Teorema de Thévenin e Norton 2

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TEOREMAS DE THÉVENIN E NORTON 
Ana Maria Beltran Pavani 
Guilherme Penello Temporão 
 
I. INTRODUÇÃO 
 
 
Após o estudo da aplicação das Leis de Kirchhoff aos circuitos elétricos resistivos, o aluno já deve ser 
capaz de solucionar qualquer problema envolvendo circuitos que contenham resistores e fontes 
(independentes ou controladas). 
 
Entretanto, uma série de métodos de análise de circuitos foi desenvolvida através dos tempos para 
facilitar a vida do engenheiro elétrico. O Principio da Superposição, já estudado, é um exemplo de 
método que pode simplificar a análise de circuitos resistivos. Os teoremas de Thévenin e Norton são 
outros exemplos. 
 
O objetivo desses teoremas é encontrar um circuito simples cujo efeito em um dado par de terminais é 
equivalente ao do circuito original mais complexo. As seções a seguir tratam separadamente de cada 
teorema e da relação que existe entre eles. 
 
 
II. O TEOREMA DE THÉVENIN 
 
 
Suponha que estamos interessados em estudar o efeito de um circuito complexo sobre um par de 
terminais, a e b. Dependendo da aplicação, esses podem ser os terminais de um único elemento ou 
até mesmo de um sub-circuito. 
 
Podemos enunciar o teorema da seguinte forma: 
 
Dado um circuito contendo resistores e fontes, o seu Circuito Equivalente de Thévenin com relação a 
um certo par de terminais é obtido substituindo-se o circuito original por uma fonte independente de 
tensão Vth em série com uma resistência Req. Vth é o valor da tensão em aberto entre os terminais e 
Req é o valor da resistência equivalente vista pelos terminais quando estes estão em aberto e todas as 
fontes independentes estão desligadas. 
 
Em outras palavras: o efeito de qualquer circuito complexo sobre um dado par de terminais pode ser 
estudado substituindo-se o circuito complexo por uma associação em série de uma fonte independente 
de tensão e de uma resistência. A figura 1 ilustra esse processo. 
 
 
 
Figura 2.1: Teorema de Thévenin. O elemento de circuito conectado entre a e b está sujeito aos mesmos efeitos 
nas duas situções ilustradas. 
 
 
2 
O teorema de Thévenin é considerado um dos teoremas mais importantes que existem na teoria de 
circuitos elétricos. O nome do teorema se refere ao engenheiro francês que o publicou pela primeira 
vez; acredita-se, todavia, que boa parte dos resultados obtidos por Thévenin foram conseqüência de 
estudos anteriores de H. Helmholtz, um grande pesquisador na área do eletromagnetismo. 
 
Para aplicarmos o teorema de Thévenin é necessário, portanto, sabermos como calcular a tensão em 
aberto Vth e a resistência equivalente Req vista pelos terminais. Existem várias formas de se obter 
esses resultados; algumas mais específicas, outras mais gerais. Optamos por explicar primeiramente 
os métodos mais específicos, através de exemplos, para em seguida citarmos rapidamente alguns 
outros métodos interessantes. 
 
O primeiro exemplo compreende circuitos contendo apenas fontes independentes e resistores, 
enquanto o segundo exemplo trata de circuitos contendo fontes controladas. Em seguida, um terceiro 
exemplo será dado como demonstração de um método mais genérico. 
 
 
EXEMPLO 2.1: CIRCUITOS CONTENDO FONTES INDEPENDENTES E RESISTORES 
 
Para o circuito ilustrado abaixo, determine o valor da resistência R de forma que a corrente que o 
atravessa seja igual a 10mA. 
 
 
Figura 2.2: Exemplo 2.1 (circuito contendo fontes independentes e resistores) 
 
 
É importante que o aluno, neste momento, reflita sobre a utilidade do Teorema de Thévenin. Alguém 
poderia perguntar: “Mas para quê eu vou usar um teorema que eu nem conheço pra resolver um 
circuito que eu sei resolver usando as Leis de Kirchhoff ou até mesmo o Princípio da Superposição?”. 
 
Essa é uma excelente pergunta. É verdade que as Leis de Kirchhoff, por si só, são capazes de 
solucionar qualquer circuito, da mesma forma que as Equações de Maxwell solucionam qualquer 
problema do Eletromagnetismo. A vantagem do uso do Teorema de Thévenin está na simplicidade de 
se fazer alterações no elemento sobre o qual queremos avaliar o efeito do circuito. Isso será melhor 
compreendido no final desse exercício. 
 
Para aplicar o teorema de Thévenin, precisamos inicialmente identificar a parte do circuito que 
queremos substituir por um circuito mais simples. Como estamos interessados no efeito do circuito 
sobre o resistor R, vamos aplicar o teorema de Thévenin com relação aos terminais do próprio resistor 
R. Vamos chamar esses terminais de a e b. 
 
 
PASSO #1: Obter o valor da tensão Vth 
 
A tensão Vth é, por definição, o valor da tensão em aberto entre os terminais a e b. Portanto, 
substituimos o resistor R por um circuito aberto. 
 
Note que o resistor de 100Ω que estava em série com R no circuito original não irá interferir na tensão 
em aberto entre a e b, pois não circula corrente por ele. Assim, a tensão entre os terminais será a 
tensão no resistor de 50Ω da direita. A figura 2.3 mostra esse raciocínio. 
 
 
 
 
 
3 
 
Figura 2.3: Quando R é substituído por um aberto, não passa corrente pelo resistor de 100 ohms e a tensão entre 
a e b é a tensão no resistor de 50 ohms. 
 
 
Podemos calcular essa tensão aplicando a Lei dos Nós no supernó que engloba os terminais da fonte de 
tensão de 8V: 
 
50
8V
50
V
m40 thth
−
+= 
 
V5V28V2 thth =⇒=− 
 
 
PASSO #2: Obter o valor da resistência Req 
 
Para este circuito, no qual existem apenas fontes independentes e resistores, a resistência equivalente 
vista pelos terminais a e b pode ser obtida desligando-se as fontes, ou seja, substituindo as fontes de 
tensão por um curto-circuito e as fontes de corrente por um circuito aberto. 
 
Assim, o circuito resultante é ilustrado na figura abaixo. Note que é possível, neste momento, obter a 
resistência equivalente entre os terminais através de simplificação de resistores. 
 
 
Figura 2.4: A resistência enxergada pelos terminais a e b pode ser determinada calculando-se a resistência 
equivalente, em relação aos mesmos terminais, do novo circuito com as fontes desligadas (a fonte de corrente 
substituída por um aberto e a fonte de tensão substituída por um curto). 
 
 
Os dois resistores de 50Ω encontram-se em paralelo, portanto podem ser substituídos por um resistor 
de 25Ω. Este, por sua vez, está em série com o resistor de 100Ω. Portanto: 
 
Ω= 125R eq 
 
O circuito equivalente de Thévenin calculado se encontra desenhado na figura 2.5. Nesse momento, 
para verificar seu efeito sobre o resistor R, precisamos reconectá-lo aos seus terminais de origem, ou 
seja, os terminais a e b. Como se pode observar, o circuito obtido é um circuito série, que é muito 
mais simples que o circuito original. 
 
 
 
 
 
+ 
 
Vth 
 
- 
 
 
4 
 
Figura 2.5: Circuito equivalente de Thévenin visto pelos terminais a e b conectado ao resistor R. 
 
Pelo enunciado do problema, sabemos que a corrente que atravessa o resistor R é de 10mA. Como se 
trata de um circuito série, essa é a mesma corrente que circula nos demais elementos. Assim: 
 
( ) eqtheqth Ri
V
RiRRV −=⇒⋅+=Ω=⇒−= 375R125
01,0
5
R 
 
Que é a resposta ao problema proposto. 
 
Uma grande vantagem que o Teorema de Thévenin oferece em relação à resolução através das Leis de 
Kirchhoff é a seguinte: o aluno descobre que na sua bancada de laboratório não existe resistor de 
375Ω; o mais próximo é de 390Ω. Qual seria a corrente que percorreria o resistor nesse caso? 
 
No nosso caso, a resposta é imediata: 
 
( ) mA71,9
125390
5
RR
V
iiRRV
eq
th
eqth ≈
+
=
+
=⇒⋅+= 
 
Se nosso método de resolução fosse a simples aplicação das equações de nós e malhas, provavelmente 
seria necessário refazer todo o problema desde o início. 
 
 
EXEMPLO 2.2: CIRCUITOS CONTENDO FONTES INDEPENDENTES, FONTES CONTROLADAS E 
RESISTORES 
 
Calcule o valor do resistor R, conectado aos terminais a e b do circuito abaixo, de forma que ele drene 
uma corrente de 1A. 
 
Figura 2.6: Exemplo 2.2 (circuitos contendo resistores e fontes independentes e controladas) 
 
 
 
5 
Esse problema se diferencia do anterior pois os métodos utilizados naquele exemplo podem não ser 
aplicáveis a circuitos contendo fontes controladas. Os principais cuidados que devem ser tomados com 
a aplicação do Teorema de Thévenin a circuitos contendo fontes controladas são: 
 
• A parte do circuito com relação à qual será aplicado o teorema, se possuir fontes controladas, 
também deverá conter os elementos controladores destas fontes. 
• Fontes controladas não podem ser desligadas como fontes independentes. 
 
No nosso problema, o elemento que controla a fonte controlada (a corrente iX) faz parte do circuito 
com relação ao qual vamos aplicar o teorema; portanto, a primeira observação acima está sendo 
satisfeita. Entretanto, como não podemos desligar a fonte controlada para calcular a resistência 
equivalente, precisaremos de uma nova forma de determiná-la. 
 
 
PASSO #1: Obter o valor da tensão Vth 
 
Mais uma vez, queremos determinar a tensão entre os terminais a e b quando eles estão em aberto. 
Assim, substituímos o resistor R por um circuito aberto, como mostra a figura 7 abaixo. 
 
 
 
Figura 2.7: Determinação da tensão em aberto entre a e b. 
 
Observe que os resistores de 5Ω e 10Ω estão em série, e a associação destes está em paralelo com o 
resistor de 15Ω. Logo, eles podem ser simplificados por uma resistência equivalente dada por: 
 
Ω=
++
⋅+
= 5,7
15105
15)105(
R 15,10,5 
 
A corrente que circula na malha é a própria corrente iX, que é dada por: 
 
A6,1i
5,7
i520
i X
X
X =⇒
−
= 
 
A corrente que circula pelo ramo inferior é, portanto, 
 
A8,0
2
i
i X == 
 
A tensão no nó a vale, portanto, 
 
V128,01020va =⋅−= 
 
Como o nó b está conectado ao terra, a tensão em aberto entre os nós a e b é dada por: 
 
 
 
6 
V12Vth = 
 
 
PASSO #2: Obter o valor da resistência Req 
 
Devido à presença da fonte controlada, não é possível calcular diretamente a resistência equivalente 
(isto é, através de simplificação de resistores). Por esta razão, apresentamos agora um método 
indireto de se calcular a resistência. 
 
A figura abaixo mostra o circuito equivalente de Thévenin de um circuito qualquer. Suponha que um 
curto-circuito foi realizado em seus terminais. 
 
 
Figura 2.8: Equivalente Thévenin de um circuito qualquer com relação aos terminais a e b, quando existe um 
curto-circuito entre os terminais. 
 
 
A corrente que percorre o circuito é dada por: 
 
eq
th
cc R
V
i = 
 
Portanto, temos: 
 
cc
th
eq i
V
R = (2.1) 
 
Ou seja: a resistência equivalente enxergada por um par de terminais pode ser calculada através da 
razão entre a tensão em aberto e a corrente de curto-circuito. 
 
Considere, portanto, o circuito em questão onde foi feito um curto-circuito entre os terminais a e b. O 
circuito pode ser redesenhado de acordo com a figura abaixo: 
 
 
 
Figura 2.9: Quando o resistor R da figura 2.6 é substituído por um curto-circuito, os nós a e b tornam-se um 
mesmo ponto e o circuito pode ser redesenhado de forma a facilitar a aplicação das Leis de Kirchhoff. 
 
 
Calculamos o valor das correntes que passam pelos resistores: 
 
 
 
7 
X
X
5
10
i
5
i5
i
A2
10
20
i
==
==
 
15
i520
i X15
−
= 
 
O valor de iX pode ser calculado a partir de i15 (a corrente no resistor de 15Ω): 
 
2i
15
i520
x
X
−=
−
 
A5,2iX = 
 
A corrente de curto-circuito (no circuito original) é a soma das correntes dos resistores de 5Ω e 10Ω: 
 
A5,42iiii X105cc =+=+= 
 
E a resistência equivalente é dada por: 
 
Ω≈== 67,2
5,4
12
i
V
R
cc
th
eq 
 
O problema agora pode ser finalizado: para que o resistor R drene 1A, temos que: 
 
R67,2121
RR
V
i
eq
th +=⇒=
+
= 
 
Ω= 33,9R 
 
 
EXEMPLO 2.3: CIRCUITOS CONTENDO APENAS FONTES CONTROLADAS E RESISTORES 
 (MÉTODO DO CASO GERAL) 
 
O único caso que resta analisar é o de circuitos que não contenham fontes independentes. Não existe 
nenhum método específico para esse caso, e por esse motivo devemos utilizar uma técnica que 
chamaremos de “caso geral” para determinação do circuito equivalente de Thévenin. 
 
Para explicar essa técnica, vamos examinar o circuito equivalente de Thévenin quando excitado por 
uma fonte de corrente entre os terminais a e b. Estamos interessados em saber qual a tensão que 
surgirá entre seus terminais. 
 
 
Figura 2.10: Método do caso geral para determinação do circuito equivalente de Thévenin. 
 
 
Vamos agora substituir o circuito por seu equivalente Thévenin. A figura acima mostra que o valor da 
tensão que surge em seus terminais, VO, é dado por: 
 
iRVV eqthO ⋅+= (2.2) 
 
 
8 
Em outras palavras: no circuito original (cujo equivalente Thévenin foi ilustrado na fig. 2.10), conecte 
entre os terminais de interesse uma fonte de corrente de valor i. Em seguida, calcule o valor de VO 
que surgirá nos terminais dessa fonte e compare com a expressão acima. O termo independente de i 
será o valor da tensão de Thévenin e o valor que aparece multiplicando i será a resistência equivalente. 
 
Vamos utilizar este método no seguinte problema: 
 
Determine o circuito equivalente de Thévenin com relação aos terminais a e b do circuito abaixo. 
 
 
Figura 2.11: Exemplo 2.3 (circuito contendo resistores e fontes controladas) 
 
 
Conectando uma fonte de corrente de valor i aos terminais a e b, verificamos que a tensão que surgirá 
em seus terminais é a própria tensão nos terminais do resistor de 10Ω. Assim: 
 
( )
10
i
ii9i10i10V XXXO =⇒−=⋅= 
 
Assim, temos: 
 
iVO = 
 
Comparando com a expressão 2.2, vemos que: 
 
V0Vth = 
 
Ω= 1R eq 
 
O circuito equivalente de Thévenin, para este caso, é dado apenas por um resistor. Isso acontecerá 
sempre que não houver fontes independentes no circuito. 
 
Éimportante que, a essa altura, o aluno já tenha concluído que circuitos equivalentes de Thévenin não 
contêm fontes controladas, mesmo que o circuito original as contenha. Além disso, o equivalente 
Thévenin é calculado sempre em relação a um dado par de terminais, ou seja, um mesmo circuito pode 
ter vários circuitos equivalentes de Thévenin diferentes, dependendo dos terminais escolhidos. 
 
 
III. O TEOREMA DE NORTON 
 
 
Anos depois da publicação dos trabalhos de Thévenin, em 1926, o engenheiro americano E. L. Norton 
propôs uma alternativa ao circuito equivalente de Thévenin, usando uma fonte de corrente e um 
resistor para obter um efeito equivalente sobre um dado par de terminais. 
 
Podemos enunciar o teorema da seguinte forma: 
 
Dado um circuito contendo resistores e fontes, o seu Circuito Equivalente de Norton com relação a um 
certo par de terminais é obtido substituindo-se o circuito original por uma fonte independente de 
corrente IN em paralelo com uma resistência Req. IN é o valor da corrente de curto-circuito entre os 
terminais e Req é o valor da resistência equivalente vista pelos terminais quando estes estão em aberto. 
 
 
9 
 
A figura abaixo ilustra o circuito equivalente de Norton. 
 
 
Figura 3.1: Teorema de Norton. Da mesma forma que o circuito equivalente de Thévenin, o circuito equivalente 
de Norton causa o mesmo efeito no elemento de circuito que o circuito complexo. 
 
Da mesma forma que ocorre no equivalente Thévenin, todo o problema de encontrar o circuito 
equivalente de Norton está no cálculo da resistência equivalente Req e da corrente de curto-circuito IN. 
Serão apresentados, a seguir, alguns métodos para calcular esses parâmetros, seguindo a mesma 
lógica utilizada na seção anterior. Para que o aluno possa verificar mais claramente as semelhanças e 
diferenças entre os procedimentos de determinação dos equivalentes Thévenin e Norton, os mesmos 
exemplos da seção anterior serão utilizados. 
 
É importante destacar que, por definição, o conceito de “resistência equivalente” do teorema de Norton 
é idêntico àquele do teorema de Thévenin. Portanto, podemos dizer que: 
 
A resistência equivalente Req do circuito equivalente de Norton é idêntica à resistência equivalente Req 
do circuito equivalente de Thévenin, sempre que ambos os teoremas sejam aplicados aos mesmos 
terminais de um mesmo circuito. 
 
 
EXEMPLO 3.1: CIRCUITOS CONTENDO FONTES INDEPENDENTES E RESISTORES 
 
Para o circuito ilustrado abaixo, determine o equivalente de Norton enxergado pela resistência R. 
 
 
Figura 3.2: Exemplo 3.1 (circuito contendo fontes independentes e resistores) 
 
Para aplicar o teorema de Norton, precisamos inicialmente identificar a parte do circuito que queremos 
substituir por um circuito mais simples. Como estamos interessados no efeito do circuito sobre o 
resistor R, vamos aplicar o teorema de Norton com relação aos terminais do próprio resistor R. 
Repetindo o procedimento utilizado para o equivalente Thévenin, vamos chamar esses terminais de a e 
b. Em seguida, retiramos R do circuito. 
 
 
10 
 
 
 
PASSO #1: Obter o valor da corrente IN 
 
De acordo com a definição do teorema de Norton, IN é a corrente de curto-circuito entre os terminais a 
e b. Portanto, o primeiro passo é substituir o resistor R por um curto, como ilustra a figura abaixo. 
 
 
Figura 3.3: Determinação da corrente de Norton. O resistor R foi substituído por um curto-circuito. 
 
Repare que a corrente que circula pelo curto-circuito criado é a mesma corrente que atravessa o 
resistor de 100Ω. Além disso, nesse novo circuito, os resistores de 100Ω e 50Ω (à direita) estão em 
paralelo. Podemos, portanto, simplificar esses resistores e calcular a tensão V sobre a resistência 
equivalente: 
 
Ω=
+
⋅
=
3
100
50100
50100
R 100,10 
 
Aplicando a Lei dos Nós no supernó que engloba os terminais da fonte de 8V, temos: 
 
V4V
50
8V
3
100
V
m40 =⇒
−
+= 
 
A corrente de Norton vale, portanto, 
 
mA40
100
4
R
V
I
100,10
N === 
 
Note que a corrente de Norton possui polaridade positiva quando vai de a para b. 
 
 
PASSO #2: Obter o valor da resistência Req 
 
Conforme foi dito anteriomente, a resistência do circuito equivalente de Norton é a mesma do circuito 
equivalente de Thévenin. Para circuitos contendo apenas fontes independentes e resistores, essa 
resistência pode ser calculada desligando-se as fontes e associando os resistores, exatamente como foi 
feito para o teorema de Thévenin. 
 
Portanto, copiando o resultado do exemplo correspondente da seção anterior: 
 
Ω= 125R eq 
 
A figura abaixo mostra o equivalente de Norton do circuito. 
 
IN 
 
 
11 
 
Figura 3.4: Equivalente de Norton do exemplo 3.1 
 
Observe que, quando IN é positiva, a seta da fonte de corrente aponta para cima (isto é, de a para b, 
quando os terminais estiverem em curto). Se um valor de IN negativo fosse encontrado, a fonte de 
corrente apontaria para baixo. 
 
 
EXEMPLO 3.2: CIRCUITOS CONTENDO FONTES INDEPENDENTES, FONTES CONTROLADAS E 
RESISTORES, UTILIZANDO O MÉTODO DO CASO GERAL 
 
Vamos agora refazer o exemplo 2.2 utilizando um método genérico, que funciona para qualquer 
circuito. O exemplo 2.3 não será refeito pois, como o circuito equivalente de Thévenin para este caso 
foi apenas uma resistência, o mesmo ocorrerá com o circuito de Norton. 
 
Suponha que vamos ensaiar um circuito ligando uma fonte de tensão entre seus terminais a e b. 
Estamos interessados em saber qual a corrente que será drenada da fonte conectada. 
 
 
Figura 3.5: Método do caso geral para determinação do circuito equivalente de Norton. 
 
 
Vamos agora substituir o circuito por seu equivalente Norton. A figura acima mostra que o valor da 
corrente que surge em seus terminais, IO, é dado por: 
 
N
eq
O IR
v
I −= (3.1) 
 
Em outras palavras: no circuito original, conecte entre os terminais de interesse uma fonte de tensão 
de valor v. Em seguida, calcule o valor de IO que surgirá nos terminais dessa fonte e compare com a 
expressão acima. O termo independente de v será o valor da corrente de Norton (com sinal trocado) e 
o valor que aparece multiplicando v será o inverso da resistência equivalente. 
 
Vamos utilizar este método no problema desejado: 
 
Calcule o equivalente de Norton do circuito abaixo com relação aos terminais a e b. 
 
 
 
12 
 
Figura 3.6: Exemplo 3.2 (usando método do caso geral) 
 
O primeiro passo é substituir o resistor R por uma fonte de tensão genérica de valor v. Obtemos, 
assim, o seguinte circuito: 
 
 
Figura 3.7: Substituindo o resistor R por uma fonte de tensão genérica de valor v. 
 
 
Aplicando a Lei de Kirchhoff dos Nós no nó a, obtemos: 
 
0
10
v20
5
vi5
I XO =
−
+
−
+ (I) 
 
O valor de iX pode ser encontrado aplicando-se mais uma vez a Lei dos Nósno nó c (vide figura 3.7): 
 
15
i520
10
v20
i XX
−
+
−
= (II) 
 
Substituindo (II) em (I), obtemos: 
 
2
9
40
v15
IO −= 
 
Comparando essa expressão com (3.1), temos que: 
 
 
 
 
13 
Ω≈= 67,2
15
40
R eq 
A5,4
2
9
IN == 
 
Veja que o valor encontrado para Req é igual ao encontrado no Exemplo 2.2. Isso é um indicador de 
que os métodos são equivalentes. Repare que, para esse problema, a utilização do método do caso 
geral para o equivalente de Norton é mais simples que a utilização do método específico mostrado para 
o equivalente Thévenin. 
 
Fica como exercício refazer o Exemplo 3.1 utilizando o método do caso geral. 
 
 
IV. FONTES EQUIVALENTES 
 
Para um dado circuito e um dado par de terminais, existe um único circuito equivalente de Thévenin e 
um único circuito equivalente de Norton. A pergunta que fica no ar é: existe alguma relação entre 
eles? 
 
A resposta é: SIM, existe uma relação. Para descobrirmos que relação é essa, basta aplicarmos o 
teorema de Thévenin em um circuito de Norton e em seguida aplicarmos o teorema de Norton em um 
circuito de Thévenin. Mostraremos que os resultados obtidos são coerentes e que, portanto, existe 
uma correspondência biunívoca entre circuitos equivalentes de Thévenin e Norton. 
 
 
Figura 4.1: (a) Circuito de Thévenin (b) Circuito de Norton 
 
 
A figura acima (a) mostra um circuito de Thévenin, ou seja, um circuito consistindo em apenas uma 
fonte de tensão em série com uma resistência. Queremos aplicar o Teorema de Norton nesse circuito, 
com relação aos terminais a e b. 
 
O primeiro passo é obter a corrente de Norton, IN. Para isso, curto-circuitamos os terminais a e b para 
obtermos a corrente de curto-circuito, dada por: 
 
th
th
N R
V
I = (4.1) 
 
Resta agora obter a resistência equivalente. Para isso, desligamos a fonte de tensão, ou seja, 
substituimo-la por um curto-circuito. A resistência enxergada pelos terminais a e b é: 
 
theq RR = (4.2) 
 
Vamos agora verificar se o processo contrário gera os mesmos resultados. A figura 4.1 (b) mostra um 
circuito de Norton, isto é, um circuito consistindo apenas em uma fonte de corrente em paralelo com 
um resistor. Queremos aplicar o Teorema de Thévenin nesse circuito, com relação aos terminais a e b. 
 
Inicialmente, calculamos a tensão de Thévenin, Vth, que é a tensão em aberto entre os terminais a e b. 
Como o único caminho para a corrente da fonte é passando pelo resistor RN, temos: 
 
NNth IRV ⋅= (4.3) 
 
 
 
14 
Para o cálculo da resistência equivalente, desligamos a fonte de corrente, ou seja, substituimo-la por 
um circuito aberto. A resistência enxergada pelos terminais a e b é: 
 
Neq RR = (4.4) 
 
Por definição, sabemos que a resistência equivalente calculada pelos teoremas de Thévenin e Norton é 
idêntica. Por essa razão, 
 
eqNth RRR == (4.5) 
 
Desta forma, as equações (4.1) e (4.3) tornam-se idênticas. Isso conclui a demonstração de que os 
equivalentes Thévenin e Norton são circuitos duais. Abaixo, encontra-se um resumo dos resultados 
obtidos: 
 
Para transformar um circuito de Thévenin em um circuito de Norton 
 
1. A resistência equivalente do circuito de Norton é igual à resistência do circuito de Thévenin, ou 
seja, eqNth RRR == 
2. A corrente de Norton é calculada da forma: 
 
 
eq
th
N R
V
I = 
 
Para transformar um circuito de Norton em um circuito de Thévenin 
 
1. A resistência equivalente do circuito de Thévenin é igual à resistência do circuito de Norton, ou 
seja, eqNth RRR == 
2. A tensão de Thévenin é calculada da forma: 
 
 Neqth IRV ⋅= 
 
Esse resultado pode ser expresso da seguinte forma: uma fonte de tensão em série com um resistor 
pode ser substituída por uma fonte de corrente em paralelo com um resistor de mesmo valor (e vice-
versa). Chamamos esse processo de Equivalência de Fontes. 
 
Podemos enunciar esse resultado também em outras palavras: se o equivalente Thévenin de um 
circuito é conhecido, então o equivalente de Norton também o é, e vice-versa. 
 
A equivalência de fontes é muito utilizada na resolução de circuitos elétricos. Para ilustrar o quanto ela 
pode simplificar um problema, vamos resolver mais uma vez o problema enunciado nos exemplos 2.1 e 
3.1 utilizando este método. 
 
EXEMPLO 4.1 
 
Para o circuito ilustrado abaixo, determine os equivalentes de Thévenin e Norton enxergados pela 
resistência R. 
 
Figura 4.2: Exemplo 4.1 (equivalência de fontes) 
 
 
 
15 
O procedimento inicial é o mesmo: retirar o resistor R do circuito, pois queremos avaliar o efeito do 
restante do circuito sobre ele. 
 
Observe que, à esquerda do circuito, existe uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência. 
Vamos substitui-la por uma fonte de tensão em série com uma resistência, da seguinte forma: 
 
V2m4050IRV Nthth =⋅=⋅= 
Ω== 50RR Nth 
 
O resultado da substituição encontra-se na figura abaixo. Repare na polaridade da fonte de tensão do 
novo circuito. 
 
Figura 4.3: Aplicação do procedimento de equivalência de fontes. A fonte de corrente em paralelo com um 
resistor, à extrema esquerda da figura 4.2, foi substituída por uma fonte de tensão em série com um resistor. 
 
Nesse novo circuito, as fontes de 2V e 8V estão em série. Podemos, portanto, substitui-las por uma 
única fonte de 10V, como mostra a figura abaixo. 
 
 
Figura 4.4: Circuito da figura 4.3 após a associação em série das fontes de tensão 
 
 
Vamos agora transformar a fonte de 10V em série com o resistor de 50Ω por uma fonte de corrente em 
paralelo com um resistor: 
 
mA200
50
10
R
V
I
th
th
N === 
Ω== 50RR thN 
 
A figura abaixo mostra os resultados: 
 
 
Figura 4.5: Aplicação da equivalência de fontes no circuito da figura 4.4 
 
 
 
16 
Repare que os dois resistores de 50Ω estão em paralelo. Associando-os, obtemos um único resistor de 
25Ω. Esse resistor, juntamente com a fonte de corrente, podem ser transformados mais uma vez em 
uma fonte de tensão em série com um resistor: 
V5m20025IRV Nthth =⋅=⋅= 
Ω== 25RR Nth 
 
A figura abaixo mostra os resultados: 
 
 
Figura 4.6: Aplicação da equivalência de fontes no circuito da figura 4.5 após associar os resistores de 50 Ω em 
paralelo. 
 
Repare que o resistor de 100Ω está em série com a resistência de 25Ω. Assim, podemos associá-los 
para encontrarmos o resultado final: 
 
Ω=
=
125R
V5V
eq
th
 
 
O equivalente Norton, por sua vez, será: 
 
mA40
125
5
R
V
I
th
th
N === 
Ω== 125RR thN 
 
A figura abaixo mostra os resultados finais, idênticos aos obtidos nas figuras 2.5 e 3.4. 
 
 
Figura 4.7: Resultados finais 
 
É essencial que o aluno compreenda, nesse momento, que “obter o equivalente Thévenin” não é 
sinônimo de “primeiro, vamos desligar as fontes ... em seguida,calcular a tensão em aberto ...”. 
Existem várias formas de se obter o equivalente Thévenin (ou Norton) de um circuito. 
 
Com isso, encerramos o estudo dos circuitos resistivos. Mais adiante, quando estivermos estudando os 
conceitos de impedância e admitância, revisitaremos os equivalentes Thévenin e Norton para obtermos 
um caso mais geral que se aplica não apenas a circuitos resistivos, mas também a circuitos contendo 
capacitores e indutores.