Resistência dos Materiais - Flambagem de Colunas

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FLAMBAGEM DE COLUNAS 
 Professor Humberto Ritt Engenheiro Civil, M.Sc. 
 http://lattes.cnpq.br/1994972650209034 
 
1 ESTABILIDADE DAS ESTRUTURAS 
• No projeto de colunas a área transversal é 
selecionada de modo que: 
 - a tensão admissível não seja ultrapassada: 
adm
A
P
 
- e a deformação fique dentro das 
especificações: 
específica
AE
PL
 
• Após estes cálculos, a coluna pode ser instável sob carregamento 
e que subitamente torna-se acentuadamente curva (flamba). 
 
Carga crítica 
 Elementos estruturais compridos e esbeltos, 
sujeitos a uma força de compressão axial são 
denominados colunas. 
 A carga axial máxima que uma coluna pode 
suportar quando está na iminência de sofrer 
flambagem é denominada carga crítica, Pcr. 
 A deflexão lateral que ocorre é denominada 
flambagem. 
 Uma coluna ideal é uma coluna perfeitamente 
reta antes da carga. A carga é aplicada no 
centróide da seção transversal. 
 
 
COLAPSO POR 
FLAMBAGEM 
OBS: A coluna sofrerá flambagem em torno do eixo principal da seção 
transversal que tenha o menor momento de inércia, para uma mesma 
condição de contorno. 
Y 
X 
12
. 3ba
I x 
12
. 3ab
I y 
Iy : menor momento de inércia 
2 FÓRMULA DE EULER PARA COLUNAS 
Barra biarticulada 
Equação Diferencial para Flambagem de Coluna 
 
Para determinar os carregamentos críticos 
correspondentes às formas defletidas para uma 
coluna real apoiada por pinos, usamos as equações 
diferenciais da curva de deflexão de uma viga. 
 
Essas equações são aplicáveis a uma coluna 
flambada porque a coluna flete como se fosse uma 
viga. 
 
Tem-se a seguinte equação: 
EIν " = M(x) 
 
Onde M = −P ν 
A equação acima é uma equação diferencial linear 
homogênea de segunda ordem com coeficientes 
constantes. 
Solução da equação diferencial 
 
Pcr - Carga crítica ou carga axial máxima na coluna imediatamente 
antes da flambagem. 
 
Essa carga não deve permitir que a tensão na coluna exceda o limite de 
proporcionalidade. 
 
E – módulo de elasticidade do material 
 
I – O menor momento de inércia da área da seção transversal. 
 
L - Comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades são apoiadas 
por pinos. 
 
Pcr denomina-se também de carga de Euler (Pe) em homenagem ao 
matemático suíço Leonhard Euler, que solucionou o problema em 1757. 
L
P
IE
cr 2
2
..
 FÓRMULA DE EULER PARA COLUNAS 
Barra biarticulada 
L
P
IE
cr 2
2
..
- Determinação da carga crítica (fórmula de Euler): 
Pcr : carga crítica; maior valor de 
P, acima do qual a barra torna-se 
instável (ocorre a flambagem) 
Onde: 
 
E: módulo de elasticidade do material 
 
I: momento de inércia da área 
 da seção transversal 
 
3 TENSÃO CRÍTICA 
 2
2
.
r
L
E
cr
 
Tensão crítica correspondente à carga crítica: 
- L/r : índice de esbeltez = λ 
- r : raio de giração da coluna 
A
I
r 
Ex: aço estrutural; E = 200 GPa e 
MPa
e
250
A
P

A
Pcr
cr 
2
2



E
cr 
4 FÓRMULA DE EULER PARA OUTRAS CONDIÇÕES DE CONTORNO 
e
IE
L
Pcr 2
2
.. 2
2
.







r
L
E
e
CR

Le ou Lfl: comprimento de flambagem, depende das condições de 
apoio das extremidades das barras. 
 
Le = K.L onde K é o coeficiente de flambagem, que depende das 
condições de apoio. 
CS
Pcr
admP 
CS
cr
adm

 A
Padm
adm

2
2



E
cr 
r
LK.

A
I
r 
A flambagem ocorre primeiro 
em torno do eixo com maior 
índice de esbeltez λ. 
4 FÓRMULA DE EULER PARA OUTRAS CONDIÇÕES DE CONTORNO 
Segundo NBR 8800 
Projeto de Colunas Submetidas a uma 
Força Centrada 
 Para levar em conta o comportamento de 
colunas de comprimentos diferentes, os 
códigos e manuais de projeto especificam 
várias fórmulas que se ajustarão melhor aos 
dados que se encontram dentro de cada 
uma das faixas de colunas curtas, 
intermediárias e longas. 
Assumiu-se que as tensões atuantes estejam abaixo do limite 
proporcionalidade e inicialmente a coluna era em linha reta e homogênea. 
Dados experimentais demonstram : 
 
- para grandes Le/r, cr segue a 
fórmula de Euler e depende 
do E mas não deE. 
- Para intermediárias Le/r, 
cr depende de ambos E e 
E. 
- Para pequenas Le/r, cr é 
determinada pela resistência 
ao escoamento E e não de 
E. 
5 Observações 
- A flambagem ocorre primeiro em torno do eixo com maior índice de 
esbeltez. 
 
 
- A única propriedade do material que diretamente afeta a carga crítica é o 
módulo de elasticidade, que representa a rigidez do material. Assim, uma 
maneira de aumentar a Pcr seria utilizar-se o material com E maior. 
 
 
- A carga crítica é inversamente proporcional ao quadrado do comprimento 
da coluna. 
 
 
- A carga crítica é independente da resistência à compressão do material. 
 
 
 
-O valor da carga crítica pode ser aumentado através do aumento do 
momento de inércia da seção transversal. Pode-se obter este resultado sem 
aumentar a área da seção transversal, apenas distribuindo o material o 
mais afastado possível do centróide. 
 
Entretanto, existe um limite mínimo para a espessura da parede da seção 
transversal, abaixo do qual esta torna-se instável, ou seja, pode ocorrer 
flambagem local. 
 
- A fórmula de Euler é válida somente para colunas longas, isto é, colunas 
que apresentam um alto índice de esbeltez, que leva a uma tensão crítica 
abaixo da tensão limite de proporcionalidade. Caso este limite não seja 
conhecido, utiliza-se a tensão de escoamento como valor limite. 
 
 
 
- Se o índice de esbeltez for muito grande (λ > 200), a tensão de crítica 
seria muito pequena. Assim a resistência do material não seria bem 
aproveitada. Neste caso, o projeto deve ser modificado, por exemplo, 
adicionando-se contraventamentos laterais, alterando as condições dos 
apoios ou a seção transversal. 
 
- A tensão normal obtida a partir do diagrama σ x λ deve ser considerada 
como máxima na coluna. Sob esta tensão a coluna entra em colapso, 
seja por falha direta, seja por flambagem. Devem ser adotados, 
portanto, valores admissíveis, ou seja: 
CS
Pcr
admP 
CS
cr
adm

 
A coluna consiste de uma seção de 2,4 m de tubo em aço estrutural (E= 
200GPa), com a seção transversal mostrada. 
6 Aplicações 
Usando a fórmula de Euler e um fator de segurança de 
2,0 , determinar a carga centrada admissível para a 
coluna e a tensão normal correspondente. 
.GPa200E
SOLUÇÃO: 
Carga centrada máxima permitida : 
  mm 4800 m 8,4m 4,22 eL
- comprimento efetivo de flambagem, 
  
 
kN 7,282
mm 4800
mm 103,3kN/mm 200
2
4622
2
2




e
cr
L
EI
P
- Carga crítica, 
2mm 2284
kN 36,141
2
kN 7,282


A
P
FS
P
P
adm
cr
adm

kN 36,141admP
MPa 9,61
- Carga e tensão admissível, 
Uma coluna de extremidades articuladas tem seção transversal 
quadrada e 2 m de comprimento. Ela é constituída de uma qualidade 
de pinho para a qual E = 13,0 GPa, para compressão na direção 
paralela às fibras. Usando um coeficiente de segurança de 2,5 no cálculo 
da carga crítica de Euler para a flambagem, determinar a dimensão 
da seção transversal, de modo que a coluna possa resistir com 
segurança: 
 
a) uma força de 100 KNb) uma força de 200 KN 
 
Uma coluna de alumínio de comprimento L = 500 mm e seção transversal 
retangular tem uma extremidade engastada em B e suporta uma carga centrada 
em A. Duas placas lisas e de lados arredondados impedem a extremidade A de 
se mover em um dos planos verticais de simetria, mas permitem que ela se 
mova no outro plano. Admita um fator de segurança para a carga de 2,5, 
 E = 70 GPa e P = 22 KN. Determinar: 
a) a relação a/b dos dois lados da seção transversal 
correspondente ao projeto mais eficiente contra 
flambagem. 
 
 
 
b) o projeto mais eficiente de seção transversal da 
coluna para os dados fornecidos. 
 
O elemento estrutural A-36 W200 X 46 de 
aço mostrado na figura ao lado deve ser 
usado como uma coluna acoplada por 
pinos. Determine a maior carga axial que 
ele pode suportar antes de começar a 
sofrer flambagem ou antes que o aço 
escoe. 
Dados: 
 
. E = 200 GPa 
 
. A = 5890 mm2 
 
. Ix = 45,5 . 106 mm4 
 
. Iy = 15,3 . 106 mm4 
 
. 
MPa
esc
250
A coluna de alumínio está presa na base e 
seu topo está ancorado por cabos de modo a 
impedir que o topo movimente-se ao longo 
do eixo x (Figura a). Se considerarmos que 
ela está fixa na base, determine a maior 
carga admissível P que pode ser aplicada. 
Use um fator de segurança para flambagem 
FS = 3,0. Considere: 
Eal = 70GPa 
σe = 215MPa 
A = 7,5(10-3)m2 
Ix = 61,3(10
-6)m4 
Iy = 23,2(10
-6)m4 
A barra AB em alumínio, de comprimento L = 2,0 m tem seção 
transversal 20 x 40 mm (bxd) e é conectada em suas extremidades 
por pinos e suportes, conforme mostra a figura. Determine a carga P 
que pode ser aplicada (admissível), se o coeficiente de segurança 
requerido é de 2,5. Adote E = 70 GPa. 
A coluna em perfil metálico W 10x22 (W 250 x 32,7) AB suporta uma 
força centrada P de 70 kN. Determine o comprimento L máximo 
admissível. 
Adote E = 200 Gpa e CS = 2,0. 
Dados : Ix = 48,9x106 mm Iy = 4,73x106 mm 
A coluna de aço W200 X 59 A-36 
mostrada na figura está engastada 
na base e escorada no topo de 
modo que não pode deslocar-se, 
mas está livre para girar em torno 
do eixo y–y. Além disso, ela pode 
oscilar para o lado no plano y–z. 
Determine a carga máxima que a 
coluna pode suportar antes de 
começar a flambar ou antes de o 
aço sofrer escoamento. 
São usadas duas colunas, de comprimento 2,5 m, com diferentes 
situações de vinculação, conforme mostrado abaixo, para suportar 
um bloco pesando 15 kN . Sabendo-se que cada coluna é feita em 
aço (E = 200 GPa) e tem seção tubular de diâmetro de 50 mm e 
espessura de parede de 3 mm, determine o coeficiente de segurança 
em relação à flambagem, para cada caso. 
Qual o valor dos coeficientes de flambagem em 
relação aos eixos x e y ? 
 
Resposta: Kx = 2 Ky = 0,7 
Qual o valor do índice de esbeltez em relação aos eixos y e z ? 
 
Resposta: λy = 128,2 λ z = 145,3 
Uma coluna em perfil metálico, de comprimento 5 m, apoiada em 
suas extremidades, válida para flambagem em torno dos eixos x e y, 
suporta uma força centrada P. Considerando válida a fórmula de 
Euler, determine a carga de compressão admissível. 
 
Adote E = 200 GPa e CS = 2,0. 
 
Dados : Ix = 50x106 mm4 Iy = 5x106 mm4 
Resposta: 197,4 kN 
Uma coluna em madeira, com módulo de elasticidade de 20 GPa, de 
comprimento 4 m, engastada em suas extremidades, válida para 
flambagem em torno dos eixos x e y, suporta uma força centrada P = 35 
kN. Considerando válida a fórmula de Euler, determine o diâmetro 
necessário de modo que a coluna não sofra flambagem. 
 
 
D Resposta: 61,7 mm 
Uma coluna em alumínio (E = 70 GPa), de comprimento 3 m, engastada 
em sua base e livre na outra extremidade, válida para flambagem em 
torno dos eixos x e y, suporta uma força centrada P = 10 kN. A seção 
transversal é tubular, de diâmetro externo 100 mm e espessura de 
parede de 2,5 mm. Considerando válida a fórmula de Euler, determine o 
coeficiente de segurança em relação à flambagem. 
 
 
D Resposta: 1,75 
Uma coluna em concreto (E = 28 GPa), engastada em sua base e 
apoiada na outra extremidade, válida para flambagem em torno dos 
eixos x e y, suporta uma força centrada P = 500 kN. A seção transversal 
é quadrada 20 x 20 cm. Considerando válida a fórmula de Euler e um 
coeficiente de segurança de 3, determine o comprimento máximo 
admissível. 
 
 
D Resposta: 7,08 m 
Cada uma das cinco estruturas mostradas na figura são construídas 
utilizando-se uma barra de seção transversal circular maciça. 
 
a) sabendo-se que a barra (1) tem diâmetro de 20 mm, determine o 
coeficiente de segurança em relação à flambagem de Euler, para o 
carregamento mostrado. 
b) Determine o diâmetro para cada uma das outras colunas, utilizando o 
CS encontrado na letra a. 
c) Utilize E = 200 GPa