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Prof. Msc. Isaias Lima Página 1 INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA. SERTÃO PERNAMBUCANO – IFPE CAMPUS SERRA TALHADA Aluno(a): ______________________________________________________________ Data:_______/_______/2017. Professor Isaías Lima Disciplina: Cálculo 1 Curso: Licenciatura em Física EXERCÍCIOS – LIMITES E CONTINUIDADE 1 – Considere o gráfico de y = f(x) esboçado abaixo. Determine os limites de cada item. Caso algum não exista, determine os limites laterais. 𝑎) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑏 𝑓(𝑥) 𝑐) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) 2 – Considere a função f dada por f(x) = { 5; 𝑥 ≥ 1 7; 1 < 𝑥 ≤ 2 9; 𝑥 > 2 . Esboce o gráfico de f e determine 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑘 𝑓(𝑥) ou, caso não exista, determine os limites laterais para: a) k = 1 b) k = 0,9999 c) k = 1,0001 d) k = 2 e) k = 1,9999 f) k = 2,0001 3 – Calcule os limites. 𝑎) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 (3𝑥² − 2𝑥 + 7) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−3 (√𝑥³ − 9𝑥 + 4) 𝑐) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 ( 5𝑥 − 2 𝑥² − 8 ) 𝑑) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 →1 ( 𝑥² − 1 𝑥 − 1 ) 𝑒) 𝑙𝑖𝑚 𝑡→1 ( 𝑡² − 5𝑡 + 6 𝑡 − 2 ) 𝑓) 𝑙𝑖𝑚 𝑎→−1 ( 𝑎³ + 4𝑎² − 3 𝑎² + 5 ) 𝑔) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1 ( 𝑥² + 𝑥 − 2 𝑥² − 𝑥 ) ℎ) 𝑙𝑖𝑚 𝑣→2 ( 𝑣³ − 8 𝑣4 − 16 ) 𝑖) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−2 ( −2𝑥 − 4 𝑥³ + 2𝑥² ) 𝑗) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 ( √𝑥² + 100 − 10 𝑥² ) 𝑘) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 ( √9 + 𝑥 − 3 𝑥 ) 𝑙) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 →0 ( 1 𝑥√1 + 𝑥 − 1 𝑥 ) 𝑚) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 ( 3 − √5 + 𝑥 1 − √5 − 𝑥 ) 𝑛) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 ( √6 − 𝑥 − 2 √3 − 𝑥 − 1 ) 𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 →1 ( √𝑥 3 − 1 √𝑥 − 1 ) 𝑝) 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 ( (𝑥 + ℎ) 2 − 𝑥² ℎ ) 𝑝) 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 ( (𝑥 + ℎ) 3 − 𝑥³ ℎ ) 𝑞) 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 ( (2 + ℎ) 3 − 8 ℎ ) 𝑟) 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 ( (3 + ℎ) −1 − 3−1 ℎ ) 𝑠) 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 ( (𝑥 + ℎ) −2 − 𝑥−2 ℎ ) Prof. Msc. Isaias Lima Página 2 4 – Na teoria da relatividade, a fórmula da Contração de Lorentz 𝑳 = 𝑳𝟎 . √𝟏 − 𝒗² 𝒄² 𝟐 Expressa o comprimento L de um objeto como uma função de sua velocidade v com relação a um observador, onde L0 é o comprimento do objeto no repouso e c é a velocidade da luz. Encontre 𝑙𝑖𝑚𝑣→𝑐− 𝐿 e interprete o resultado. Porque é necessário o limite à esquerda? 5 – Seja 𝑓(𝑥) = {√𝑥 − 4 , 𝑠𝑒 𝑥 > 4 8 − 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 4 , Esboce o gráfico de f e determine, se existir, o 𝑙𝑖𝑚𝑥→4 𝑓(𝑥). 6 – Utilizando a função deslocamento s(t) = -16t2+1000, que fornece a altura (em pés) de um objeto que caiu por t segundos de uma altura de 1000 pés e sabendo que a velocidade no instante t = a segundos é dada por 𝒗(𝒂) = 𝒍𝒊𝒎 𝒕→𝒂 𝒔(𝒂) − 𝒔(𝒕) 𝒂 − 𝒕 Se um trabalhador de construção derruba uma chave inglesa de uma altura de 1000 pés, com que velocidade a chave cairá após 5 segundos? 7 – Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que: 𝑎) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (𝑥4. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ) = 0. 𝑏) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 (√𝑥 . 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝜋/𝑥) ) = 0. 8 – Dada a função f(x) = 1 + √𝑥 − 3 , determine, se existir: 𝑎) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3+ 𝑓(𝑥) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3− 𝑓(𝑥) 𝑐) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3 𝑓(𝑥) 9 – Dada a função f(x) = |𝑥| 𝑥 para todo x ∈ ℝ∗, existe 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑜 𝑓(𝑥)? Justifique sua resposta. 10 – da a função 𝑓(𝑥) = { 𝑥+1 2 , 𝑠𝑒 𝑥 > 1 𝑥² , 𝑠𝑒 𝑥 < 1 existe o 𝑙𝑖𝑚𝑥→1 𝑓(𝑥)? Justifique sua resposta. 11 – Dado o gráfico da função real g(x), determine, se existir: 𝑎) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2+ 𝑔(𝑥) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2− 𝑔(𝑥) 𝑐) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑔(𝑥) 𝑎) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→5+ 𝑔(𝑥) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→5− 𝑔(𝑥) 𝑐) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→5 𝑔(𝑥) Prof. Msc. Isaias Lima Página 3 12 – Um tanque contém 5000 litros de água pura. Salmoura contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada dentro do tanque a uma taxa de 25 ℓ/minuto. Nestas condições, a concentração de sal após t minutos (em gramas por litro) é dada por: C(t) = 30𝑡 200 + 𝑡 . O que acontece com a concentração de sal quando t → +∞? 13 – Calcule os limites. 𝑎) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−3 1 (𝑥 + 3)² 𝑏) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 1 (𝑥 + 3)² 𝑐) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ (𝑥³ − 5𝑥2 + 𝑥 − 18) 𝑑) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ (2 − 1 𝑥 + 1 𝑥² ) 𝑒) 𝑙𝑖𝑚 𝑡→+∞ ( 𝑡 + 1 𝑡² + 1 ) 𝑓) 𝑙𝑖𝑚 ℎ→−∞ ( 2ℎ5 + ℎ³ − 4ℎ² ℎ³ − 16ℎ + 8 ) 𝑔) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ ( 2𝑥5 + 𝑥³ − 2 −𝑥2 + 7 ) ℎ) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ ( 3𝑥5 + 𝑥² − 7 2 − 𝑥² ) 𝑖) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ ( −5𝑥3 + 2 7𝑥³ + 3 ) 𝑗) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ ( 𝑥² + 3𝑥 − 1 2 − 𝑥² ) 𝑘) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ ( 𝑥² + 3𝑥 + 1 𝑥 ) 𝑙) 𝑙𝑖𝑚 𝑡→+∞ ( 𝑡² − 1 𝑡 − 4 ) 𝑚) 𝑙𝑖𝑚 𝑣→+∞ ( 𝑣√𝑣 − 1 3𝑣 − 1 ) 𝑛) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ ( √𝑥2 + 1 𝑥 + 1 ) 𝑜) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ ( √𝑥2 + 1 𝑥 + 1 ) 𝑝) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ (√𝑥² + 1 − √𝑥² − 1) 𝑞) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ (𝑥√𝑥² − 1 − 𝑥) 𝑟) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ (𝑥√3𝑥² + 2𝑥 + 1 − √2𝑥) 𝑠) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ ( 5𝑥³ − 𝑥2 + 𝑥 − 1 𝑥4 + 𝑥³ − 𝑥 + 1 ) 𝑡) 𝑙𝑖𝑚 𝑠→+∞ ( 8 − 𝑠 √𝑠² + 7 ) 𝑢) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ ( √2𝑥2 − 7 𝑥 + 3 ) 𝑣) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ (𝑥√16𝑥4 + 15𝑥³ − 2𝑥 + 1 − 2𝑥) 𝑤) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ ( √2𝑥² − 7 𝑥 + 3 ) 𝑥) 𝑙𝑖𝑚 𝑦→+∞ ( 3 − 𝑦 √5 + 4𝑦² ) Prof. Msc. Isaias Lima Página 4 14 – Calcule os limites. 𝑎) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3+ ( 𝑥 𝑥 − 3 ) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3− ( 𝑥 𝑥 − 3 ) 𝑐) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2+ ( 𝑥 𝑥² − 4 ) 𝑑) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2− ( 𝑥 𝑥² − 4 ) 𝑒) 𝑙𝑖𝑚 𝑦→6+ ( 𝑦 + 6 𝑦² − 36 ) 𝑓) 𝑙𝑖𝑚 𝑦→6− ( 𝑦 + 6 𝑦² − 36 ) 𝑔) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4+ ( 3 − 𝑥 𝑥² − 2𝑥 − 8 ) ℎ) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4− ( 3 − 𝑥 𝑥² − 2𝑥 − 8 ) 𝑖) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3− ( 1 |𝑥 − 3| ) 𝑗) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→3+ ( 1 |𝑥 − 3| ) 15 – Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções: 𝑎) 𝑓(𝑥) = 4 𝑥 − 4 𝑏) 𝑓(𝑥) = −3 𝑥 + 2 𝑐) 𝑓(𝑥) = 4 𝑥² − 3𝑥 + 2 𝑑) 𝑓(𝑥) = −1 (𝑥 − 3)(𝑥 + 4) 𝑒) 𝑓(𝑥) = 1 √𝑥 + 4 𝑓) 𝑓(𝑥) = − 2 √𝑥 − 3 𝑔) 𝑓(𝑥) = − 2𝑥² √𝑥² − 16 ℎ) 𝑓(𝑥) = − 𝑥 √𝑥² + 𝑥 − 12 16 – Sejam a e b números reais e f: IR → IR uma função definida por f(x) = { x² , se x ≤ 1 ax − 2 , se 1 < 𝑥 ≤ 2 bx + 3, se x > 2 , para que f seja continua determine os valores de a e b. 17 – Para quais valores da constante c a função f é continua em (−∞,+∞)? 𝑓(𝑥) = { 𝑐𝑥² + 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 2 𝑥³ − 𝑐𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2 . O segredo da vitória não é superar os outros, mas a si mesmo. BONS ESTUDOS!
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