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UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIP
ENGENHARIA CIVIL
DP APS REGULAR
 7° Período
Calculo estrutural de uma laje,uma viga e um pilar de concreto armado
memória do calculo de uma laje maciça de concreto,uma viga de seção retangular e um pilar curto
Manaus 22 de novembro de 2017
UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIP
ENGENHARIA CIVIL
DP APS REGULAR
 7° Período
Calculo estrutural de uma laje,uma viga e um pilar de concreto armado
memória do calculo de uma laje maciça de concreto,uma viga de seção retangular e um pilar curto
Aluna: Juliana lima de souza
RA: C173444
Manaus 22 de novembro de 2017
INTRODUÇÃO
 Irei apresentar a seguir um projeto de uma assinalando uma laje, viga e um pilar, com elaboração do calculo estrutural de cada um deles. Encontraremos os conceitos iniciais e diversas informações e calculo que é a base para o entendimento do projeto e dimensionamento das estruturas.
Para melhor entendimento vamos começar mostrando o significado de viga, laje,pilar.Viga:Uma viga é um elemento estrutural das edificações. A viga é geralmente usada no sistema laje-viga-pilar para transferir os esforços verticais recebidos da laje para o pilar ou para transmitir uma carga concentrada, caso sirva de apoio a um pilar. Pode ser composta de madeira, ferro ou concreto. A viga transfere o peso das lajes e dos demais elementos (paredes, portas, etc.) aos pilares.Laje:As lajes são classificadas como elementos planos bidimensionais, que são aquelas onde duas dimensões, o comprimento e a largura, são da mesma ordem de grandeza e muito maiores que a terceira dimensão.As lajes são também chamadas elementos de superfície, ou placas. Destinam-se a receber a maior parte das ações aplicadas numa construção, normalmente de pessoas, móveis, pisos, paredes, e os mais variados tipos de carga que podem existir em função da finalidade arquitetônica do espaço que a laje faz parte. As ações são comumente perpendiculares ao plano da laje, podendo ser divididas e distribuídas na área, distribuídas linearmente ou forças concentradas. Embora menos comuns, também podem ocorrer ações externas na forma de momentos fletores, normalmente aplicados nas bordas das lajes.As ações são normalmente transmitidas para as vigas de apoio nas bordas da laje, mas eventualmente também podem ser transmitidas diretamente aos pilares, quando são chamadas lajes lisas.
DESCRIÇÃO
 É muito comum os arquitetos deixarem o cálculo estrutural nas mãos de um outro profissional, normalmente depois que o projeto já está finalizado. Isso pode ser cômodo no início, mas pode gerar problema mais a frente. Principalmente quando a estrutura já dimensionada começa a interferir no projeto arquitetônico.Para minimizar este problema podemos, através de fórmulas simplificadas, pré-dimensionar a estrutura já na fase de elaboração do projeto, reduzindo assim as chances de alguma surpresa após o dimensionamento definitivo da estrutura.O artigo que se segue vem para demonstrar estas fórmulas simplificadas.Antes de prosseguirmos, enfatiza-se que estes cálculos servem apenas para ter uma noção das proporções da estrutura, ou seja, não dispensam o cálculo de um profissional e não devem ser usados na execução de qualquer obra.
LAJES
 O único elemento a ser dimensionado na laje, é sua espessura. Para isso, precisamos determinar qual será o lx e ly do plano que compõe a laje.Se pegarmos um plano retangular, lx será normalmente a aresta menor. Por exemplo: uma laje de 3,5m por 5,0m, o lx será 3,5.Para determinar a altura de laje também precisamos saber se ela será armada em uma ou duas direções, e também o modelo construtivo, ou seja, maciça, nervurada. Lajes são elementos estruturais bidimensionais planos com cargas preponderantemente normais ao seu plano. As lajes transmitem as cargas do piso às vigas, que as transmitem aos pilares, através dos quais são as cargas transmitidas às fundações, e daí ao solo. As lajes possuem um papel importante no esquema resistente para as ações horizontais, comportando-se como chapas,compatibilizando o deslocamento dos pilares em cada piso como contraventamentos. 
	Tipo de laje
	Fórmula
	Ly <ou=2.lx Armada em duas direções
	Maciça
	H=lx/(30 a 35)
	Nervurada
	H=lx/(35 a 40)
	Ly>2.lx Armada em uma direção
	Maciça
	H=lx/(30 a 35)
	Nervurada
	H=lx/25
VINCULAÇÃO DAS LAJES
 A etapa seguinte do projeto das lajes consiste em identificar os tipos de vínculo de suas bordas. Existem, basicamente, três tipos: - borda livre: caracteriza-se pela ausência de apoio, apresentando, portanto, deslocamentos verticais. - borda simplesmente apoiada: não há deslocamentos verticais.
-borda engastada: não há deslocamentos verticais e as rotações são impedidas, são lajes que apresentam continuidade, sendo o engastamento promovido pela laje adjacente
 Uma diferença significativa entre as espessuras de duas lajes adjacentes pode limitar a consideração de borda engastada somente para a laje com menor espessura, admitindo-se simplesmente apoiada a laje com maior espessura. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DAS ALTURAS DAS LAJES
 De acordo com o item da 13.2.4.1 da NBR 6118/2003, as lajes maciças devem ser respeitar limites mínimos, em caso de lajes de pisos ou de cobertura em balanço as espessuras das lajes devem respeitar o limite mínimo de 7 cm.Para lajes com bordas apoiadas ou engastadas, a altura útil pode ser estimada por meio da seguinte expressão:
Onde: ℓ* em metros d = algura util, em centímetros n = número de bordas engastadas
MaciçaH=lx/(40 a 45)NervuradaH=lx/(30 a 45)
Steel deckH=lx/(25 a 30)
VIGAS 
 Nas vigas, o principal elemento a ser dimensionado é a atura, e isso é dado em relação ao comprimento do vão.
Pode ser dimensionado da seguinte forma:
Viga de concreto armado: H=l/10
Viga de concreto protendido: H=l/12
Viga de aço: H=l/(12 a 15)
Onde temos:
H = altura da viga
l = comprimento do vão em cm.
Pilares (concreto armado)
Bom, agora vem o mais difícil. Para dimensionar os pilares você deverá pegar a área de influência de cada pilar, multiplicar pela carga distribuída sobre aquele pavimento, e ir somando do último pavimento até chegar ao térreo. Isso para achar a carga acumulada sobre o pilar ao nível do solo, depois disso você deve inserir esta carga na seguinte fórmula:
Onde temos:
Ac = área de concerto do pilar.
Fki = Carga acumulada sobre o pilar. É a soma da carga depositada nas lajes sobre influencia do pilar, mais seu peso próprio, em KN.
μf = pode variar entre 1,4 para b>20, e 1,8 para b<20. Lembrando que b é a menor das dimensões da seção do pilar. Por exemplo: um pilar de seção 20 por 30, temos que b = 20cm.
μ´ = varia de 2 a 3. Para altura de no máximo 4 a 5 pavimentos usamos o valor 2. Para alturas superiores (ou pilares finos) usamos 3.
fcd = fck/ μf Neste caso fck é a resistência do concreto. Exemplo: para um concreto com resistência de 20 mpa, usaríamos o valor 2.
ρ = é a taxa de armadura, varia entre 0,02 e 0,03 (alguns falam em 0,015 e 0,02).
fyd = tensão de escoamento simplificada do aço. Pode variar conforme o aço usado (CA-25, fyd=25; CA-50A, fyd=50, e assim por diante).
obs.: a resistência do concreto podem variar de 20mpa até 80mpa, para fazer este cálculo você deverá ter uma noção de qual concreto vai usar na construção. 
ARMADURA DE CANTO
 Nos cantos de lajes retangulares, formados por duas bordas simplesmente apoiadas, há uma tendência ao levantamento provocado pela atuação de momento torçor. Quando não for calculada armadura específica para resistir a esses momentos, deve ser disposta uma armadura especial, denominada armadura de canto.A armadura de canto deve ser composta por barras superiores paralelas à bissetriz do ângulo do canto e barras inferiores a ela perpendiculares. Tanto a armadura superior quanto a inferior deve ter área de seção transversal, pelo menos, igual à metade da área da armadura no centro da laje, na direção mais armada.As barras deverão seestender até a distância igual a 1/5 do menor vão da laje, medida a partir das faces dos apoios. A armadura inferior pode ser substituída por uma malha composta por duas armaduras perpendiculares.
DIMENSIONAMENTO
LAJE
As informações base para o dimensionamento da laje seguem-se abaixo:
Laje 7m×12m apoiada nas quatro bordas;
Espessura (h) igual a 13 cm;
Cobrimento nominal da armadura de 2,5 cm, admitindo classe de agressividade ambiental II;
Aço CA50;
Concreto com resistência característica fck = 25 MPa;
Carga acidental q = 2 kN/m2;
Contra piso de argamassa e areia com espessura igual a 3 cm e peso especifico de 21 kN/m3;
Revestimento de Gneiss com espessura de 3cm e peso especifico de 30 kN/m3;
Peso específico do Concreto Normal CNigual a 22,1798kN/m3.
Organizou-se as principais informações em quadros para melhor visualização e entendimento ao longo desta exposição.
A priori, deve-se esclarecer, que sendo altura da laje fornecida, bem como sua classe de agressividade ambiental, foi possível deduzir sua altura útil a partir desta expressão:
	
	Dito isso, o quadro a seguir informa o padrão de dimensões das lajes que terão suas áreas de aço determinadas.
	Dimensões das lajes
	Menor vão (lx)
	7
	Maior vão (ly) 
	12
	Altura útil (d)
	0,105
	Cobrimento nominal (C) 
	0,025
	Altura total (h)
	0,13
O passo seguinte é o cálculo das cargas atuantes na laje. Sendo estas dadas em kN/m2 onde as cargas permanentes são representadas pela letra g e a acidental pela letra q. A carga acidental de 2kN/m2, definida pela NBR 6120:1980 como carga acidental, em geral, de escritórios, deve ser multiplicada por um coeficiente previsto na Tabela 11.2 da NBR 6118:2014, que corresponde a 0,4 neste caso específico.
De posse disto foi feito o somatório das cargas quase permanentes, dada pela equação abaixo:
			
Os quadros a seguir explicitam os resultados obtidos para p (carga quase permanente), dos dois concretos ensaiados em laboratório.		
	CN
	kN/m2
	Carga Acidental
	0,8
	Contrapiso
	0,63
	Revestimento
	0,9
	Concreto normal
	2,883
	P
	5,213
	Seguindo, após isso, com a verificação das flechas e seus limites de deslocamento encontrados para cada situação na Tabela 13.3 da NBR 6118:2014 onde para os dois elementos (viga e laje) usa-se um limite x.Mas como se estão dimensionando apenas lajes, usa-se do limite total (viga mais laje) exigido.
Sabendo disto, os limites de flecha calculados estão dispostos a seguir:
Neste cálculo não será levada em conta a fluência, logo não será calculada a flecha da combinação quase permanente que depende indiretamente da fluência para ser calculada, observação feita, determinar-se-á somente a flecha relativa a carga acidental, que obedece a seguinte equação:
	
Laje
	
lx(cm)
	Flechas limites (cm)
	
	
	Combinação Quase Permanente
	Carga Acidental
	Laje CN
	700
	1,867
	1,333
O modulo de deformação longitudinal dado por faz-se necessário à determinação da flecha. Desta forma, sendo fck igual a 25 MPa temos que E = 23800000 kN/m2para os dois concretos. O alfa é encontrado, no Quadro 7.2 do livro Cálculo e Detalhamento de Estruturas de Concreto Armado, de Roberto Carvalho , em função deλ, sendo , é portanto, igual a 1,71 onde o valor aproximado é tabelado em 1,75.Se valendo da fórmula acima os resultados estão dispostos no quadro a seguir:
	Laje
	Caso
	lx (m)
	λ
	Α
	α . lx4
	Flechaelásticas e limite (cm)
	
	
	
	
	
	
	f q
	f q, lim.
	CN
	1
	7
	1,75
	10,43
	25042,43
	0,958
	1,333
As lajes, como foi informado, são apoiadas nas quatro bordas, se enquadrando assim no Caso 1. Este tipo de laje somente possui momentos positivos, e são calculados através das expressões abaixo, com os coeficientes µx e µy fornecidos no quadro 7.3 do mesmo livro Roberto Carvalho, em função de λ.
	Os cálculos dos momentos ficam melhor organizados em um quadro contendo as informações e seus respectivos resultados.
	 
	p (kN/m2)
	 p . Lx2
	µx
	mx
	µy
	my
	CN
	5,213
	255,456
	9,06
	23,144
	3,96
	10,116
Por fim, o cálculo da armadura da laje é feito da mesma forma que em vigas retangulares sob flexão simples usando,ao invés da largura da viga,uma faixa de laje igual a 1,0 m. 
Sempre que possível, é conveniente trabalhar com formulas adimensionais facilitando desta maneira o emprego de variados sistemas de unidades e permitindo a utilização de quadros para consulta de suas variáveis (CARVALHO, 2015). Na forma adimensional, para concretos de classe até CA50, as equações estão arranjadas abaixo, com a devida substituição dos valores requisitados.
	Finalmente, os passos dos cálculos realizados e os resultados finais de área de aço por metro de largura de laje [As (cm2/m)] estão dispostos no quadro abaixo:
	Laje
	CN
	Mom.
	Mx
	my
	kN . m
	23,144
	10,116
	KMD
	0,165
	0,072
	KZ
	0,891
	0,954
	ᵋs (0/00)
	9,353
	10000
	m/KZ
	25,973
	10,607
	As
	8,938
	3,650
	Os resultados, em kN/m constam no quadro seguinte, para pCN = 5,213kN/m2, respectivamente:
	Laje
	Caso
	lx (m)
	Λ
	(p . lx)/10
	kx
	qx
	ky
	qy
	CN
	1
	7
	1,75
	3,6494
	3,57
	13,0282
	2,5
	9,1234
Dimensionamento da área de aço das vigas
	O cálculo da quantidade de armadura longitudinal para seções transversais retangulares em vigas é feito a partir do equilíbrio das forças atuantes na seção, logo, para o dimensionamento das vigas serão os valores de carga atuantes sobre a mesma, serão fundamentais (CARVALHO,2015). Neste caso tem-se o pesoda alvenaria e próprio peso da viga. Os dados requeridos para realização do cálculo seguem nos quadros abaixo:
	Alvenaria
	Pé direito (m)
	2,8
	Espessura (m)
	0,15
	Peso específico (kN/m3)
	13
	
	Viga (m)
	Vão (l)
	7
	Altura útil (d)
	0,575
	Recobrimento ( R)
	0,025
	Altura Total (h)
	0,6
	bw
	0,3
.
	As cargas foram calculadas com base nas equações a seguir, com resultados em kN/m, organizados no quadro subsequente.
	Viga
	Carga Atuante na viga
	
	Peso Próprio kN/m
	Carga da Alvenaria kN/m 
	Carga Total kN/m
	 CN
	3,992
	5,460
	9,452
O próximo passo do dimensionamento foi o cálculo do momento de projeto, para tal é indispensável o cálculo do momento máximo, correspondente ao momento característico, neste caso expresso por:
Onde qtotal é a carga total atuante na viga e l, o comprimento dela. Para que se encontre Md é imprescindível que se multiplique Mk por um fator de segurança, que no caso do concreto é 1,4. Não obstante, os resultados são dados no quadro abaixo em kN.m:
	Viga
	Mk
	Md
	CN
	57,896
	81,054
As vigas aqui dimensionadastêm seção retangular, consequentemente, serão calculadas conforme as equações adimensionais usadas nos cálculos das lajes. Logo a área de aço é igual:
	Viga
	CN
	Mk
	57,8957
	Md
	81,0540
	bw . d2 . fcd
	1771,205
	KMD
	0,0457
	KX
	0,0758
	KZ
	0,9697
	ᵋc (0/00)
	0,8205
	ᵋs (0/00)
	10,000
	KZ .d . fyd
	24,2425
	As
	3,343
Deste modo, para o concreto normal poderão ser empregues 3 barras de aço com bitola de ½ polegadas, ou 5 barras de polegadasou ainda 7 barras de polegadas.
 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE VIGAS EM CONCRETO ARMADO
Para vigas horizontais, em nível, com seção retangular e constante, sem cargas pontuais, com dois apoios (um em cada extremidade) utilize os critérios abaixo:O comprimento total da viga não deveria passar de 30 metros. Caso a edificação tenha dimensão linear superior a essa, será necessária uma junta de dilatação.
Vigas isostáticas (com apoios simples, sem resistência a momento fletor): altura da viga é o comprimento do vão dividido por 10.
Vigas hiperestáticas (com apoios engastados, com reação de apoio a momento fletor): altura é o vão dividido por 15.
Vigas hiperestáticas em dois sentidos perpendiculares entre si, engastadas no meio do vão:altura é o vão dividido por 20.
Para efeito de orçamento, considere o consumo de aço de 100kg/m3.
Quando utilizar concreto protendido, considere 75% das alturas calculadas acima. São condições econômicas para o uso de protensão:
Vão livre maior que 7m
Sobrecarga superior a 300 kgf/cm2
Cargas pontuais relevantes
Caso você já tenha o valor do momento máximo (positivo e negativo) da peça, por exemplo obtido pelo FTool, utilize a fórmula abaixo:
d = √ (6M / r . b)
Onde:
d: altura útil da viga
M: momento máximo da viga (utilize o maior em módulo entre o positivo e o negativo)
r: resistência do concreto à compressão (em unidades coerentes com os demais dados)
b: base da viga
PRÉ- DIMENSIONAMENTO EM LAJES DE CONCRETO ARMADO
Lajes armadas em duas direções, vãos até 7 metros: espessura é o vão dividido por 60Lajes armadas em uma direção, vãos até 7 metros: espessura é o vão dividido por 40
Lajes com vãos superiores a 7 metros, armadas em uma ou duas direções: espessura é o vão dividido por 25
Lajes nervuradas, em qualquer situação: espessura da laje calculada pelo método acima, vigota tem altura igual a:
o vão dividido por 25 em lajes armadas em duas direções
o vão dividido por 20 em lajes armadas em uma direção
Lembre-se que a carga total das peças será a sobrecarga mais o peso próprio da peça.
Carga = Sobrecarga + Peso próprio da peça
Sobrecarga = Peso próprio da sobrecarga + carga útil + carga de revestimentos
Considere a massa específica do concreto armado de 2.500 kgf/m3.
Considere a laje mínima de 7 cm (caso a norma técnica aplicável atualizada não diga nada em contrário).
Considere lajes mínimas de 12 cm para áreas com cargas de veículos (caso a norma técnica aplicável atualizada não diga nada em contrário).
Conversão de unidades:
1 MPa = 10,19716 kgf/cm2
1 kN/m2 = 101,9716 kgf/m2
PRÉ-DIMENSIONAMENTO EM PILARES EM COMCRETO ARMADO
Para pilares verticais, com cargas aplicadas em sentido longitudinal, utilize a equação:
 r ÷ 1,8  = P ÷ A
Onde:
r: resistência do concreto à compressão
P: carga de compressão aplicada ao pilar
A: área de seção transversal do pilar
Sugestões de valores para o cálculo de carga útil
Forro: 50 kgf/m2
Dormitório, sala, cozinha, banheiro, copa: 150 kgf/m2
Despensa, A.S., Hall, corredor, escritório: 200 kgf/m2
Reuniões com acesso ao público: 300 kgf/m2
Bailes, Ginástica, Esportes (sem maquinário): 500 kgf/m2
Movimento de terra
Empolamento estimado por tipo de solo:
Areia: 10%
Terra comum: 15%
Argila: 40%
Piçarra: 65%
Empolamento genérico de terra: 30%
Massa específica de terra (apenas para pré-dimensionamento):
Apiloada seca: 1.600 kgf/m3
Apiloada úmida: 2.000 kgf/m3
Arenosa: 1.700 kgf/m3
Silicosa: 1.400 kgf/m3
Vegetal seca: 1.300 kgf/m3
Vegetal úmida: 1.800 kgf/m3
Massa específica de entulho: 1.500 kgf/m3
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE ÁREA DA BASE DE SAPATA ISOLADA
Área = Carga ÷ Resistência do solo à compressão
Resistência do solo (pré-dimensionamento, a verificar em projeto executivo):
Resistência do Solo = √ (SPT) – 1 (kgf/cm2)
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE LAJES MACIÇAS EM CONCRETO ARMADO
 O Cálculo do pré-dimensionamento de lajes maciças é bem simples. Basta primeiramente entendermos que Lx e Ly correspondem aos comprimentos de menor vão e de maior vão, respectivamente. Então o primeiro detalhe que precisamos tomar cuidado é “X e Y aqui NÃO CORRESPONDEM A COORDENADAS CARTESIANAS“. Entendido isso, podemos prosseguir.
Para lajes apoiadas nos 4 lados a altura da laje é estabelecida entre o quociente do comprimento do menor lado com 40.
h = Lx / 40
Já para os casos de laje em balanço, o pré dimensionamento é feito entre o quociente do menor lado com 15.
h = Lx / 15
É importante atentar-se que a laje adjacente a laje em balanço NUNCA poderá ter espessura menor do que a laje em balanço. Nas lajes maciças alguns limites devem ser respeitados também, sendo eles:
7cm para cobertura não em balanço.
8cm para pisos não em balanço
10cm para lajes em balanço
10cm para lajes com veículos de peso menor ou igual a 30KN
12cm para lajes com veículos de peso maior que 30KN
15cm para lajes com protenção apoiada em vigas
16cm para lajes lisas e 14cm para lajes cogumelos.
UMA VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR 
Quando dimensionamos uma viga para resistir à flexão, a resistência do concreto a tração é desprezada, uma vez que esta é absorvida pelas armaduras longitudinais de reforço.
O conceito base para dimensionarmos uma viga de concreto armado é considerarmos a área de aço como uma faixa equivalente de concreto, equivalente, como ilustra afigura:
: Viga armada de seção retangular submetida a um momento M
Seção transformada n. aço dimensionamos uma viga para resistir à flexão, a resistência do concreto a tração é desprezada, uma vez que esta é absorvida pelas
O conceito base para dimensionarmos uma viga de concreto armado é uma faixa equivalente de concreto, aplicando os submetida a um momento M M
Situação Não – Balanceada I
A situação não-balanceada I é limitada pelo concreto dessa forma temos:
Com a equação é possível calcular “x” e, através dele, o cálculo da área de aço, dada pela equação:
Critérios para determinar qual situação deve ser utilizada Definindo:
	
	
Dessa forma o incremento de ξ em relação ao dimensionamento balanceado resulta numa diminuição de em relação a um valor constante de caracterizando a situação não-balanceada I. Da mesma forma uma diminuição de ξ em relação ao dimensionamento balanceado resulta numa diminuição de em relação a um valor constante de caracterizando a situação não-balanceada I.
Roteiro prático para o dimensionamento
Até agora, foi apresentada a forma tradicional de dimensionar a área de aço em vigas de seção retangular. Para tornar mais ágil e evitar a maior parte desses cálculos, apresentaremos uma forma prática para o calculo da área de aço necessária em uma viga, na forma de gráficos desenvolvidos através desse roteiro, levando em conta as características do aço e do concreto envolvidos.
Roteiro Prático Passo 1:
Calcula-se o momento fletor reduzido (µ):
Passo 2:
Encontramos ξb:
Calcula-se µb:
Passo 3:
Se µ > µb temos situação não-balanceada I.
Aplicamos em seguida a seguinte equação para o cálculo de ξ:
Com o valor de ξ calculamos a taxa de armadura:
Logo, a área de aço será: Aaço = ρ.b.d
Se µ < µb temos situação não-balanceada I.
Aplicamos em seguida a seguinte equação para o cálculo de ξ:
Onde : , em função do aço, como vemos.
Com o valor de ξ calculamos a taxa de armadura:
Logo, a área de aço será:
Aaço = ρ.b.d 2.6 Resultados:
Definindo:
Para f=1,0 e n=10, temos os gráficos para o calculo direto da taxa de armadura e área de aço:
NÃO -BALANCEADA 2
NÃO -BALANCEADA1
BALANCEADA n = 10r = 10
Para f=1,5 e n=10, temos os gráficos para o calculo direto da taxa de armadura e área de aço:
Para f=1,5 e n=10, temos os gráficos para o calculo direto da taxa de armadura e área de aço:
NÃO -BALANCEADA 2 n = 10, r = 15
NÃO -BALANCEADA 2 n = 10r=10 e n=10, temos os gráficos para o calculo direto da taxa de armadura e e n=10, temos os gráficos para o calculo direto da taxa de armadura e
BALANCEADA 2NÃO -BALANCEADA BALANCEADA
BALANCEADA 2 e n=10, temos os gráficos para o calculo direto da taxa de armadura e e n=10, temos os gráficos para o calculo direto da taxa de armadura e
PILAR CURTO
Pilares são elementos estruturais lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes e cuja função principal é receber as ações atuantes nos diversos níveis da edificação e conduzi-las até as fundações.
Junto com as vigas, os pilares formam os pórticos, que na maior parte dos edifícios são os responsáveis por resistir às ações verticais e horizontais e garantir a estabilidade global da estrutura.
As ações verticais são transferidas aos pórticos pelas estruturas dos andares, e as ações horizontais decorrentes do vento são levadas aos pórticos pelas paredes externas.
Nas estruturasusuais, compostas por lajes, vigas e pilares, o caminho das cargas começa nas lajes, que delas vão para as vigas e, em seguida, para os pilares, que as conduzem até a fundação.
As lajes recebem as cargas permanentes (peso próprio, revestimentos, etc) e as variáveis ( pessoas, máquinas, equipamentos, etc.) e as transmitem para as vigas de apoio.
As vigas, por sua vez, além do peso próprio e das cargas das lajes, recebem também cargas de paredes dispostas sobre elas, além de cargas concentradas provenientes de outras vigas, levando todas essas cargas para os pilares em que estão apoiadas.
Os pilares são responsáveis por receber as cargas dos andares superiores, acumular as reações das vigas em cada andar e conduzir esses esforços até as fundações.
Nos edifícios de vários andares, para cada pilar e no nível de cada andar, obtémse o subtotal de carga atuante, desde a cobertura até os andares inferiores. Essas cargas, no nível de cada andar, são utilizadas para dimensionamento dos tramos do pilar. A carga total é usada no projeto de fundação.
Nas estruturas constituídas por lajes sem vigas, os esforços são transmitidos diretamente das lajes para os pilares. Nessas lajes, deve-se dedicar atenção especial à verificação de punção.
Segundo a NBR6118/03 os pilares podem ser classificados como curtos, moderadamente esbeltos e esbeltos, em função do seu índice de esbeltez :
Pilares curtos: ≤ 40 Pilares moderadamente esbeltos: 40 < ≤ l 90
Pilares esbeltos: 90 ≤ ≤ 200 le = comprimento de flambagem do pilar; i = raio de giração
Ic = momento de inércia; Ac = área de concreto.
De acordo com a NBR6118/03, o comprimentode flambagem dos pilares é o menor dos seguintes valores (Figura 01):
	le = lo + h ;
	le = l
comprimento de flambagem do pilar
Nos pilares curtos não há necessidade de considerar a excentricidade de fluência.
Já nos pilares moderadamente esbeltos, a excentricidade de fluência é importante e não deve ser desprezada. Entretanto, esses efeitos podem ser considerados através de processos simplificados.
Nos pilares esbeltos, os efeitos de segunda ordem são tão importantes que não se pode admitir o emprego de processos simplificados.
Uma estrutura aporticada de edificio pode ser considerada indeslocável quando, sob a ação de forças horizontais, seus nós sofrem deslocamentos pequenos, que não chegam a introduzir esforços globais de segunda ordem significativos. Entretanto, os esforços de primeira ordem, provocados pelas forças horizontais, devem sempre ser calculados considerando-se a deslocabilidade da estrutura.
Para garantir a indeslocabilidade, pode ser necessário projetar elementos estruturais especiais, como paredes estruturais ou pilares-parede. A necessidade desses elementos depende basicamente da altura do edificio e de suas cargas.
Edifícios baixos e leves podem dispensar os elementos especiais de contraventamento, pois a própria estrutura aporticada principal é suficiente para garantir à indeslocabilidade. Entretanto, deve-se ter uma atenção especial quando a estrutura é projetada em laje cogumelo. Nesse caso, em virtude da ausência das vigas, não há a formação dos verdadeiros pórticos e a rigidez fica reduzida. A deficiência das alvenarias de vedação pode agravar ainda mais o problema.
O grande problema das estruturas deslocáveis é relativo a instabilidade global, já que os deslocamentos horizontais nos vários andares criam excentricidades crescentes da força normal nos pilares.Apresentam-se duas situações distintas.
Observando,verifica-se que os momentos fletores nos pilares crescem sensivelmente à medida que se aproxima das fundações. Acrescentando um elemento rígido ao pórtico, os deslocamentos horizontais no nível dos pisos podem ser desprezados, como indicado na figura 2-b. Neste caso, os pilares podem ser analisados isoladamente, andar por andar, como se fossem engastados elasticamente nos nós e os efeitos de segunda ordem são localizados.
 Efeito da deslocabilidade horizontal
De acordo com CEB/78, podem ser consideradas indeslocáveis as estruturas para as quais as seguintes desigualdades são atendidas.
onde: α = parâmetro de instabilidade; n = número de andares; htot = altura total da edificação, medida do topo da fundação ou de um nível indeformável;
EcsIc = soma dos valores de rigidez à flexão das seções dos elementos verticais na direção considerada;
Fv = soma de todas as cargas verticais de serviço.
Segundo a NBR6118/03, o limite 0,6 pode ser aumentado para 0,7 quando o contraventamento for constituido exclusivamente por pilares-parede. Esse limite deve ser reduzido para 0,5 quando o contraventamento for feito apenas por pórticos.
Dessas equações (e das figuras) verfifica-se que, quanto mais alto for o edificio e quantos maiores forem as cargas verticais, maior a rigidez de contraventamento será necessária para garantir a indeslocabilidade. Esse critério também foi incluido na NBR6118/03.
Para o cálculo do momento de inércia Ic, adotam-se apenas as seções transversais de concreto sem a inclusão das armaduras. O módulo de deformação longitudinal secante, Ecs, pode ser obtido empregando-se a relação como sugerido pelo CEB/90.
Exemplo 01: Verificar se o pilar da Figura 03 é suficiente para garantir a indeslocabilidade de um edificio de 8 andares, cuja altura total desde a fundação é igual a 25m. A soma de todas as cargas verticais de serviço é igual a 25000 kN e o concreto possui fck =20 Mpa.
Seção transversal do pilar principal
Dependendo do seu posicionamento na estrutura, os pilares podem ser classificados como: pilares intermediários, pilares de extremidade e pilares de canto.
Nos pilares intermediários, os momentos que as vigas transmitem a esses pilares são pequenos e, em geral podem ser desprezados. Dessa forma, um pilar intermediário está em uma situação de projeto de compressão centrada.
Nos pilares de extremidade os momentos transmitidos pelas vigas devem ser considerados. Dessa forma, a situação de projeto é de Flexo-compressão normal.
Para os pilares de canto a situação de projeto é de Flexo-compressão oblíqua, já que devem ser considerados os momentos transmitidos pelas vigas nas duas direções “x” e “y”.
	Figura 04 – Situação de projeto de pilar
	Figura 05 – Pilar intermediário
Figura 06 – Pilar de extremidade Figura 07 – Pilar de canto
De acordo com a NBR6118/03, os momentos fletores dos nós extremos dos pilares poderão ser calculados pelas seguintes expressões:
Pilar inferior ao nó
Pilar superior ao nó
	Meng – momento de engastamento perfeito da viga –
	
	rinf – rigidez do pilar inferior –
	
	rsup – rigidez do pilar superior –
	
	rviga – rigidez da viga –
	
	
DESENHO ESTRUTURAL DE UMA LAJE MACIÇA EM CONCRETO ARMADO
	
	
CONCRETO ARMADO:
É a mistura estrutural composta de concreto e aço. O AÇO visa absorver os esforços de TRAÇÃO ( em sua grande maioria) e o CONCRETO aos esforços de COMPRESSÃO já que possui alta resistência a esse tipo de esforço. Existem diversos tipos de aço e eles se distinguem por uma grandeza física chamada "Tensão de Escoamento". 
Não podemos aqui entrar no entendimento pleno dessa tensão de escoamento, mas podemos dizer que um aço CA 50 tem para tensão de escoamento 50 kgf/mm2 = 5000 kgf/cm2.Já o concreto é caracterizado por sua resistência à ruptura. Essa resistência à ruptura tem a notação fck (Resistência característica do Concreto à Compressão).
 BITOLAS DE AÇO MAIS COMUNS:
	Tipo
	bitola (mm) 
	CA 60
	5.0
	CA 50
	6.3
	 
	8.0
	 
	10.0
	 
	12.5
	 
	16.0
	 
	20.0
	 
	25.0
 CONCRETOS MAIS UTILIZADOS:
	identificação
	kg/cm2
	Mpa
	fck 150
	150
	15
	fck 180
	180
	18
	fck 200
	200
	20
	fck 250
	250
	25
Essa característica é conseguida com o uso de certa proporção entre cimento, areia, brita e água.
ELEMENTOS ESTRUTURAIS:
São peças que recebem e transmitem esforços. Estrutura é o conjunto de elementos estruturais.
Estrutura simples de concreto armado: LAJES + VIGAS + PILARESDESIGNAÇÃO DAS PEÇAS:
A designação das peças será feita mediante os seguintes símbolos, seguidos do respectivo número de ordem:
LAJES L 
VIGAS V 
PILARES P 
TIRANTES T 
SAPATAS S 
BLOCOS B 
PAREDES PAR 
DESENHO DE LOCAÇÃO:
Na locação, situamos os pilares com suas dimensões, as cargas em cada ponto, a cota de arrasamento dos blocos de fundação e a cota de arrasamento das estacas.
DESENHO DE FORMAS:
O desenho de formas representa as peças estruturais em um plano horizontal com suas dimensões e posições. Todas as formas da estrutura são formadas de diversas lajes, vigas e pilares dispostas em planta, devidamente cotada. Na planta da forma, ao contrário da planta da arquitetura, é passado um plano horizontal a meia altura do pé direito e olhamos para cima. Podemos utilizar os seguintes traços para melhor visualização da forma.
Espessura 0.6 mm - traço cheio para os elementos cortados. 
Espessura 0.2 mm - traço cheio para elementos vistos. 
Espessura 0.2 mm - traço tracejado para linhas não vistas. 
Espessura 0.1 mm - traço cheio para linhas de cota. 
CONCLUSÃO
Para minimizar este problema podemos, através de fórmulas simplificadas, pré-dimensionar a estrutura já na fase de elaboração do projeto, reduzindo assim as chances de alguma surpresa após o dimensionamento definitivo da estrutura. Também é importante entendermos o conceito de área de influência, pois será usado quando formos calcular a carga sobre os pilares.
Dito em poucas palavras, é a área da laje que será sustentada por determinado pilar. Esta área normalmente obtemos dividindo ao meio a distância entre dois pilares, ficando cada metade com seu respectivo pilar.
BIBLIOGRAFIA
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 6118:2014: projeto de estruturas de concreto – procedimento. Rio de Janeiro, 2014.
CARVALHO, R. C.; FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas de concreto armado. 4. ed. São Carlos: EdUFSCar, 2015.