo, R$ 2,00 por centímetro quadrado para os lados e R$ 5,00 por centímetro quadrado par a 
tampa. Se o volume total deve ser de 96 cm³, quais devem ser as dimensões da caixa para que o 
custo do material seja mínimo? 
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Atividade 6: 
Um fazendeiro pretende usar um muro de pedra e a parede de um celeiro com um dos lados de 
dois currais germinados, como mostra a figura abaixo. A cerca para construir os currais custa R$ 
10,00 0 metro e eles serão separados por uma cerca que custa R$ 4,00 o metro. A área total dos 
dois currais deve ser de 6000 m². 
 
 
 
a) Use multiplicadores de Lagrange para determinar as dimensões que minimizam o custo das 
cercas. 
b) Qual é o custo mínimo? 
 
Atividade 7: 
O custo para acarpetar o piso de um escritório é cinco vezes maior que o custo para colocar papel 
nas paredes. Determine as dimensões do maior escritório que pode ser redecorado por um custo 
fixo de R$ 60,00 (veja a figura abaixo). (Sugestão: Maximize V xyz= com a condição de que 
5 2 2 60xy xz yz+ + = ). 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERENCIAL DE RESPOSTAS: 
 
1) 
a) 
( 2,1) 2 , máximo
( 2, 1) 2 , mínimo
( 2,1) 2 , mínimo
( 2, 1) 2 , máximo
f
f
f
f
=
− = −
− = −
− − =
 
 
b) (3,3, 4) 35, máximo( 3, 3, 4) 35, mínimo
f
f
=
− − − = −
 
 
2) 9x y z= = = 
 
3) 7,1 e 9,5x y z= ≅ ≅ 
 
4) 13 4 4, ,
10 3 3
 ± − − 
 
 
 
5) 4, 4,6 
 
6) 
)50 120a ×
 
)2.400,00b
 
 
7) 5,2,2