Cálculo II Segunda Lista

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Departamento de Matema´tica Disciplina Ministrada: Ca´lculo II
Gdf Prof.: Raul Mesquita Per´ıodo: 2➸ Ano: 2017
CA´LCULO II - SEGUNDA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Determine as derivadas parciais
a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4 b) z = cosxy
c)
x3 + y2
x2 + y2
d) e−x
2
−y2
e) x2 ln(1 + x2 + y2) f) z = xyexy
g) (4xy − 3y3)3 + 5x2y h) z = arctan x
y
i) g(x, y) = xy j) z = (x2 + y2)ln(x2 + y2)
l) f(x, y) = 3√x2 + y2 + 1 m) z = x sin y
cos(x2 + y2)
2. Considere a func¸a˜o z =
xy2
x2 + y2
. Verifique que x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= z
3. Seja φ ∶ R→ R uma func¸a˜o de uma varia´vel real, diferencia´vel e tal que φ′(1) = 4. Seja
g(x, y) = φ(x
y
). Calcule:
a)
∂g
∂x
(1,1) b) ∂g
∂y
(1,1)
4. Seja g(x, y) = φ(x
y
) a func¸a˜o do exerc´ıcio anterior. Verifique que
x
∂g
∂x
(x, y) + y∂g
∂y
(x, y) = 0.
para todo (x, y) ∈ (R)2 com y ≠ 0.
Raul Rabello Mesquita ◇ Departamento de Matema´tica ◇ raulrabello@yahoo.com.br
Departamento de Matema´tica Disciplina Ministrada: Ca´lculo II
Gdf Prof.: Raul Mesquita Per´ıodo: 2➸ Ano: 2017
5. Seja f(x, y, z) = 1√
x2 + y2 + z2
.Verifique que
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
= 0.
6. Calcule ∇f(x, y) sendo f(x, y) =
(a) x2y
(b) ex
2
−y2
(c)
x
y
(d) arctan
x
y
7. Defina gradiente de uma func¸ao de treˆs varia´veis. Calcule ∇f(x, y, z) sendo f(x, y) =
(a)
√
x2 + y2 + z2
(b) x2 + y2 + z2
(c) (x2 + y2 + 1)z2
(d) arctan
x
y
8. Seja f(x, y) = x2 − y2. Represente geometricamente ∇f(x0, y0) sendo (x0, y0) =
(a) (1,1)
(b) (−1,1)
(c) (−1,−1)
(d) (1,−1)
9. Seja f(x, y) = arctan x
y
. Represente geometricamente ∇f(x0, y0), sendo (x0, y0) um
ponto da circunfereˆncia x2 + y2 = 1.
10. Seja f(x, y) = x2 + y2 e seja γ(t) = (x(t), y(t)) uma curva diferencia´vel cuja im-
agem e´ contida na curva de n´ıvel f(x, y) = 1, isto e´, para todo t no domı´nio de γ,
f(x(t), y(t)) = 1 . Seja γ(t0) = (x0, y0). Prove que γ’ (t0).∇f(x0, y0) = 0. Interprete
geometricamente.
11. Seja f(x, y, z) = x2+y2+z2 e seja γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) uma curva diferencia´vel cuja
imagem esta´ contida na superf´ıcie de n´ıvel x2 + y2 + z2 = 1. Seja γ(t0) = (x0, y0, z0).
Prove que γ(t0) −∇f(x0, y0, z0) = 0. Interprete geometricamente.
12. Calcule f ’(x, y) =
(a) xy
(b) 2x−y
(c) x tan
x
y
(d) arcsinxy
13. Sejam f(x, y) = y − x2 e γ(t) = (sin t, sin2 t).
Raul Rabello Mesquita ◇ Departamento de Matema´tica ◇ raulrabello@yahoo.com.br
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Gdf Prof.: Raul Mesquita Per´ıodo: 2➸ Ano: 2017
(a) Verifique que a imagem de γ esta´ contida na curva de n´ıvel y − x2 = 0.
(b) Desenhe a imagem de γ.
(c) Verifique que para todo t, γ’(t).∇f(γ(t)) = 0.
14. Calcule
∂f
∂u⃗
(x0, y0), sendo dados:
(a) f(x, y) = x2 − 3y2, (x0, y0) = (1,2) e u⃗ o versor de 2⃗i + j⃗.
(b) f(x, y) = ex7−y2 , (x0, y0) = (1,1) e u⃗ o versor de (3,4).
(c) f(x, y) = arctan x
y
, (x0, y0) = (3,3) e u⃗ = ( 1√
2
, 1√
2
).
(d) f(x, y) = xy, (x0, y0) = (1,1) e u⃗ o versor de i⃗ + j⃗.
15. Em que direc¸a˜o e sentido a func¸a˜o dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E
em que direc¸a˜o e sentido decresce mais rapidamente ?
(a) f(x, y) = x2 + xy + y2 em (1,1).
(b) f(x, y) = ln∥(x, y)∥ em (1,−1).
(c) f(x, y) = √4 − x2 − 2y2 em (1, 1
2
).
16. Seja f(x, y) = arctan x
y
. Calcule ∂f
∂u⃗
(1,1), onde u⃗ aponta na direc¸a˜o e sentido de
ma´ximo crescimento de f , no ponto (1,1).
17. Calcule a derivada direcional de f(x, y) = √1 + x2 + y2 no ponto (2,2) e na direc¸a˜o:
(a) v⃗ = (1,2)
(b) w⃗ = −i⃗ + 2j⃗
18. Calcule a derivada direcional de f(x, y) = 2
x2 + y2
, no ponto (−1,1) e na direc¸a˜o 2⃗i+3j⃗.
19. Uma func¸a˜o diferencia´vel f(x, y) tem no ponto (1,1), derivada direcional igual a 3 na
direc¸a˜o 3⃗i + 4j⃗ igual a −1 na direc¸a˜o 4⃗i − 3j⃗. Calcule:
(a) ∇f(1,1).
(b)
∂f
∂u⃗
(1,1) onde u⃗ e´ o versor de i⃗ + j⃗.
20. Admita que T (x, y) = 16 − 2x2 − y2 represente uma distribuic¸a˜o de temperatura no
plano xy. Determine uma parametrizac¸a˜o para a trajeto´ria descrita por um ponto
P que se desloca, a partir do ponto (1,2), sempre na direc¸a˜o e sentido de ma´ximo
crescimento da temperatura.
21. Seja f(x, y) = xy. Determine uma parametrizac¸a˜o para a trajeto´ria descrita por um
ponto P que se desloca, a partir do ponto (1,2), sempre na direc¸a˜o e sentido de
ma´ximo crescimento de f .
Raul Rabello Mesquita ◇ Departamento de Matema´tica ◇ raulrabello@yahoo.com.br
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Gdf Prof.: Raul Mesquita Per´ıodo: 2➸ Ano: 2017
22. Seja A = {(x, y) ∈ R2∣ 5−x2−4y2 ≥ 0}. Suponha que o gra´fico de z = 5−x2−4y2, (x, y) ∈
A, represente a superf´ıcie de um monte. (Adote o km como unidade de medida.)
Um alpinista que se encontra na posic¸a˜o (1,1,0) pretende escala´-lo. Determine a
trajeto´ria a ser descrita pelo alpinista admitindo que ele busque sempre a direc¸a˜o de
maior declive. Sugerimos ao leitor desenhar o monte e a trajeto´ria a ser descrita pelo
alpinista.
23. Suponha T (x, y) = 40−x2 − 2y2 represente uma distribuic¸a˜o de temperatura no plano
xy. (Admita que x e y sejam dados em km e a temperatura em C.) Um indiv´ıduo
encontra-se na posic¸a˜o (3,2) e pretende dar um passeio.
(a) Descreva o lugar geome´trico dos pontos que ele devera´ percorrer se for seu desejo
desfrutar sempre da mesma temperatura do ponto (3,2).
(b) Qual a direc¸a˜o e sentido que devera´ tomar se for seu desejo caminhar na direc¸a˜o
de maior crescimento da temperatura?
(c) De quanto a temperatura se elevara´ aproximadamente, caso caminhe 0,01km na
direc¸a˜o encontrada no item b.
(d) De quanto decrescera´, aproximadamente, a temperatura, caso caminhe 0,01km
na direc¸a˜o j⃗?
24. Calcule a derivada direcional da func¸a˜o dada, no ponto e direc¸a˜o w⃗ indicados.
(a) f(x, y, z) = xyz em (1,1,1) e na direc¸a˜o w⃗ = 2⃗i + j⃗ − k⃗.
(b) f(x, y, z) = x2 + xy + z2 em (1,2,−1) e na direc¸a˜o w⃗ = i⃗ + 2j⃗ + k⃗.
25. A func¸a˜o diferencia´vel f(x, y, z) tem, no ponto (1,1,1), derivada direcional igual a 1
na direc¸a˜o 4j⃗ + 3k⃗, igual a 2 na direc¸a˜o −4⃗i+ 3j⃗ e igual a zero na direc¸a˜o j⃗. Calcule o
valor ma´ximo de
∂f
∂u⃗
(1,1,1).
26. Seja g(r, θ) = f(x, y), com x = rcosθ e y = rsenθ, onde f(x, y) e´ suposta diferencia´vel
em um aberto do R2. Sejam u⃗ = cos θi⃗+ senθj⃗ e v⃗ = −senθi⃗ + cos θj⃗. Mostre que
(a)
∂g
∂r
(r, θ) = ∂f
∂u⃗
(x, y) e 1
r
∂g
∂θ
(r, θ) = ∂f
∂v⃗
(x, y).
(b) ∇f(x, y) = ∂f
∂u⃗
(x, y)u⃗ + ∂f
∂v⃗
(x, y)v⃗.
(c) ∥∇f(x, y)∥2 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
∂g
∂r
(r, θ)
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
2
+
1
r2
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
∂g
∂θ
(r, θ)
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
2
onde x = r cos θ e y = rsenθ.
27. Seja f(x, y, z) diferencia´vel num aberto do R3 e sejam u⃗, v⃗ e w⃗ vetores do R3, unita´rios
e dois a dois ortogonais. Prove:
∇f(x, y, z) = ∂f
∂u⃗
(x, y, z)u⃗ + ∂f
∂v⃗
(x, y, z)v⃗ + ∂f
∂w⃗
(x, y, z)w⃗.
Raul Rabello Mesquita ◇ Departamento de Matema´tica ◇ raulrabello@yahoo.com.br