Lista de exercícios de revisão - Modelagem - Prof. Robson - AV2

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE 
MODELAGEM E A�ÁLISE DE SISTEMAS 
DI�ÂMICOS 
Prof.: Robson Moraes 
 
1) No sistema mecânico da figura abaixo, u2(t) representa uma força externa aplicada à massa m2, 
e u1(t) tem valor nulo. Determine o sistema de equações diferenciais que relacionam as saidas y1 e 
y2 com a entrada u2(t) e os parâmetros do sistema. 
 
 
2) Em um dado circuito elétrico, a equação diferencial que relaciona o sinal de entrada u(t) com o 
sinal de saída y(t) é 
dt
tdu
ty
dt
tdy
dt
tyd )(
6)(30
)(
16
)(
2
2
2
=++ 
Determine: 
a) a função de transferência 
)(
)(
)(
sU
sY
sG = ; 
b) a resposta impulsional do sistema, ou seja, a expressão da resposta y(t) sob condições iniciais 
nulas quando um impulso é aplicado na entrada em t=0. 
 
3) Para cada circuito da figura abaixo determine: 
a) a expressão numérica para a função de transferência (Vo / Vi); 
b) o diagrama de pólos e zeros; 
c) a resposta impulsional; 
d) a resposta a uma entrada degrau. 
 
 
 
4) Um circuito, como o abaixo, é formado por impedâncias e um elemento conhecido como 
amplificador operacional. A configuração mostrada é conhecida como amplificador inversor e 
apresenta uma função de transferência definida como 
i
f
R
R
sH =)( . 
 
 
 
Utilizando-se capacitores e indutores, é possível, com a estrutura mostrada, se construir 
diferentes funções de transferência. Para a montagem direta da função de transferência, calcula-se 
esta diretamente no domínio da freqüência utilizando para um capacitor de valor C uma impedância 
dada por 
sC
1
, enquanto para um indutor de valor L a impedância será dada por sL . Sendo assim, 
encontre a função de transferência para os seguintes circuitos: 
a) 
 
b) 
 
5) Para o circuito a seguir, obtenha a equação de saída no domínio do tempo quando for aplicado 
na entrada um degrau unitário. Considere os seguintes valores dos componentes: 
 
 
 
6) Um diagrama de pólos e zeros é uma representação gráfica em um plano complexo da posição 
de todos os pólos e zeros de um sistema. O uso de um plano complexo é necessário já que tais 
parâmetros são calculados a partir da variável s, que é complexa. 
Vale lembrar que um pólo de um sistema é definido como o valor de s que torna a função de 
transferência infinita neste ponto, ou seja, pode ser determinado como uma raiz do denominador de 
uma função de transferência associada a um sistema linear. 
De forma semelhante, um zero de um sistema pode ser calculado como a raiz do polinômio do 
numerador da função de transferência associada ao sistema, uma vez que este parâmetro torna a 
função de transferência nula neste ponto. 
Sendo assim, a função de transferência de um sistema pode ser construída na forma: 
( )( ) ( )
)())((
)(
21
21
m
n
pspsps
zszszs
KsH
−−−
−−−
⋅=
⋯
⋯
 
onde z1, z2, ..., zn são os zeros do sistema e p1, p2, ..., pm são os pólos do mesmo. O valor 
constante K é definido como um fator de ganho, já que este valor não interfere no cálculo dos pólos 
e zeros. 
Considere um sistema que possui o seguinte diagrama de pólos e zeros: 
 
Qual é a função de transferência deste sistema considerando um fator de ganho igual a 2. 
 
7) Um determinado sistema de controle pode ser representado pelo diagrama de blocos a seguir 
 
Sendo K=18, encontre a resposta transitória temporal da saída y(t) quando for aplicado na 
referência um degrau unitário.