02 Regra de L Hopital

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CÁLCULO INTEGRAL 
REGRA DE L’HOPITAL 
 
Profº. Msc. DIONISIO SÁ CURSO: _____________________ TURMA: ______________ 
 
 
Antes mesmo de falarmos da regra é interessante conhecermos Guillaume François 
Antoine, Marquês de l'Hôpital (Paris, 1661 — Paris, 2 de fevereiro de 1704) foi 
um matemático francês. 
É principalmente conhecido pela regra que tem o seu nome para calcular o valor limite de 
uma fracção cujo numerador e denominador tendem, simultaneamente, para zero ou para o infinito. 
Em 7 de fevereiro de 2004 fez 300 anos de sua morte. 
Circula no meio matemático que, rico e vaidoso como era, o Marquês de l'Hôpital teria pago 
um jovem matemático brilhante para fazer alguma descoberta e vendê-la para que l'Hôpital a 
postulasse com seu nome. Tal descoberta seria a regra de l'Hôpital. 
Muitas vezes você verá a seguinte grafia l’Hospital, daí vale a explicação a seguir. 
A forma original de seu nome era L'Hospital. A partir de uma das várias reformas 
ortográficas ocorridas na França entre os séculos XVII e XIX, a grafia correta passou a ser 
L'Hôpital. 
 
Regra de L’Hôpital 
 
Sejam f e g funções contínuas e deriváveis em um intervalo contendo a, tais que, f(a) = g(a) = 0 e 
g’(x)
Ix ,0
. Se existe
)('
)('
lim
xg
xf
ax
, então existe 
)(
)(
lim
xg
xf
ax
 e 

 )(
)(
lim
xg
xf
ax )('
)('
lim
xg
xf
ax
. 
 
Vamos iniciar com algumas aplicações 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 
Em um circuito elétrico consistindo de uma força eletromotriz V, um resistor R e um indutor L. A 
corrente I no instante t é dada por 
)1(







 L
Rt
e
R
V
I
 
 
Se L é a única variável independente, determine 
.lim
0
I
L 
 
R
V
R
V
e
R
V
e
R
V
I L
Rt
L
L
Rt
LL
















 
)01()lim1()1(limlim
000
 
 
R
V
I 
 (Lei de Ohm) 
 
Se R é a única variável independente, determine 
R
e
VI
L
Rt
LR











1
limlim
00
. 
Como Resolver? 
 
Regra de L’Hôpital 
 
Temos que 
L
Vt
L
t
V
L
t
e
V
R
e
VI
L
Rt
L
L
Rt
LR
































 
]).1(0[
1
0
lim
1
limlim
000
 
 
 
Vejamos agora ver outra aplicação 
 
IMPULSO ELÉTRICO 
 
A velocidade v de um impulso elétrico em um cubo isolado é dada por 













R
r
R
r
kv ln
2 
 
onde k é uma constante positiva, r é o raio do cabo e R é a distância do centro do cabo à parte 
externa do isolante, conforme ilustrado na figura. Determine: 
a)
0lnlimlim
2













  R
r
R
r
kv
rRrR
 
b) 
2
0
2
2
0
2
00
)ln()ln(
lim
ln
limlnlimlim































 r
Rr
kR
R
r
R
r
k
R
r
R
r
kv
rrrr
 
Como resolver? 
 
Regra de L’Hôpital 
 
 
0
2
lim
2
0
1
lim
)ln()ln(
limlim
2
0
2
3
0
2
2
0
2
0








 




r
kR
r
rkR
r
Rr
kRv
rrrr
 
 
É importante observamos que nem sempre é necessário usarmos a Regra de L’Hospital, veja os 
exemplos abaixo 
 
a) lim
𝑥→2
𝑥2−4
𝑥−2
 
 
b) lim
𝑎→−5
𝑎2+3𝑎−10
𝑎+5
 
 
c) lim
𝑥→−2
−4𝑥−8
𝑥3+2𝑥2
 
 
d) lim
𝑥→0
(3+𝑥)2−9
𝑥
 
 
e) lim
ℎ→0
√2+ℎ−√2
ℎ
 
 
f) lim
𝑥→1
√𝑥2+8−3
𝑥−1
 
 
Quando nenhum recurso algébrico consegue levantar a indeterminação um ótimo recurso é o uso da 
Regra de L’Hôpital, vale ressaltar que usamos quando temos lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 e encontramos as seguintes 
indeterminações 
0
0
 ou 
±∞
±∞
, pode também acontecer de encontrarmos as indeterminações 
 ∞ ∙ 0 (Indeterminação do produto) 
 ∞ − ∞ (Indeterminação da diferença) 
 00 ou ∞0 ou 1∞ (Indeterminação da potência) 
Nesses casos devemos primeiro conseguir transformar essas indeterminações para 
0
0
 ou 
±∞
±∞
 e depois 
usar a regra de L’Hôpital. 
 
Veja os exemplos: 
a) lim
𝑥→∞
(
𝑒𝑥
𝑥2
) 
 
b) lim
𝑥→0
(
𝑒𝑥−𝑥−1
𝑥2
) 
 
c) lim
𝑥→0
(
1−𝑥+ln 𝑥
𝑥3−3𝑥+2
) 
 
d) lim
𝑥→0
(𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑥) 
 
e) lim
𝑥→1
(
ln 𝑥
𝑥−1
) 
 
f) lim
𝑥→∞
(
𝑥2
𝑒𝑥
) 
 
g) lim
𝑥→0
(𝑥𝑥) 
 
h) lim
𝑛→0
(1 + 𝑛)
1
𝑛 
 
i) lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
) 
 
j) lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥2+𝑥
) 
 
k) lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝑥
) 
 
l) lim
𝑥→
𝜋
2
(
1−𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
) 
 
m) lim
𝑥→0
(
1−𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥2
) 
 
n) lim
𝑥→0+
(
1
𝑥
−
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
) 
 
 
Lista de Exercícios – Formas Indeterminadas e Regra de L’Hôpital 
 
I) Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôpital onde for apropriado. Se existir um método 
mais elementar, use-o. Se a Regra de L’Hôpital não for aplicável explique por quê. 
 1. 
1
1
lim
2
1 

 x
x
x
 
 2. 
1
1
lim
5
9
1 

 x
x
x
 
 3. 
x
ex
x sen
1
lim
0


 
 4. 
30
sen
lim
x
x
x
 
 5. 
tgqx
tgpx
x 0
lim

 
 6. 
x
x
x
ln
lim

 
 7. 
x
x
x
ln
lim
0
 
 8. 
t
tt
t
35
lim
0


 
 9. 
20
1
lim
x
xex
x


 
 10. 
3
lim
x
ex
x 
 
 11. 
20
cos1
lim
x
x
x


 
 12. 
xx e
xsen
lim
0
 
 13. 
x
xtg
x

0
lim

 
 14. 
)21ln(
lim
xx e
x

 
 15. 
xe x
x
lnlim 

 
 16. 







 240
11
lim
xxx
 
 17. 








 1
11
lim
xx ex
 
 18. 
x
x
xsen
0
lim

 
 19. 
x
x
x
1
lim

 
 20. x
x x
x






 1
lim
II) A primeira publicação da Regra de L’Hôpital foi o livro “Analyse de Infiniment 
Petits”, publicado pelo marquês de L’Hôpital em 1696. Esse foi o primeiro texto de 
cálculo publicado, e o exemplo que o marquês usou nesse livro para ilustrar sua regra 
foi encontrar o limite da função 
4 3
343 .2
axa
aaxaxxa
y



quando 
,ax 
 com 
0a
. 
(Naquele tempo costumava-se escrever aa em vez de 
2a
). Resolva esse problema. 
 
III) O diagrama esquemático em anexo representa um circuito elétrico, o qual consiste de 
uma força eletromotriz que produz uma voltagem V, um resistor com resistência R, e 
um indutor com indutância L. A teoria dos circuitos elétricos mostra que se uma 
voltagem for aplicada no instante t = 0, então a corrente I que percorre o circuito no 
instante t é dada por 










L
Rt
e
R
V
I 1
. Qual é o efeito sobre a corrente num dado tempo 
t fixo, se a resistência tender a zero (isto é, 
 0R
)?