Geometria Analítica especial - Parábola

Prévia do material em texto

1 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Espacial 
Prof. Vítor 
Agosto/2017 
 
 
PARÁBOLA 
Definição 
É o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo e de uma reta 
fixa deste plano. 
 
Seja uma reta d e um ponto F não pertencente a d . 
 
Chama-se parábola o conjunto de todos os pontos P que satisfazem: 
 
d(P,F) = d(P,d) (1) 
 
 
 
Elementos da parábola 
 
 2 
 
Importante: 
2
p
VF 
 
 
F - o foco, 
Reta d - diretriz , 
Eixo – é a reta que passa por F e é perpendicular a d. 
Vértice – é o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo. 
 
Equações reduzidas 
 
Seja a parábola de vértice V (0, 0) . 
 
1º. Caso) O eixo da parábola é o eixo dos y 
 
Considerando o sistema de coordenadas cartesianas Oxy, no qual P (x,y) é um ponto 
qualquer e o foco F = (0, 
2
p
) e a diretriz d de equação 
2
p
y 
. 
Ponto P’ (x, - 
2
p
) 

 d 
Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano: 
2222 )
2
()()
2
()0(
p
yxx
p
yx 
 
Obtemos: 
pyx 22 
 equação reduzida 
Observações: 
 3 
 
Parábola dada por x2 = 2 p y e p>0. Concavidade para cima. 
 
 
 
Parábola dada por x2 = 2 p y e p< 0. Concavidade para baixo. 
 
2º. Caso) O eixo da parábola é o eixo dos x 
P (x,y) é um ponto qualquer e o foco F = ( 
2
p
, 0) e a diretriz d de equação 
2
p
x 
. 
Da mesma forma, obtemos: 
pxy 22 
 equação reduzida 
 4 
 
 
Parábola dada por y2 = 2 p x e p > 0. Concavidade para direita. 
 
 5 
 
 
Parábola dada por y2 = 2 p x e p< 0. Concavidade para esquerda. 
 
Exercícios (livro texto pag. 1651a. edição ou 1722a. edição – exemplos 1 e 2) 
Outras formas da equação da parábola 
Seja uma parábola de vértice V (h, k) , diferente de (0, 0). 
1º. Caso) O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y 
 
 
 
)(2)( 2 kyphx 
 
 
2º. Caso) o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x 
)(2)( 2 hxpky 
 
Exercícios (livro texto pag. 168 exemplos 1, 2, 3 e 4 ) 
Problemas propostos (livro texto pag. 172) 
1, 2, 3, 4, 27, 28, 52 
 
 6