P3 2 2009 mecatronica

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Pucminas – Engenharia Mecatrônica 
Prova 03 - Álgebra Linear - Valor 30 Pontos – 30/10/09 – Prof. Fabiano 
 
Nome: ________________________________________________________________ 
 
1) Uma matriz quadrada é dita circulante se em cada diagonal descendente (da 
esquerda para a direita) os coeficientes são todos iguais. Uma matriz circulante de 
ordem 4 � 4 tem a forma geral: 
 
�� �� � � �� �� �� � � �� �	 
 
a) Seja V o espaço vetorial das matrizes de ordem 4 � 4 (com as operações usuais 
de adição e multiplicação por escalar). Seja W o conjunto de todas as matrizes 
circulantes de ordem 4 � 4. Mostre que W é um subespaço de V. (6 pontos) 
 
b) Determine uma base para W. (6 pontos) 
 
c) Qual a dimensão de W? (2 pontos) 
 
2) Para quais valores das constantes 
 e � as funções �
��� � ���, ����� � cos ���� 
e ����� � sen ���� são linearmente independentes? (8 pontos) 
 
 
3) Dado um sistema homogêneo � � � (� equações e � variáveis), suas soluções 
formam um subespaço do ��, denominado espaço solução do sistema 
homogêneo. Considere o sistema homogêneo: 
 
�2! " # $ 2% " 3' � 04! " 3# $ 5% " ' � 0# $ % $ 5' � 06! " 5# $ 8% $ ' � 0, 
 
a) Determine suas soluções (4 pontos) 
 
b) Mostre que o conjunto W de todas as suas soluções é um subespaço do �-. Qual a 
dimensão deste subespaço? (4 pontos)