Guia de Estudos da Unidade 4 Geometria Analítica

Prévia do material em texto

Geometria Analítica 
UNIDADE 4
2
UNIDADE 4
GEOMETRIA ANALÍTICA
Para início de conversa
Olá, estudante! Como vão os estudos? Espero que esteja tudo bem!
Seja bem-vindo a nossa IV unidade. Conto com seu comprometimento nesta nova jornada de estudos!
orientações da disciPlina
Antes de iniciar a leitura deste guia de estudo, faça a leitura de seu livro-texto, ele irá nortear seus estu-
dos. Utilize também a nossa biblioteca virtual, busque novos conhecimentos. Assista a nossa videoaula, 
ela foi elaborada com o objetivo de facilitar seu aprendizado. Ao final da nossa IV unidade, acesse ao 
ambiente e responda a atividade, e em caso de dúvidas não perca tempo, envie uma mensagem para seu 
tutor!
Caro(a) aluno(a), Continuaremos nossos estudos da Geometria Analítica e nesta última unidade, faremos 
uma apresentação de superfícies cônicas e concluiremos a unidade com aplicações de uso destas curvas, 
algumas outras aplicações de uso destas curvas e algumas outras aplicações associadas às unidades 
anteriores.
Vamos começar!
Palavras do Professor 
Prezado(a) aluno(a), as superfícies cônicas são de muita utilidade em nossas vidas. Desde a antiguidade 
que os filósofos e pensadores procuraram descrever formas através da percepção dos fenômenos que 
ocorrem na natureza ou mesmo quando pretendiam resolver problemas que surgiam no enfrentamento ou 
conquistas. Como sabemos, a Geometria Analítica surgiu da necessidade de transformar interpretações 
de sentido puramente geométrico em analítico. 
Desta necessidade de equacionar proposições e fundamentos geométricos é que surgiram os matemá-
ticos modernos do século XVIII, René Descartes e Pierre de Fermat. Então a partir destes dois franceses 
iniciou-se uma formulação da Geometria Analítica. Sabemos que fundamentos da Geometria Analítica 
migraram da Geometria Euclidiana e outros conhecimentos também advindos da Escola Alexandrina, 
principalmente com Euclides, Apolônio e Arquimedes.
No nosso estudo da Unidade IV, as seções Cônicas, você vai tomar conhecimento de como utilizar equa-
ções e conceitos destas curvas, com destaque especial para Elipse, Hipérbole e Parábola. Descrevemos 
acima que pensadores e filósofos antigos eram solicitados a resolver problemas que surgiam.
3
você sabia?
As primeiras notícias, que temos conhecimentos sobre a origem das seções Cônicas, 
vêm da antiguidade, antes de Cristo, quando uma violenta peste tomou conta da cidade 
de Atenas na Grécia antiga. Conta à história que a população de Atenas recorreu aos 
conselhos advindos do oráculo de Delos. A população foi aconselhada a dobrar o orá-
culo que tinha a forma cúbica. 
Atendendo ao conselho precisaria então construir outro oráculo com dimensões duas 
vezes do original. Nesta situação as novas dimensões passariam de um valor existente 
para o dobro, provocando um aparecimento de novo volume, oito vezes maior.
A peste foi se intensificando e os moradores de Atenas tomaram nova decisão: consultar os matemáticos 
da academia de Platão para tomar orientações a fim de determinar dimensões que atendessem as con-
dições impostas para a restauração ou construção do oráculo. Daí apareceu o problema da duplicação 
do cubo que se resume em tomar uma dimensão de medida . Dentre os membros da academia de Platão, 
destacou-se especialmente Manaecmus, que aceitou resolver o problema que surgiu. Além do resultado 
satisfatório alcançado usando uma via de percurso que lhe deu sucesso, possibilitou a Manaecmus a 
descoberta das seções Cônicas: Parábola, elipse e hipérbole.
Você pode até verificar que considerando uma simples parábola de equação y = x2 e uma hipérbole de 
equação xy = 2, obtemos um ponto de interseção x = , cujo valor equivale a dimensão atribuída a 
uma dimensão da medida do volume do novo cubo. (exposição acima para o oráculo de Atenas).
Na época, Manaecmus não possuía nenhum conhecimento de análise matemática, Geometria Analítica, 
assim sendo o surgimento das curvas restringiu-se a uma observação puramente geométrica.
Após várias décadas surgiu em Alexandria o pensador grego Apolônio de Perga, em homenagem a colônia 
grega Perga, ilha grega do sul da Ásia, este explicou como obter as seções cônicas numa única superfície.
a oriGeM da ParÁbola, HiPÉrbole e eliPse e sUas aPlicações
Apolônio de Perga demonstrou muitos teoremas recorrendo aos postulados geométricos fundamentos da 
Geometria Euclidiana, e é autor da obra o tratado das cônicas. Nesta obra de Apolônio, é explicado como 
de um único cone podemos obter além da circunferência as outras espécies de seção cônicas, precisando 
de variação na inclinação do plano que corta este cone.
dica
É interessante você compreender que estas curvas apresentam determinadas 
peculiaridades que os arquitetos utilizam nos seus projetos, bem como os engenheiros. 
Geralmente os engenheiros precisam localizar os pontos, destacando-os para indicar 
como elementos podem contribuir e alterar na resistência das estruturas de constru-
ções que apresentam estas formas.
???
4
Pontes como formas de arcos de parábolas ou hipérboles 
Como surge a parábola? A parábola é uma curva obtida quando um plano paralelo à geratriz do cone 
corta a superfície cônica. A elipse, diferentemente da parábola, é obtida quando um plano não paralelo às 
geratrizes corta a superfície cônica. Ainda temos o surgimento da hipérbole que pode ser obtida através 
do corte de um plano paralelo as duas geratrizes. É bom lembrar que os termos parábola, hipérbole e 
elipse, utilizados por Apolônio naquela época, eram usadas por designação na um retângulo conhecido 
era aplicado a um segmento excedendo um quadrado. Analogamente, a elipse era termo usado para um 
retângulo de área conhecida e aplicado a um segmento.
A essa altura você pode perguntar: E a circunferência? O que dizer de sua origem? 
Realmente, podemos admitir que a circunferência surja da interseção de uma superfície cônica com um 
plano secante que seja perpendicular ao eixo desta seção cônica. Admitindo que plano perpendicular in-
tercepta a superfície cônica no vértice do cone, temos apenas um ponto, ou seja, a circunferência estaria 
reduzida a um ponto.
A exposição sobre as seções cônicas deve possibilitá-lo a compreender a importância destas curvas no 
nosso quotidiano e atentar para o fato de que sua utilização transcende o emprego de formas e formatos 
arquitetônicos e os engenhos, empreendimentos que necessitam utilizar as suas propriedades, resolver 
equações envolvendo centro de massa centroide de superfícies sob-retas e parábolas, formas de superfí-
cies limitadas por elipses semielipse, arcos de parábolas outros.
Uma das maiores aplicações com as cônicas acontece com a descrição de movimentos circulares e elípti-
cos. Movimentos de máquinas e motores em geral de uso corrente na mecânica. A descrição de fenôme-
nos decorrentes do estudo das estruturas atômicas e suas partículas. A geometria óptica constituinte da 
luz incidindo em espelhos esféricos e lentes esféricas. Porém, em todos os movimentos e contextos dos 
conteúdos acima citados, é possível que nenhum se compare com a beleza natural do movimento elíptico 
planetário.
estUdo das seções cÔnicas
Acreditamos que a literatura das informações sobre as seções cônicas possibilitou a você situar os princi-
pais objetivos e atender as principais informações que levam ao estudo das seções cônicas e aplicações. 
leitUra coMPleMentar
Se você sentir inseguro quanto à origem, formação e a possibilidade de diferenciar a 
natureza das curvas e indico uma leitura do seu livro-texto páginas 75 a 79. Caso tenha 
compreendido as primeiras noções, procure ler as páginas seguintes: 80 a 89, dando 
ênfase inicial as páginas 82 a 86.
Ø	Circunferência – Equação 
Como podemos definir a circunferência? Observe a figura abaixo – O centro O, o raio r e um ponto qualquer 
desta circunferência P(x,y).
Observe que cada ponto de circunferência está a uma mesma distância do centro, então |PO|= r. Usando 
a relação de distância entre doispontos, a distância o ponto P(x,y) a origem O (0,0), (considerando a cir-
cunferência com centro na origem).
5
E é tão simples! Apenas x2 – y2 = r2. Bom considerando o centro da circunferência fora da origem, você 
tem a equação generalizada.
Considere, portanto o centro da circunferência num ponto (xo,yo).
Ou desenvolvendo:
Se preferir:
Observe que os coeficientes têm os valores constantes.
Muito simples? Ok! Algumas conclusões também podem ser imediatas:
- A equação de uma circunferência é uma equação do 2º grau em que:
Os coeficientes dos termos de 2º grau necessariamente são iguais à unidade (A=B=1).
- Não existe termo nas variáveis xy ao mesmo tempo.
6
exeMPlo
Tomamos um exemplo prático.
Uma ponte em forma de arco de circunferência deve ser construída sobre um rio que tem uma largura de 
18m e devido aos penhascos em ambos os lados, torna-se 3m em cada lado para completar o vão livre 
sobre a ponte. Pelo projeto o vão livre sobre a ponte. Pelo projeto do arquiteto a pilastra central tem uma 
altura de 4m. O engenheiro usando as ferramentas de geometria no plano localiza o raio do arco de cir-
cunferência que foi projetado pelo arquiteto e encontrou 20m para este raio. Acontece que o engenheiro 
precisa calcular a altura das outras pilastras menores, simétricas em relação à pilastra central e no pro-
jeto o arquiteto deixou 4m de distância uma da outra.
Solução:
Primeiramente vamos imaginar um sistema de eixo coordenado passando pelo centro do vão, ou seja, a 
pilastra central deverá se situar no centro ou origem do sistema. A partir do trocado do sistema de coor-
denados verificamos que o ponto de máximo do arco coincide com o ponto de altura máxima da pilastra 
central da base no ponto de abscissa zero. Assim sendo o ponto (0,4), determina a altura da pilastra cen-
tral. O centro da circunferência que contém o arco da ponte. Portanto coordenados (O – 16), porque o raio 
mede 20m e a pilastra central tem 4m de altura.
Acredito que você já está se sentindo um quase engenheiro e pode, a partir das informações decorrentes 
deste projeto, projetar um esboço para melhor interpretar a orientação das ações na resolução do proble-
ma. Poderia ficar assim:
Observando o esboço do projeto do arquiteto, você localiza o ponto de máxima altura da pilastra que 
chamamos de pilastra A de coordenados (4, yA) e da pilastra B de coordenados (8, yB). Atente que por 
simetria as alturas das pilastras C e D são iguais respectivamente às alturas das pilastras que dominamos 
de pilastras A e B.
7
Será que todos entenderam o caminho que o engenheiro seguiu? Alguém pergunta? 
Sim, lembre-se que o arquiteto deixou 4m de distância entre uma e outra pilastra, o que possibilitou a 
determinação das abscissas destas pilastras, para a localização dos pontos de altura destas. No caso, 
pilastras A (4, ya) e B (8, yb).
Acredito que agora você tem todos os dados para acompanhar os cálculos solicitados para o engenheiro 
encontrar as alturas das pilastras.
Vejam a altura da pilastra A.
A equação de uma circunferência passando por um ponto (x,y) e de centro (xo, yo) é:
Então no ponto do arco da circunferência que toca a pilastra A (4,ya) temos:
Resolvendo a equação de 2º grau acima, encontramos , que é a altura da pilastra A.
De maneira análoga encontramos a altura da pilastra B, cuja equação é:
Devido à simetria da ponte as duas pilastras do lado esquerdo têm a mesma altura. Finalmente encontra-
mos aproximadamente:
As pilastras A e C com altura 3,60m.
As pilastras B e D com altura 2,33m.
elipse – equação
Esta cônica que vamos estudar oferece informações que possibilitam descrever os movimentos planetá-
rios.
Como é do conhecimento de todos, desde a antiguidade que os pensadores procuram entender os movi-
mentos dos planetas. A ciência que estuda os astros é uma ciência muito antiga e os povos desta época 
sempre se preocuparam com os fenômenos celestes. Provavelmente, que a preocupação dos antigos com 
a astronomia adivinha da necessidade de estabelecer época para plantar ou colher e procuravam relações 
com posições dos astros, sol, lua ou satélites, estrelas e planetas em geral.
Mesmo alguns séculos antes de cristo, os gregos já estabeleciam um modelo para explicar movimentos 
dos astros. Os gregos daquela época acreditavam que a terra era o centro do universo e os planetas, saté-
lites, o sol e as estrelas. Todos giravam em torno do sol, era a teoria geocentrista. O modelo descrito pela 
astronomia grega era muito complicado, eram círculos e esferas para todos os planetas.
8
Surgiu em Alexandria, sec. II d c, o grande astrônomo da época Ptolomeu, com o intuito de tornar mais 
simples a teoria geocêntrica. Ptolomeu admitia que os planetas moviam-se em círculos com seus centros 
girando ao redor da terra.
O modelo da terra de Ptolomeu admitia a terra como centro do universo, pensamento coerente com a 
filosofia religiosa que, imperava durante a idade média.
As ideias da teoria geocêntrica de Ptolomeu, apesar de algumas modificações, perdurar am durante vários 
séculos.
No século XVI, Nicolau Copérnico apareceu com um modelo revolucionário e mais simples que explicava: 
o sol fixo e os planetas girando em órbitas circulares em torno do sol em repouso. Estava então o início do 
desdobramento da teoria chamada Heliocêntrica.
Nicolau Copérnico, polonês, passou muito tempo na Itália e o seu trabalho foi publicado tardiamente, pois 
Copérnico era muito religioso e a filosofia religiosa da época admitia a terra como centro do universo, por 
isso o mesmo hesitou durante alguns anos em publicar o seu trabalho.
Alguns anos após a morte de Copérnico apareceu o gigante das medidas das posições dos astros, o fa-
buloso Tycho Brahe. O dedicado astrônomo dinamarquês desenvolveu importante trabalho relacionando 
medidas precisas das posições de corpos celestes. Durante muitos anos, realizou grandes e precisas 
medidas interplanetárias, após rigorosas observações.
As observações e análises feitas por Tycho Brahe não eram coerentes com o sistema heliocêntrico de 
Corpénico. Tycho Brahe acumulou muitos dados de medidas e construiu tabelas e mapas dos estudos que 
desenvolvia. 
Os estudos baseados no modelo idealizado por Nicolau Corpénico atingiram o ponto culminante após a 
realização dos estudos de Kepler, durante longos anos. O famoso astrônomo alemão, Johannes Kepler, 
havia sido discípulo de Tycho Brahe e nas primeiras décadas do século XVII, entusiasmado pelo modelo 
simples de Copérnico e de posse do material acumulado por medidas, tabelas e mapas construídos por 
Tycho Brahe, resolveu realizar um estudo profundo envolvendo o movimento dos corpos celestes. Acredi-
tando que seria possível também, efetuando algumas correções ao modelo Copérnico, encontrar caminho 
para explicação segura dos movimentos planetários, conseguiu formular as três importantes leis que 
regem os movimentos dos planetas.
Como principal consequência das leis de Kepler, ficamos sabendo que os planetas se movimentam em 
torno do sol em trajetórias Elípticas e o sol ocupando um dos focos da Elipse.
Vamos estudar a elipse com seus elementos e suas equações para entendermos bem sobre movimentos 
trajetórias dos astros, incluindo o movimento da terra em torno do sol muito mais sobre astronomia. Mas 
também sobre tudo das elipses.
elementos e equação da elipse
Podemos entender a Elipse como o lugar geométrico dos pontos de um determinado plano em que a soma 
das distâncias a dois pontos fixos, chamados focos, é sempre constante. E, essa constante é o eixo maior 
desta elipse.
9
elementos da elipse
F1 e F2 : Focos os pontos (- c,o) e (c,o) ou = 2C (distância focal).
V1 e V2 : Vértices, os pontos (-a,o) e (a,o) ou figura = 2a (eixo maior).
M1 e M2 : Extremidades do eixo menor, os pontos (o,b) e (-o,b) e ou = 2b (eixo menor).
O : Centro da Elipse 0 (0,0), origem do sistema.
Relação: a2=b2+c2
 (temos sempre a>b)
Elipse de eixo maior em x e centro (0,0) se você tiver a equação da forma:
(temos sempre a>b)Elipse de eixo maior em y e centro (o,o) pode comparar as equações.
Figura pag. 32 (temos sempre (a>b)
Elipse de eixo maior horizonte e centro (xo,yo).
10
Você pode obter outras equações da elipse de maneira análoga as anteriores.
exeMPlo:
Elipse de eixo maior paralelo a y e centro (xo,yo).
Palavras do Professor 
Você tem interesse em saber como chegar às equações da elipse?
Bom, basta você observar que a definição de elipse, logo no início desta nossa exposição, indicou que a 
soma das distâncias de um ponto genérico da curva aos focos é constante, e igual ao eixo maior da elipse, 
ou seja, 2a.
Escrevemos conforme a figura no início: PF1+PF2= 2a e lembrando que:
P (x , y ) ; F1 ( - c , 0 ) e F2 ( c , 0 ) , temos:
 ,desenvolvendo e
simplificando, chegamos em:
Vamos exercitar um pouco as equações da elipse?
Se você ainda tem dúvidas quanto aos elementos ou mesmo quanto às equações de uma elipse, volte e 
faça uma nova leitura.
exeMPlo
Qual a equação para a elipse de eixo maior horizontal medindo 26, e distância focal 10.
Solução:
2a = 26 :. a = 13 e 2c = 10:. C = 5
Sendo então a equação se escreve:
E o problema inverso? Como fazer?
exeMPlo
Dada à equação, qual a distância focal e qual a posição do eixo maior da equação:
11
Solução:
, portanto 2c = 16, (distância focal) o eixo maior é vertical e 
está contido no eixo y, pois, 100 > 36, logo a = 10 e 2a = 20.
a excentricidade da eliPse e as leis de KePler
A excentricidade de uma elipse determina a relação entre a distância focal e o seu eixo maior, portanto 
podemos escrever a relação:
e (excentricidade da elipse)
c (metade da distância focal)
a (metade do eixo maior)
Como sabemos que os focos estão situados no eixo maior e a2=b2+c2 logo, c < a então a excentricidade 
da elipse é menor que 1.
Se e = 0, temos uma circunferência.
Se e = 0, 017, temos a excentricidade da terra.
Anteriormente, destacamos que o estudo do modelo idealizado por Nicolau Copérnico atingiu o ponto 
culminante com o aparecimento das leis de Kepler.
A primeira conclusão de Kepler (1ª Lei de Kepler) afirma que as órbitas planetárias não são circulares 
como afirmava Copérnico e sim elíptica, com o sol ocupando um dos focos.
A segunda lei de Kepler diz que imaginando uma linha reta unindo o sol a um planeta, esta percorre 
áreas iguais em intervalos de tempos iguais. Interpretando esta lei, afirmamos que o planeta se move 
com velocidade variável em torno do sol, mais rapidamente quando mais próximo do sol (Periélio) e mais 
lentamente quando mais distante do sol (Afélio).
A terceira lei de Kepler também diz que o quadrado do período da órbita do planeta de um planeta é pro-
porcional ao cubo do semieixo maior da elipse descrita por este planeta. Então temos a seguinte equação. 
T^2/a^3 =constante.
Parábola – equação
Como vimos, as ideias de Apolônio de Perga mostraram geometricamente a curva que denominamos de 
parábola. Apresentamos agora o que é uma parábola no plano.
O lugar geométrico dos pontos de um plano, situado a uma mesma distância de um ponto fixo, chamado 
foco e de uma reta também fixa que não contém o citado ponto, denominada diretriz, é a curva denomi-
nada parábola.
12
Consideramos:
Foco ponto F F(o,p).
Diretriz: reta d de equação y = -p.
Eixo: reta perpendicular a reta d (diretriz) passando pelo foco.
Vértice: ponto V(o,o). Interseção da parábola com seu eixo.
Parâmetro: P (consideremos, aqui, p sendo a distância do vértice ao foco da parábola).
Observe que a distância do vértice ao foco é igual a distância do vértice a reta diretriz. 
Nestas condições, por definição, podemos escrever:
Ou elevando ao quadrado: x2 + (y - p)2 = (y + p)2
Organizando os termos semelhantes e agrupando-os, obtemos a equação: x2 = 4py (Foco no eixo y, 
vértice origem e concavidade para cima).
Levando em consideração a parábola com foco no eixo x, vértice na origem e concavidade para a direita 
Y2 = 4px.
GUarde essa ideia!
Se você pretende obter as equações das parábolas, precisa então identificar:
1º A localização do foco no respectivo eixo.
2º Dependendo do foco no eixo x ou y, verificar se a concavidade está voltada para cima 
ou para baixo ou, ainda, se a concavidade está voltada para a direita ou esquerda.
3º Tome (xo,yo) como coordenados do vértice quando este não se encontra na origem 
do sistema.
exeMPlo
Vértice no ponto (-2,3) (é um ponto no 2º quadrante) e imagina a parábola com concavidade voltada para 
cima.
13
A equação desta parábola é: (y - 3)2 = 4p (x + 2).
Cuidado! Exercite estas variações da equação da parábola.
Uma fábrica de lâmpadas deseja produzir faróis parabólicos. Como sabemos a forma de um paraboloide 
pode ser obtida ao girar uma parábola em torno do seu eixo. O paraboloide obtido é um paraboloide circu-
lar reto que se origina selecionando-se essa superfície por um plano perpendicular ao seu eixo. Sabemos 
da física óptica geométrica (estudo de espelhos esféricos) que quando a fonte de luz é colocada sobre o 
foco do farol parabólico, os raios luminosos se refletem paralelamente ao eixo.
Este princípio, propriedades serão refletidas em espelhos esféricos na óptica geométrica, é aplicado tam-
bém na fabricação de antenas parabólicas. Nas antenas parabólicas os receptores são colocados sobre 
o foco.
O farol parabólico a ser produzido pela fábrica apresenta diâmetro de 48 cm e profundidade sobre o eixo 
de 18 cm. Pretende-se saber qual a localização da lâmpada situada sobre o eixo?
Solução:
Pelo que foi exposto, a propriedade de reflexão das parábolas, nos leva a posicionar a lâmpada sobre foco.
Propriedade (óptica): todo raio de luz que passa pelo foco se reflete paralelamente ao eixo e vice-versa.
Concluímos então, que a lâmpada posicionada sobre o eixo se localiza sobre o foco.
Selecionamos uma seção transversal do farol contendo o eixo.
A seção transversal deve ser posicionada em alguma posição do eixo cartesiano, a escolha de nossa 
conveniência.
Bom, nas condições oferecidas pelo problema, armamos a equação da parábola; y2=4px
Conclusão: a lâmpada deve estar posicionada no eixo x e situada a 8m do vértice. Puxa! Até na ópti-
ca geométrica usamos as seções cônicas!
leitUra coMPleMentar
Agora pegue o seu livro-texto e faça a leitura das páginas 79, 80 e 81.
14
HiPÉrbole – eQUações 
Comparando os conceitos de parábola e hipérbole, observamos que elas apresentam muitas coisas em 
comum ou tomadas ao inverso:
O lugar geométrico dos pontos de um plano, cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos, chamados 
focos, é sempre constante.
Seja a hipérbole:
|PF1 - PF2| = 2a
F1 e F2: Focos.
O: Centro.
V1V2: Eixo real ou eixo principal.
B1 B2: Eixo imaginário ou eixo conjugado.
2C: Distância focal.
2a: Medida do eixo real.
2b: Medida do eixo imaginário. 2c: distância focal.
Relação notável: c2=a2+b2
Figura pag. 24
15
Equação:
2a: Eixo real.
2b: Eixo Imaginário.
2c: Distância focal.
 , Eixo real x, centro (0 , 0).
 , Eixo real y, centro (0 , 0 ).
Se (x0,y0) é um ponto localizado fora do centro:
 , eixo paralelo a x0.
exeMPlo
Determinar a equação de uma hipérbole de vértices (4,0) e (-4,0) e focos (5,0) e (-5,0).
Se os vértices são (4,0) e (-4,0), o eixo principal fica x, e, centro na origem, pois o centro da hipérbole e o 
ponto médio de seus vértices e dos focos.
2a = 8
a = 4.
2c = 10
c = 5
exeMPlo
Consideremos uma hipérbole de equação 128y2-32x2=512 determine:
a) A equação reduzida da hipérbole.
b) Qual o valor do eixo principal da hipérbole?
c) Qual a distância focal da hipérbole?
d) Quais as coordenadas dos focos da hipérbole?
16
Resolução:
a) A equação 128y2-32x2=512, dividimos a equação toda por 512, temos:
b) Eixo principal é 2a.
temos a equação:
No caso, os focos estão situados no eixo y e o eixo principal em y é igual a 4.
c) A distância focal é 2C.
C2 = a2 + b2 : . C2 = 22 + 42: . C2 = 20
c = √20
d) (0,√20) e (0,-√20) , são as coordenadas dos focos da hipérbole.
Você percebeu que a hipérbole tem grau de complexidade maiorem relação à parábola? 
leitUra coMPleMentar
Agora pegue o seu livro-texto BUP e faça a leitura das páginas 86, 87, 88 e 89.
Palavras do Professor 
Prezado estudante, chegamos ao final da nossa quarta unidade. Foi uma experiência gratificante ter co-
laborado para seu aprendizado nesta jornada de estudo. Continue com seu comprometimento ele será 
chave principal para seu sucesso acadêmico. 
acesse o aMbiente virtUal
Caro estudante, agora chegou o momento de colocar em prática os conhecimentos que você adquiriu nes-
ta disciplina. Acesse o AVA e responda as atividades. Caso tenha alguma dificuldade, não perca tempo, 
envie uma mensagem para seu tutor, ele está apto para quaisquer tipos de esclarecimentos.
Sucesso sempre!