Vetores complemento

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Vetores 
Sandra Paula Salve Silveira 
DEX – UFLA – 2017/2 
Produto Escalar 
 O produto escalar ou interno entre dois vetores, v e w 
é definido por: 
 
 
Produto Escalar 
 Quando não sabemos diretamente o ângulo entre eles, 
mas temos as componentes de cada vetor: 
Pela lei dos cossenos ( ) 
 
 
∥ 𝑣 − 𝑤 ∥2= ∥ 𝑣 ∥2 + ∥ 𝑤 ∥2 −2 ∙∥ 𝑣 ∥∙∥ 𝑤 ∥∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 
2 ∙∥ 𝑣 ∥∙∥ 𝑤 ∥∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = ∥ 𝑣 ∥2 + ∥ 𝑤 ∥2−∥ 𝑣 − 𝑤 ∥2 
Produto Escalar 
 
 
 
 (*) 
Considerando: 
 
 
 
Logo (*) 
2 ∙∥ 𝑣 ∥∙∥ 𝑤 ∥∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = ∥ 𝑣 ∥2 + ∥ 𝑤 ∥2−∥ 𝑣 − 𝑤 ∥2 
∥ 𝑣 ∥∙∥ 𝑤 ∥∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 
1
2
∥ 𝑣 ∥2 + ∥ 𝑤 ∥2−∥ 𝑣 − 𝑤 ∥2 
𝑣 ∙ 𝑤 = 
1
2
(∥ 𝑣 ∥2 + ∥ 𝑤 ∥2−∥ 𝑣 − 𝑤 ∥2) 
𝑣 = 𝑣1, 𝑣2 , 𝑤 = 𝑤1, 𝑤2 , 𝑣 − 𝑤 = (𝑣1−𝑤1, 𝑣2 − 𝑤2) 
∥ 𝑣 ∥2= 𝑣1
2 + 𝑣2
2, ∥ 𝑤 ∥2= 𝑤1
2 + 𝑤2
2 ∥ 𝑣 − 𝑤 ∥2= 𝑣1 −𝑤1
2 + 𝑣2 − 𝑤2
2 
𝑣 ∙ 𝑤 = 
1
2
*𝑣1
2 + 𝑣2
2 + 𝑤1
2 + 𝑤2
2 − 𝑣1 −𝑤1
2 + 𝑣2 − 𝑤2
2 + 
Produto Escalar 
 
 
 
𝑣 ∙ 𝑤 = 
1
2
*𝑣1
2 + 𝑣2
2 + 𝑤1
2 + 𝑤2
2 − 𝑣1 −𝑤1
2 + 𝑣2 − 𝑤2
2 + 
𝑣 ∙ 𝑤 = 
1
2
*𝑣1
2 + 𝑣2
2 + 𝑤1
2 + 𝑤2
2 − 𝑣1
2 − 2𝑣1𝑤1 + 𝑤1
2 + 𝑣2
2 − 2𝑣2𝑤2 + 𝑤2
2 + 
𝑣 ∙ 𝑤 = 
1
2
*𝑣1
2 + 𝑣2
2 + 𝑤1
2 + 𝑤2
2 − 𝑣1
2 + 2𝑣1𝑤1 − 𝑤1
2 − 𝑣2
2 + 2𝑣2𝑤2 − 𝑤2
2+ 
𝑣 ∙ 𝑤 = 
1
2
2𝑣1𝑤1 + 2𝑣2𝑤2 =
2
2
𝑣1𝑤1 + 𝑣2𝑤2 
𝑣 ∙ 𝑤 = 𝑣1𝑤1 + 𝑣2𝑤2